（粒子物理与原子核物理专业论文）五点费曼积分约化与零质量箱图计算.pdf

南京师范大学硕士学位论文 i i i i i i i i i i h i i i i i i i i h i i i i i i i i f y 17 2 6 9 1 五点费曼积分约化与零质量箱图计算 摘要 在以往的工作中，利用费曼参数化方法，对于维数正规化下单圈箱图的计算，人们已 经给出比较详细的讨论。但是，这并不意味着这方面的工作已经做完。恰恰相反，简单图 形的可算就意味着更复杂的图形也可以计算。随着高能物理实验数据精度的迅速提高，人 们对理论计算的精确程度提出了更高的要求。单圈n 点( n25 ) 费曼图的计算对高能物理 实验和维象研究具有重要的意义。 在论文的综述部分( 前两章) ，作者介绍了g r a m 彳亍歹1 0 式，一般费曼图形的积分形式，五 点费曼图形至四点图形的约化和约化后四点图形的费曼参数化。包括费曼图形计算所需的 基础知识和n 点图形约化至n - 1 点图形的基本公式，以及约化后四点图形的积分形式的费 曼参数化结果，并在文章中给出了详细的计算步骤与结果。也介绍了在对费曼参数化过程 中所需要的基本技巧和方法。 在论文的工作部分( 第三、四章) ，作者选取了约化后的其中一个四点费曼图形做了详 细的解析的计算。目的是学习并掌握费曼图形的基本计算方法，所以作者就选取了内线和 外线质量同时为零这种典型的形式加以解析计算，给出详细推倒过程和最后的解析结果。 第五章，作者对全文进行了总结，并对多点费曼图形的计算问题作了讨论和展望。 关键词：费曼参数化，n 点图形约化，g r o m 行列式，r 函数 a b s t r a c t i np r e v i o u sw o r k s ，b yu s i n gt h ef e y n m a np a r a m e t e rm e t h o da n d t h em e t h o do fd l m e n _ s i o n a 工r e g u l a r i z a t i o n ，p e o p l eh a v eg i v e na d e t a i l e dc a l c u l a t i o nf o rt h eo n e - 1 0 0 pb o xd l a g r 锄s h 陀v e r ，t h i sd o e sn o tm e a nt h a tt h ew o r k i nt h i sa r e ah a sa l r e a d yb e e nc o m p l e t e d ( ) nt h e c o n t r 溉t h ec a l c u l a t i o no fs i m p l ed i a g r a m sm e a j i s t h a tm o r ec o m p kd i a g r 锄sc a n a 上s ob e c a l c u l a t e d w i t ht h er a p i dp r o g r e s so fe x p e r i m e n t a lm e a s u r e m e n t ，p e o p l ed e m a n d ah l g 上l e 。 p r e c i s i o nt h e o r e t i c a l lc a l c u l a t i o n t h ec a l c u l a t i o n o fo n e - l o o pn - p o i n t ( 5 ) f e y n m a n d i a g r a m si so fg r e a ts i g n i f i c a n c et ot h ee x p e r i m e n t sa n d t h ep h e n o m e n o l o g i c a ls t u d i e so ft h e h i g h - e n e r g yp h y s i c s ， i nt h ef i r s tt w oc h a p t e r s ，t h ea u t h o rg i v ea b r i e fr e v i e wa b o u tt h ef e y n m a np a r 锄e t r l z 舡 t i o na n dt h er e d u c t i o no f5 - p o i n tf e y n m a nd i a g r a m s t h ea u t h o rp r e s e n t ad e t a l i e dd l s - c u s s i o na b o u tt h eg r 锄d e t e m i n 僦，t h ei n t e g r a lf o r mo fg e n e r a lf e y n m a nd i a g r a m s ，t h e