（概率论与数理统计专业论文）t混合过滤核密度估计在ems中的应用.pdf

东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：塑址日期：划 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查 阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 签名：包堑邀导师签名丝堡龌日期：电竖山 摘要 密度估计足统计学中的重要任务之一，也是曲线拟合的一部分。目前比较流行 的密度估计有参数和非参数方法，但是经典的参数法不足对任意密度曲线都适用 的，为此，在这些特别情形r 可以采用非参数的方法。半参数方法结合了两者的优 势，因此受到广泛的关注，其中过滤核密度估计就足一种比较理想的半参数估计方 法。本文把混合t 分布作为过滤函数，对过滤核密度估计中最优窗宽的选取进行了 详细的推导。通过拟合对数正态和多峰分布，表明了该方法具有良好的拟台效果。 本文用这种方法优化了e m s 行业中过程能力的评价，使它更符合实际水平。 关键词：过滤函数核函数窗宽过程能力半参数e m sp c b a b s t r a c t d e n s i t ye s t i m a t i o ni s o n eo ft h em a i nt a s k si ns t a t i s t i s ，a n da l s oi t i sap a r t o fc u r v ef i t t i n g a p p a r e n t l y ，p a r a m e t r i ca n dn o n p a r a m e t r i ce s t i m a t i o n sa r em o s t p o p u l a rm e t h o d s b u tt h ec l a s s i c a lp a r a m e t r i cw a yi sn o ts u i tf o ra l ld e n s i t yc u r v e s t h e r e f o r w ec a nu s en o n p a r a m e t r i cm e t h o d c o n b i n i n gt h em e r i t so ft h e m s e m i p a r a m e t t i ci s p a ? r e ds p e c i a la t t e n t i o np a t i c u l a r l y , f i l t e r e dk e r n e ld e n s t i t ye s t i m a t i o ni sag e n e r a ls e m i p a x a l n e t r i cm e t h o d t h i sp a p e rt a k em i x u r etd i s t r i b u t i o na s f i l t e r e df l m c t i o na n dd e d u c et h eo p t i m a lb a n d w i d t no ff i l t e r e dk e r n e ld e n s i t ye s t i m a t i o n b yf i t t i n gl o g n o r m a lc u r v ea n dm u l t i m o d ed i s t r i b u t i o n ，i ti n a n i t i e st h a to u r m e t h o di se f f e c t i v e i nt h i sp a p e r ，w ea p p l yt h es e m i p a r a m e t r i cd e n s i 毋e s t i m a t i o n t ov a r i f y i n gt h ep r o c e s sc a p a b i l t yo fe m sa n dm a k ei tm o r ea c c u r a t et oo u rt r l l e p r o c e s sc a p a b i l i 呵 k e y w o r d s ： f i l t e r e df u n c t i o nk e r n e lf u n c t i o nb a n d w i d t hp r o c e s sc a p a h i l i t ys e m i p a r a m e t r i c e m sp c b 第一章引言 1 1 问题的提出 一个产品在投向市场之前，我们必须对它的质量进行合理的评价，只有在达到 了一定的标准之后，它才可以进入下一个流通环节。 