（概率论与数理统计专业论文）基于稳定分布的garch模型的bayes参数估计及其实证分析.pdf

中文摘要 摘要 金融市场中的数据一般具有高峰厚尾的特征，然而传统的分布对这种厚尾特性描 述不足，稳定分布不仅能够捕获这种特性，还能刻画数据的偏性，它具有一系列良 好的性质，可是由于没有显示的密度函数，其参数估计具有一定的困难，本文着重 从贝叶斯的观点运用m c m c 方法对其进行参数估计，并推广到金融中常用的计量模 型g a r c h 模型。本文的结构安排如下： 本文首先简单介绍了如何衡量金融市场中的收益，描绘了金融市场的特征，简述 了常用的拟合金融数据的分布及其简要特点。接着给出了稳定分布的四种等价定义方 法，详细的分析了稳定分布的性质，提出如何利用简单随机数产生稳定分布的随机变 量以便我们进行分析研究，借助稳定分布近似密度函数的图形我们对它的特征会有更 加直观的认识。 第四章通过引入辅助变量，运用g i b b s 抽样方法来实现稳定分布四个参数的估计。 其中辅助变量的后验密度是单峰的，因此引入自适应舍选抽样来提高效率，而特征参 数、偏度参数和位置参数的后验密度是多峰的，用切片抽样来处理效果较好。在该章 中讨论了几种高效实用的抽样方法在第五章中提出了基于稳定分布的g a r c h 模型及 其贝叶斯参数估计实施步骤。 文章最后通过模拟数据验证了贝叶斯估计的有效性，然后将该估计方法运用到我国 金融市场的实证分析中，发现用稳定分布去拟合沪深股市收盘价的收益率更合适，运 用g a r c h s t a b l e 模型能够更好的评估金融市场中蕴涵的风险。 关键词：厚尾，稳定分布，g a r c h 模型，g a r c h s t a b l e 模型，m c m c 方 法，g i b b s 抽样，切片抽样，自适应舍选抽样 一v t - a b s t r a c t t h ed a t af r o mt h ef i n a n c i a lm a r k e ta l w a y sh a v ev e r yf a tt a i l h o w e v e rt h et r a d i t i o n a ld i s t r i b u t i o n sc a nn o tc a t c ht h i sc h a r a c t e r i s t i c t h es t a b l ed i s t r i b u t i o nc a nn o to n l yd e s c r i b et h eh e a v y t a i l ，b u ta l s ot h es k e w n e s s i th a sas e r i e so fe x c e l l e n tp r o p e r t i e s ，b u ti td o e s n th a v eac l o s e d f o r mo f p r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n ，s oi ti ss o m e w h a td i f f i c u l tt oe s t i m a t ei t sp a r a m e t e r s t h i s a r t i c l ee s t i m a t e si t sf o u rp a r a m e t e r sw i t hm c m cm e t h o df r o mt h eb a y e s i a nv i e w , t h e nw eu s e t h i sm e t h o dt oc o m p l e t et h em o d e l i n go f g a r c hb a s e do ns t a b l ed i s t r i b u t i o n t h es t r u c t u r eo f t h i sp a p e ri s 鹪f o l l o w s f i r s t l yw ei n t r o d u c et h er e t u r no ff i n a n c i a lm a r k e lt h ef e a t u r e so ft h ef i n a n c i a lm a r k e t b e h a v i o ra n dt h ed i s t r i b u t i o n su s e dt oc a p t