（应用数学专业论文）二阶方程组两点边值问题的变号解.pdf

太原理工大学硕上研究生学位论文 二阶方程组两点边值问题的变号解 摘要 本文利用非线性泛函分析中l e r a y s c h a u d e r 拓扑度理论、锥与半序方 法，结合不动点指数理论，主要研究了非线性二阶方程组两点边值问题 f 一“”( f ) = ( “( f ) ，1 ，( ，) ) ， f ( o ，1 ) ， 一v ( f ) = g ( 甜( f ) ，1 ，( r ) ) ，t ( o ，1 ) ，( 1 1 1 ) 【“( o ) = “( 1 ) = v ( o ) = y ( 1 ) = 0 ， 变号解的多重性。我们通过详细讨论，克服了一些由于未知函数个数的增 加所导致的困难，将已有的一些适合单个方程的论证变号解多重性的方法 推广到方程组的情形，最终得到了与单个方程同样的结果。分别记 ( 日。) f ，g c ( r 2 , r 1 ) ，f ( o ，o ) = g ( o ，o ) = 0 ，同时满足下列条件： 当材o ，y 0 时，f ( u ，) o ，g ( u ，y ) 0 ，并且当掰或者v 大于零时， f ( u ，1 ，) 0 ，g ( u ，v ) 0 ； 当甜o ，v 0 时，f ( u ，1 ，) 0 ，g ( u ，v ) 0 ，并且当“或者v 小于零时， f ( u ，) 0 ，g ( u ，功 4 2 。五：及( 2 m ) 2 丌2 m a x ( a ，五) 4 z l 2 ( 2 0 2 万2 m a x ( , u i , t 2 ) o ，当川丁，i y i 丁时， f 厂( 甜，v ) l 0 ； 太原理工人学硕士研究生学位论文 f ( u ，) s0 ，g ( u ，y ) s0f o r a l lhs 0 ，ys0 ，p a r t i c u l a r l y , w h e n “o r ，i s n e g a t i v e ，w eh a v e f ( u v ) 0 ，g ( u ，v ) 4 a 2 ，( 2 m ) 2 石2 m a x ( 1 ，九) 4 1 2 ，( 2 ) 2 玎2 m a x ( 肛l ，t 2 ) 0 s u c ht h a t f o ra l l s 丁，i ，ls 丁 f ( u ，v ) i 0 ； 当u 0 ，v 0 时，f ( u ，v ) 0 ，g ( u ， ，) 0 ，并且当“或者v 小于零时， f ( u v ) 0 ，g ( u ，v ) 4 2 t , , t 2 及( 2 脚) 2 刀2 m a x ( & ，五) 4 1 1 2 及( 2 矿万2 m a x ( “，2 ) 0 ，当墨t ，m t 时， l f ( u ，v ) l 0a 凼为 “( f ) = j s f d s + j l ( 1 一s ) f a s ，所以“( o ) o ，“( 1 ) o ，v ( 1 ) 0 ，1 ，7 ( f ) 0 ，在 【1 一s ，1 13 = ，“7 0 ) f ，v 7 ( ) r ，在【l 一占，l 】上，稚( ) 一f ， v ( f ) 一f 。令( 毛y ) e ，并且恍y ) - ( u ，v ) l i f ，即 恍y ) - ( u ，v ) l l = i i ( ( x - u ) ，( y - l = m a x 秽一u t l | o ，l 沙一v ，i f o ) 丁， 所以i i x r _ _ “1 1 0 f ，0 y 一1 ，7 i i o f 。因此一f 0 ，即石( f ) 在 0 ，e l _ l = 单调递增，因此) c ( f ) x ( 0 ) = 0 ；在 1 一s ，l 】上， x ( r ) 甜( f ) + r 0 ，即x o ) 在【1 一占，l 】上单调递减，因此工( f ) x ( 1 ) = 0 。而在 s ，i s 】上，因为忙一“8 。忙一“9 。 f ，即一f 0 ，存在万 o ，对所有的h ( o ，万】，i y ( 0 ，万】，有 占， a p i f ( 工，y ) 一( a o x + b 。y ) l 印，所以当( “，v ) e 并且i l ( “，v ) 忙( 0 ，j 】时， l ( 4 ( “，v ) ( t ) - k 。