（基础数学专业论文）仿射weyl群e8～的属于双边胞腔w62的左胞腔.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e rc a n d i d a t ei n2 0 1 0 u n i v e r s i t yc o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 5 0 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y t h el e f tc e l l si nt h et w o - s i d ec e l l 睇) o ft h ea f f i n e w e y lg r o u pe 8 d e p a r t m e n t ： s pe c i a l i t y ： i i e s e a r c hu l r e c t l o n ： 一 1 - 、o s u p e r v i s o r ： c a n d i d a t e ： d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s p u r em a t h e m a t i c s r e f l e c t i o ng r o u p p r o f j i a n y is h i y a n g a n gz h a n g c o m p l e t e di nma y 2 0 1 0 _ _ 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈鸾的学位论文仿射w e y l 群风的属于双边胞腔哌、的左胞腔，是 在华东师范大学攻逮砀生博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 导师 作者签名： 1 7 1 ；1 1 ：叫年弦；6 日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部f - l , - l i i 相关机构如国家图 书馆、中信所和”知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书 馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库 进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论 文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文奉，于年月 日解密，解密后适用上述授权。 嗡磊篓翅导：蛐金盏学位论文作者签名：垃。吻型1导师签名：望立：i ：望兰妄乙 日期：坦丝：；!日期：丝! ! ：y 多q 奉“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学 位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经 上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适 用上述授权) 张燕刚硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称 单位备注 王建磐教授华东师范大学主席 胡乃红 教授华东师范大学委员 谈胜利教授华东师范大学委员 陆俊讲师华东师范大 学 秘书 摘要 本文主要研究的是仿射w 色y 1 群磊舡值等于6 的双边胞腔哚) 中的左胞腔，找出 了双边胞腔嘹) 中的三组左胞腔代表元系，画出了它们的左胞腔图，并给出了嘹) 中所含的特异对合元。 关键词：左胞腔、双边胞腔、扣函数、星作用、本原对、链、室形式、特异对合元。 a b s t r a c t i nt h ep a p e r ，w es t u d yc e r t a i nl e f tc e l l si nt h ea f f i n ew e y lg r o u pe 8 m o r e p r e c i s e l y , w es t u d yt h el e f tc e l l s i no n eo ft w ot w o - s i d e dc e l l sqw i t ha ( n 1 = 6 w r i t t e n 哚) ) w e f i n dt r e eg r o u p s 。