（应用数学专业论文）有限域上几类超曲面的研究.pdf

y7 7 5 6 9 4 姻川大学博士学位论文 有限域上几类超曲亟的研究 应用数学专业 磷究生：王文松豢譬教赫：孙避教授 摘要 本文研究了有限域玛上几类超曲面日一有理点的个数，并对其中某 些超曲面，计算出他们的。e n 函数。本文还研究了肖限域上方稔予域解 藏匿等t 设p = 最是一令g 嚣毒陵壤，q = p f ，f 1 ，筘是一个毒素数。 在第一鬻中，我们研究了有限域f 上几类方程。 第一类方程是： 8 t 。；n + 。：。+ 8 。，。 r 。，。塞鑫，+ ， a n l + l 。d l + 11 - - 搿茏i + 1 ”：+ + n 。2 z ；”搿惫2 “z = b ， 这墨，岛 0 ，趣f 4 ，bg 曩0 o ，a i p ，b e 0 0 ，8 t ，+ ，毫只i = 1 ，髓；j = 1 ，嗽( 南) 寝搴南为元 素的站扎黔矩媾。 零肇磺究了f 上a 娄磁上述怒越鬣更为广泛酌超穗嚣 蘸：善! n ，+ 毒，+ 十甄；g 一善囊，m + 瑶。，；，搿；8 ，+ 1 舅茏x + 1 x 十，+ ：茹! “。1 茹龟2 “2 一热 遮鬟! 也j 0 ，a i f 。，b f0 0 ，铫p ，j = l ，札。，8 0 ，0 斑s 帆2 礼r * - 0 ，a i f + ，b f ，一1 ，牲。 2 0 0 3 年r 我靛把这类超鼗的蠢理患攘广餮跑( i i ) 蔓为广泛韵方程， 褥到了 8 l 。：n 茹。d i 。n x + + 盘。，。 ”。盘窘t “，+ o 。+ l 。 x + “。急t + m + + 。茹 ”聋毫z “：；b ( 1 3 ) 定理l 1 ：设( ”：) 表示f 上方程以剀在p t 上的解数，当满足条 g c d ( d e t ( 奶) ，口1 ) = 1 时，则有 ( n l ，n 3 ) q “2 + g ”2 ”1 1 涵一1 ) ( ( 一l ”t 一国一1 ) n t ) + q - 1 妇一1 ) ( 一1 ) ”t 一1 ) “t 国一1 ) n ：一n ，) ，若b = 0 q n 2 - n - i ( ( 一1 ) “t + 1 + 国一i ) “t ) + q - 1 ( ( 一1 ) ”。+ 1 + ( 一1 ) “，国一1 ) n 2 一“z ) ，若6 0 其中，( 奶) 为扎2 m 阶矩阵，其元素当l t n 1 ，札1 g 。 设( 让i ，魄。) r ( 劬，出( 1 4 ) ，对任爨黪o i n 2 ，若神l = 0 ， 鬟珏* l e 。枣就萄知，萋龆l = 戴撕一= 钰。= 0 。如 果让l ，链趣中烩蠢史个不巍o ，筘 k r 托2 ) ，当0 惫 嚣2 蹲，粼 蠢钍l 挂k 0 ；姓赫十l 黧= 链摊2 = 0 + 谈r 溆嚣l 0 ，毽) 表录r ( 6 ) 串掰餐稔有个分藿不为o ， 驿啦0 ，o 箕佘努爨全受薅鲢爨鸯襄量嶷。t ( b ，艇1 一o ) 袭 示，) 中珏l g 豹两鼙集，粼显然奄 i t ( b ) i * f r ( 6 ，让l = o ) l + l r ( 6 ，u l 0 ，u o ) i 。 ( 1 6 ) 括意l 辩于，权l o ，链孛经一秘鬟，密( 1 毒) 褥 ，l 一让l ，- 一，a = 批 ， + l = 0 ，a 一0 ，( 1 7 ) 8 磊 四jil 大学博士学位论文 当o 惫 a 1 霹，壶上式中矗十l = 0 ，蘸存禁个j ，i ，n l ，佼德勺一0 将箕代入，l = 1 得 u 1 = 0 ，与假设u 1 0 矛膝。这样，当o 七 0 ，则( 】，茹。，+ 1 ，茹。) 