r e d u c t i o no ff i v e - p o i n td i a g r a m st of o u r p o i n td i a g r a m s ，t h ef e y n m a np a r a m e t r i z a t l o n o ft h e f o u r d o i n tf e y n m a nd i a g r a m s ，a n dt h eb a s i ck n o w l e d g e o ft h ef e y n m a ni n t e g r a t l o n s i nt h et h i r da n dt h ef o u r t hc h a p t e r s ，t h ea u t h o rs e l e c t e d at y p i c a lm a s s l e s sf o u r p 0 i n t f e v n m a nd i a g r a ma n dm a d et h ea n a l y t i c a lc a l c u l a t i o ni n d e t a i l ，a n ds h a t h ep 。o c e s so f i n t e g r a t i o na n dt h ef i n a la n a l y t i c a lr e s u l t s i nt h el a s tc h a p t e r ，as h o r ts u m m a r ya n ds o m er e m a r k so nf u t u r ed e w l o p m e n t 5 o t 恤e c a l c u l a t i o n so fn p o i n tf e y n m a nd i a g r a m si nf o r t h c o m i n gy e a r 8 a r e9 1 v e n k e yw o r d s ：f e y n m a np a r a m e t r i z a t i 。n ，r e d u c t i 。n 。fn ，p 。i n tf e y n m a nd i a g r a m ，g 姗 d e t e r m i n a n t ，g a t o m af u n c t i o n s 南京师范大学硕士学位论文 五点费曼积分约化与零质量箱图计算 第一章绪论 标准模型成功的描述了高能物理实验数据，经受了实验的检验，取得了巨大的成功。 在高能物理方面，由于所有的耦合常数都是小量，那么微扰理论就成为提供准确理论预言 的最好工具，并且已经取得了巨大的成就。近几年来，高能碰撞实验的统计量和准确程 度在不断的提高。刚投入运行的l h c 实验和未来的超级b 工厂等实验将提供巨量的实验数 据。实验精确度的提高要求有更加精确的理论计算结果与之匹配，这样更加精确的理论计 算就变得迫在眉睫。更加精确的理论计算就是要求在微扰展开时包含更多的项。这种情况 下，单圈图及多圈图的计算就不可避免了。因此为了理论计算更加精确，计算数据能够与 实验匹配或为实验探究做更好的理论预言，理论工作者们就必须对那些数量惊人，工作难 度非常大的圈图进行计算。 要对这些圈图进行计算，首要的工作就是找出计算圈图的恰当合适的办法。随着近年 来理论工作者不懈的努力，提出了一系列计算圈图的方法。例如对红外有限的箱图积分计 算可以参考 1 ，2 】；对红外发散的箱图积分计算，一个外腿有质量见 3 全部红外发散的 箱图积分计算见【4 1 0 在标量和张量情况下，五点费曼图形的积分计算也有很多的方法，详 见文献f 5 7 1 。可见通过处理圈图积分来提高理论计算精度并不是一个不可逾越的困难。 到目前为止，在文献1 4 1 中已经给出了n 4 个传播子的单圈费曼图的解析计算结 果。对多传播子( 25 ) 单圈费曼图的计算，可以通过约化的方法一步一步约化n 4 点单 圈费曼图，进而给出解析结果。本文正是采用了这一方法，首先介绍了由点费曼图形 到一1 点图形约化的一般公式，并且以n = 5 为例对费曼图进行了详细的约化处理。约 化成简单的费曼图以后就开始对这些众多的图形进行计算。在这个计算的过程中关键的一 步就是对内线动量进行积分，而积分的一个途径就是把积分函数的分母做参数化处理。在 对分母进行参数化处理的过程中，有多种参数化方法可以采用。例如：费曼参数化、q 参 数化、s c h w i n g e r 参数化等办法。参数化后使得对动量的积分便于进行。本文中作者采用 南京师范大学硕士学位论文五点费曼积分约化与零质量箱图计算 了费曼参数化，并且在使用费曼参数化的过程中配合使用维数正规化的积分公式。积分函 数用费曼参数化后采用维数正规化积分公式对内线动量积分，最后对费曼参数积分，得到 整个积分结果，也就是费曼振幅。在这个积分计算的过程中，用到了r 函数，厶函数等相 关的数理知识。