大部分产品的质量足用数字特征来描述的。我们了解了这些特征的概率分布， 也就是掌握了产品的质量。在e m s ( e l e c t r o n i c sm a n u f a c t u r es e r v i c e ) 行业中，我 们控制产品的质量，一种最常见的方法就是控制过程的稳定性和提高过程的能力水 平。在统计过程控制中，不管产品的属性是连续的还是计件的，都需要用控制图来 控制过程的稳定性，还需要评价整个过程的能力。 控制图的原理：假设过程的特征是独立同分布的随机变量序列。在统计过程 控制( s p c ) 中，通常把连续的五个观测值的平均值看成是一个样本x ，那么由中 心极限定理知，x 近似地服从正态分布。过程的控制上下限通常分别取作x + 3 v ”( x ) ，x 一3 v n r ( x ) 我们知道， x 的取值落在这个范围之外的概率是 o0 0 2 7 ，属于小概率事件。因此，如果这一事件发生了，那么过程就应当视为小稳 定。当然，其他的小概率事件发生时( 比如说连续的三个样本中有两个落在2 0 - 到 3 0 之间) ，过程也可以视为不稳定的。 计算过程的能力的重要性：如果过程屉稳定的，但是每个样本内的间距( 即， 五个观测值中最大值与最小值的差) 很大的话，那么整个过程的波动会很大，也就 是说随机变量的取值不够集中，这样的过程当然也不可能被接受。过程的能力我们 用g k ( 其定义见5 32 ) 来表示，它反映的是特定上限和特定下限的差与过程的方 差之间的关系。改善过程的能力，就是提高g 的值，唯一的办法就是减小过程的 方差。 g m 的计算必然涉及过程特征的概率分布的估计。在实际应用中，工业中的生 产过程特征通常服从正态分布。这时，密度曲线可以用通常的参数估计得到。但是 不排除一些例外，工艺上的缺陷、设备的参数调整不合理以及设备的老化、人为的 疏忽等都会导致整个过程不是正态分布的。为了处理这些病态情形，人们为了在生 产中节约成本，s p c 中通常的做法是拟合w e i b u l l 分布，或者采用b o x c o x 方法。 但足，不可避免的会有一些不能满足以上三种情况的过程，既不满足常见的概率分 布，也不能用通常的参数法来估计。在这种情况下，如果还是用正态分布拟合的话， 5 误差会很大，这样得来的结果就缺乏根据。为了解决这一问题，本文提出了一种非 参数方法。 1 2 本文的工作 常见的非参数方法有；k e r n e l ，s p l i n e ，o r t h o g o n a l ，s e r i e s ，h i s t o g r a m 等。特别 的，jf a na n dig i j b e l sf 1 1 在他们的著作中详细讨论了局部多项式曲线的拟合方 法及其应用1 9 5 6 年，r o s e n b l a t t 1 1 1 率先系统性地提出了核密度估计的思想。 其后，s i l v e r m a n 1 2 1 对此估计法的应用作了完整的总结。我们知道，核密度估计的 好坏，最终是南选择的窗宽h 来决定的。h 如何取值一直是近年来核密度估计领 域最有争议也是讨论最多的研究方向。具体的，评价一个估计的好坏，往往足通过 衡量真实密度f 与对它的估计， ( z ) 的距离来实现的。通常地，我们采用i s e ( h ) 和 m i s e ( h ) 。在这个问题上，h a l la n dw a n df 5 1 还讨论了用l ( 1 ) e e 离来选则h 。然 后，极小化渐近m i s e ，就得到了最优地窗宽h 窗宽的选择还有以f 几种常见 的方法： 1 ，d e h e u v e l 的q u i c ka n dd i r t y 方法 2 h a b b e m a 的c r o s s v a l i d a t i o n 方法 3w o o d r o o f e 的p l u g - i n 方法 用单一的h 来拟合密度函数不可避免地会出现在某些区域过度拟合或者欠拟 合的现象于足，可变传窗宽的研究就显得必不可少了但是，这方面的要求很高。 介于可变的1 1 和固定的h ，参数和非参数方法之问，m a r e h e t t e 3 1 提出了一种改进 的方法一过滤核密度估计，这可以看成是一种半参数的方法。当然，关于半参数方 法的研究也比较成熟。 d o u g a scm o n t g o n m r y 4 1 在其著作的第四版中详细叙述了过程的能力g ( p r o c e s sc a p a b i l i t y ) 和q 。