为( 1 8 ) 的一个解当且仅 当t + l z n ：一o ，这样的解的个数，也即是? ( 6 ，锃l 0 ，钍o ) 9 d m 硝 第一章有限域r 上几类越曲霹的有理点 中，当惫= n 1 对，对任给定商量札1 ，0 ，。) ，方程组( 1 7 ) 的 耩数，故 ( = 1 1 ，- 一，矗，= 珏厶，+ 1 = 0 ，一，a = 0 ) 一q ”一一( a 一1 ) ”一( 1 。1 1 ) 当托1 k n 2 时，由( 1 r ) m 矗+ 1 = 0 ，敌有菜个j ，0 jsn 2 使得= 0 。翔鬃0 j “1 ，筢彩= o 代入矗一l ，得铒l = 0 ，这与u 1 u k 0 矛 蘑；粥粟钝1 js 礼2 ，把= o 代入厶汁1 一r 十l ，得h 1 = 0 仍 与札1 u k o 矛盾( n 14 - 1 惫) 。因藏，当n l k 0 ，敌有 陬嘶洲，耐矧= 篇一江均 四jll 大学壤士学位论文 对于瓢m 翁知 盹，1 0 ，o ，1 1 ，n b ，2 = 国一1 ) 一1 一n b 一l 出篱单螅爨纳，可德 f 莹( 一1 ) s - l ( g 一1 ) k 。： 趁2 一 i 1 l ( - 1 ) 5 一( 口一1 ) 扣j tj = l 于是，由( 1 1 4 ) 和( 1 ，1 5 ) ，我们有 当0 七 佗l 或n l 0 g c d ( d n d 2 2 靠，g 1 ) 一1 ，a 1 ，a n f + 且6 肿) 。汜- 1 ) n - 1 + 2 舌卜”辑卜戎釉锄1( 1 t 3 7 ) | ( - i ) ”弭1 ) 。q o ，若b 0 。 。 证明：饱* 妇l ，冁) s ”，怼挫i 0 ，吩一l 0 ，唧一0 ，我 j 有 tl d 巧0 = d ，j + 1 ，媳 ，j 一1 ，n f i h 。= 嚣一f 拈一j + 1 ) = 让飓记为( 1 ，3 6 ) 谯限制理l 0 ，啄一l 0 哪= o ，j 一1 ，摊下 的有理点数- 由( 1 3 5 ) 得妈为 | 缀芝遵蝴。秘一l 产啦，鞠。筑 卜? 警孙i 。翊= 翌嘞叫一- j ，扭。s ， lr ( 2 = ! z ：i ：! 芝：“一1 、嚣n + l 婪h 赫n p 舯叫 州象：毒潭最：。 。 w叫刘 酬 l 大誊博士攀位沦文 若# k l l 娃k 一1 ，k j + 1 ，扎 一i ，则d j 一1 + 2 且 f 幽拦弩幽誉一1 ) t ，若6 。织 耻 唑釜襄。二i ；，叫磊 玛= 蒿：_ 糍b - - - o ，m s 。， 弘 虹垡= = ：! 舻一j 一昙b 兰o ( 1 - 3 9 ) 寝a l 必方程( 1 3 6 ) 在限靠盘l 一蛾= l 下鹣有理点数，藏髓沁一 = 豁，粒群m ( i + 弘) 有 明显 鄄贾n ) 淹 + l 一 i 饕b 一0 ， f 王4 ) 耱b 0 ”，著b 一0 ， ( 1 4 1 ) 若毋0 当一。辩，我褒记磁“一霸的，巍o 簿，记赋“；贾婶 。爨，我裁 可得到 蕊”+ 1 一q 捌“+ ( 1 ) “一1 9 + ( 1 ) n ( n 2 ) ( 1 4 2 ) 霸 磁”十1 一q 蠼“+ ( 一l 罗( 褥2 ) ( 1 4 3 ) 7 爹 惩 醐谶 | | 渖 _ 监 n蓄 。硝畦 挚：要 箸 蛙 蛙 第一精有限域r 上几类超曲融的有理点 甏出 1 艇) 哥褥稽：2 q l ，秘雒一尊一i ，m ( 1 4 2 ) 帘( 1 蕊3 ) 褥硝萄一 2 2 q + 1 ，巅3 一矿一g + 1 。一般遣，m ( z 4 2 ) 和( 1 4 3 ) 我们就褥 爨f 1 3 7 ) 。 本节内容可参溯文献1 2 1 】。 1 4熙( ) 8 上的g 勰s s 稻信讨方程麴瓣数 j d e 2 s a r t e l 2 2 1 把f 上的c a u s s 和推广到( 舻) 4 上，用来储计晶上一般 方疆静簿鼗。臻在我翻燧d e l s a r t e l 憨方法寒疆嚣豁下方程懿簿数。