（应用数学专业论文）筛选法在谱任意符号模式研究中的应用.pdf

中北大学学位论文 摘要 如果对任意n 阶的首一实系数多项式7 ( z ) ，都能在n 阶符号模式矩阵a 的定性矩阵类 中找到一个实矩i j 牟b ，使得b 的特征多项式就是r ( z ) ，则称符号模式a 是潜任意符号模 式。如果把谱任意符号模式a 中的任意一个非零元用零元代替之后，所得的符号模式矩阵 不是谱任意符号模式矩阵，则称a 是极小谱任意符号模式矩阵。本文中，我们主要给出了 一种寻找谱任意符号模式矩阵的方法一幂零筛选法，这种方法是针对幂零一雅可比方法提出 来的，并且我们给出例子来说明筛选法寻找谱任意符号模式的具体过程。 第一章介绍了符号模式矩阵的研究历史，给出了一些基本知识、有关结论及本文的主 要结论。 第二章我们用幂零一雅可比方法证明了一个符号模式矩阵是谱任意符号模式，进而我 们证明了它是极小谱任意符号模式且它的母模式都是谱任意符号模式。 第三章我们给出了筛选法，并且给出了一个用筛选法筛选谱任意符号模式矩阵的例子， 进而我们又讨论了所筛选的十个谱任意符号模式矩阵都是极小谱任意符号模式且它们的母 模式都是谱任意符号模式。 关键词：符号模式，谱任意符号模式，筛选法 第1 页 中北大学学位论文 a b s t r a c t a s i g np a t t e r nm a t r i xa o fo r d e r 佗i sas p e c t r a l l ya r b i t r a r yp a t t e r n ( s a p ) i fg i v e na n y m o n i cp o l y n o m i a l7 ( z jo fo r d e rnw i t l lr e a lc o e h 5 6 i e n t s ，t h e r ee x i s t sar e a lm a t r i xb i nt i l es i g n p a t t e r nc l a s so fa s u c ht h a tt h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lo fbi s7 ( z ) i fr e p l a c i n ga n yn o n z e r o e n t r yo fab yz e r od e s t r o y st h i sp r o p e r t y , t h e nai sam i n i m a ls p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g n p a t t e r n i nt h i sp a p e r ，w eg i v ean i l p o t e n t j a c o b i a ns c r e e n i n gm e t h o df o rs e e k i n gs p e c t r a l l y a r b i t r a r ys i g np a t t e r n s ，a n dg i v ee x a m p l e sw h i c ha r es p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n sw i t h t h et o o l so fn i l p o t e n t j a c o b i a ns c r e e n i n gm e t h o d i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo fd e v e l o p m e n to i lt h es i g np a t t e r nm a t r i c e s ， s o m em e t h o di no u rp a p e rh a du s e d ，a n do u rr e s e a r c hp r o b l e m sa n dm a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，as i g np a t t e nw h i c hi ss p e c t r a l l ya r b i t r a r yi si n v e s t i g a t e db yu s i n gt h e n i l p o t e n t j a c o b i a nm e t h o d f u r t h e r m o r e ，w ed e m o n s t r a t et h a ti t i sa c t u a l l ym i n i m a ls p e c o t r a l l ya r b i t r a r yp a t t e r n ，a n de v e r ys u p e r p a t t e r no fi ti sas p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n i nc h a p t e r3 ，w eg i v et h en i l p o t e n t j a c o b i a ns c r e e n i n gm e t h o df o rs e e k i n gs p e c t r a l l y a r b i t r a r ys i g np a t t e r n s ，a n dg i v ee x a m p l e sw h i c ha r es p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n sw i t h t h et o o l so fn i l p o t e n t j a c o b i a ns c r e e n i n gm e t h o d ，a n dw ed i s c u s st h a tt e ns i g np a t t e r n sa r e m i n i m a l l ys p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n