u r et h ec h a r a c t e r i s t i c s t h e nw ed e f i n et h es t a b l e d i s t r i b u t i o nw i t hf o u re q u i v a l e n tw a y sa n da n a l y z ei t sp r o p e r t i e sc a r e f u l l y t os t u d yt h es t a b l e d i s t r i b u t i o n ，w em u s tk n o wh o wt os i m u l a t ei t sr a n d o mv a r i a b l e s w ec a l ll e a r ni ti n t u i t i v e l yb y w a t c h i n gi t sp l o to f d e n s i t yf u n c t i o n b ya d d i n ga na u x i l i a r yv a r i a b l ei nt h ec h a p t e r4 ，w ee s t i m a t et h ef o u rp a r a m e t e r su s i n g g i b b ss a m p l e r t h ep l o to fa u x i l i a r yv a r i a b l e sp o s t e r i o rd e n s i t yf u n c t i o ni su n i m o d e ，8 0w e u s ea d a p t i v er e j e c t i o ns a m p l i n gt og e n e r a t ea u x i l i a r yv a r i a b l e s h o w e v e rt h ep o s t e r i o rd e n s i t y f u n c t i o n so fc h a r a c t e rp a r a m e t e r , s k e wp a r a m e t e ra n dl o c a t i o np a r a m e t e ra r em u l t i - m o d e ，s o t h es l i c es a m p l i n gi su s e dt om a k et h ea l g o r i t h mm o l ee f f i c i e n t i nt h ec h a p t e r5w ed e f i n et h e g a r c hm o d e lb a s e do i lt h es t a b l ed i s t r i b u t i o na n ds h o wh o wt oc o m p l e t et h ee s t i m a t e s a tl a s tw ec o n f i r mt h eb a y e s i a ne s t i m a t i o ni s a p p r o p r i a t eb ys i m u l a t i n gs t a b l er a n d o m n u m b e r s t h e nw eu s et h i sm e t h o dt oa n a l y z et h ec h i n e s ef i n a n c i a lm a r k e ta n df i n do u tt h a ti t i s m o r e a p p r o p r i a t e t h a n t h e n o r m a l d i s t r i b u t i o n t o f i t t h es t o c k r e t u r n o f s h a n g h a la n d s h e n z h e n u s i n gs t a b l ed i s t r i b u t i o n t h eg a r c h - s t a b l em o d e lc a l le v a l u a t et h er i s ko ff i n a n c i a lm a r k e t m o r ec l e a r l y k e yw o r d s ：h e a v yt a i l ，s t a b l ed i s t r i b u t i o n ，g a r c hm o d e l 。