缓浚 “= a l z 产岱妻髫1 + 0 2 z f n z 素嚣1 茹素嚣2 十 + a k x d l 。1 t x m 如+ ”l + 1 。m d k , m 女+ 2 一b 0 ， ( 1 ，4 4 ) 其中m 0 ，南1 ，白o 记9 必方程( i 4 4 ) 程( p ) ”。懿群数。 对b 0 懿祷形，我稻肖 冀傲这样的代抉( t o = 一b ，撕。1 一，i = 1 ，黼虽秘= ，= 啦+ t ，m 是，菸在( 1 。4 4 ) 弱迭象鞋寒袋 元赫。这样就得到 n o 谣蛾一，编+ 岛1 舔扎一唬鼎嚣1 + 十8 女矛1 婊漱”y m 靠+ “k 一0 现凌，辩5 母以及撼一令霾寇嚣f + ，( 1 4 4 ) 等价予上镒豹方程。 瓣魏，谑论( 1 4 ) 式b = o 辩懿媾影藏怒够了。设f 一蜀隽我嚣l 在l ，3 掰述豹令霄黻域，f 州辔强m + 缸缭f 内爨空淘，视芦”+ o 为一个 逐点定义翔法稻黍法的环。设 磊一霪字，。烹譬，l 。1 ，竞，l 。蓬辩 1 8 四川大学博士学位论文 这里。= ( z l ，茹。+ k ) 是环f ”的一个可逆元。方糨组( 1 4 5 ) 定义了一 个飙( 芦”+ 2 ) + 掰) + 静一个群嗣怒圣( 邵乘法群f 4 晦赢积，= ( p ) 2 ) ( f “+ ) + 一( p ) + ( z l ，- - ，z 。+ ) ( ，+ ，矗) ， 记d = 榉七e r 蛋且设g 为该群同态的像。设妒为f 上的一个加法特征，我们 诗葵帮式 雪* 妒( m ( 嚣) ) 一d - 妒( 吐，) ( 1 。4 6 ) z e ( f - + ) ，g 对应予口= ( a l ，a k ) ( f “) + ( 方程( 1 。4 4 ) 的系数) 。乘积舡，表示的是 环f “中的逐点相乘，此时的加法特征咖是扩展到环p 的加法特征( 按 照妒( 8 ，) ：= 自b ( a i f i + + a k 矗) 一母国l 矗) 一妒( 8 氐) ) 。 设x i ，x 为乘法群p 的乘法特征，我们通过下茸的扩展定义乘 法群( p ) + 上的个乘法特征x 一( x ”一，x k ) x ( f ) = ) ( 1 ( a ) x 2 ( f 2 ) 凤( 靠) ，v f = ( f i ，2 ，血) ( f 2 ) + 接下来我们弓| 避群( 与g 正交藏称为g 的撒交群) ，为( 妒) 4 的乘法特 挺满慰x ( f ) 一1v f g 这样躬一个特铤对s 在( ) + 上懿每令陪集上楚 取常值的。这样我们就可以把芷交群舀视为( f 。) g 的特征群徽容易 得到斧g = d - 一1 ) 一“现在我们考虑和式 t = x 妒( n n ( 1 4 7 ) z z 。7 7 x 0i e ( f “) 对固定的，和式x 当，g 时，为弁0 一d 国一1 ) - - m 而当，隹g 时，和 焱x 秀转。嚣藏 t = d ( 2 一1 ) 一妒( 。n ，g 】g 第一辇有限域娲上几类超曲瑚的有理点 繇 t = ( 譬一1 ) 一”- s 这样我们藏毒 雪一( 一1 ) x ( 扔- 够( 醇) ， ( 1 ；4 s ) x e 存，( f ) 。 下嚣，我稍我髑撼g _ 岔u 船帮扩袋副f 2 ) 4 主。对( p ) 8 上懿一个乘法特 征) ( = ( x l x 2 ，x k ) ，定义 蛋& ；一g ( x 1 ) g ( x 2 ) g ( x k ) 是个( 胪) 4 上的a 盘u s s 和，剿e g ( x ) 出一个热法糁链移秘慰应瓣暴法特 征骼定义，i 一1 ，奄。由篾单螅计算，我们褥至g 亏= ( 口1 ) m 戈( n ) 蛋( 柚，( 1 ，4 9 ) x 霹 这蓬戈国) 一黾毡i ) 魏8 ；瑷在，我裁寒诗葵邃露( 掳当矽取逡爨 有f 菲乎凡辩翔法特征的鞠： 君( 妒) 一母辩。 ( 1 ，s o ) 妒 母菩f a + 2 y 对围定的岳，若咒 ) o 取遍特镒| i 勺和为一1 ，装艇( 茹) 一。取遮特征鲍鞠 为口一1n 又因为使褥”( 。) o x ( p + ) + 黔元素个数为( 一1 ) m 十k 4 、效 芝二器( 妒) 一( q - 1 ) + 一( 国一1 ) m + 2 一4 ) 一g n ( 口一1 ) m + 世 嘲川大学嬉士学位论文 固定一个非平凡特征缈o 。对每个非平凡特征妒咖，我们找得到到一 个u f 4 使得舻( 茹) = 咖( 札。) ，v x f ( 这样建立了一个j # 平凡特征集 与f 4 闼麴一令双射) 。恧蠢 及 x 妒) = x ( 霉) 粕池) ， z f +z f 尊( x t ) 一囊。( n ) 9 b ( x t ) ，i = 1 ，是 萁中的卯是我们采用加法特征咖定义的g a u s s 和。这样，得到 g ( x ) = x i x 2 x k ( u ) 鲕( x ) ， ( 显然x l x 2 肌是f + 上的一个乘法特征) 故由( 1 4 9 ) 得 雪一妇1 ) m x l x 2 x ( 札) 贾( n ) ( x ) x 0 当加法特征妒取遍联有的咎乎凡特征瓣黠上述表达式求莘爨，等徐予哭 需要对所有的f 求和就足够了。另一方面，v x 一( x 1 ，x 2 ，x k ) 0 ，我们知道x 1 ) ( 2 舰跫非平凡时，则。p ) ( 1 x 2 躲沁) ：o ； 落x l x 2 融= 乎凡特缝，裂秘海孽一1 这桴我爨德副 s ( 妒) 散，我们得到 t ：三 牮 国一1 ) 螂t 洳溉( x ) ( 1 5 1 ) x = ( 1 ，x 2 x ) g x l x 2 x 女拦e 沁一1 ) 肘+ o 一1 ) m + 1 - 戈岛 。x ( x l l x , x 2 2 , - x k , x ：k ) e 。 2 1 ( 1 。5 2 ) 第一章有限域晶上几类超曲面的有理点 当然，由( 1 5 2 ) 式，通过 酬g c d ( d l ，。+ 1 d 2 ，。+ 2 如。+ ，q 一1 ) = 1 我们也可以得到1 3 中引理1 1 的结果这时垂是一个满同态映射，这就意 味着在其映射下的象为。由定义，0 = ( ，e ，e ) ) 且9 ( e ，- ，e ) = ( 一1 ) 故，由( 1 5 2 ) 得 + ：虹型斗兰堕型( q 一1 ) m ，都：o ， 0 和 + ：虹型土乒娑迫型( g 一1 ) t m ，若6 o q 。【q 一1j 定理1 3 ：记为方程“4 4 ，在f m + k 上的解数，则 = q m + 扛1 + n s m 十 戈( a ) 鲕( ) ) ( 1 5 3 ) x 2 ( x 1 - x 2 ，一x h d ) g x i x 2 一x a = e 而且若d 1 ，m + l d 2 ，m + 2 d k ，m + k 0 ，m 为所有( p ) 上的形如) ( = ( x 1 ，x k ) e 0 ，且满足x 1 矶= 特征个数。则 n q m + k - 1 i m ( q 一1 ) ”+ 1 q k 2 f 1 5 4 ) 证明： 由5 1 3 的( 1 3 4 ) ，k 的定义( 此时k = k 一舟u il 奶o ) ，i = 1 ，) 和( 1 5 2 ) 知 q 4 。 ：f 三 。e 厶s m + k 口 国一1 ) 踟+ ( 口一1 ) 。也+ 1 又( n ) 岛( ) ( ) ”囊堞? 戈意名p 即可得出( 1 5 3 ) 。而当d l ，m + l d 2 ，。+ 2 d k ，。+ k o 时，由( 1 3 4 ) 式知 道k 一m p a 及i g o ( x ) isg 2 代入( 1 5 3 ) 即可得( 1 5 4 ) 。 