( “，v ) ) 7 ( f ) l s 幅恤“枷却袱卅”牺 太原理t 大学硕十研究牛学位论3 2 = 因此 同理可证 而 因此 樽印出 冬s 晒孓诋 s 瓣孓丽 压v ) 0 ， 黔。( 甜，v ) 一k 。，u , v ) ) 7 l | o k 忱v ) i i 。 ( 4 ( “，v ) 一k i ：( “，v ) ) | i o 矗，v ) | l o 愀“，v ) - k 。( “，v ) 0 - - i i ( a ，( “，v ) - k ，。( 材，v ) ，a ：( “，v ) 一k 。：( “，v ) ) 0 = 粼 8 ( 4 ( 掰，v ) - k i ( 强v ) ) ，| | 0 8 ( 4 ( 掰，v ) 一k ：( 材，v ) ) ，| | 0 ， k。l，i，m，+。!：!皆：=。 v ) 卜。 粉，1 ，) 0 所以彳在秒处f r d c h e t 可微，并且a ( p ) = k l 。 由( 4 ，) 知，对任意的占 0 ，3 r 0 ，当h + ；v l r 时， 因此有 令 ! 兰铲f ，坚丛兰铲s ， l f ( u ，v ) - ( a 。u + b 。v ) is 占( h+ 仲， l g ( u ，) 一( c u + d v ) l 占( 川+ l v i ) ， n = m a x 川+ j v i 尺 i 厂( 甜，1 ，) 一( 口“+ 6 - v ) i ，i g ( “，1 ，) 一( c - “+ d - v ) i ， 那么对于任意的甜，v r 1 ，有 l f ( u ，v ) 一( 口，“+ 6 。v ) i e ( i u i 8 + 帅+ n ， 太原珲t 大学硕t 研究牛学位论丈 所以当 ，v ) e 时， 因此 同理可证 而 因此 g ( u ，v ) 一( c ；“+ d 。v ) i s ( i “i + i v i ) + n 。 ( 4 ( “，v ) ( f ) 一k 2 l ( “，v ) ) ( f ) 帽伽v ( 妫七州蚰牺 蝎口( i 州 凼 s ( i l “忆+ l v l l 。) + n s ( m i 。+ i v ，1 1 0 ) + 2 s l l ( u ，v ) l l + n ， 舭，( “，v ) - k ：，( “，v ) ) i i o 2 s ，v ) l l + n 。 ：( “，v ) 一k ：( “，v ) ) 7 0 。2 占l l ( u ，v ) 卜j 。 0 a ( u ，v ) - g ：( “，v ) l i = 帕。( “，v ) - k ：。( 材，v ) ，a ：( u , v ) - k ：( “，v ) ) i i - - r n a x f l ( a ( “，v ) 一坞。( 材，v ) ) ，| f 0 0 ( 鸣( “，v ) 一k ：( “，v ) ) ，| f 0 ， 所以4 在o o 处f r d c h e t 可微，并且么7 ( ) = k 2 。证毕。 2 2f r 否c h e t 导算子的正特征值及其代数重数 = 0 。 本节研究算子彳在零点及无穷远点的f r d c h e t 导算子a ( 臼) = k ，及 9 呦一 一 心一制峰 太原理丁人学硕i 。研究生学位论文 a ( o o ) = k ：的正特征值及其代数重数，以及对应的正特征向量。 假设常数口，b ，c ，d 0 ，记 e ( ) ( f ) = f g ( f ，j ) ( a “( j ) + b v ( 5 ) ) 幽， ( 2 2 1 ) 最( 叩) ( f ) = f g ( f ，s ) ( c 掰( s ) + a v ( s ) ) 丞。 ( 2 2 2 ) 定义eje 的线性全连续算子 b ( u ，v ) = ( 蜀( “，v ) ，垦( “，1 ，) ) ，( 2 2 3 ) 并记 a = ( 口+ d ) 2 4 ( a a b c ) ， 又当a20 时，记 五：粤，七：l ，2 ，。 2 再j 而h 刮。 引理2 2 1 下列结论成立： ( 1 ) 当 o 时，线性算子b 的正特征值为，七：l ，2 ，其代数重数均为 a 1 ，并且存在正的特征向量 ( 扰( f ) ，v ( f ) ) = ( 2 b s i n a t ，( d 一口+ 拓) s i n n t ) ， ( 2 2 4 ) 与去对应； ( 2 ) 当a = 0 时，线性算子b 的正特征值为，七= 1 , 2 ，但不存在正的特 征向量； ( 3 ) 当 0 1 。