在必要的时候，对这部分内容进行了简要的介绍。 本章是一个简单的综述部分： 下一章，介绍下面计算过程中会遇到的一些简单的知识，如g r a m 行列式；同时介绍 由点费曼图形到一1 点图形约化的一般公式；第三章，对所有约化后的费曼积分进行 费曼参数化。第四章，以参数化后的一个费曼积分为例进行详细的推导计算，并给出结 果；最后是工作总结和展望。 2 南京师范大学硕士学位论文五点费曼积分约化与零质量箱图计算 第二章点单圈费曼图形的约化 本章首先简单介绍对于一般多点费曼图形适用的约化公式。在第二节，简述计算过程 中经常用到的g r a m 行列式的基本知识。在第三节，以五点费曼图形为例利用约化公式对 费曼图形进行约化，并给出结果。 2 1 点费曼图的约化 。 d 维空间包括了一个时间维度和( d 一1 ) 个空间维度。在这样一个空间里面，根据微扰 理论( 忽略重整化因子) ，一个单圈边传播子的振幅写成如下形式 8 ，9 】： 卜搠冗1 骊( 2 - 1 ) 这里f 表示圈动量， d d k d l o d l l d i 州， ( 2 - 2 ) 分母是： i 】= 辞一m ；+ i e( 2 - 3 ) 这里吼和仇t 分别是第i 条内线的动量和质量，满足i 1 ，叫，吼= f + p l + + 鼽，其中a 表 可2 。南( 2 - 4 ) 酬7 ，1 0 ： ( 。一主j = 三l 吩+ ) c ，几搿十2 ) = ( ；) 。一喜( 三) 。石一) 砰) c 2 5 ， 3 南京师范大学硕士学位论文五点费曼积分约化与零质量箱图计算 图2 - 1n 点单圈费曼图 说明：吩表示费曼图振幅分母的幂次，j 1 ，n 】aj 表示与第歹个分母相对应，这里我 们一般取吩= 1 。石一表示算符，当云一作用在第七个传播子上的时候有： 即第七个传播子消去了。 2 2g r o 仇 - 。，i j 式 云一k ：k v k 一1 ：1 ( 2 - 6 ) 在维空间中包含n 个向量的g r a m 行列式的阶数是，我们把这个限制加在内动量 的g r a m 行列式上。因此阶g r a m 行列式的形式如下： 详细内容参考 1 1 】。 五= n g i g 1 9 2 g l g n n 9 1 9 2 虼9 2 9 1 骱q 2 q = 磊 4 ( 2 7 ) 南京师范大学硕士学位论文 五点费曼积分约化与零质量箱图计算 根据源自于c 口e 掣行列式维度条件，与行列式( 2 7 ) 相应的c o y 2 e y 行列式的形式是： 乃= 0 111 11 10 一( 9 2 一q 1 ) 2 一( 9 3 一9 1 ) 2 一( g n q 1 ) 2 一q l 一( 9 2 一q i ) 2 0 一( 9 3 一9 2 ) 2 一( 吼一9 2 ) 2 一程 1 一( g 一q 1 ) 2 一( q 3 一q 2 ) 2 0 一( g n q 3 ) 2 一g ； ；。 ； 1 一( 一q 1 ) 2 一( g n q 2 ) 2 一( g n 9 3 ) 2 0一靠 1 一秆一磊一酲 一蠢0 详细过程参考文献 1 2 ，i 3 。显而易见，此行列式的阶数是+ 2 。注意到 然后定义： 一( g j 一吼) 2 = 一p 弓， = m ；+ 啊2 一p 巧2 ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 1 0 ) 如果我们用第i 条内线的质量m ；乘以行列式( 2 8 ) 第一行和第一列，然后分别加在第i 行和 第i 列，并且满足i = 1 礼。然、z 。- - ，0 i 式( 2 8 ) 变成： 死= ull l 1 lm 1 m 2 m 几- i 1m 2 k 2 蚝礼- 2 1m 。蚝n k 。一h 1 一f l 】- 2 一m 0 很明显其阶数是+ 2 。行列式( 2 1 1 ) 的子行列式是： 5 ( 2 - 1 1 ) 南京师范大学硕士学位论文 五点费曼积分约化与零质量箱图计算 五= ( ) 。= 和行列式( 2 1 2 ) 相关的部分性质如下： 0l1 1 1m lm 2 m n 1m 2 砼2 k 。 ； 1k 。砼。k 。 ( 2 一1 2 ) 肚j l j 2 j m ) n c 2 一，3 ， 表示行歹1 ，j 2 ，j m n g l j k l ，七2 ，k 除去后剩下的子行列式，而此子行列式的符号由以下 ( 一1 ) j 1 + j 2 + 牛j m + 七1 + 七2 + + k s i g n a t u r e d l ，j 2 ，歹m s i g n a t u r e k 1 ，忌2 ，岛n 这里晚9 n 口t u 7 e 表示如果其内部的因子按照递增的顺序排列则是正号，交换一次添加一个 对称性 。=m 0 0 。 k lm 2 m 。 k 2k 2 蚝n m 。