嘲川大学博士学位论文 上面兹这个形式与经典鹃对角方程豹绪祭菲鬻靛穗议。圄鼷经熊清 形端3 、p p l 。2 m 越设炳为如下方獠猩( p r 上的解 8 l 砖a 2 茹如2 。，# r 鬈= 0 其中a , 1 ，a 2 ，t 2 r f 4 ，姗 强= 矿一1 十 篁1 a ! ) t t 承( 赫) 南( x l ，x 2 ，酪； x = ，x ：争# ， * 】一， x 3 x 2 x r 兰 丽鼠设m 为f 女上的特征组x l ，x2 1 ，n 满足世一s ，蛾$ ，i m l ，r ，f f l x i x 2 始= 熬令数。羹 j f j q 7 1 1 m ( q 一1 ) 口2 1 零节逡容可参藤文羰露1 l 及潮。 1 5有限域b 上更一般的阶梯方程 在上节鼙袋溺特链帮技巧对限蠛器主一般方耧的孵数浚蠢褥戮 象1 2 和1 3 尾关于莱类超曲颟肖理点的直接公式而是古肖不便于计端 羚姆缀矮表达式。不适在1 4 我锻瞧警褥戮萼 壤l ，l 稳结论，受瑟菸发我 们采搽讨一类趸广怒秘匿蠢毽患的童接公式。 酋先我们给出两个引理。 孳l 遴羔，2 ：碧夥浚一毛是一夸毙毒藩蠛，譬一矿，歹l ，爹廷一令专案 数，浚舞毒隈城七方程 r ，= 啦繁“。t 一0 ， 5 5 ) l = l 第一章有限域r 上几类超曲面的有理点 在( p ) 仁( f + ) 8 ) 上解的个数。其中。i f 4 ，i = 1 ，r ，m 玎 0 。则有 ，。= ；， ( q - 1 ) s + ( q - 1 ) a - r + 1 。，。! 乎。元e 。，g 。e x ， ，e t s s ， 其中8 = ( 盘1 ，- 一，) 毫( f ) 伊的系数，g 是如下定义酌群同态雷的 这里，鳜= ? “z ? “，i = 1 、，r 0 是g 的正交群，x 一( 砖，骼) 是 g o 为f 上菜一固定加法特征对应下的( p ) 上推广的g a u s s 和( 见1 4 ) 如 栗零是满弱态，掰g = ( p 汽教0 = ，) ，s 是p 的主特征 ，由定 2 ： ( 擘一1 ) 8 + ( g 1 ) 3 r + 1 ( 一1 ) 7 】 ( 1 。5 7 ) 定理1 4 ：设f 一墨是一个g 无有限城，q p f ，i ，跌奇索数， n t z ；”。毫”，+ + 口。，z ；4 ”。鲁，n ，+ 口m 十，z ；“，”1 罐，+ “：+ + 。茹，”。毫z “。十 。；+ 】茁 2 + 1 1 z 惫2 + l “3 十+ 口。譬，“茹密n 。：6 ，( i 5 8 ) 2 4 在f “一上的解数，这里奶 0 ，a i f 4 ，b f j0 n l n 2 茎墨n s - 若g c d ( d e t ( d i j ) ，q 1 ) = l ，射有f “”l “j 为 霉b s 肄；( 晕髓，一( g 1 ) 髓：) + 建蔓笠2 尹幽十 妻q m ( g 一一一( 1 ) ”一，) ( 蛆卫篙业地曲) ，粕= o = 2 壹q n , - n t ( 矿t n 一，一( 口一1 ) ”c n t x ) ( 鱼= 婪= = 子i 坐) + t 舞2 f g 墨翌墨翌，若6 0 口 ， 证明：首先，我们可假设b = o ，否则，令a o 一- b ，密( 1 5 8 ) 嚣端寨以未 知元。o f + 。移项就得到 。o o 十a l 韶。正j l l z n d i l n l + + n n ，茁o z ；”p z 裔p 1 1 + 。，+ l z o z ；“，“1 g 惫t ”“z + + x o a 。z 。1 z 意；u + a n 2 + 1 茁o z ；“：+ 11 搿急。+ “a 十+ 。z o $ 一z 意s n a = 0 ，( 1 5 9 ) 嘲对b o 和任意个溺定的锄p ，方程( 1 5 s ) 等价子如上的方程。