当a d = b c 时，易得 1 = ，2 = 0 ，r 3 = r 4 = 扛i 再面i ， 所以 “( f ) ：c i + c 2 t + c 3c o s 厕t + c 4 s i nx 2 ( a + d ) t ， ( 2 2 7 ) 记口= x 2 ( a + d ) ，由边值条件得 f c i + c 3 = o ， i c l + c 2 + c 3c o s 6 r + c 4s i n a = 0 ， 1一a 2 c 3 = 0 ， 【一口2 c 3c o s a 一口2 c 4s i n a t = 0 ， 解得c 。：c ：= c 3 = o ， c 4s i n 口= o ，因为一v = 去( “”+ 勉“) ，所以当“= 。时， v ：0 ，又因为( ”，v ) ( o ，0 ) ，因此c 4 0 ，所以s i n a = 0 ，由此可得口= k r r ， 太隙理t 久学硕十研究生学位论文 即x 2 ( a + d ) = k z ：，所以 五= 五= 等，k = 1 , 2 , - - 并且“( ，) = c 4 s i n k n t ，代a - v = 五1 ( “+ 砌甜) 中，可求得一个特征向量为 o ( 2 2 8 ) ( ) ，o ) ) = ( b s i nk m ，d s i nk n t ) ， k = 1 , 2 ，( 2 2 9 ) 因此，b 的正特征值为，并且有正的特征向量( 6 s i n 刀f ，d s i n 删) 与对应。 以 2 。当以d 0 ，2 d 一口+ 口+ d ：2 d 0 ， 因此，曰的正特征值为_ i ，并且有正的特征向量( 2 6 s i n 万，( d - a + 五) s i n 万f ) 与 以 三对应。 3 。当a d b c 时， t l 20 + d ) + 躯 2 并且，1 0 ；若口 d ，则口一d 0 ， 注意到4 a d 4 ( a d b c ) ，于是 ( 口+ d + a d ) ( a + d - a + d ) 4 ( a d b c ) ， ( 口+ d ) 2 一( 口一d ) 2 4 ( a d b c ) ， ( a + d ) 2 4 ( a d 一6 c ) ( 口一d ) 2 ， 即五 口一d ，所以d 一口+ 抠 0 。l 天l l l t d 一口+ 五 0 ，所以b 的正特征值为 丁1 ，并且有正的特征向量( 2 6 s i n 刀，( d 一口+ 五) s i n 万，) 与对应。 若s i n a = 0 ，则 五=五=而2k2x2aa ， 露= l ，2 允5 2 下， 霄= l ，2 + d 一、 ( “( f ) ，v ( f ) ) = ( 2 b s i n k n t ，( d a 一q t - 五) s i n k n t ) 。 k = 1 , 2 ， ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) 假设d 一口一五 0 成立，即五 d 一口，若d 一口 0 矛盾；若 d 一口0 ，贝0 ( 口+ d ) 2 4 ( a d b c ) ( d 一口) 2 ，即4 a d b c 时，b 的正特征值为_ 1 ，并且有j f 的特征向量 九 ( 拍s i n 疵，( d 一口+ 五) s i n 石f ) 与对应，其中九； ( 2 ) a = 0 此时 记) ，= ，则 由边界条件可得 t ：一掣a 0 ，又因为五：0 ，所以 q 一口) 2 0 + d ) 2 4 ( a d b c ) ，即4 ( a d b c ) ( 口+ d ) 2 一 一口) 2 = 4 a d - 矛盾， 所以d 一日s0 。因此，b 的正特征值为， 1 ( 3 ) a 2 2 c o s2 f l l 0 ， 矾0 ，因为都- 0 ，眺i n 扣舭- o 这与t a n0 = 一身也穗 所以系数行列式大于零，因此方程组无非零解，因此，b 没有正特征值。 综上所述，当 呲b 的正特征值为去，其中九= 蔫斋小珊。， 并且有正的特征向量( 拍s i n 力，似一口+ 五) s i n 痢) 与击对应。 下面证明当a 0 时，对于k = l 2 ，线性算子b 相应于特征值代数重数 1 飞 均为1 。以下九简记为a 。 