k n 碥n = a j i 批 6 7 j j l l k 1 ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) 南京师范大学硕士学位论文 五点费曼积分约化与零质量箱图计算 2x2 的子行列式满足 8 】： 还有： ( 三：) + ( ：i ) + ( ：! ) = 。 ( 2 - 1 7 ) ( 2 - 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( ：) ( 三6 ) + ( 三) ( ；) + ( i ) ( 言三) = 。 c 2 2 。， 2 3 五点费曼图形的约化 i s ：l 护t 可一( 2 - 2 1 ) c l = 2 2 + 记 c 2 = ( 1 + p 1 ) 2 + 吒 c 3 = ( 1 + p 1 + p 2 ) 2 + i e ， 7 0 吼 = = 、，lf 0 0 了 0 一 。汹 n 试 南京师范大学硕士学位论文 五点费曼积分约化与零质量箱图计算 图2 , - 2 五点单圈费曼图 c 4 = ( 1 + p 1 + p 2 + p a ) 2 + i e ， c 5 = ( 1 + p 1 + p 2 + p 3 + p 4 ) 2 + i d 维时空下几点费曼图形振幅所对应的递归关系式有如下形式 8 】： ( 2 2 2 ) ( 。一妻i = l 耽+ ，) c ，。搿+ 2 ) = ( 0 。一喜( 兰) 。后一 搿， c 2 - 2 3 ， 式中各项的意义已经在前节说明。如果我们考虑五点图，即令几= 5 ，则相应的递归关系式 可以写成如下形式： c 。一4 ，c ，s 学+ 2 = ( 兰) 。毛一喜( ；) 。露 c 2 - 2 4 ， 很明显，曩表示去掉第s 个传播子后余下的积分形式。而且这里的留+ 2 既不包含紫外 发散，亦不包含红外发散。因此其在极限d 一4 中是有限的，所以上述等式的左侧可以忽 略 4 ，1 4 】。当略去此项以后，余下的部分能写成： 8 上式还能写成如下形式： 兀2 萨卜 ( 2 - 2 5 ) 厶= 7 毛t ( ；) 。矗+ ( ：) 。眉+ ( ；) 。霹+ ( 兰) 。露+ ( ；) 。瑶 c 2 - 2 6 ， 07 ( 2 2 6 ) 式中的心，s 1 ，5 对应的图形依次是： p 江“料 4 ￥+ p 1 + p z + p 3 而t 谳4 ( 1 ) p p p ( 3 )( 4 ) + p 3 p 4 ( 5 图2 - 3 把5 点单圈图约化后得到的5 个4 点图。它们分别对应( 2 2 6 ) 式中的以，霹 9 南京师范大学硕士学位论文 五点费曼积分约化与零质量箱图计算 相应的积分形式如下： 注意：这里的“是维数正规化标度。 2 4 本章小结 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) 本章从让复杂的不可算的费曼图形转换成简单的可算的费曼图这一角度出发。重点介 绍了一般费曼图形约化所用到的公式，并以n = 5 为例进行了简单的计算。在这个过程中 由于需要与g r a m 行列式相关的知识点，所以就从对g r a m 行列式进行了简单的介绍。本章 是对五点费曼图形计算的第一步。 1 0 一一 一一 一一 一一 一一 扣 。扣 扣 归 归i d i d i d t d i d 彳 一 一 一 一 一 卜 卜 卜 卜 队 舻 驴 驴 驴 水 = | | = i l l i 疋 日 霹 霹 露 南京师范大学硕士学位论文 五点费曼积分约化与零质量箱图计算 一二芒巴 二早箱图的费曼参数化 上一章我们对通过约化公式对五点费曼图形进行了约化。本章我们将在此基础上对约 化后的四点费曼图形进行费曼参数化。 3 1 费曼参数化 下面，我们对上节所求的积分进行费曼参数化。假设上面费曼图形的外腿质量 是：p ；= m t 2 ，并且满足( i = l ，2 ，3 ，4 ，5 ) 。为了简单起见，假设所有费曼图形的外腿都是无 质量的。即：p ；= 仇；= o ，满足( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 。那么在以上内容的基础上，分别给出五 个图形所对应积分的费曼参数化形式： ( 1 ) ， 正= ( p 2 ) 2 一导，护。两项1 雨而 根据费曼参数化公式： 能得到： c 2 c 3 c 4 c 5= z 1 d z ，d z 。d z s d z t 疋：( 肛z ) ：一导儿。f ，( 2 丌) d q q q g 31 6 ( z 1 + x 2 + x 3 + x 4 1 ) ( x l c 2 + x 2 c 3 + x 3 c 4 + z 4 c 5 ) 4 吡2 ) 2 - 譬护z 酐i 0 1 妣如。