设 矗一! u 。拳t ，一，矗，一盔：“”。窘t ”， 五。+ ，一茗，“1 。意t ”n ，厶：一。 ：1 ，。意z ”， 厶：+ ，= 。：“，”1 茹惠。”m ，矗。= 茹 一。老一m ， 若v0 i ， = 0 ，则 十l 一0 由此可知，若，1 = 0 ，厦q 如= 南= a 。= o 。如祭，1 ，a ，中恰有怒个不为0 ，( 0 k n 。) ， 当o | | 。 时，则窍矗蠢0 ，矗+ l = 一是。一l 一氩一0 。谗 n u = ( 茹l ，嚣。) | 趣矗= 。 t # l 蔓 第一落有限域日上几类超曲面羽有理点 ：= 然：一 ：= ：= 寰= = = !燃= = = 燃= = 燃嚣竺= 拳篇= 端燃霉= = = = 篡燃端兰= = 2 = 竺 设捌一，为。：。对，f a ：( 1 ，5 8 ) 谯f n s 上豹瓣数，翊蛹“” “= 毒移。辩u 作如下翎分 魄一 誊j ，- - - ，髫。) 矽| 矗，t ，鑫笋0 ，f k + 1 一一彘一0 ，o 是 站s 砜。一 ( z 1 ，茹。) u f ，l 氏o ) 强一 ( 掣l ，- ，) 矽 五= 0 ，i t ，钰s 靠1 容易验诞阢n 玛* 0 只要z 旁j ，p l u uu k 斛此显然 k = o 袁a 磐；，却，“= 登簪娠。 我嚣j 羲走寒考虑岛，盎懿霆讨论勰遵哭籁满足袋露l 磊m0 ，敖存 在3 j i = 0 ，0 i 鬟札l ，熟余的任取，我们有移u o ；( q n ，一( 口一1 ) “t ) g “一“ 茭次，对予攘当予考虑遥磊一番在芦) 。鹣解数， 扭g c d ( d e t ( d o ) ，q 1 ) 一l ，知 ，矗定义的网漆是满射，由( 1 5 7 ) 式 褥劳k 一；一l 穗一1 ) 串趣一1 ) ( 一1 ) 】。 最聪，我翻寒考黪瓯，8 奄蓖。警0 蠡 娃l 藏搬 老 n 。+ 1 ，i l ，s l 时，由氓定义，靠+ l = o ，敞寄某个j ，0 j 墨使 德雩= 0 。麴果8 j 毪，尧一鑫健天蠢；，褥矗。= 0 ，这与五矗 o f f ；瓣；皴巢瓤 0 ，n 芝i j 1 ，g c d ( d e t ( 奶) ，q 一1 ) l 跨，刘由定理j 。薅 n o h 2 ，n ) = 矿。+ 虹进掣+ 三g * 一f + 2 ( ( g 一1 ) + ( 一1 ) 2 ( 口一1 ) ) ，辩6 。0 七军2 扩2 + 蛐每出+ 他一l q n - ( 。十2 ) ( 一1 ) 。一( 一1 ) 2 ) ，著b 0 竞篇2 由简单的递推，以咧可进一步简化为 n 0 ，2 ，+ ? 1 - - 1 ( 一1 ) ”( + 1 q ，菪b 0 k = o n - 1 ( - 1 ) 4 1 + 2 + ( 一1 ) 4 一( 2 + 1 ) 口，若b = 0 七= 1 此即推论1 1 。 推论1 4 ：设 o ，口i f + ，1 i n 2 ，1 j 磊： ；妻：，n 2 扎1 0 。则 由定理1 编 ( l m ) q n a - n 1 ( 口8 1 一( q 一1 ) “1 ) + 立芝空l 三棚等幽+ ( q - 2 “1 一( q 一1 ) n 2 - 1 ) ( 妊妊等叫趔) ，若6 = 0 ， ( q - 2 一”1 一( 口一1 ) “2 一“1 ) ( i 贮二芏罡产) + i g = ! 出= 【= 12 ：! 口 若b 0 四川大学博士学位论文 可进一步简化为： n ( m ，n 2 ) ： q ”2 十q n 2 - m - 1 ( 口一1 ) ( ( 一1 ) “1 一( q 一1 ) 礼- ) + q - 1 国一1 ) ( ( 一1 ) “t 一 一1 ) “z ( 口一1 ) “：“，) ，若b 一0 ， q “。