g a r c h s t a b l em o d e l m c m cm e t h o d ，g i b b ss a m p l i n g ，s l i c es a m p l i n g ，a d a p t i v er e j e c t i o ns a m p l i n g v i i 插圈目录 插图目录 3 - 1 口变化，p = 0 ，y = 0 ，j = 1 l o 3 2 q 变化，卢= - 0 4 ，y = 0 ，d = 1 1 0 3 3 口变化。卢= 0 4 ，1 = 0 ，6 = 1 1 0 3 - 4 o = 0 8 ，p 变化，y = 0 ，6 = 1 1 0 3 5 o = 1 8 ，p = 一0 9 ，y 变化，6 = 1 1 1 3 - 6a = 1 8 ，p = 0 7 ，y = 0 ，6 碧化1 1 4 一l 切片抽样的思想2 0 4 2 逐步扩展方法2 0 4 3 双倍扩展方法2 1 6 1 模拟数据的分布2 7 6 2 模拟数据的序惯均值2 8 6 3 模拟数据的序惯方差2 8 “当z 0 ，辅助变量后验密度的图形2 8 6 5 当z 2 ，x 1 ，磁，k 和x 独立同分布，若存在正数g 和实 数i ) n 使得 五+ + + 皇g x + d n 成立，则称随机变量x 服从稳定分布。并且有 g ：佗 定义3 3如果一个随机变量y 有吸收域，则它服从稳定分布。 分布的随机变量m ，正数列厶和实数列n 。，满足 兰兰 ：垦+ 三x ( 3 - 2 ) 即存在一列独立同 ( 3 3 ) 3 1 稳定分布的定义 其中“三”表示依分布收敛。这个定义表明稳定分布是标准化的独立同分布随机变量 之和的唯一的极限分布。通常厶= n ( 仃) ，这里 ( z ) ，z 0 是一个缓慢变化函数， 即l i m 。掰= 1 对任意的t o 成立。 定义3 4 随机变量x 有四个参数0 0 。它的 特征函数有如下形式： 其中 e e x p i ： e x p 一俨i 1 4 ( 1 一f l ( 8 1 9 毗) a n 警) + 却) 【e x p - s l t l ( 1 + i f l ；( s i g n t ) i ni t l ) + ) 则称x 服从稳定分布。 蛳* t 翥 0 a 1 a = 1 以上四个定义是等价的，如果x 服从稳定分布，四个参数为o ( 0 ，2 1 ，p 【- - 1 ，1 】，7 r ，6 o ，记作x s ( q ，p ，y ，6 ) 。 稳定分布的概率密度函数存在，并且是连续的，但是迄今为止还不清楚它的具体形 式。只有以下几种特殊的稳定分布能够写出密度函数，它们是： ( 1 ) 正态分布：当o t = 2 时， e e x p ( i t x ) = e x p 一6 2 t 2 + i t t 口值无法确定，一般看作0 ，则有 s ( 2 ，0 ，y ，6 ) = ( ，y ，2 铲) 可以看出，6 并不等于标准差。 ( 2 ) 柯西分布：当口= 1 ，p = o 时，s ( 1 ，0 ，j ) 为柯西分布，其密度函数是 m ) = 而南 第三章稳定分布的定义及性质 ( 3 ) 列维分布：当o = i 1 ，p = 1 时，s ( ，l ，1 ，d ) 为列维分布，其密度函数是 m ，= ( 嘉) 5 南唧 一南) p 。 ( 4 ) 常数，y 是s ( q ，0 ，仉o ) ，v a ( 0 ，2 】的退化分布。在考虑稳定分布时，通常情况下 我们会排除退化分布，因为它的性质和一般的稳定分布有较大的区别。 3 2 稳定分布的性质 命题3 1所有的稳定分布函数都是单峰的。 微。 命题3 2所有非退化的稳定分布函数是连续的而且每一点上密度函数无限可 命题3 3令托和恐是相互独立的随机变量，且咒一s ( a ，反，m ，最) ，i = 1 ，2 ， 则x 1 + x 2 一s ( 乜，卢，仉d ) ，并且有 卢= 4 舞1 丰- v 垂, u 2 坚2 ，7 = 饥+ 能，6 = ( 凹+ 霹) 1 口 命题3 4 若x s ( o ，p ，7 ，j ) ，令a 是一个常数，则x + 凸一s ( a ，卢，y + a ，6 ) 。 命题3 5 若x s ( 口，p ，7 ，6 ) ，而。