但是前提都是随机变量服从正态分布。当然，书中 提到了非正态情况下的g 的一些可靠的计算方法，但是对于非正态情况下的g k 却没做讨论。为此，本文希望通过实例探索优化g k 的方法，使它更符合实际生产 的能力水平。 在第二章，介绍了过滤核密度估计的主要思想并对最优窗宽的计算给出了详细 的推导过程，然后用e m 算法估计了一元混合t 分布的参数。把这混合分布用做过 滤函数，结合核密度估计，得到了t 混合过滤核密度估计的一般公式。在第三章，用 m a l , l a b 产生一组对数正态的数据和一组对数正态与正态混合的数据，用本文的方 法来拟合它们的密度函数，在3 2 节中把本文的方法用于e m s 行业中的过程能力 的分析中，通过实例表明，用t 混合过滤核密度估计比正态密度估计更有说服力， 计算结果更可信。 综上所述，本文的工作如f ： l 给出了 3 中h 。的一种推导过程。 2 用e m 法对一元混合t 分布进行参数估计。 3 进行了随机数据分析，以检验本文理论和方法的有效性与实用性。 4 用于e m s 行业中焊膏印刷的过程能力分析。 第二章t 混合核密度估计 2 1 核密度估计 核密度估计是曲线光滑化的一种方法，最早由i = o s e n b l a t t1 9 5 6 和p a r z e n1 9 6 2 提m 。 假设随机变量x 的分布为f ( x ) ，密度函数，( 。) = d n ( x ) d x ；为t i t i i - t ，( z ) ， 我们不能直接用，扛) = d f ( x ) d l ：，因为户( 。) 未必可导。这时，我们可以用非参数 的方法来解央。为估计整个随机变量取值范围内的f ( x ) ，首先固定x 定义2 1 1 耳扣) 为核函数，如果它满足： ，f 如) = ( 一“) l 毫k 妇= 1 l ! 三u k b 心d u = 1 定义2 1 2 ( f ) 为p 阶核函数，如果它满足 f k ( t 1 眦= 1 ，k 2 ( t ) d t 。 r t 9 k ( t ) d l = 土l 常用的核函数有： j ( f ) ld t f ( 。) ，2 ( 。) + o ( h ”) 了 m m 弹 1 一n 等 管箐 叫甄辫 嘴舭 = 幽 ，h 令! 产= t 刚 j fa 慨( y ) ，( x 峨- y ) 辔k ( 并m ：，堕i ! 二型坐二塑( 三) ( 兰 一jh 2 f f j o - i“、口3 ”o - f 堕垫塑丛拿丛塑旦盟k ( 三) ( 三) 啦 n 盯1 0 - l叮，( 7 1 华圳，掣掣c 舞=盟pa,。)盟pdx)黼l(x o ( h s l j f) + ) 当h 一0 时，幕一0 由引理( 221 ) ) 渐近 胁，= ； f v a t | s 圳 一mm s ，j t d t 。 t = 1f = 】 = ：喜喜掣m c 寄，样一c 篙洲v 令= y ，z g = t ，贝4 s 驯出= ：姜 ：三 几厶 喜咿c 扣掣掣m 喜掣姒咖如h 咖 ( 227 ) 由( 221 ) ，( 2 26 ) 和( 2 27 ) 式，我们可以得出( 22 2 ) - 一般的，我们取i ( ) 为标准正态密度函数，则p = 2 假设，= g ，那么极小化 a m i s e 得 其中 t l c t t = 凳，墨，满 瓦n 兰，墨，a ，m 碍一l 棘= 乃”* 彰( 咖鼬) 如 b j k = 7 r 9 7 r k 弩掣骶 2 3t 混合模型的参数估计 在用t 混合过滤核密度估计密度函数的时候，分成两步走。 第一步( 参数法) ：用一元混合t 分布去拟合，得到一组参数值。 第二步( 非参数法) ：把第一步中得到的一元混合t 分布作为过滤函数，用到一 般的核密度估计中。其中第二步在( 22 ) 节中已经讨论。所以这一节讨论一元t 混 合模型的参数估计。 有限混合模型g ( 。：) = 警，。g j ( z ) 中，假设第j 个成分服从参数为乃的一 元t 分布，其中乃= ( 脚，q 2 ，) ，即 删= 蔫( - + 躺) 掣 记u = ( p 1 ，l 。) 7 = ( 口 ，口景) 7 为估计u 和，这里采用e m 算法引入隐藏变量互。和，其中 。f 1 ，第n 个观测值来自第i 个成分 l2 1o ，其他 ，i，、【 若p ( 1 l r ) | ( “，亟幽l7 - 1 j ，则 p ( ；r ) p ( r ) d r ：p ( 1 1 1 3o - 2 , v ) = 器c - + 辎 完全数据的对数似然为 n o l ( 9 ) = i n 饥p ( t n ；8 t ) ) n 2 1t 。l e - s t e p 二计算e 矗。