fr e p r e s e n t a t i v es e t s 。fl e f tc e l l si n 嘹) ，a n d d r a wt h ec o r r e s p o n d i n gl e f tc e l l sg r a p h s w eg i v ea l lt h ed i s t i n g u i s h e di n v o l u t i o n s o f w 8i n 哚) k e yw o r d s ：l e f tc e l l ，t w o - s i d e dc e l l ， s t r i n g ，a l c o v ef o r m ，d i s t i n g u i s h e di n v o l u t i o n 2 a - f u n c t i o n ，s t a r - o p e r a t i o n ，p r i m i t i v ep a i r ， 目录 第一章前言 1 1 研究背景 1 2 本文主要结果 第二章相关知识综述 2 1b r u h a t 序与k a z h d a n - l i l s z t i g 多项式 2 2 左、右胞腔与双边胞腔 2 3a - 函数 2 4 链和本原对 2 5 图和广义不变量 2 6 找出左胞腔代表元的算法与一些重要结论 2 7 仿射w e y l 群的室形式 第四章嘹) 中的特异对合元及其左连通性 4 1 嘹) 中的特异对合元 4 2 左连通性 附录一 附录二 参考文献 3 l 1 2 3 3 3 4 5 5 6 7 0 2 2 2 4 4 2 1 l 1 1 l 6 8 第一章前言 1 1 研究背景 设w 是由独异生成元集合s 生成的c o x e t e r 群。1 9 7 9 年，d k a z h d a n 和g l u s z t i g 在他们著名 的文章【1 2 】中为了研究c o x e t e r 群w 、h e c k e 代数澎( ) 和代数群g 的表示，定义了c o x e t e r 群 w 的左、右和双边胞腔( 见本文2 2 1 ) ，并证明了a 一型h e c k e 代数的每个左胞腔表示都是不可 约的这一结论，从此以后胞腔理论成为国内外许多数学家研究的热点。 胞腔理论的主要问题之一是研究w e y l 群和仿射w e y l 群的左胞腔。找出w e y l 群和仿射w e y l 群 的一个左胞腔代表系对于弄清左胞腔的结构至关重要。 l u s z t i g 在他的文章【1 5 】中定义了c o x e t e r 群上的一个a 函数，并证明了当是w e y l 群 或仿射w e y l 群时，a - 函数在每个双边胞腔上取常量，每个w e y l 群和仿射w e y l 群中所包含的左胞 腔个数是有限的，这样我们就可以通过逐个对w e y l 群和仿射w e y l 群的双边胞腔进行左胞腔分 解，将w e y l 群和仿射w e y l 群全部分解完毕。l u s z t i g 还引入了特异对合元，并证明了每个左胞 腔含且只含一个特异对合元。特异对合元在c o x e r e r 群及其h e c k e 代数的表示中有着非常重要的 作用。 一些数学家开始研究c o x e t e r 群的胞腔分解问题。对于a 。型的仿射w e y l 群的胞腔，时俭益 在文f 2 0 ( 1 9 8 6 ) 中圆满地刻画了该族群所有左胞腔并且得到了非常好的组合结果。这是至今为 止唯一一族被完全解决了左胞腔分解的仿射w e y l 群。对于秩等于3 的仿射w e y l 群，r b e d a r d 在文 f 3 ( 1 9 8 6 ) 中刻画了群伤的双边胞腔和左胞腔。杜杰在文【1 0 】( 1 9 8 8 ) 中刻画了群岛双边胞腔和 左胞腔，在文f 1 1 ( 1 9 9 0 ) 中刻画了群d 4 的双边胞腔。 刻画胞腔分解的另一做法就是考虑给定的仿射w e y l 群的具有相应n 一值的双边胞腔中的左 胞腔分解。l u s z t i g 在文1 1 4 ( 1 9 8 3 ) ，g l a w t o n 在文【1 3 ( 1 9 8 6 ) ，芮和兵在文【1 9 】( 1 9 9 5 ) ，时俭益 在文 2 2 ( 1 9 8 7 ) ，【2 3 ( 1 9 8 8 ) 中对于a = 1 ，2 ，3 ，i 圣1 2 ( 圣表示相应的w e y l 群的根系) ，分别给出了相 应的结果。