是一个非零常数，则 ia x s ( d ，s 9 礼( n ) p ，a 7 ，i a f t ) ， 口1 【a x s ( n ，s i a n ( a ) # ，a 7 一；n ( 1 ni n i ) 6 p ，i o 陋) ，n = 1 命题3 6 对任意的0 o l 2 ，若x s ( 口，卢，0 ，6 ) ，则一x s ( a ，一p ，0 ，j ) 。 推论3 1假设置，磁，独立同分布，服从s ( a ，卢，7 ，6 ) ，则 托+ 恐+ + 兰n z l 。x x + 7 ( n - n l 肛：兰： 命题3 7 。若x s ( n ，反6 ) ，而z = 每2 ，则z s ( a ，卢，0 ，1 ) ，z 称为x 的标准 化变换。 命题3 8随机变量x s ( a ，p ，7 ，6 ) ，x 是对称的当且仅当p = 0 和7 = 0 。x 是 关于1 对称的当且仅当p = 0 。 一7 一 命题3 9 若a 1 ，而x 一( n ，p ，y ，6 ) ，则x 是严稳定的当且仅当1 = 0 。 推论3 2 随机变量x s ( n ，反，y ，j ) ，且a 1 ，则x 一7 是严稳定的。 命题3 1 0 随机变量x s ( 1 ，卢，y ，6 ) 是严稳定的当且仅当p = 0 。 命题3 1 l 若x s ( n ，p ，y ，0 o a ) = 仅业2 和v ， 1h m + 。a a p x 一a ) ：( 五上2 6 a 瓯= ( o ”xo s i n x t 乎南三 命题3 1 2 若x s ( d ，卢，y ，0 a 2 ，则 e i x ? c o 竺 从该性质我们可以知道稳定分布的矩的存在性只与特征参数a 有关，正态分布是稳 定分布中唯一存在两阶矩的分布。若1 o 2 ，稳定分布只存在一阶矩，二阶矩不存 在；若n 1 ，这时稳定分布的一阶矩都不存在了。 命题3 1 3 x s ( 口，7 ，回，一当1 口2 时，有e ( x ) = 该性质说明在1 a o 时，分布右偏，且右侧的尾部比左侧的要厚。 ( 3 ) 当p 0 ，图形右偏：反之p = f ( o ) t r ( d o l x ) ( 4 一1 ) j e 这里日e ，7 r ( p i x ) 是参数0 的后验分布运用积分求i ( 目) 有时不太容易，解决这个问题的一 个办法就是从后验分布中模拟出一系列的目，然后求这些，( 口) 的平均值而m c m c 方法就 是构造一个马尔可夫链 伊) 冬l ，并计算i ( 口) 的估计： k ( 日) = ：，( 伊) ( 4 2 ) t = i 在收敛性得以保证的前提下( t i e r n e y , 1 9 9 4 ) ，k ( 目) 是i ( 口) 的相合估计 m c m c 方法本质上就是通过转移密度矩阵构造一个离散时间的马尔可夫链，其实 现需要解决从后验分布的抽样问题本文中的稳定分布参数估计就要运用m c m c 方法中 的g i b b s 抽样。 g i b b s 抽样是应用的最多的m c m c 方法。它是由g e m a n 和g e r m a n ( 1 9 8 4 ) 提出来的 令0 = ( 0 1 ，如，以) 是一个后维的参数向量，在给定数据集x 后，又令”( 口l x ) 是后验分 布，贝l j g i b b s 抽样的算法如下： 第一步：任意选定一个初值0 0 = ( 0 1 , o ，如0 ，o k 。o ) ，令i = 0 第二步：按照如下方法产生巩+ l = ( 口1 件1 ，如件1 ，民i + 1 ) ： ( 1 ) 产生口1 i + 1 7 r ( o t l 0 2 ，小，o k ，x ) ； ( 2 ) 产生8 2 。1 + 1 一i r ( 0 2 1 0 1 ，i + 1 ，0 3 i ，民， ，x ) ； ( 3 ) 产生艮，1 + 1 7 r ( o k l 0 1 ，+ 1 ，如，i + 1 ，氏一1 ，i + 1 ，x ) 第三步：令i = i + l ，转到第二步 4 2 稳定分布参数估计的实现 由于稳定分布有四个参数，因此它的贝叶斯参数估计就是利用m c m c 方法中 的g i b b s 抽样不断更新每一个参数的值，直至收敛，然后用收敛的参数序列去估计参数 一1 2 - 第四章稳定分布的见叶斯参数估计 的值。另外，稳定分布的具体密度函数没有显示表达，为了能够进行贝叶斯推断，我 们需要引入一个辅助变量y ( b u c k l e ，1 9 9 5 ) 。根据贝叶斯定理，利用( 互y ) 的联合后 验分布则可得到参数的后验分布。 