因为b ，v ) 相应于特征值去的特征向量为 o ) ，v ( f ) ) ：( 2 b s i n k m ， 一口+ 否) s i n k m ) ；( 2 b ，搿一口+ 沤) ) s i n k a t ， 所以 d i m k e r ( 去，一b ) “m 硒( i - a b ) _ 1 0 ( 2 2 2 2 ) 下证 k e r ( 1 一a b ) = k e r ( 1 一a b ) 2 。( 2 2 2 3 ) 显然k e r ( 1 一a , b ) ck e r ( i a b ) 2 ，因此，只须证明k e r ( i - ；t b ) 2ck e r ( 一a b ) 。设 x k e r ( i a b ) 2 ，即( ，一a b ) ( t a b 冷= 0 。用反证法，如果( ，- z b ) x 0 ，则 ( ，一a b ) x 是线性算子b 的对应于特征值a 的特征向量，所以存在常数z 0 及 。( f ) ，唯o ) ) ：( 2 b s i n k m ，“一口+ 五) s i n 七石f ) 使得x a b x = z 。，吒) ，即 o l ，x 2 ) 一a ( b l ( 戈1 ，z 2 ) ，b 2 ( 工l ，工2 ) ) = z ( “i ，v t ) 。 所以 太原理t 大学颤 。研究生学位论文 即 令 由 可得 所以 整理得 f五一2 b i ( x l ，x 2 ) = 2 z b s i n k x t ， 砭一旯垦( z l ，x 2 ) = z ( d 一日+ 4 a ) s i n 忌万f ， l 五( o ) = 一( 1 ) = x 2 ( o ) = x 2 ( 1 ) = 0 ， x 7 + a ( 锻l + b x 2 ) = 一2 k 2 7 2 z b s i nk n t ， z ；+ 2 ( c x i + d x 2 ) = 一k 2 7 r 2 z ( d a + , f a ) s i nk n t ， x l ( 0 ) = 工i ( 1 ) = x 2 ( 0 ) = x 2 ( 1 ) = 0 ， q o ( t ) = 一2 k 2 万2 z b s i n k m ，矽o ) = 一k 2 万2 z ( d 一日+ f - s ) s i n k x t ， 巧+ 2 ( c x l + d x 2 ) = 矽o ) ， 毛= 去她) 一鱼矿_ 1 ca c 曩t c 吖= 瓦1 州一a - cx ；一a , c 牡爿cc 去纵，) 一罟一去+ 五口( 去她) 一罟而一万1 哟+ 五= 舛) ， 4 + a ( a + d ) + 五2 ( a d - b c ) x 2 = 矽”( f ) + 勉矽( f ) 一知妒( f ) ， ( 2 2 2 4 ) 将五：氅代入( 2 2 2 4 ) 式右端得 a + d + 矽。o ) + 兄却( f ) 一2 c f p ( t ) 记常数 = 七4 刀4 z ( a - a + 4 s ) s i n k n t + 兰拿至! i 丢【_ k 2 万2 z ( d - a + , - a ) a d a s i n 七刀r 】 + 、， 一些( - 2 k 2 x 2 7 9 别s i n 一1 =z “3 l u 几“， a + d + 刊躯一i 2 a ( d 而- a + 矿t - a ) + i ad 逊4 m 矶 、 口+ d + + p ：d 讲沤一i 2 a ( d 相- a + x f - a ) + 1 8 4 b c a + d + , j a 。 太原理t 人学坝j 。岳) f 究生学位论文 一 即得 ( 2 2 2 5 ) ( 1 ) 当a d = b c ，即= 口+ d 时， 此时方程( 2 2 2 5 ) 的通解为 叠( r ) = c l + c 2 f + c 3c o s k x t + g s i nk j r t + z d k j r t c o s k 7 r t ， 因此 ( f ) = 一k 2 万2 c 3c o sk 7 r t k 2 厅2 c 4 s i nk ，r t 2 z d k 2 万2s i nk z r t z d k 3 万3 tc o s k r c t ， 由边值条件知 x ；( o ) = 一k 2 x 2 c 3 = 0 ， x ；( 1 ) = 一k 2 2 c 3c o s k ，r z d k 3 刀3c o s k n = 0 ， 所以c ，：0 与c 3 = 一z d k 7 r 0 矛盾，nn ( r - , t b ) x = o 。