蜊z t 卷杀寰潞 下面对被积函数的分母部分进行单独处理，设a 1 = ( x l c 2 + x 2 c 3 + x 3 c 4 + z 4 c 5 ) 4 ，有： a 1 = ( x l c 2 + x 2 c 3 + x 3 c 4 + x 4 c 5 ) 4 = x l ( f + p 1 ) 2 + z 2 ( f + p 1 + p 2 ) 2 + z 3 ( f + p 1 + p 2 + p 3 ) 2 + z 4 2 2 + i e 4 = 【f 2 + 2 l x l p l + 2 p 1 p 2 x 2 + 2 l ( p 1 q - p 2 + p 3 ) z 3 + 2 p l ( p 2 + p 3 ) z 3 + 2 p 2 p 3 x a + i e 4 = ( f 7 ) 2 一 印l p 2 ( 一z 4 2 2 一x 4 x 3 ) + 却2 p 3 ( 一x 3 x 4 一x l x 3 ) 一2 p l p 2 x s x 4 + 诧) 4 = ( ( f 7 ) 2 一【一2 p l p 2 2 2 2 4 一印2 p 3 l z 3 2 x 4 x a ( 2 p l p 2 + p 2 p 3 ) 】+ e ) 4 1 1 ( 3 一1 ) ( 3 - 2 ) 一帚 南京师范大学硕士学位论文 五点费曼积分约化与零质量箱图计算 = ( f 7 ) 2 一 一2 p 1 p 2 2 2 2 4 2 p 2 p 3 z l z 3 + i e 4 下面将处理后的分母部分带入原表达式，有如下结果： 日= ( 弘2 ) 2 一导d d c 7 研1z 1 如，出。d z s 如4 31 d ( 。1 + x 2 + x 3 - 4 - x 4 1 ) ( ( f ，) 2 _ 2 p l p 2 x 2 x 4 2 p 2 p 3 x l x 3 】- 4 - 耐4 d x ld x 2 d x 3 d x 4 6 ( z l + z 2 + z 3 + z 4 一1 ) ( 一z 2 2 4 s z l z 3 t i e ) 譬一4 ( 3 - 3 ) ( 3 4 ) 注意：f 7 = l + x l p l + x 2 0 l + p 2 ) + 2 ；3 0 l + p 2 + p 3 ) ，s = 1 + p 2 ) 2 ，t = 2 + p 3 ) 2 并 在以上的计算中用到了一下公式： 以( 2 7 r ) d ( f 2 一m 2 + t 7 r ) 4 层= ( 旷) 2 一导，l 。驯。1 葡丽 根据费曼参数化公式： 能得到： 詹= c l c 3 c 4 c 5 ( p 2 ) 2 一譬 =1 d x l 出2 如3 出4 d d l ( 2 丌) d c l c 3 q c 5 31 5 ( x l + x 2 + x 3 + x 4 1 1 f x l c l + x 2 c 3 + x 3 c 4 + x 4 c 5 ) 4 = ( p 2 ) 2 一譬护。酐1z 1 如- 如z 出s 如a 下面对被积函数的分母部分进行单独处理， a 2 = ( x l c l + x 2 c 3 + x 3 c 4 十x 4 c 5 ) 4 31 5 ( x l + z , 2 + x 3 + x 41 ) f , t 1 c 1 + x 2 c 3 + x 3 c 4 + x 4 c 5 ) 4 设a 2 = ( x l c l + x 2 c 3 + x 3 c 4 + ；z 4 c 5 ) 4 , 有： = 【x l l 2 + x 2 ( f + p 1 + p 2 ) 2 + x 3 ( 1 + p l - 4 - p 2 + p 3 ) 2 - 4 - x 4 f 2 + i 4 = x l l 2 + z 2 ( 2 2 + 2 z 1 + p 2 ) + 2 p 1 p 2 ) + x 3 ( 1 2 2 1 p 4 ) + x 4 2 2 + t 4 1 2 ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) ( 3 7 ) 黼 ；研 蒜。研 i i = 【f 2 + 2 x 2 1 0 1 + p 2 ) + 2 x 2 p l p 2 2 x 3 1 p 4 + i c 4 = 1 2 + 2 l ( x 2 ( p l + p 2 ) 一x 3 p 4 ) + 2 x 2 p 1 p 2 + i c 4 = ( f + x 2 1 + p 2 ) 一x 3 p 4 ) 2 一( z 2 1 + p 2 ) 一x 3 p 4 ) 2 + 2 x 2 p l p 2 + i e 4 = ( 2 7 ) 2 一( x 2 0 1 + p 2 ) 一x 3 p 4 ) 2 + 2 x 2 p 1 p 2 + i e 4 = ( 2 7 ) 2 2 z 勿1 p 2 + 2 x 3 x 4 p 4 0 1 - 4 - p 2 ) + 2 x 2 p 1 p 2 + i c 4 = ( 2 7 ) 2 2 z 扫1 沈+ x 2 p 1 p 2 2 x 2 2 3 0 1 + p 2 ) l + p 2 + p 3 ) + 挺】4 = ( 2 7 ) 2 2 z 勿l p 2 + x 2 p 1 p 2 2 x 2 2 3 ( 2 p l p 2 + 2 p 2 p 3 + 2 p i p 3 ) + i e 4 下面将处理后的分母部分带入原表达式，有如下结果： 曩= ( 卢2 ) 2 一譬护2 71 - - 0 1 出- 如。