陈承东利用元素的特殊简约表达式，在文【5 】，【6 】6 ，【7 】中分别完成了巩，g ，d 。型 的a 一值等于4 的左胞腔分解。 由于w e y l 群和仿射w e y l 群的胞腔分解均涉及- j k a z h d a n l u s z t i g 多项式的计算，这是一个 非常复杂又繁琐的过程，因而也使得胞腔分解工作进展缓慢。时俭益为了克服这一困难， 在文【2 1 】中为w e y l 群和仿射w e y l 群中的每一个元素给出了相应的室形式，得出了一个重要的结 果( 见本文定理2 7 3 ) 。随后在文【3 1 】中，用室形式描述了单反射对元素的左、右作用，在文 【2 6 ( 1 9 9 4 ) 中设计了一种相对简易的算法( 见本文2 6 ) ，从而避开了繁难的k a z h d a n - l u s z t i g 多项 式的计算。这一算法在实际应用过程中，解决了一系列w e y l 群和仿射w e y l 群的左胞腔分解 问题，获得了极大地成功。例如：时俭益在文【2 6 ( 1 9 9 4 ) ，f 2 7 ( 1 9 9 8 ) ，【2 8 ( 1 9 9 8 ) d p 完成了群 q 、d 4 、r 的左胞腔分解，张新发在文3 4 ( 1 9 9 4 ) 中完成了群风的左胞腔分解，时俭益和张 细苟完成了忍( i = 6 ，7 ，8 ) 的a = 4 的左胞腔分解，刘永瑞刻画了群研的a 值等于5 ，6 的双边胞腔中 的左胞腔，岳明仕与黄谦在时俭益老师的指导下，分别完成了助a = 7 与e sa = 5 及a = 6 的双边胞 腔峨、的左胞腔分解。 对于一些含有特殊元素的左胞腔，如对于含有满交换元的双边胞腔的左胞腔，时俭益在文 【3 0 i ( 2 0 0 5 ) 中也进行了研究。另外，l u s z t i g 和席南华在文【1 8 】( 1 9 8 8 ) 中刻画了仿射w e y l 群中的典 范左胞腔【见本文2 3 2 1 ，这一结果对于检查所得到的左胞腔图具有很大的作用。 另外，对于非晶体型的有限c o x e t e r 群，d a l v i s 在文【2 】中，通过计算k a z h d a n l u s z t i g 多；项 式，给出了c o x e t e r 群凰的左胞腔分解。 1 2 本文主要结果 本文对仿射w e y l 群昆的a 广值等于6 的一个双边胞腔w 底的左胞腔进行分解，主要结果概述 如下： ( 1 ) 刻画了哌、的所有左胞腔。 令瑶( 6 ) = 1 ，3 ，4 ) ， 2 ，3 ，4 ) ， 2 ，4 ，5 ) ， 3 ，4 ，5 】， 4 ，5 ，6 ) ， 5 ，6 ，7 ) ， 6 ，7 ，8 ， 7 ，8 ，o 】) x l = w 1 4 2 4 5 4 3 5 3 4 6 4 3 2 3 7 5 4 3 4 1 4 8 6 4 1 2 5 4 7 6 5 ：x 2 = w 1 3 4 2 4 5 4 3 5 3 4 6 4 3 2 3 7 5 4 3 4 1 4 8 6 4 1 2 3 5 4 5 4 7 6 8 6 0 8 6 4 3 1 5 4 2 3 4 5 6 7 8 6 5 4 2 8 7 6 ；z 1 ，x 2 m ( w 1 3 4 ) y l = x l 0 ，抛= x 2 3 则本文找出了瞩、中三组左胞腔代表元系： ( a )集合e ( 喋1 ) = m ( w 1 3 4 ) um ( y 1 ) um ( y 2 ) ( b ) 集合碟饥( 6 ) ，其元素罗列在附录一。这些元素均有形状w j z ，其中j 瑶( 6 ) ，z e s ，髟( ，z ) = j ，且w j z 是其所在左胞腔的最短元。 ( c )由嘿、中的所有独异对合元组成的集合 z w j z i 叫j z 碟讥( 6 ) 。文章画出 了嘿、的三个左胞腔图l ( w 1 3 4 ) ，施( 可1 ) 与施( 耽) ( 见附录- - ) ，这些左胞腔图以左胞 腔为顶点，分别拟同构于以左胞腔代表元为顶点的a 一饱和图( 叫1 3 4 ) ，( 1 ) ，( 沈) 。他们 的顶点个数分别为1 7 3 5 ，1 3 5 和5 0 。由此推出双边胞腔w 未、共含有1 9 2 0 个左胞腔。 ( 2 ) 给出了瞧、中的特异对合元( 见附录一) 。 ( 3 ) 给出了一个左胞腔连通性的证明。 本文是在时俭益教授的指导下完成的。 