定理4 1 已知参数o ，p ) ，令( z ，y ) ( 一o o ，0 ) x ( 一0 5 ，2 。一) u ( 0 ，o o ) ( k ，o 5 ) 的 联合条件分布为 s ( z , y l 郇) = 南e x p 一f 南r 。) j 南r 。高 其中 t 。一( ”) = ( ! ! 1 5 ：；：l ；剑) ( ：；i 5 i i ；! ! ! i ； ；：而) 。一1 7 8 p m i n ( a ，2 一口) ” r a , a2 i 幻= 一堂1 1 0 。 并且有o ( 0 ，1 ) u ( 1 ，2 】，卢【一1 ，1 】 z ( 一o ( d ，+ o 。) ，( 一0 5 ，o 5 ) ，则z 的边际分布 为s ( q ，p ，0 ，1 ) 。 定理的证明参考b u c k l e ( 1 9 9 5 ) ，根据上述定理可得到以下推论。 推论4 1给定z ，o l ，p 时，y 的条件分布为 f ( y l 。刖o c e x p 一i 南r _ ) l 南r ( 4 4 ， 若z 0 ，密度函数的值域为( f n ，口，o 5 ) 。 屯，口( ) 具有如下一些性质： ( 1 ) 。口( 可) 在( 一0 5 ，o 5 ) 上是连续单调的。 ( 2 ) t 。月( 可) o 当且仅当可= l o , ，。 ( 3 ) l i m y 。0 5t a , e ( y ) = + o o ，而l i m u 一05t a , 口( ) = 一0 0 给定礼个独立同分布的来8 s ( a ，反6 ) 的观测值( z l ，耽，) ，若已知四个参数的 先验分布为7 r ( a ，卢，7 ，j ) ，根据定理可得参数的后验分布为 巾属 h 神孙o 可n e x p 一妻t = l i 赢。, p k i 一， i 老裔l 齿丙1 丌( 晟) d y 1 3 一 4 2 稳定分布参数估计的实现 其中z i = ( x i 一，y ) 0 ，i = 1 ，n 。那么我们就可以应用g i b b s 抽样来实现参数的估 计。若给定了观测值和四个参数的初值，估计的具体的程如下： ( 1 ) 辅助变量y 的产生。由推论可知 f ( y l 印m x ) “唧 一i 瓦薪r 以) i 南r 。1 其中z = ( x 一，y ) 膨。要从这个条件分布中产生y ，可以采用舍选抽样法，但是一般 的舍选抽样方法效率较低，故b u c k l e 建议使用直方图构造上界函数以提高效率。从 条件分布的图形可以知道密度函数是单峰的，在本文中我们采用自适应舍选抽样 ( g i l l s ，1 9 9 2 ) 来进一步提高抽样效率。 ( 2 ) 特征参数a 的抽取。这个参数是稳定分布中最重要的参数，也是贝叶斯估计 中最难抽取的参数。给定它的先验分布为”( n ) ，令聋= ( 戤一7 ) p ，则特征参数的后验 分布为： 心慨，正x y ) 仪( 芒与) ”唧 一喜l 南l 啬) 垂l 毒b l 南巾) h 忉 通过后验密度的图形，我们知道它是多峰的，并且波动较大。对抽样带来一定的 困难。b u c k l e 建议应用再参量化的方法消除参数估计时的波动，然后使用m e t r o p o l i s h 枷n g 算法进行抽样。首先将g 转换为v = t 。月( y ) ，新的密度函数形式如下： 丌( a 慨，x 川( 若j ) ”e x p 一妻i = 1 引矗) f l 。l 薏l 舟。d 句t a , pk - 1 础两7 r ( a ) 固 其中。印( ) = 蛐应用牛顿迭代法来求解。其中 1 d t a 矿, a = 口丌c o s 扣 一1 ) 秒+ 纠 1 + 壶( 而s i n7 r y q l ，。s i n 防t r ( a - - 一1 1 ) ) y + + , 口1 】2 ( 4 9 ) 具体的抽样步骤为： 第一步：从先验分布9 中产生o t 。由于后验密度中口0 ，因此在抽样时我们需要预 先判断o 是大于1 的还是小于1 的，然后将先验分布的取值范围限定在( o ，1 ) 或者( 1 ，2 ) 的 范围内。先验分布的选取并无其他特殊要求，因此我们这里采用取值范围内的均匀分 布。 第二步：产生u v ( o ，1 ) 。 第三步：如果u 篝岛筹高参爱割等，贝o a i + t = o 。，否则d 件- = 啦 但是由于该方法需要解方程，因此算法效率变低，特别是随着n 的增大，算法所需 第四章稳定分布的贝叶斯参数估计 时间代价就会更大。另外，h a s t i n g 算法的更新速度慢，因此收敛速度也不是很快。 