如s 如4 31 6 ( z l + x 2 + x 3 + x 4 1 ) ( 27 ) 2 2 z l p l p 2 + x 2 p l p 2 2 x 2 x 3 ( 2 p l p 2 + 2 p 2 p 3 + 2 p l p 3 ) + i e 4 = 南端胁蛾如a ( 3 - 8 ) 艿( z i + z 2 + z 3 + z 4 1 ) 2 x ；p 1 p 2 一z 2 p 1 p 2 + 2 x 2 x 3 ( 2 p l p 2 + 2 p 2 p 3 + 2 p 1 p 3 ) 一诞 号一4 注意在这里：2 7 = l - 4 - x 2 ( p 1 + p 2 ) 一x 3 p 4 瑶= ( p 2 ) 2 一导j 批两d 虿丽 根据费曼参数化公式： 能得到： c 1 c 2 c 4 c 5 霹= ( p 2 ) 2 一譬 = ( p 2 ) 2 一导 = z 1 如，如z 出s 如t 毒警等毒曩 描 1 3 ( 3 - 9 ) ( 3 - 1 0 ) ( 3 1 1 ) 南京师范大学硕士学位论文五点费曼积分约化与零质量箱图计算 下面对被积函数的分母部分进行单独处理，设a 3 = ( x l c l + x 2 c 2 + x 3 c 4 - 4 - x 4 c 5 ) 4 ，有： a 3 。( 2 1 c 1 + x 2 , c 2 + x 3 c 4 + x 4 c 5 ) 4 = p l e 2 + z 2 ( 1 + p 1 ) 2 + z 3 ( 1 + p 1 + p 2 + p 3 ) 2 + x 4 1 2 + i e 】4 = p l f 2 + x 2 ( 1 2 + 2 1 p 1 ) + z 3 ( 一p 4 ) 2 + x 4 1 2 + i e 】4 = 陋1 f 2 + x 2 ( f 2 + 2 l p l ) + x 3 ( f 2 2 i p 4 ) + x 4 2 2 + i e 4 = f 2 + x 2 2 1 p 1 2 x 3 1 p 4 + i c 4 = 1 2 + 2 1 ( x 2 p l z 3 p 4 ) + i e 】4 = 【( f 7 ) 2 一( x 2 p l x 3 p 4 ) 2 + e 4 = ( f ，) 2 + 2 x 2 x 3 p l p 4 + e 】4 下面将处理后的分母部分带入原表达式，有如下结果： ( 3 1 2 ) 霹乩2 ) 2 - 萼脚7 研1 1 慨妣妣幽鬻篙籍 = ( p 2 ) 2 一导z 1 出- 如。如s 出a 31 6 ( x ，+ x 2 + x 3 + x 4 - 1 面i 孤j 夏r 瓦( 4 瓦- i 拿习) i r ( 4 一譬) 一( 4 7 r ) 2 ( 4 7 r 肛2 ) 鲁一2f o d x l 如z d z 。如4 6 ( x l + x 2 z 3 + z t - 1 ) ( - - 2 x 2 x z p t p 4 - - i e ) 导 注意这里有：1 7 = l + x 2 p l + 2 7 3 p 4 曩= ( 肛2 ) 2 一譬，耽两萜b 磊 根据费曼参数化公式： 能得到： c l c 2 c 3 c 5= 1 出，d z z 如s 如4 石31 五5 ( x 了l 面+ x i 2 干+ x 五3 i + 砑x 4 - 1 ) 露：( p ：) z 一吖泸2 ，( 2 7 r ) d c l q 岛g 1 4 ( 3 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) 南京师范大学硕士学位论文五点费曼积分约化与零质量箱图计算 = ( 硒2 一导糊研1z 1 l d x 2 d x 。d x 4 面31 5 ( i x l + 磊x 2 + 瓦x 3 而+ x 4 - 1 ) 下面对被积函数的分母部分进行单独处理，设a 4 = ( z i c l + x 2 c 2 + x 3 c 3 + x 4 c 5 ) 4 ，有： a 4 = ( x l c l + x 2 c 2 + x 3 c 3 + x 4 c 5 ) 4 = x l l 2 + x 2 ( e + p 1 ) 2 + x 3 ( 1 + p 1 + p 2 ) 2 + x 4 1 2 + i c 4 = 陋1 1 2 + x 2 ( z 2 + 2 1 p 1 ) + x 3 ( f 2 + 2 l ( p 1 + p 2 ) + 2 p 1 p 2 ) + x 4 1 2 + i e 4 = f 2 + 2 1 ( x 2 p l + x 3 ( p l + p 2 ) ) + 2 x 3 p l p 2 + 诞 4 = ( 2 7 ) 2 一( x 2 p 1 + x 3 1 + p 2 ) ) 2 + 2 x 3 p l p 2 + i c 4 = ( f 7 ) 2 一( 2 z ；p 1 p 2 + 2 x 2 x a p l p 2 ) + 2 x 3 p 1 p 2 + i c 4 = ( 2 7 ) 2 2 p l p 2 ( x ；+ z 2 x 3 一x 3 ) + i e 4 = ( 2 7 ) 2 2 p l p 2 x 3 ( - x l x 4 ) + e 4 下面将处理后的分母部分带入原表达式，有如下结果： 霹吡2 ) 2 - 导以7 南z 1 如- 如。蛐：4 群蔫蒜 ( 4 7 r ) 2 ( 3 - 1 5 ) ( 3 - 1 6 ) 黼卜蛐s 谢( x l + x 2 + x 3 + x 4 - 1 脚。州- - x l - - x 4 泸。4 注意，这里满足：z 7 = l + x 2 p l + x z ( p l + p 2 ) 。 砑= ( p 2 ) 2 一f d d l 一1 虿丽 根据费曼参数化公式： 1 能得到： c 1 c 2 c 3 c 4 盾：( 肛z ) z 一号r 护f - ， ( 3 - 1 7 ) 如-出。如。出4老垫每去兰三端(3-18)xlcl x 2 c 2x 3 c 3 ：r 4 c 4 ( + 厂 ( 2 7 r ) d c l q c 3 c 4 1 5 南京师范大学硕士学位论文五点费曼积分约化与零质量箱图计算 = ( 2 一号艘南z 0 1d x l 如2 d x 3 d x 4 面315(忑xl+面x2+瓦z3丽-f x 4 - 1 ) 下面对被积函数的分母部分进行单独处理， a 5 = ( i c l + x 2 c 2 + x 3 c 3 + x 4 c 4 ) 4 设a 5 = ( x l c l + z 2 c 2 + x 3 c 3 + x 4 c 4 ) 4 ，有： = 陋1 2 2 + z 2 ( f + p 1 ) 2 + x 3 ( 1 + p 1 + p 2 ) 2 + z 4 ( 1 + p l + p 2 + p 3 ) 2 + i c 4 ( 3 - 1 9 ) = 陋l2 2 + x 2 ( c 2 + 2 纫1 ) + z 3 ( 2 2 + 2 1 ( p 1 + p 2 ) + 印l p 2 ) + z 4 ( 1 + p 1 + p 2q - p 3 ) 2 + i c 4 = 1 2 + 2 1 ( x 2 p 1 + z 3 1 + p 2 ) + z 4 ( p l + p 2 + p 3 ) ) + 2 x 3 p 1 p 2 + 2 x 4 ( p 1 p 2 + p i p 3 + p 2 p 3 ) + e 4 = ( f 7 ) 2 一( x 2 p 1 + x 3 0 l + p 2 ) + x 4 ( p 1 + p 2 + p 3 ) ) 2 + 2 x a p l p 2 + 2 x 4 1 p 2 + p 1 p 3 + p 2 p 3 ) + i 】4 = ( 2 7 ) 2 一 x 2 p 1 + x 3 ( p l + p 2 ) + x 4 1 + p 2 + p 3 ) ) 2 2 x 3 p l p 2 2 x 4 1 p 2 + p l p 3 + p 2 p 3 ) + i c 4 = ( 2 7 ) 2 一 2 p 1 p 2 ( 一z l z 3 一z l z 4 ) + 2 p 2 p 3 - z l z 4 一x 2 x 4 ) 一2 p l p 3 x l x 4 】+ i e 4 = ( ( f 7 ) 2 一 一2 p 1 p 2 2 1 2 3 2 p 2 p 3 x 2 茁4 2 x l z 4 1 p 2 + p l p 3 + p 2 p 3 ) 】+ i c 4 = ( f 7 ) 2 一 一x l x 3 0 1 + p 2 ) 2 一x 2 x 4 ( p 2 + p 3 ) 2 一x l x 4 l + p 2 + p 3 ) 2 + i c 4 = ( ( f 7 ) 2 一 一s z l x 3 一t x l z 4 + i e 4 下面将处理后的分母部分带入原表达式，有如下结果 霹= c p 2 ，2 一号护z 7 南0 1 出。出z 如s 如t 丽葶警荨毫篡兰篡i 导 i r ( 4 一譬) 一( 4 7 r ) 2 ( 4 丌p 2 ，d 。一2z 1 如。如：如s 如a j ( x l + x 2 + x 3 + x 4 - 1 ) _ s z l z 3 一t x l z 4 一i e 导一4 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 注意，这里满足2 7 = l + x 2 p 1 + z 3 1 + p 2 ) + z 4 l + 耽+ p 3 ) ，s = ( p l q - p 2 ) 2 , t = ( p 2 + p 3 ) 2 。 