2 第二章相关知识综述 2 1b r u h a t 序与k a z h d a n - l u s z t i g 多项式 2 1 1 设( 彬s ) 是一个c o x e t e r 群，s 是w 的c o x e t e r 生成元集合。对于任意的w w ，令 彩( 训) = s s l s w 叫) ，西谚( 叫) = s s 1 w s t u ) 其中是彬上的b r u h a t 序，即对于y w ，yst u 当且仅当存在w 的简约表达式 w = 8 1 s 2 s ，8 i s ，i = 1 ，2 ，k ，使得y = 乳1 8 i 2 8 i ，其中i l ，i 2 ，i t 是1 ，2 ，k 的 一个子序列，由y w 可推出t 七。z ( w ) 表示伽的长度函数，这时l ( w ) = 七。 2 1 2 设a = z u 】是以u 为不定元的整系数多项式环。对于中元素的每一有序对 y ，w ，存在唯一的多项式b ，埘a ，叫做一个k a z h d a n l l l s z t i g 多项式，该多项式满足：当y 菇w 时，b ，埘= 0 ，晚，钏= l ，当y w 时，岛，叫的次数不大于( 1 2 ) ( 1 ( w ) 一t ( y ) 一1 ) 。这些多项式 满足下面的递推公式。设8 w w 对于某个5 s 。那么我们有 b ，埘= t 。只可，跏+ u 1 一。b 删一肛( z ，s w ) u ( 1 2 ) ( 。( 锄) 一( 。) 岛，： ( 2 1 1 ) 可： 8 埘 j 0 y 时，c = 1 当s y y 时，c = 0 ( 见【1 2 1 ) 。 如果b ， 或r ，掣的次数达到( 1 2 ) ( 1 l ( w ) 一z ( 耖) i 一1 ) 则记为扩伽。如果y w 且 z ( 可) = z ( w ) 一1 ，那么一定有耖一伽。 2 2 左、右胞腔与双边胞腔 2 2 1 设z ，y w ，如果在中存在元素序列z = x o ，x l ，z 竹= y ，使得对任意的 i ，1 is 札，都有x i l z i 和2 ( 珑一1 ) 垡- 彩( x i ) ，则记为x y ，则是中的一个预序。 如果有z y z ，则记为z ? y 。由等价关系? 决定的每一个等价类称为彬的一个左胞 ll ll 腔。 相应地，如果在w 中存在元素序列z = x o ，x l ，z n = y ，使得对任意的i ，1 i 竹 ，都有x i 一1 锄和历( 翰一1 ) 垡刀( 甄) ，则记为z y ，则依然是中的一个预序。如果有 z y z ，则记为z = y 。由等价关系：决定的每一个等价类称为的一个右胞腔。 如果在中存在元素序列z = x o ，z 1 ，z 忆= y ，使得对任意的i ，1 i n ，或者 g c i 一1 - - l 甄，或者x i 一1 rx i ，则记为z y 。如果z y z ，则记为z 一 。由等价关1 ，l - 系殳决定的每一个等价类称为的一个双边胞腔。t y 2 2 2 下面是关于胞腔的一些重要性质【1 8 】： 3 1 l 一 一 耖 秒 和 犰一1 ，犰) 是右 民，如卜一链； ( b ) 存在i ，0 i n ，使得z t 奶； ( c ) 要么刀( z ) 垡留( 剪) 和勿( 鼽) 譬贸( z n ) 成立，要么贸( 可) g 纺( z ) 和勿( z n ) 垡历( ) 成 立。 如果 z ，y ) 是一个右本原对，那么z = y 。 2 5 图和广义7 - 一不变量 2 5 1 定理( 【2 5 】) 设q 是的一个双边胞腔。假设一个非空集合mcq 满足如下条 件： ( a ) z 譬耖对于m 中任意的z 可； ( b ) 对于任意的元素y w 二，如果存在元素z m 满足条件旷一z ，勿( ) 譬留( z ) 和 口( 可) = 。( z ) ，那么一定存在元素名m 有y “l 名，则m 是q 中左胞腔中的代表元集合。 5 集合勿( q ) 就是的一个左胞腔代表元集合。但通过计算k a z h d a n - l u s z t i g ! 多项式找到 9 ( q ) 相当复杂，所以我们将采用其它方法找左胞腔代表元集合。 2 5 2 对于每一个元素z ，我们定义m ( x ) 为所有满足以下条件的元素y 组成的集 合：在中存在一列x o = z ，x l ，研= 耖其中r 0 ，对每个i ，l i ，满足x i - - _ 1 1 x i s 和勿( 祝一1 ) 岩勿( 戤) 。 假定是眠中的一个左胞腔集合，m 眠，如果中任意一个左胞腔r 都满足 f nm 仍且对于任z m 都有r 使得名r ，则称可由集合m 所代表。