不过n e a l 提出一种新的抽样方法切片抽样可以很好的解决这个问题，切片抽样也是一 种m c m c 方法，它能够处理多蜂的密度函数，并且通过扩展或者缩减切片的长度来提 高抽样效率。故本文中该参数是通过切片抽样来估计的，此时无需采用再参量化的后 验密度，切片抽样方法如何操作详见下一节。 ( 3 ) 偏度参数的抽取。与特征参数类似，在已知p 的先验分布”( 卢) 后，它的后验分 布为： 丌c p 旧7 ，正x o ce x p 一娄l 若裔i 矗) 垂l 云裔i 南丌c 国 h 一 同样该密度函数也是多峰的，如果转换”= t 。一( y ) ，其再参量化后验分布为： ”( 3 1 a , 7 , & x , v ，o c 垂l 等l ：。计：。仃c 伪 件- ， 相应的抽样步骤为： 第一步：从先验分布h 中产生风。然后预判要估计的密度是左偏还是右偏的，将先 验分布的取值范围限定在( - x ，o ) 或者( o ，1 ) 的范围内。我们这里采用( 一1 ，o ) 或者( o ，1 ) 内 的均匀分布。 第二步：产生u u ( o ，1 ) 。 第三步：如果u m i n ( 1 ，7 , f ( x a ) ) 。“m l n m i n ( ( ，f ( ( x x o ) ，) , e x p e x p l h ( ( x x o ) ) 1 ) ) ) ，则拒绝，令蜀= ；否则接受， 令x 1 = 托； 关于拒绝抽样可以参考高惠璇( 1 9 9 5 ) ，有关a r s 可以参考g i l k s 和w i l d ( 1 9 9 2 ) ， 而a r m s 可以参考g i l k s ，w i l d 和t a n ( 1 9 9 5 ) ，汤银才( 2 0 0 6 ) 提供了一个实际的应用例子 4 3 2 切片抽样( s l i c es a m p l i n g ) 切片抽样的基本思想是加入辅助变量假设随机向量x 一，( x ) ，x r “，那么抽样 是在密度曲线( 面) ，( x ) 下的n + 1 维区域中进行的若引入一个辅助变量，定义( x ，) 的 联合密度为 p c x 劫= 孑刚( x ) 这里z = ff ( x ) d x 则x 的边际密度为： f l ( x ) v ( x ) = ( 1 z ) 匆= f ( x ) z ( 4 - 2 4 ) j 0 那么先从( x ，) 中抽样，然后根据4 2 4 就抽出了x 给定了初值跏，要抽出z 1 ，其过程分为 以下三步： 第一步：抽一u ( o ，f ( x o ) ) ，得到横坐标上的切片：s = z ：y 0 ，y 0 ，y 0 ，并且f ，( l ) 或者! ， ，( r ) 时做循环 t ，u ( o ，1 ) 如果钞 0 5 ，那么l l 一( r l ) 否则r r + ( r l ) k _ k 一1 2 1 4 3 后验密度随机数产生的方法 在第三步中z 1 的产生是靠一个收缩( s h r i n k a g e ) 程序来完成的： l l a r 循环以下语句： u u ( o ，1 ) z l l + t ( a l ) 如果y f ( x 1 ) ，调用函数a c c e p t ( 正1 ) 则跳出循环 如果z 1 1 1 u m 一位+ l ) 2 若 x o m g z l m ) 或x o m g z l ，( 玑h p ，p ，o ，z t ) ，则返回第一步继续抽，直到肛 0 ，辅助变量后验密度的图形围6 - 5 当z 0 ，辅助变量后验密度的图形 片抽样来实现特征参数、偏度参数和位置参数的抽取。最后刻度参数和逆伽马分布是 共轭分布，它的抽样简单易行。 图6 8 给出了四个参数的迭代过程，可以看出经过5 0 0 0 次迭代参数序列只是在一定 范围内波动，图6 9 是四个参数的序惯平均图形，可以看出大约在5 0 0 0 次迭代后参数收 敛到真值。图6 1 0 是抽取的四个参数的直方图，而图6 1 l 和它们之间的相关关系。 为了说明该算法是收敛的，我们另外取一个初始点( 1 6 ，o 4 ，4 ，o 2 ) 。从图6 1 2 和 图6 1 3 可以看出迭代也是收敛的，并且和初始点( 1 8 5 ，一o 0 5 ，o ，1 ) 的迭代具有相近的收 敛值。 因此，我们用5 0 0 0 次迭代后的抽样结果进行参数估计，得到的估计结果如表所示， 从表6 一l 中我们可以看到初始点的选择对估计影响微乎其微，因此认为算法是收敛的， 估计是有效的。 