一“x 一1 ( ( 1 ) “十1 + ( q 一1 ) “，) + q - 1 ( ( 一1 ) “。+ 1 + ( - - 1 ) “，( g 一1 ) 瑚一“，) ，若b 0 藏蘑菇l + 2 掰褥定理l + 1 。 注释l 。l ：本章鼹掰究鳃整接公式，襄际上是赣塞接鼹有理公式，可 以用朱方便的求出该超曲面的z e t a 函数伪第璋，如果农方程以5 s ) ， p 6 鲫，仁够和“簖，中把条件咄， o 削弱为画，0 ，这时求落们的 塞接公或就弱难缮多，参见j 。绦j 文农j 3 中，我们给交了方 程以咧在d 巧o 时的一个直接公式。显然当或 乏o 时，以，掰) 包含 了仁“j 和阻6 2 ) ，自然也就包含丁经典的对角方程。 本节内容可参阅文献俐 第二章几类越曲面上z e t a 妫徽的计冀 第二耄几类超曲面上z e t a 函数的计算 2 。1 雩l 言 设玛是特镞为p 的口元有限域，f ( x ) 毫f x o ，z 1 ，。】为个 齐次多矮式，迁a 0 为袈影怒夔嚣蟊蜀； 0 。这样，我们得到一个漂亮氍j z e t a 函数。 引谍2 2 ：设8 h _ 一，a f 4 ，m ，为方程偿。纠所述，f = 塌是一个g 元有 限域。设方程 ，一n i x d l 。茹 ”z 。d l + , m l + 1 + 。2 卫o d 2 。2 ”2 。d 2 + , m l + 1 嚣耋嚣2 十 + a k x 8 。x f “。瓣1 。瓣8( 2 ，8 ) 其辛南0 ，n z e t n 函数巧( ) 为如下形式的有理函数 讯+ 1 “- 1 r il - i ( 1 一g m + 扣扣j 牡妒 乃( ) 。酉习i = o 可3 = 0 j 两_ f 两 ( 2 9 ) 其孛芦= ( ”拍( 一1 ) 一。 证明： 由予( 2 4 ) 中奶 0 ，我们来考虑变羹k ，由定3 t h 。惫一 弹u i i 哦j 0 ，i = 1 a 。茹0 耐褥， ( 1 ) m i n j i c 9 一o ) m ，此时，8 0 d 。0 ，故k = 0 。 ( 2 ) m m + ，帮是a o t m 十k 0 ，褥h 。= k 。 由弓i 理2 1 翔( 2 8 ) 在f ”+ 。+ 1 上的辩为 膨“硝= 。嚣。芈+ 。嚣鲤学n s ”+ k + l 8 s m + b 十l = q + m + l 一日一1 固一1 ) ”+ 2 十错( 矿一( 一1 ) 2 ) + 匕! 瞧! ：! 上! ： n ( 2 8 ) 在射影空阗p ”+ 2 ( f ) 上的鳃为 ，m + 1 詹) 豁口盘+ m + 十q + l q k - 1 ( g 1 ) m + 1 + 错f 矿一一1 ) 2 ) + ( i k 百一1 m + l g + m + ( 2 ，1 0 ) 同样，容易得出( 2 8 ) 在p m + k ( f s ) 上的解职州。1 ，方程( 2 8 ) 的z e 地函数 为( 2 9 ) 斌。 f = 舀上方程( 21 ) 的齐次纯方稔( 2 4 ) 中，设满怼箨0 陋一鸯一毒 1 ，i t ) 一te 帮的幂指数除斑，0 = 盔。0 = o 外，南 0 ，采用 絮下代换( 经樽警勒一o 霉寸，对应静方程里髫州i ，。+ “交匿下标为最 磊个标号，其余的佼次向前平移，记讹。一m 十国 如。，i 墨j 0 ，则z e z o 函数乃( 让) 为如下形式的有 理函数z ，( 札) 为 m 十l 七一1 e 口一 8 疆 曩( 1 一扩+ “一j 珏) 8 1 - it i 。( 1 一9 2 扣h i u ) r i = 0j = o ，0 十j 0 口芒s m + r + l 。 ( 2 1 4 ) 其中= ( 4 1 ) - ( 一1 ) 冲j ，一( 5 游了b ) ，( 一1 ) 口一i + 1 ，如：t 一 斧u cf 砚。