下面是一 个定理： 定理( 【2 6 1 ) 如果z ，y w - n 满足z7y ，那么i ( x ) 和m ( y ) 代表w 口中同样的左胞腔集合。 我们定义一个图( z ) ，图的顶点的集合是m ( x ) ，图的边的集合由i ( x ) 的所有这种二 元子集 ! ，z ) 组成，其中y - 1 z s 和纺( 可) 孝刀( z ) ，对于每一个顶点y m ( x ) 都将以s 的 子集勿( 3 ，) 作标号，( z ) 中每一条边 秒，z ) 都表以元素s = y - i z 。 两个图( z ) 和( z ) 叫做拟同构的如果存在从i ( x ) 到m ( x ) 的双射皿满足下列条 件： ( a ) 对于w m ( z ) ，历( ) = 勿( 皿( 加) ) 。 ( b ) 对于y ，z m ( z ) ， 可，z ) 是( z ) 的一条边当且仅当 皿( 可) ，皿( z ) ) 是( z ) 的一条边。 2 5 3 图( z ) 的一条路定义为i ( x ) 中的一个元素序列z o ，z 1 ，魂，使得对于任意的 i ，l5ist ， z i l ，旎) 是( z ) 的一条边。对于给定的两个元素z ，z ，如果( z ) 中 任意一条路z o = z ，z 1 ，z t 都有( z ) 中相应的一条路晶= z ，z i ，五，使得对于每个 i ，0 i t 都有勿( z ：) = 勿( 磊) ，而且交换z 与z 的角色后条件仍然成立，则称z ，z 有相同 的广义7 - 一不变量。 下面是关于广义7 - 一不变量的一个定理： 定理( 【2 5 ) 中在同一左胞腔中的元素有相同的广义7 - 一不变量。 2 6 找出左胞腔代表元的算法与一些重要结论 2 6 1肌的一个非空子集p 称为是独异的，如果对于p 中任意的元素z y ，都有 z 和l y 。 假定p 是w 二的一个非空子集，下面是作用在集合p 上的三个步骤：( 【2 2 】【2 3 1 【2 6 1 ) ( a ) 从u z pm ( x ) 找出尽可能大的子集q 使得q 是一个独异子集； ( b ) 对于每一个z p ，令鼠，= 耖w l y - 1 z s ，留( 剪) i 力( z ) ，o ( 可) = 口( z ) ) 和 b = p u ( u z p 玩) 。从b 中找出尽可能大的独异子集q ； ( c ) 对于每一个z p ，令g = 耖w l y z ，l r 呵，留( ) 刀( z ) ，a ( y ) = 口( z ) ) 和 c = p u ( u z p q ) 。从c 中找出尽可能大的独异子集q 。 2 6 2 如果用步骤( a ) ( 或( b ) ，( c ) ) 作用在pc 上不能得到满足对所有的z p z 曹z 6 的新元素z ，则称p 是a 饱和的( 或b 饱和的，c 一饱和的) 。 显然，对于任意的kg 矾，集合u 。km ( z ) 总是a 一饱和的。由定理2 5 1 可知：中 的双边胞腔q 的一个左胞腔代表元集合是一个a ，b 一和c 一饱和的独异子集。为了得到这样一个 集合，我们可以应用下面的算法： 算法( 【2 6 】) ( a ) 在双边胞腔q 中选取一个非空子集p ( 通常尽可能地使得p 是独异的) 。 ( b ) 用步骤( a ) ，( b ) 和( c ) 依次作用在p 上，直到从中所得到的独异子集不能再扩大为 止。 由于步骤从( a ) ，( b ) 到( c ) 计算难度会逐渐增大，故我们采取以下方法： ( 1 ) 对于p 中元素采用步骤( a ) ，直到从中所得到的新的独异子集p 1 不再扩大为止； ( 2 ) 对于p l 中元素采用步骤( b ) ，对得到的集合再采用步骤a ，然后再采用步骤b ，如此循环， 直到从中所得到的新的独异子集屁不再扩大为止； ( 3 ) 对于b 中元素采用步骤( c ) ，然后对得到的集合依次循环采用步骤( 1 ) ，步骤( 2 ) ， 步骤( c ) ，直到从中所得到的新的独异子集屁不再扩大为止。 2 6 3 ( 【1 2 ) 下面的一些结果将对我们编写成程序实现步骤( a ) ，( b ) ，( c ) 大有裨益。 ( a ) 如果z ，y w 满足z 1 和历( z ) 爱历( 可) ，那么x - l y s 。更精确地，我们有 x - l y 纺( z ) v 历( y ) ，这里记号勿( z ) v 叨( ! j ) 代表集合x 和y 的对称差。 ( b ) 如果z ，y w 满足扩z ，劈( 剪) 贸( z ) 和o ( z ) = n ( 秒) ，那么要么y - t x s ，要么 y z 且l ( x ) 一t ( y ) 是奇数，并且一定有z c ( u ) = 2 ) 。 ( c ) 设w 、y w 且y w ，那么对于w 的任意简约表达式s l s 2 s r ，现s ，1 i 7 ， 都存在1 ，2 ，r 的一个子序列n ，t 2 ，i t ，使得y = s i 】s 幻8 i 。是简约表达式。 ( d ) 假设w w 与j = p ( 叫) ( 或j = 勿( ) ) ，那么存在某个z w 使得w = w j z ( 或 w = z w j ) 和l ( w ) = z ( 叫，) + t ( x ) 。 现在设w w 且j = 2 ( 加) ，由( d ) 我们能找到一个简约表达式w = 8 1 8 2 s ，8 i s ，l i r 且有w ，= 8 1 8 2 8 t ，这里t = z ( 叫r ) 。对于t j r ，记w j = 8 1 8 2 s j 。设 只是满足y ”j 和p ( 可) j 的所有元素的集合，所以只= ) 。假设对于t ks ， ，集合只已被找到，那么由( c ) ，我们有 只+ 。= 最u 扣s 。+ 。i z 最，s 。+ 。s 一留( z ) 对于给定的w w 。这为我们提供了一个找出满足剪w 和p ( 耖) 2p ( 伽) 的所有元素可的 程序。 2 7 仿射w e y l 群的室形式 2 7 1 一个仿射w e y l 群眠作为c o x e t e r 群可以在几何上如下得到。设g 是c 上一个连通 的伴随型简约代数群。设t 是g 的一个给定的极大环面，x 是t 的特征标群( 由t 到c 的 代数群的态射组成) ，圣cx 是g 的一个根系，= q 1 ，o t 2 ，a d 是圣的一组单根系，那 么e = x o zl l ( 就是一个具有内积 的欧氏空间，代数群g 关于t 的w e y l 群( ，岛) 自 7 然地作用在e 上并且保持内积不变，这里岛是由与单根o z ，1 i 2 相对应的单反射8 i 组成 的集合。我们用表示作用在e 上的所有平移a ( a x ) 组成的集合( a ( z ) = z + a ，z e ) 。半直积= w okn 被称为仿射w e y l 群。若k 是g 的型的对偶，此时我们称眠是k 型 的。有时也用( k ) 或k 来记眠，表明w 左是k 型的。存在从到w o 的典范同态： wh 面。 设一a o 是西的最高短根，我们定义8 0 = s a 。卫q 。，这里8 口。是对应于0 c 0 的反射，那么 作为c o x e t e r 群的生成元集可取为s = s ou s o ) 。 下面是b 的c o x e t e r 图： 以后为了简便起见我们用黑体的i 表示对应于c o x e t e r 图中顶点i 的反射吼。 2 7 2 对于w 彤w 的室形式定义为整数集z 上有序圣一重数组( 后m ，a ) ) q 垂( 即以圣 为指标集的数组) 满足以下条件： ( a ) 对于任意的a 圣，七 ，一口) = - k ( w ，q ) ； ( b ) 对于o l 圣，七( e ，q ) = 0 ，这里e 是中的恒等元； ( c ) 如果w 7 = w s i ( 1 i z ) ，那么 七( 伽7 ，q ) = 后( 叫，( q ) 瓦) + ( q ，i ) 具有 f0 ，q 士n ； g ( q ，i ) = 一1 ，q = a i ； i1 ，o z = - - o q ， 这里面= 8 q o ，当l isz 时可= 8 i 。 由条件( a ) ，w 的室形式也可以定义为一个垂+ 一重数组( k ( w ，q ) ) a 垂+ 。由条件( c ) 可 以看出， 毛i o i l 】对职的每个元素的室形式的作用为： 8 i ：( 七。) 口圣h ( 七( 口) 。i + e ( q ，i ) ) n 雪 2 7 3 设w ，矾，如果2 ( 们) = z ( 伽) + 2 ( w 一1 ) ，则称t i ，7 是伽的左扩充。关于t ，矾 的室形式( 后，口) ) n 圣，时俭益证明了以下的重要结论： 定理( 【2 1 ) ( 1 ) z ( w ) = q 圣+ i 后( 加，q ) l ，这里表示z 的绝对值； 8 9 0 和 本章，记为型最的仿射w e y l 群，w 的生成元集合s = 8 1 ，8 2 ，8 3 ，8 4 ，8 5 ，8 6 ，s 7 ，8 8 ，s o ，本文将用i 表示8 i ，i = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 。