通过对比表6 i 和表6 2 我们可以看到这几种估计中。极大似然法对特征参数估计较 好，而贝叶斯方法对其他三个参数的估计略胜一筹。 值得注意的是在切片抽样中步长u 的选取对估计影响较大，若太小，而初始值离 真实值较远，这时收敛速度会较慢；反之，若过大，则估计的波动较大，这样不利 2 8 第六章模拟与实汪 以 圈6 6 参数a 的后验密度的图形 图6 - 7 参数卢的后验密度的图形 初始参数特征参数偏度参数 位置参数刻度参数 ( 1 8 5 ，一0 0 5 ，0 ，1 ) 1 8 3 6 30 0 7 3 1 8 3 0 0 7 6 9 5 80 9 9 7 9 5 估计标准差 0 0 5 1 7o 0 7 9 4 0 60 1 6 2 3 20 0 3 8 7 6 6 ( 1 6 ，一0 4 ，4 ，0 2 ) 1 8 3 6 30 0 5 5 9 7 8 0 0 7 2 5 5 l1 0 0 0 6 估计标准差 0 0 5 3 7 4 5o 0 5 5 8 3 7 0 1 6 0 1 40 0 3 9 5 2 2 于估计的精度。在这里当抽取特征参数或偏度参数时取u = 0 0 1 ，而抽取刻度参数 时u = 0 i 。 6 2 实证研究 自上海证券交易所和深证证券交易所成立以来。经过十多年的发展，我国的资本市 场已经具有较大的规模，随着我国经济保持较高的增长速度，资本市场也呈现欣欣向 荣的景象，目前沪深两市的总市值达到1 7 4 3 万亿元，已经超过了居民储蓄总额。 图6 1 6 和m 6 1 7 是沪市和深市自开市以来的大体走势，上证综合指 数从1 9 9 0 年1 2 f l1 9 日的9 9 9 8 点涨至u 2 0 0 7 年3 月1 5 日的2 9 5 1 7 点，深圳综合指数 从1 9 9 1 年4 8 3 e i 的9 8 8 0 5 点涨到2 0 0 7 年3 月1 5 日的8 2 7 3 5 3 1 点。特别是最近一年多，指 数增长较快。 1 虱6 - 1 8 和图6 一1 9 是沪市和深市的收益率的时序图。在股市的最初没有涨跌停板制 度，因此股市波动剧烈，自1 9 9 6 年1 2 f 1 2 6 h 实施每日1 0 的涨跌停板制度以来，股市 特征参数 偏度参数位置参数刻度参数 l 极大似然估计 1 8 5 6 20 0 l1 3 6 1 0 0 7 5 1 7 90 9 8 5 3 1 1 分位数估计 1 8 2 3 50 0 5 5 4 8 4 0 0 8 3 4 9 30 9 7 1 5 8 l 经验特征函数估计 1 8 6 4 70 1 5 0 1 2o 0 8 6 4 2 9 0 9 8 8 9 4 2 9 6 2 实证研究 2 1 9 1 8 1 7 1 6 1 0 5 o 加5 - 1 o5 0 0 0 ( 1 ) a l p h a 【2 ) b e t a ( 3 ) g a m m a 图6 - 8 抽取的参数的时序图 e r g o d i ca v e r a g e sp l o to fp a r a m e t e r s 0 - 0 0 5 - 0 1 0 1 5 - 0 2 05 0 0 0 ( 3 ) g a m m a ( 4 ) d e l t a ( 2 ) b e t a 图6 - 9 抽取参数的序惯平均图 3 0 一 ( 4 ) d e l t a 第六章模拟与实证 围6 - 1 0 抽取参数的直方图 图6 - 1 1 四个参数之问的相关关系 3 1 2 1 8 1 6 1 4 6 4 2 o - 2 05 0 0 0 ( 1 ) a l p h a l _ 舢- m - 。一一t 一 盯。1 j 一”。1 一”7 05 0 0 d ( 3 ) g a m m a 6 2 实证研究 1 ，2 1 o 8 0 6 0 4 ( 2 ) b e t a i “- 。di k 山_ h _ 山玉_ k j 。_ 1 即w 1 唧r 1 - 1 甲呵，7 1 1 t r ” 图6 1 2 抽取的参数的时序图 e r g o d i ca v e r a g e sp l o to fp a r a m e t e r s 5 0 0 0 ( 4 ) d e l t a ( 2 ) b e t a 围6 1 3 抽取参数的序惯平均图 3 2 一 ( 4 ) d e l t a 第六章模拟与实证 图6 1 4 抽取参数的直方图 图6 1 5 四个参数之问的相关关系 3 3 6 2 实证研究 围6 - 1 6 上证综合指数的走势 围6 - 1 7 深证成分指数的走势 圉6 - 1 8 上证综合指数和的收益率围6 - 1 9 深证成分指数的收益率 不再像以前一样暴涨暴跌。