，口l ( 5 ) m s t e p ：极大化e z 。【8 l ( 目) ，求出新的亩，其中0 = ( 目1 - ，口。) 记 q l = e z 。抵。l ( 口) t n_ = 舷帆 l n 机p ( t n 。；) 2 。1n = l m = p ( 鼠) 1 n 饥v ( t n m i 晓) 其中 r 。= p ( z m ，d 。) = e ( 磊，口。) p ( t 。1 i ) p ( j ) p ( t 。) p ( t ，j 。) 仉 p ( 。) 良斥 烈 nr 。d。 i | 1 6 极大化q ，得 睁可t 萎n ，。，n 忙。， 如果。ir t 。一( 肛，) ，- 。一g ( ；，；) ：则 其中 用到此处，有 其中 记 q d + p n 12 _ ，( t 。一肛) 一1 ( t 。一肛) + p 肛12 _ - f ( 砒) = 署 l + 2 ( t 。一，也) “ 2 ( 一2 ) 1 2 e 巾。，p ：l n 忉( n ，z ，d 0 瓜) 弘咖( f ， 姐) m 刊“饥。 厂l n 如( 矧h ；，仇) p ( 丁，癫扫( 丁礼。i d ； h 了i ；了每e x c 一群，r c ；，互, j ，t 锄，而 r c a ，卢r z ，a n 厂 一；i n 2 7 r - ；n 考( v 一。) + ；nv + ；n n 十- n 最 一裂l p ( 。f k ，岛) + l n r ( ；，；、。r ( a ，卢，h 。) d ； 令 因为在计算；o 瓦q 时，可以去掉与鼠无关的项，所以令 q 3 = g 掣地，吼) d 。2 2 鄙( ) ”“”“ n 砖一蔫箸叫砒，帆： 嘶? 一畿筹驯 晰；一老筠 2 i ；( p 一2 ) ( 1 + 萼毛嗜) 0 2 = e 池，o 。q 1 = 球枷，r 棚1 心p ( t 。；或) ) 令o q 2 a 面，= 0 ，o q 2 a 茁= 0 ，即a q d a 应。= 0 ，o q d a 矛；= 0 ，得 墨，蹦。( - + 猫) 篓。( 1 + 辚) 1 7 ( 23 2 ) 弘赤姜筹糍器，m 。， 在这一节申，我们假设自由度v 足已知的常数，不对其进行估计。 。l r 。d = q 第三章数值模拟和在e m s 中的应用 3 1 数值模拟 在这一部分进行随机数的实验。按照2 3 节中的半参数计算方法用于估计密度 函数。 通过m a t l a b 生成5 0 个对数正态的随机数，参数为( o ，1 ) 。用m = = 1 进行 拟合，有以下结果： 图3 1 ：n l = l 1 8 利用，( 。j ) ：j l ( z ) + j h 2 ( z ) 生成5 0 个数据，其中h ( z ) 服从参数为( o ，1 ) 的 对数正态，。( ，c ) 服从参数为( 5 ，2 ) 的正态分布。用m = 2 进行拟合，有以下结果： 图3 2 ：r n = 2 2 0 利用，( z ) = ；，。( z ) + j 。( z ) 生成1 0 0 个数据，其中 ( ) 服从参数为( o ，1 ) 的对数正态，乜( z ) 服从参数为( 7 , 2 ) 的正态分布。用m = 2 进行拟合，有以下结果： 图33 ：m = 2 从以上结果来看，尽管我们只用了5 0 个数据，但是拟合结果还足可以接受的。 如果用1 0 0 个数据，效果就相当好了 3 2 在e m s 中的应用 2 l 衡量生产的过程( 以下简称过程) 的好坏，我们不仅要看它的稳定性还要看它 的能力。 过程的稳定性是指所测得的数据是否集中在均值附近的状态。 如果x ( u 0 - 2 ) ，那么p ( i x 一“i 3 口) o9 9 7 3 假设x 的取值在均值外 3 口之问，那么错判的概率为0 0 0 2 7 这已经是小概率事件。因此，可以近似的把 x 的取值范围看成足阻3 口，u + 3 口 过程的能力( 弓 5 】是指特定上限( u p p e rs p e c i f i c a t i o nc o n t r o ll i m i t ) 与特定 f 限( l o w e ls p e c i f i c a t i o nc o n t r o ll i m i t ) 的差和6 古的比值。即 q = u s 矿l - l s l 在这里，u s l 和l s l 是特定的，与过程中得到的数据无关。 记 p = ( 寺) 1 0 0 u p p 表示过程的宽度占特定宽度的百分比。当g l3 3 ，即p o7 5 时，也就足说过 程只占特定宽度的7 5 ，这个能力是可以接受的。对以下两种情况( 图a ，b ) ， 显然，( a ) 的能力优于( b ) 。 