于是可记s 为 l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，o ) 。 由2 3 x ( e ) - - i 知，对于s 的一个真子集j 所生成群w j 中的最长元w j ，有a ( w j ) = l ( w j ) ，该元素即是本文要找的某个左胞腔的代表元，如j = l ，3 ，4 ) 时，肌的最长元 w j = 1 4 3 1 4 3 即是所要找的元素。用这种方法本文首先得到了双边胞腔嘹) 中所有的形 如w j 的元素组成的集合p 2 ( 6 ) p 2 ( 6 ) = w 1 3 4 ，t 0 2 3 4 ，w 2 4 5 ，w 3 4 5 ，w 4 5 6 ，奶6 7 ，w 6 ， 8 ，w 7 8 0 其中w 1 3 4 = 1 4 3 1 4 3 ，伽2 3 4 = 2 3 4 2 3 4 ，t 0 2 4 5 = 2 5 4 2 5 4 ，伽3 4 5 = 3 5 4 3 5 4 ，t 0 4 5 6 = 4 6 5 4 6 5 ， t 0 5 6 7r a m - - 5 7 6 5 7 6 ，叫6 7 8 = 6 8 7 6 8 7 ， 0 3 7 8 0 = 7 0 8 7 0 8 。集合p 2 ( 6 ) 是独异的，但只是双边胞腔 w 磊、的一个左胞腔代表系的子集，故还需按照2 6 2 中的算法对p 2 ( 6 ) 进行扩充。 m ( a 4 3 1 4 3 ) 是由集合p 2 ( 6 ) 中元素1 4 3 1 4 3 出发，经a 程序扩充得到的，设z l = 1 4 3 1 4 3 2 4 5 4 3 5 3 4 6 4 3 2 3 7 5 4 3 4 1 4 8 6 4 1 2 5 4 7 6 5 则z 】m ( 1 4 3 1 4 3 ) ，元素】= z 1 0 可由 x l 通过步骤b 得到，知可l 口l ，纺( 可1 ) = 5 ，o ) 譬叨( z 1 ) = 5 】，叨( z 1 5 ) = 4 ，6 ) ，勿( y l 5 ) = 【4 ，6 ，o 】，叨( z 1 5 4 ) = 2 ，3 ，6 ) ，留( ! ，1 5 4 ) = 2 ，3 ，6 ，o 】，勿( z 1 5 4 6 ) = 2 ，3 ，5 ，7 ) ，历( 可1 5 4 6 ) = 【2 ，3 ，5 ，7 ，o ，砑( z l 5 4 6 7 ) = 2 ，3 ，5 ，8 ) ，纺( 秒1 5 4 6 8 ) = 2 ，3 ，5 ，8 】，勿( z 1 5 4 6 7 5 ) = 2 ，3 ，6 ，8 ) ，历( 可1 5 4 6 8 6 ) = 【2 ，3 ，6 ，8 ) ，勿( z 1 5 4 6 7 5 2 ) = 3 ，4 ，6 ，8 垡纺( 剪1 5 4 6 8 6 4 ) = 4 ，6 ，8 ) ，根据2 4 2 知，【z 1 ，y l 是右本原对( 见图她1 ) ，z 1 ，玑处于同一右胞腔，从而a ( y 1 ) = 6 ，由 此知秒1 嘿、，m ( y 1 ) 与m ( z x ) 所对应的图中元素有着不同的广义7 - 一不变量，所以m ( y 1 ) 中元素与m ( z 1 ) 中元素皆不在同一左胞腔，m ( y 1 ) 是本文所求的一个左胞腔代表元集 合。设z 2 = 1 4 3 1 4 3 2 4 5 4 3 5 3 4 6 4 3 2 3 7 5 4 3 4 1 4 8 6 4 1 2 3 5 4 5 4 7 6 8 6 0 8 6 4 3 1 5 4 2 3 4 5 6 7 8 6 5 4 2 8 7 6 则x 2 m ( 1 4 3 1 4 3 ) ，元素抛= x 2 3 可由z 2 通过步骤b 得到，z 2 和可2 是右本原对，这是因 为勿( z 2 ) = 2 ，5 ，o ) 至勿( 沈) = 2 ，3 ，5 ，o ) ，劈( z 2 2 ) = 4 ，5 ，o ) 垡勿( u 2 4 ) = 4 ，o ) ( 见图艇2 ) 。 记 以= m ( x 4 3 1 4 3 ) ， 幻= m ( m ) ， 毛= m ( y 2 ) 。记瑶( 6 ) = j s w j p 2 ( 6 ) ) ，则 瑶( 6 ) = 1 ，3 ，4 ) ， 2 ，3 ，4 ) ， 2 ，4 ，5 ) ， 3 ，4 ，5 ) ， 4 ，5 ，6 ) ， 5 ，6 ，7 ) ， 6 ，7 ，8 ) ， 7 ，8 ，o ) 】。 