价格变化相对平稳。从中可以看出涨跌停板制度缓解了股 市浓厚的投机气氛，有利于促进资本市场健康持续的发展。以下的分析数据剔除了未 实施涨跌停板的数据。 均值标准差中位数最小值最大值偏度峰度 l 上证综合指数0 0 0 0 4 7 40 0 1 4 5 8o 0 0 0 4 0 80 0 9 2 5 60 0 9 4 0 1 40 3 6 3 3 9 8 8 0 8 1 0 1 l 深证成分指数 0 0 0 0 6 9 70 0 1 6 11 30 0 0 0 2 90 0 9 7 5 o 0 9 5 2 9 90 3 9 3 4 2 27 6 4 8 0 3 从沪市股市收益率的直方图来看，沪市的收益率具有较大的尾部概率，体现了“尖 峰厚尾”的特征。从表6 - 3 中我们可以得到，从长期趋势来看，股市具有较高的收益 率，其中沪市的日收益率为0 0 4 7 4 ，深市的日收益率为0 0 6 9 7 另外，收益率有一 些右偏，偏度系数和0 有较大差异。峰度系数大于正态分布的峰度，具有较厚的尾部。 图6 2 2 至图6 2 9 说明了上证综合指数的收益率和深证成分指数的收益率的序贯均值 收敛，而序贯方差、序贯偏度和序贯峰度是不收敛的，这和稳定分布的矩的存在性的 性质是不谋而合的，可以推断沪市的收益率的一阶矩存在，而高于二阶的矩是不存在 的。这时运用稳定分布去拟合沪市的收益率具有明显的优越性。 一3 4 第六幸模拟与实证 围6 加上证综合指数收益率的分布田6 - 2 1 深证成分指数收益率的分布 图6 2 2 上证综合指数收益率的序贯平均图6 - 2 3 上证综合指数收益率的序贯方差 从上证综合指数收益率和深证成分指数的正态分布p p 图( 图6 3 0 和图6 3 1 ) 可以看 出，用正态分布去拟合收益率具有较大的缺陷，我们可以拒绝收益率服从正态分布的 假设。而沪深股市的收益率的稳定分布的p p 图( 图6 3 2 和图6 3 3 ) 表明稳定分布能够较 好的拟合数据。 图6 3 4 至图6 3 7 说明上证综合指数收益率和深证成分指数收益率的时间序列模型不 存在自相关和偏相关，因此建模时只需使用均值过程就能拟合数据。 然而从收益率的绝对值的自相关和偏相关图形( 图6 3 8 至图6 4 1 ) 得知，它们 的相关性较强，收益率存在明显的g a r c h 效应。在这里我们使用带有均值过程 的g a r c h ( 1 ，1 ) 进行建模，参数估计如表6 4 所示。 6 3 用稳定分布拟合沪深3 0 0 投指期货仿真交易进行跨期套利的机会分 析 i 刍2 0 0 6 年9 月2 7 日中金所推出股指期货仿真交易以来，市场交易逐渐活跃，现在股 指期货各方面的准备工作已经渐进尾声，股指期货即将推出。我们都知道投资股指期 货共有三种方式：套期保值、投机和套利。而套利按照操作的方式不同又可以分成 3 5 6 3 用稳定分布拟合沪深3 0 0 股指期货仿真交易进行跨期套利的机会分析 围6 - 2 4 上证综合指数收益率的序贯偏度图弛5 上证综合指数收益率的序贯峰度 图6 - 2 6 深证成分指数收益率的序贯平均 图6 - 2 7 深证成分指数收益率的序贯方差 期现套利、跨期套利等。其中期现套利是指作多现货( 期货) 的同时作空期货( 现 货) ，由于到期1 3 现货价格会收敛到期货价格，因此如果期货与现货价差过大则存在 期现套利机会，锁定价差实现无风险套利。跨期套利是指作多一个近期( 远期) 月份 和约的同时作空一个远期( 近期) 月份的合约，从价差的变化中获利，但是这种套利 方法是有风险的，因为两个月份合约的价差在到期日不像期现套利那样回复到0 ，因此 跨期套利是建立在对价差变化的判断上作出的套利策略。这种价差变化的不确定性促 使我们考虑使用统计方法去把握它，以减少风险。为了便于处理，这里不直接考虑价 基于正态的g a r c h 基丁二稳定分布的g a r c h 上证综合指数深证成分指数上证综合指数深证成分指数 p o 0 0 0 2 8 4 7 9o 0 0 0 2 4 2 5 l0 o ( ) 0 2 4 5 3 5 0 o 0 0 6 0 9 2 7 a 0 5 7 7 8 0 66 6 0 8 0 66 8 0 e 0 5 1 5 4 e 0 5 o l 0 8 6 2 7 9o 8 6 4 1 2 0 7 3 8 3 10