所以( 2 2 2 3 ) 得证。由 ( 2 2 2 2 ) 和( 2 2 2 3 ) n - i 得当口d = 抛时，去的代数重数为1 0 ( 2 ) 当a d 以+ d 时， 此时方程( 2 2 2 5 ) 的通解为 艺。) ：g g 矗+ c 2 e 一打+ c 3c 。s 七万f + gs i n 拗一譬c o s 七掰， 其中 r 。：_ t i a ：- 而( a + d ) 七2 万2 ，r = p z k 4 7 e 4 , 尸= 一a 专a 忌3 刀3 。 a + d + + d + 由边值条件知 z 2 ( o ) = c i + c 2 + c 3 = 0 ， ( 2 2 2 6 ) 又因为 工：( f ) ：g f l e 打+ c 2 f l p 一打一g 七2 万2c o s k ，r t c 4 k z l t 2s i n k n t + 栅+ 等砌2 c o s 臃 所以 x ；( 0 ) = c l f l + c 2 t l c 3 k 2 万2 = 0 ， 即( c l + c 2 ) = c 3 k 2 万2 ，x n nc l + c 2 = - c 3 ，所以一c 3 f l = c 3 k 2 万2 。若c 3 o ， 则f = 一七2 刀2 ，这显然不成立，所以c ，= 0 。又因为 1 9 历 厶一 n 够m蛳叭 = 父 ： x p = 咖舯 j x a | j n 娜 + 砭 ，岛ll d ， 2 口 x 兄+ 迁 太原珲丁大学帧i 研究牛学位论文 石加= c i 印再+ c 2 t i e - 打- c 3 七2 7 2c o s 七万一c 4 七2 t 2s i n 肋+ r j p k 2 7 2c o s k y = o ， 即 f l ( c i p 压+ c 2 p 一打) + _ r 。k 2 7 2c o s 七万：c 3 七2 , 7 2c o s 七万。 而 x 2 ( 1 ) = c l e i + c 2 e - 打+ c 3c o s 七万一尝c 。s 七万：o ，( 2 2 2 7 ) 所以 c 3 ( k 2 y 2 + t 1 ) = 等+ 墨p 砌2 ， 因为( k 2 7 2 + t 1 ) 0 ，所以 g ：焉r t l + ek 2 万2 ：；地c 3 。铷= 参知， 这与c 3 = 0 矛盾，所以( ，一2 b ) x = 0 。因此( 2 2 2 2 ) 得证。由( 2 2 2 2 ) 和( 2 2 2 3 ) 可得当a d b c ，即厄 6 c 时， 的代数重数为l 。证毕。 2 3 拓扑度与不动点指数 本节简述一些我们证明主要结论时将要用到的拓扑度与不动点指数的有关 内容。以下记占( 秒，尺) = z ex l i 0 ，使得当0 p ，有f ( 彳，尸n b ( o ，r ) ，p ) = 0 。 引理2 3 2 1 】设a 是定义在实b a n a c h 空间e 中的全连续算子，设e 是 a 的不动点，且假设么在x 。处f r 誊c h e t 可微，1 不是a7 ( x 。) 的特征值，则是全 连续场，一彳的孤立奇点，且对充分小的厂 0 ，有 d e g ( i a ，b ( x o ，) ，0 ) = ( 一1 ) ， 其中k 是彳7 ( ) 在( 1 ，悯) 上的所有实特征值代数重数之和。 太原理t 大学硕十研究事学位论文 引理2 3 3 【1 】设a 是定义在实b a n a c h 空i 日je 中的全连续算子，假设l 不是 彳 ) 的特征值，则全连续场，一a 在s p = 删m = p ) ( 对充分大的p ) 上是非奇 异的，且有d e g ( i a ，b ( o ，p ) ，0 ) = ( 一1 ) ，其中k 是a 。( ) 在( 1 ，佃) 上的所有实特 征值代数重数之和。 引理2 3 4 【2 1 】设p 是b a n a c h 空间中的体锥( p 非空) ，q 是p 的相对有 界开集，a ：pjp 是全连续算子。如果a 在q 中的任何不动点都是尸的内点， 则存在e 中开子集d ( ocq ) ，使得d e g ( i a ，0 ，0 ) = f ( 彳，q ，尸) 。 引理2 3 5 假设( ) 一( 。) 