锹 f 8 舭 9 。v ：2 c 口 c 【 。爪 4 46 0绵 6 2 m ) 图3 5 ( b ) 2 2 因此，如果只用g 来衡量时，这种优势无法体现出来。所以，有更可靠的能 力g ， 一 ，u s l 一u l s l 、 乙砧2 ”“【丽，丽一j 可以说，q 是潜在能力，q 是实际能力。 需要注意的是，在实际生产中，并非每个过程都是正态分布的对于w e i b u l l 和 n o r m a l 分布，都可以用m i n i t a b 直接计算它的g 但是如果我们用正态分布去 拟合非正态分布的数据，必然会有很大的误差。直接的结果是矛的不准确，间接的后 果这样得来的( k 根本不可信。事实上，对于非正态分布，p “x n 【3 a ) o 0 0 2 7 所以在这个时候就可以采用非参数的方法 在d o u g l a sc m o n t g o m e r y 的书中，提到非正态情况下的g 的计算方法，即 g ，：旦兰墨二墨坠陋1 ) 1 2 ：09 9 8 6 5 一x o0 0 1 3 5 但是对于这种情况下的g k 却没有作任何的讨论。在( 3 21 ) 式中，我们用分位数 来估计9 97 3 的置信区间。那么可以很自然的想到可以用m e d i a n 来估计均值。 因此，把( 321 ) 式推广到g ，可以得到如下式子 c ，1 ， u s l o o5x o5 一l s l z 09 9 r 6 5 3 ：052 ：05 一x 00 0 1 3 5 ( 322 ) 显然，这洋计算出来的q 要接近实际水平。以下我们用实际生产中的数据来说明 这个问题。 例：在e m s 行业中，s m t 线的第一道工序就足p c b ( p r i n t e dc i r c u i tb o a r d ) 板的印刷焊膏( 焊接元器件的物质) 印刷的高度直接影响到元器件的粘贴，并最 终影响成品的质量。所以，我们需要对其高度进行控制，分析它的能力。现在观测 到型号为n t g y 6 6 x a 的p c b 板的6 5 个焊膏高度数据，仪器的误差在00 4 微米 以内，每个数据都是一个随机变量。这种型号的p c b 板的u s l ，l s l 分别为7 5 微米，4 5 微米。 表3 1 ：焊膏高度数据( 单位：微米) 6 8 262 260 06 2 26 1 4 64 56 4 359 76 9 26 2 8 6 ，6 26 ，5 16 2 45 ，6 86 3 2 5 9 363 859 l5 7 86 l o 6 4 06 3 958 960 76 0 1 64 060 66 2 462 567 1 6 ，8 06 ，1 06 2 36 1 l62 5 6 7 26 1 460 06 0 45 9 7 57 261 961 062 662 7 6 2 262 76 7 86 6 660 6 5 9 36 1 96 9 768 36 2 7 62 761 86 ：0 058 462 0 5 9 06 1 469 46 0 860 5 对这组数据进行正态测试，p 值为o 0 0 i ，如图( 3 6 ) 因此，它不能看成是正 态分布。通常，p2 00 5 可以看成是正态分布，因为卢风险小于等于00 5 用正态分布来计算的话，q e = 13 6 ，见图3 7 ，从图上看出用正态拟合的结 果误差很大，和数据的直方图很不一致。 采用本文的方法估计其密度函数。我们比较一下直方图( 图3 8 ) 以及m = l 和 ，n = 2 的情形( 图31 0 ，图3 ，9 ) 从图上我们可以看出，m = 2 和m = 1 时密度 曲线和直方图很接近，因此可以判断用估计密度曲线来计算g k 足比较真实的。 在f f t = 2 的情形有以下分析 o o5=6 i 9 6 x o9 9 r 6 s = 7 1 6 5 x 00 0 1 3 5 = 5 5 0 7 g b = 1 ，3 4 6 由此可见，用正态分布和用t 混合过滤核密度曲线估计得到的c k 比较接近， 在这个例子中用正态计算出来的c p k 比用非参数估计得来的g k 值大。但是我们从 直方图和密度曲线图上可以着出，我们把这个过程看成是正态分布是不合理的。