至此，我们已经对a ，b ，c ，d ，e 五个图形对应的积分进行费曼参数化，下面我们将以e 图 对应的积分为例进一步计算，其余四个积分给出费曼参数化为止。 1 6 南京师范大学硕士学位论文 五点费曼积分约化与零质量箱图计算 3 2 本章小结 通过对四点费曼图形进行费曼参数化这样一个过程，使得原来看起来不可能计算的积 分变得有思路可以计算。并熟悉了费曼参数化这样一个过程，为下一章的计算做好了铺 垫。 1 7 童查生茎奎兰翌主兰簦垒奎：= 竺= ：三兰塑窒垦坌丝竺兰圣圣垦童丝 第四章一个四点箱图费曼积分的解析计算 本章将对约化后的一个费曼积分( 3 2 1 ) 式做详细的解析计算，并对最后的结果进行对 比分析。 4 1 积分计算 先把图( 2 3 ) 中的第5 个四点箱图重画如下： 图4 1 约化后得到的一个4 点单圈费曼图 由( 3 - 2 1 ) 式，可直接写出与图( 4 1 ) 对应的标量积分费曼参数化以后如下： c p ) f o i d x l d x 2 d x 3 d x 4 5 隆一1 ) - - s x l x 3 - - t x l x 4 - - i e p 4 ( 4 - 1 ) 其中因子a ( p ) = 雨i r ( p 4 ：- 芦- 呈) ，s = l + 彬，t = 。2 + p 3 ) 2 ，d = 4 + 2 e ，r ( ，r o ) 。( 见【1 5 】) 。 先对z 4 积分，则有： 下面对上式中_ 的积分变量进行变换。令 1 6 1 8 2 ： 缸 -，k r钉 扼 一 t 、， 3 z一 2 z l z l l z s 3 z l z x 3 如 2 一 n 一 2 zd 姐一 1 厂，儿 l 出 、，肛， a = ， z l = ( 1 一z ) ( 1 一y ) ， x 2 = x ( i y 1 ， x 35y z 根据坐标变换公式，m ( x l ，z 2 ：z 3 ) 至j j ( z ，y ，z ) 变换的雅可比行列式为： j = z 1d z 。0 1 一z 1d z z 0 1 一z 1 一2 d z s o i d x f o 。曲卜( 4 - 3 ) 详见文献f 1 7 】 把z l ，z 2 ，z 3 的表达式分别代入上式，则能得到如下形式： 1d z 。z 1 一z 1 d z zz l - x l - - x 2d 。s = 可c 一可，1d z d y d z 将上面新的变量带入原来的积分( 缸2 ) 式，则得： 可) 一y z s ( i 一可) ( 1 一z ) 一x y t ( 1 一y ) ( 1 一z ) 一i e 】6 。r 一2 船咖c 1 刊 i 5 1 r - i d yf o i d z f o e z r - - 1 d y d z 1 dx0 00 a ( “) 可( 1 一y ) 一 ( 1 ， ( 1 一z ) z t - i e ) 咖- 2 x ) z s + ( 1 一z ) x t 一 ( 4 - 4 ) i 1 咖一2 y ( i y ) 下面对上式中含z 的部分进行积分，把这一部分提取出来，写成如下形式： z 1d z 一【( 1 一z ) z s + 弘卜 ( 1 一z ) x t 】 + 引( 1 一z ) t z s 】 y ( 1 一y ) 0 e y ( 1 一y ) 1 9 、e ，r 一2 一 e z r - 2 ( 4 - 5 ) 纽如纽幻纽纽如纽曲垃如纽缸纽曲纽如 南京师范大学硕士学位论文五点费曼积分约化与零质量箱图计算 = z 1 如 一z ( 一z ) t z s 一z ：一 = z 1d x 引z s 一( 一z ) t 一z s l = = = 一 z 5 一f l z ) t 1 z s 一( 1 一z ) te i r 一1 钯1 5 i r 一2 y ( 1 一y ) j i e1 5 豫一2 y ( 1 一y ) 一f 1 一z ) t ) x z s 一 陋 z 1 亡 i e 。豫一1 y ( 1 一y ) je i r 一1 y ( 1 一y )盯r 1 一( 一一志) 旬矿1 以上是对x 积分得出的结果。下面将该结果带入原来表达式( 4 - 5 ) ，得出新的形式： ，r l 产l1 队i - y ) 钉r _ i 0 白如鬲音可 ， 石6 一l 一o ( 4 - 6 ) 卜叫t 一而i e ) 8 z r - i _ ( 一- - i - - l - - e ，) 咖。1 = 鲁z 1 匆如志( 邓s ( 1 刊靠。i g - - 1 ( 1 刊( 1 叫靠严扩1 ) - = 鲁小志 r e ( b ) o ；i a r g ( 1 一z ) i 丌a 仿照这个形式有： 且( 1 8