成立，那么 ( 1 ) 存在r o ( 0 ，t ) ，对任何，( 0 ，r o 】，满足： j ( 彳，p n b ( o ，) ，p ) = 0 ，f ( 彳，一p n b ( o ，r ) ，一p ) = 0 。 ( 2 ) 存在r o t ，使得对任何的r r 。，满足： ；( 彳，尸n b ( o ，足) ，p ) = 0 ，；( 么，- p n 8 ( 破灭) ，一p ) = 0 。 其中丁由( h 。) 给出。 证明 由条件( q ) 知a ( p ) c 7 p ，a ( - p ) c - p 。 由引理2 1 2 知 4 ( 臼) = 4 ( 臼) = a7 ( 目) = k ，4 ( ) = z ( ) = a ( ) = k 2 。 ( 1 ) 由条件( q ) 知a o = 秒。由( 日2 ) 知= ( a o + 吨) 2 - 4 ( a o d o b o c o ) 0 ，并且 1 五 一州 一1 k 2 刀j 而由引理2 2 1 知4 ( 曰) 的正特征值为 ，k = l ，2 ，所以1 不是4 ( 伊) 的特征值，并且a a o ) 有正的特 征向量( 2 6 j 0 s i n 州盛一+ 瓜i 叫对应于特征值击= 学 。所以 由引理2 3 1 知，存在f o 0 ，使得对任何的0 0 ，使得对任何的0 。，错 1 q + d l + 厄 葡丽 而由弓| 理2 2 1 矢嗍) 的正特征值为去= 警2 k 一1 2 ， 所以l 不是 肌 。万 4 ) 的特征值，并且4 ) 有正的特征向量( 2 岛s i n n t ，( 4 - - a l + 五) s i n 丌f ) 对应 于特征值上：鱼掣 l 。所以由引理2 3 1 知，存在矶 0 ，使得对任何的 此z 万 r p 8 奄 f ( 4 ，p n b ( 8 ，r ) ，p ) = 0 。 同理可证存在p 。 0 ，使得对任何的足 p 。有 i ( a ，一p n b ( o ，尺) ，尸) = 0 。 于是，令r = m a x t ，p o ，岛 ，则结论成立。 引理2 3 6 【1 】设q 是e 中的有界开集，0 q ，a ：孬一是全连续算子，假设 l i a x l i l i x l l ，a x 工， v x 触， 则d e g ( i - a ，q ，0 ) = 1 。 引理2 3 7 3 】设q 是e 中的有界开集，秒q ，彳：尸n 磊je 是全连续算子， 假设 则i ( a ，尸n q p ) = l 。 a x k t x ，v x pn 2 ，1 ， 太原理t 人学帧j 。研究生学位论文 第三章主要结果的证明 现在利用第二章的基本引理给出本文主要结果的证明。 定理1 1 1 的证明对任意( “，v ) e ，设，v ) l i = m a x u m i 。) = t ，于是对 于，【0 ，1 】有 卜( f ) l - u l 。- l l u i i 。丁，i v ( f ) l - v i i 。0 v 忆t 。 所以，由条件( 日。) 可得 彳；( 甜，v ) ( f ) f = 啪啪删珐巾眦i = 卜i 矿( “( 珐v ( s ) ) 凼+ j i ( 1 一s ) ( 掰( 珐v ( s ) ) 凼l 2 t l 舾+ f ( 1 - 蛐l 虮 所以0 4 ( “，v ) l l 。 丁，同理可得0 4 ( “，v ) | | 0 1 ， 篆笳 r o 满足 d e g ( i 一彳，b ( o ，r 1 ) ，秒) = ( 一1 ) ”= 1 。 由引理2 3 5 ，可得 ，( 彳，p n b ( o ，；) ，p ) = 0 ， i ( a ，一p n b ( o ，) ，- p ) = 0 ， f ( 彳，p n b ( o ，r 。) ，p ) = 0 ， f ( 彳，一p n b ( o ，蜀) ，- p ) = 0 。 通过( 3 。1 1 ) ，( 3 1 。6 ) ，( 3 1 8 ) 式可得 f ( 彳，p n ( b ( o ，r 1 ) b ( o ，丁) ) ，p ) = 0 1 = - 1 ， f ( 彳，p f q ( b ( o ，t ) b ( o ，) ) ，p ) = l - 0 = 1 。 因此算子4 至少有两个不动点 ( ，v 1 ) p n ( b ( o ，r 1 ) b ( o ，丁) ) ，( 2 j v 2 ) p n ( b ( o ，t ) b ( o ，1 ) ) 。 