也 就是说我们的实际生产水平是1 3 4 6 誊 羞 岩 芷 山er a u e62 踮踮 0 e yo r j n5 s n o r m a lp r o b a b i l i t yp l o t v a l u e 图36 ：n o r m a l t e s t “2 譬黧：；襞“9 p 、自e00 0 1 l嚣凹叫雌 pr o , ：的d * a 惜l7 知0 1 * 蚺l l s l4 锄d he a nb n 缸5 s a n n弱 s b w 州嘶mo3 憾9 2 0 p o l 啪_ h j l h 哪c a = l t y c pl 3 c p ui 拈 c p l1 邬 c p k1 孙 p r o c e s sc a p a b i l i t ya n a l y s i sf o rv a l u e 0 b m 刊p e i , e p 刚t 瞎l舯0 p p m 懈l0q 0 p p mt d a l0 0 0 图37 ：能力分析 艮脯州回赡r 1 日l r o f fe p 州tl s l0 们 i = p m - 悃l站 1 p p mt 0 l a ln 谊 606570 v a l u e 图38h i s t o g r a m 图39 ：m = 2 2 6 ucm：1)_ll 图3 1 0 ：m = i 2 7 第四章结论和进一步讨论 从拟合密度曲线的结果来看，无论是对数正态还是多峰密度函数都有良好的结 果。在整个的数据实验过程中出现了一些困难，比如说积分的时候找不到原函数的 具体表达方式，只能用程序近似的计算它的结果。另外，分位数的计算也是近似的。 因为我们需要得至的 。“g 都是很敏感的数据，小的误差也盯能g | 起估计值的大 的变动，所以，减小计算过程中的误差也是必不可少的。 从第四章的结果看出，对不同的成分个数拟合曲线也很不相同。从图上看出， ”z = 2 也许不是是最优的。本文没有涉及这方面的工作，相关的模型选择问题也足 一个很有挑战的研究领域。在c a r e y l 2 1 的文章中就提出了一种类似于b o o s l ，i n g 的 方法。 文中的例子似乎没有体现出非参数拟合和正态拟合的结果的区别，这归结到选 例不具有很强的代表性。但是，它至少体现了密度曲线的不同。如果g 自在1 3 3 两 旁，鄢就有巨大差别了。 致谢 首先感谢我的导师江老师。本文是在江老师的悉心指导卜| 完成的。从本文的选 题、文献的收集到沦文的写作以及最终定稿，无不倾注着导师的心血和汗水江老 师渊博的知识，严谨的治学态度，敏锐的洞察力，坦荡的胸襟，让我耳濡茸染，受 益终生。在此，谨向我的导师致以最崇高的敬意和衷心的感谢! 感谢东南大学数学系的悉心培养。在研究生学习期间，数学系的领导和老师们 给予了诸多帮助，对他们表示谢意。 在论文的写作过程中，得到了解锋昌，王菲，张春丽等同学的热心帮助，在此 一并感谢! 最后特别要感谢c e l e s t i c as u z h o up l a n t 的b l a c kb e l t 姜莹和m a n a g e rt c ， 在他f f j 的帮助下我才得以把理论用于实践，才能完成这篇论文 参考文献 f i 】a b l l a l n s o n ，i s ( 1 9 8 2 ) o nb a n d w i d t h v a r i a t i o ni nk e r n e le s t i m a t e s _ as q u a r er o o t l a wa n n a l so fs t a t i s t i c s ，9 ，1 2 7 - 1 3 2 2c a r e ye ，p r i e b e ，d a v i dj ，m a r c h e t t ea l t e r n a t i n gk e r n e la n dm i x t u r ed e n s i t ye s t i m a r i o n c o m p u t a t i o n a ls t a t i s t i c a la n dd a t aa n a l y s i s3 5 ( 2 0 0 0 ) 4 3 6 5 f 3 1 d a v i dj m a r c h e t t e ，c a r e yep r i e b e ( 1 9 9 5 ) f i l t e r e dk e r n e ld e n s i t ye s t i m a t i o n c o m p u t s t a t i s t 1 1 9 5 一1 1 2 f 4 】d o u g l a scm o n t g o m e 1 y ( 2 0 0 1 ) i n t i e d u c t i o nt os t a t i s t i c a lq u a l i t yc o n t r i l l ( f o r e t h e d i t i o n ) c h a p m a na n dh a l l ，l o n d o n 【5 h a l l p a n dw a r dm p ，m i n i m i z i n gl id i s t