嘹) 是磊在瞰6 ) 中的一个双边胞腔( 见文【4 】) ，由2 3 1 ( f ) 知，对于任意的j p 0 2 ( 6 ) ， 伽 嘹) l 留( 伽) = j ) 形成的一个左胞腔；由2 3 2 知， 伽嘹) i 纺( 叫) = o ) ) 形成w 的一个 左胞腔。对于任一j e 0 2 ( 6 ) ，g l 中含有满足条件历( t u ) = ，的一个元素伽，m 3 中含有满足 条件留( t l ，) = o ) 的一个元素伽，集合尬，慨各自代表不同的左胞腔集合。记l 1y , s 哚) 中的这样左胞腔l 的集合，其中露( 二) o ) ，j i j 瑶( 6 ) ) ；令 3 e ( 哚) ) = u 舰 = l 则l 1 中左胞腔皆有代表元在e ( 瞧、) 中。对于任意的x 屁( 见2 6 2 ) ，要么m ( x ) nl 1 不 为空集，要么m ( x ) 与m 2 中某个元素有相同的广义7 - 一不变量。若m ( x ) n l l 不为空集，那 么m ( x ) 中某个元素z 与e ( 哌、) 中某个元素y 位于同一左胞腔，根据2 5 2 的定理知，m ( z ) 和m ( y ) 代表w 中相同的左胞腔集合，可知m ( x ) 所代表的左胞腔集合从属于e ( 嘿、) 所 代表的左胞腔集合。本文在进行步骤c 时没有得到新的元素，所以e ( 嗾、) 即是喉、中的一 个独异的左胞腔代表元集合。哌、所含左胞腔的个数为1 9 2 0 个。其中f i g a 为图m 1 ，它是 由1 7 3 5 个顶点组成的连通图。由于图太大，不得不将它分为1 8 个子图，它们分别为a 1 a 1 8 。不 同子图有边相连接的顶点将在这些子图中重复出现，并赋予相同的编号。例如，在图a 1 中的 顶点y l = 1 3 5 i 与图a 2 中的顶点v 2 = i3 5 l 是图j t l 中的同一顶点，图a 5 中的u 1 = 1 2 6 8 i ， 图a 1 2 中的u 2 = l2 6 8 即图a 1 7 中的u 3 = i2 6 8 怛图o g g l 中的同一顶点。对于这样的顶点我们 给上记号，例如，在顶点的正下方，我们给上记号2 9 4 ，2 ，其中2 9 4 为该点的编号，数字2 表 示在a 2 中有相同的编号为2 9 4 的顶点与该顶点是同一顶点，在顶点仉的正下方，我们给上 记号1 3 4 1 ；1 2 ，1 7 ，其中1 3 4 1 是该顶点的编号，数字1 2 与1 7 表示在在a 1 2 与a 1 7 中有相同编号的 顶点踢、玩与该顶点是同一顶点。f i g b 为图旋，它是由5 0 个顶点组成的连通图。f i g c 为 图编，它是由1 3 5 个顶点组成的连通图( f i g a ；f i g b ；f i g c 见附录二) 。 图d t q 中的起始元素为1 4 3 1 4 3 ，其所在的左胞腔l 的勿( 三) = 1 ，3 ，4 ，出现在图 形f i g a 中，用s 标出。图j 9 2 中的起始元素为1 4 3 1 4 3 2 4 5 4 3 5 3 4 6 4 3 2 3 7 5 4 3 4 1 4 8 6 4 1 2 5 4 7 6 5 0 ， 其所在的左胞腔l 的勿( l ) = 5 ，o ) ，出现在图形f i g b 中，用s 标出。图编中的起始元素为 1 4 3 1 4 3 2 4 5 4 3 5 3 4 6 4 3 2 3 7 5 4 3 4 1 4 8 6 4 1 2 3 5 4 5 4 7 6 8 6 0 8 6 4 3 1 5 4 2 3 4 5 6 7 8 6 5 4 2 8 7 6 3 ，其所在的 左胞腔三的纺( l ) = 2 ，3 ，5 ，0 ，出现在f i g c 中，用s 标出。 z 。口 卜_ 量- 臣匠卜垒_ 臣匿卜l 蓬匦卜l 厘匦卜l 僵堕卜卫圆 ： 可。匪【h l 匝夏卜l 团匦卜l 应亟卜l 匝亘卜l 匝亘卜垒_ 圈 z 2 叵卜卫圃 ： i 越叠酽圊 ( f i g 1 ) ( f i g 2 ) 1 1 4 1 哚) 中的特异对合元 设是一个c o x e t e r 群，s 是w 的独异的生成元集合，对于z ，y w ，我们定义w = z y 为w = x y 且l ( w ) = l ( x ) + t ( y ) 。 对于w w ，若w = z w j y 对某个z ，y w 和某个，s ，l ( w j ) = a ( w ) 成立，则称w 满足