所以( “，v 。) 和 ：，v ：) 是问题( 1 1 1 ) 的正解。 同理，由( 3 1 2 ) ，( 3 1 7 ) ，( 3 1 9 ) 式可得 f f a ，- p n ( b ( o ，r i ) b ( o ，r ) ) ，一p ) = - 1 ， i ( 4 ，- p t q ( b ( o ，r ) b ( o ，) ) ，一p ) = 1 。 因此算子a 至少有两个不动点 ( ，屹) - ? n ( b ( o ，s ) b ( o ，丁) ) ，( u 4 ，心) - p n ( b ( o , t ) b ( o ，) ) 。 所以( 材，v ，) 和 。，v 。) 是问题( 1 1 1 ) 的负解。 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 1 1 0 ) ( 3 1 1 1 ) ( 3 1 1 2 ) ( 3 1 。1 3 ) 由引理2 3 4 和引理2 1 1 及( 3 1 1 0 ) - - ( 3 1 1 3 ) 式可得，存在e 中的开子集 o i ，0 2 ，0 3 ，0 4 满足 q cp n ( b ( o ，r i ) b ( o ，丁) ) ， 0 2cp o ( b ( o ，丁) 否( 只) ) ， 0 3c 一尸n ( b ( 秒，丁) 百( 口，) ) ， 太原理丁大学坝f 研究生学位论文 并且 qc - p f i ( b ( o ，r ，) b ( o ，丁) ) ， d e g ( i 一彳，a ，口) = 一1 ， d e g ( i a ，0 2 ，臼) = 1 ， d e g ( i a ，0 3 ，9 ) = 1 ， ( 3 1 1 4 ) ( 3 1 1 5 ) ( 3 1 1 6 ) d e g ( i 一彳，q ，口) = - 1 。( 3 1 1 7 ) 由( 3 1 3 卜_ ( 3 1 6 ) 可得 d e g ( i - a ，b ( o ，t ) ( 0 2u q u b ( o ，) ) ，乡) = 1 一l l l = - 2 。 这说明彳至少有一个不动点 ( “， 9 5 ) f f _ b ( o ，r ) ( d 2u 0 3u b ( o ，) ) 。 同理，由( 3 1 4 ) ，( 3 1 5 ) ，( 3 1 1 4 ) ，( 3 1 1 7 ) 可得 d e g ( i - a ，b ( o ，墨) ( qu0 4ub ( o ，互) ) ，臼) = l + 1 + 1 - 1 = 2 。 这说明彳至少有一个不动点 ( “6 ，1 ，6 ) b ( o ，r 1 ) ( ququb ( o ，石) ) 。 显然， ，1 ，) 和 6 ，v 6 ) 是问题( 1 1 1 ) 的变号解。证毕。 定理1 1 2 的证明由定理1 1 1 可知，边值问题( 1 1 1 ) 至少有两个正解( 。，v 1 ) 及( 材2 ，v 2 ) ：两个负解( “3 ，v 3 ) 及( 扰4 ，v 4 ) ；两个变号解( 甜5 ，v 5 ) 及( 蚝，v 6 ) 。又由 ( 一甜，一，) = - f ( u ，v ) ，g ( 一u ，一，) = 一g ( u ，v ) ，v u ，v r ， 可知( 一“，一v ，) 及( 一，一v 。) 也是边值问题( 1 1 1 ) 的变号解。所以边值问题( 1 1 1 ) 至少有四个变号解。证毕。 太原理丁大学硕f i 研究生学位论文 参考文献 【1 】郭大钧，非线性泛函分析( 第二版) ，山东科学技术出版社，2 0 0 1 【2 】钟承奎等，非线性泛函分析引论，兰州大学出版社，1 9 9 8 【3 】d g u o ，vl a k s h m i k a n t h a m ，n o n l i n e a rp r o b l e mi na b s t r a c tc o n e s ，a c a d e m i c p r e s s ，n e wy o r k ，1 9 8 8 【4 】kd e i m l i n g ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l ，s p r i n g e r - 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