j 0 ，c 一1 ，) 。 岛= o 证明： 酋先，构造一个方程( 2 1 3 ) 躲形如方程( 2 8 ) 的非务次 形，即 d i ：0 ，d i ；o 分别加l 外，白是一样蛇。容易知道，当嚣。； 1 时，新彳导到的方程( 2 8 ) 与方稷( 2 。1 3 ) 豳解。当茹o = o 黠，( 2 8 ) 豹 解数是q “，记( 2 。1 2 ) ：e f ”柑+ 上豹解茭t j n ( m + r , t ) ，姥黠( 2 1 3 ) 熬解满 足扩一( ”+ ”。设( 2 。1 3 ) e p ”+ ( 鄹上的鳃梵贾( m + l ，蚋，则 弦m+l，)：露，fml，砷+qk-r-tn(m+r4)_qm+k 口一1 3 6 圜jil 大攀博士学位论文 = 7 ( ”。+ 1 ，) + q 一7 一。 烈! = ! ：b2 一g 竺：! = ：二： q - - 1q - - 1 = 7 ( m + 1 ，七) + q 一r t n ( m = + r t ) f - 一1 一q k - r - - t ( q m + r 十t 一1 + + 1 ) 0 一j = 霄( 1 ) + q 一”。，( 2 ) 十( 3 ) 方程( 2 1 3 ) 在p m + 2 ( e ) 上的解为蔗苫”十1 ，衅也可以记为这样兰部分 联1 + 矿( 2 一“) 怒2 + 联3 睦l 弓l 毽2 。2 中熬慰( ”+ 1 ，衅及类瞧冀定理2 ；1 熬瘴r ( r a + l , k ) 褥 联m + l , k ) ：戒m + l , k + q s ( k - r - t ) e 譬( 4 i 、叮( 1 _ ，“舻叫( ) 从而得出方程( 2 1 3 ) 的z e t a 数为( 2 1 4 ) 式。 利用定理2 2 ，很容易得到以下推论 一 推论2 1 ：设p = 日是一个g 元有限域，d ，吐，i = 1 ，七为定理譬肿所 定叉，若f 上方程隰j ，满足南 o 盈傣| 盔= 田一 w + i ，仞+ ) ，= 岛即留。j ，对应的齐次化方程 ，一o - z 8 1 。x f ”z 。d l + , m ，+ 1 + n 。z 8 。d 2 ，2 。d 2 十, m ，+ 1 z 寮嚣2 + 十n z 争。茁i “z d m k + , m l + 1 z ”t d k + , m k + ( 2 1 5 ) 狳开氏+ 1 ，o = 氏+ f ，o = o 外， 0 ，则z e t n 函数乃( 乜) 为如下形式 的毒理函数 z ，心) = m + 1 知一1 r in ( 1 一q m + k - i - j u ) 兰o j = 0 ”t 斗 t 一1 rh ( 1 一q m + k - - e - l - 1 ) 1 e = o1 = 0 ( 1 一札) - ( 1 一q u ) ( 1 一扩+ u ) 葵中r 一( ”1 ) ( 一1 ) ，a = ( ”；”) ( 一1 ) 。+ 。 ( 2 1 6 ) 第二章几类超曲面上z e t a 函数的计算 受为特殊酌一类方程，郯在推论中倒= o 时的情形，奁此就不稃累述。 勇当w = l 辩，这对的z e t a 函数受为简洁。 率节内容可参丽文献嘲。 2 4 应用举侈| j 下嚣，我们就辫菜绘定的逛麴嚣，分裂用2 2 f - u 2 + 的z e t 8 溺数 计冀公式浓计算其z e t a 爨数。 铡i ：谈f 一舀是一个q 元有限域，g p ，厂l ，p 是一个奇素数。对于 有限域f 上的方程 g ：2x l z 2 + x l z 2 x 3 = 0 ( 2 1 7 ) 方程俾，7 ，对应d l = 2 ，d 2 3 ，d = 3 ，对应齐次方程为 垂：。2x o x l z 2 + 嚣l 。2 。3 = 0 ( 2 1 8 ) 刀应用定理2 ，j 求解：由方程俾j