s ，a n de v e r ys u p e r - p a t t e r no fi t i sas p e c t r m l y a r b i t r a r ys i g np a t t e r n k e yw o r d s ：s i g np a t t e r n ，s p e c t r a l l ya r b i t r a r yp a t t e r n ，s c r e e n i n gm e t h o d 第1 i 页 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行 研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或 集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：固溢 日期：垫塑：查：兰! 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：学校 有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、 缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借 阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学 位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签 导师签名： 日期： z o o c | 占2 7 日期：皇q 盟：量：皇 中北大学学位论文 第一章引言 1 1 符号模式的研究历史和基本概念 组合数学是一个近二十余年来兴起并迅速发展的一个数学分支，由于生产管理、军事、 交通运输、计算机和通讯网络等方面许多离散型问题的出现，大大促进了组合数学的发展。 组合矩阵论用矩阵论和线性代数的方法来证明组合性定理以及对组合结构进行描述和分类。 同时，也把组合论的思想和论证方法用于矩阵的精细分析并用以揭示阵列的内在组合性质。 组合矩阵论不仅与众多的数学领域( 数论、线性代数、图论和概率论等) 有密切的联系，而 且在信息科学、社会学、经济数学和计算机科学等许多方面都有具体的应用背景。矩阵理论 既是学习经典数学的基础，又是一门具有实用价值的数学理论，它不仅是数学的一个重要分 支，而且已经成为现代齐个科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具， 特别是随着计算机的广泛应用，为矩阵论的应用开辟了广阔的前景。+ 符号模式矩阵是指若将符号模式中的元素取自集合 + ，一，o ) 或 r 2 时，的任意母模式是谱任意符号模式。 定理1 2 1 1 ( 1 1 ) 当n 7 2 时，r 是极小谱任意符号模式。 上述这些结果将j h d r e w e t a l 猜想又往前推进了一大步，构造出了更多的谱任意符 号模式。 目前关于符号模式矩阵的谱，主要研究问题有： 1 继续寻找证明谱任意符号模式矩阵的方法。 2 继续给出一些谱任意的充分和必要条件。 3 证明是否两个非谱任意模式的直和也为谱任意。 4 寻找非零元最多的n 阶极小谱任意符号模式。 1 3 筛选法 筛选法就是利用循环和判断语句去掉那些不符合题意的条件，以得到最终结果。筛选 法主要被运用到方程组的求解中：对方程组进行若干条件的限制，以得到关于方程组的预 期解。本文主要将筛选法运用到寻找幂零矩阵的过程中，即把寻找幂零矩阵的过程转化为 筛选方程组预期解的过程，再在所筛选出来的幂零矩阵中寻找雅可比行列式不等于零的符 号模式矩阵，层层逼近，进而运用幂零一雅可比方法说明经过两次筛选后的符号模式矩阵及 其母模式为谱任意符号模式矩阵。 第5 页 0：； 0 0 一 一 0 一 o o 一 0 0 o 一 + 0 0 一 o o o ； ； 0 一 + + + ； ； + 0 中北大学学位论文 1 4本文主要结论 ( 1 ) 用幂零一雅可比方法证明以下n 阶符号模式及其母模式都是谱任意符号模式： a = ( 2 ) 给出幂零筛选法，并运用以下n 阶符号模式来说明幂零筛选法的具体实施过程： c = 其中q ，d j + ，一) ，i = 1 ，2 ，扎一4 ，j = 1 , 2 ，1 0 第6 页 0； 0 十0 ； + + o 0 o 0 一 一 一 o o +0； 0 0 0 + 0 0； 0 0 0 0 + 0 0 0； 0 0 0 0 + 一 一 一 一 ； 一 0 + 0 0 o 0； 0 0 十o 一 一 0 + 0 o +咖o o 一 一 0 0 o 0 一 一 一 一 0 0 o + 0 一 o 0 0 + 0 0；0 o 南 0 + 0 0 o； 0 0 如呶 + o 0 o 0； o 比如由 c q q 铅 q； 肛魂如如 中北大学学位论文 第二章幂零雅可比方法 2 1幂零- 雅可比方法 引理2 1 上( 【3 j ) 设a 是n 阶符号模式，假殴存在某个幂零阵b q ( a ) ，且b 至少自n 个非零元，记为b i 。j b i 。a ，用变量x l ，z 竹替换b 中这n 个非零元得到的矩阵记为x 如果x 的特征多项式 + 一1 + + 厶一1 入+ 厶的系数关于变量z l ，z 。的雅可比行列 式： 坌( 生! 垒! 盘! 丝上! 丘! ( 9 ( x l ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，z 嚣) 在幂零点( z 1 ，z 。) = ( b i 。歹b i 。如) 处不等于零，则a 的任意母模式是s a p 2 2 特殊的谱任意符号模式 本章讨论下面的n 阶6 ) 符号模式： a = ( 2 2 1 ) 任取实矩阵b q ( a ) ，由于相似矩阵有相同的特征多项式，不妨设b 有如下形式： 第7 页 0； 0 + o + + o 一 o 0 o 0 0 十 0；o o o + 0 0；j 0 o o 一 0 + 0 o 0； 0 o o 0 + 一 一 一 一 ； 一 0 + 0 一 中北大学学位论文 引理2 2 1 b= 一11 - - a 2 0 - - a 3 0 - - a 4 0 - a n - 40 00 a n _ 3 0 00 0 10 01 00。 ： o 0 0010 0 0 一n t l 一20 0 c1 - - a n 一1a n 00 000 a + 1 10 0 a n 00a = ：o 吼 ，这里a o = a l = 1 证明：从第1 行开始到第n 一1 行，都依次将每一行的入倍加到下一行得： 原式 a + a l - 100 冬on a 2 0 1 0 蔷吼a 3 一0 0 + j ：； ； ： ： 。 一1 _ l ( 2 2 2 ) i 岛o i 入舾0 0 0 i i 几 再按最后一行展开得：原式= 冬。吼a ”一引理得证 引理2 2 2 设，b ( 入) = d e t ( a i b ) = 舻+ a “一1 + + 厶一1 a + 厶，令a o = a 1 = l ，则： ( 1 ) = 1 一c ， = a i c a i 一1 ，i = 2 ，3 ，n 一4 ， 厶一32a n 一2 一c a n 一4 ， 厶一22a n 一2 一a n 一3 ， 第8 页 0； 1一 入 入 o ； 眈 ； 中北大学学位论文 厶一12a 2 a n 一2 - 4 - c a n 一3 一， 厶= a n 一1 一a n 证明( 1 ) 如( 入) = 娶垂! 垒! 盘! 丝上：! ! 垒! ：- 1 o ( c ，a 2 ，a 3 ，n 4 ，a n ) 入+ 1 1 00 0 a 2 入- 10 ： a 3 0al i a 4 00a 。； j； 。 ； ；：； 。j a n 一4 001 i 0 0 0 1 。 ； 一a 。一3 0 0 ia一10 00 a n 一2 00a c - 1 n n 一1 一口n 0000a 将上式一直按最后一行展开，直到第一列不出现零元为止，然后将引理2 2 1 代入得： ，b ( a ) = 入3 ( a c ) 仁n - 0 4 a i ) t n 一4 一+ 一2 a 3 + ( a n - 2 - - a n 一3 ) 入2 + ( a 2 a n 一2 + c n n 一3 8 n ) a + ( a n - - 1 一o n ) = a ”+ ( 1 一c ) 入n 一1 + n 汪- 2 4 ( 吼一c a i 一1 ) 入n 一- t - ( a n - 2 一c a 。一4 ) a 3 + ( 口n 一2 一n n 一3 ) ，妒+ ( a 2 a n 一2 - 4 - c a n 一3 一n n ) 入+ ( a n 一1 一a n ) 因此( 1 ) 成立 ( 2 ) a ( ，2 ，3 ， ，厶) o ( c ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 住) 第9 页 中北大学学位论文 一1oo0 0 1100 ： - - a 2 一c 1 0 ： 一a 3 0 一c1 ；0 ： - a n - 5 000 一c1 010o 一1 100 c a 20 1 0ol 一1 一l o0o 0 - - 1100； - - a 2 一c10： - - a 3 0 一c 1； - a n 一5 000 一c1 01 11 c a 2 0 0 00 00 01 l一1 0 1 1 1 c a 2 0 0 00 00 0一l 1 一l = 一1 因此( 2 ) 成立引理得证 引理2 2 3 设a 有形式( 2 2 1 ) ，则当佗6 时a 蕴含幂零 证明取( a 1 ，a 2 ，a n ) = ( 1 ，1 ，1 ，2 ，2 ) 时b 为幂零矩阵，故a 蕴含幂零 定理2 2 4 设a 有形式( 2 2 1 ) ，则当n 6 时a 及其母模式是s a p 证明由引理2 1 1 ，引理2 2 和引理2 2 3 得证 定理2 2 5 设a 有形式( 2 2 1 ) ，则当仃6 时a 为m s a p 证明设s = 【8 t 卅是a 的一个子模式，且s 是s a p ( 1 ) 8 1 ，l 0 ，否则s 的迹为正，与s 是s a p 矛盾 ( 2 ) 8 i 。件1 0 ，( i = 3 ，佗一3 ) ，8 r t - - 1 ，n 0 ，否则s 是符号奇异的，与s 是s a p 矛盾 ( 3 ) 8 1 ，2 0 ，8 2 ，3 0 ，8 r t - - 2 ，n 一1 0 ，否则s 是符号奇异或符号非奇异的 ( 4 ) 因为s 是s a p , 则必存在b q ( s ) 是幂零的设b 形如( 2 2 2 ) ，由引理2 2 2 ( 1 ) 中的 = 1 2 = = 厶= 0 得c = l ，a i = c = 1 ，i = 2 ，3 ，n 一2 ，a n = a n - 1 = 2 ，所以c , a i 0 ， i = 2 ，铭定理得证 第1 0 页 中北大学学位论文 第三章幂零筛选法 3 1筛选幂零矩阵 本章讨论卜向的几阶符模式u ，其中礼27 ， c = 其中q ，奶 + ，一) ，i = 1 ，2 ，n 一4 ，j = 1 ，2 ，1 0 任取实矩阵d q ( c ) ，由于相似矩阵有相同的特征多项式，不妨设d 有如下形式： d = 一ll0000 a l 01000 a 2 00100 a 3 000l ； a 4 0000 ； !：ii 。 ； ；i 。； a n _ 4 00i0100 6 1b 2 00 0c10 6 3kb 50 00 01 6 6幻6 8b 9 0 0000 第1 1 页 0 0 0；： 0 0 + 0 一 一 o + 0 0 ( + o o 一 0 0 0 o 0 0 0 + 0 一 0 o o + 0 0；o o 南 0 + 0 0 o； 0 0 如如 + 0 0 0 0； 0 如血由 ( 一 6 i q 铅 q； 卜血如如 中北大学学位论文 引理3 1 1 设，d ( 入) = d e t ( m d ) = 入n + 入n 一1 + + 厶一1 入+ 厶，则： 1 1 = 1 一c 壳= - - 1 2 1 一c ， = - a i 一1 + c a i 一2 ，i = 3 ，礼一4 ， 厶一3 = 一b 2 6 5 6 9 一a n 一4 + c 一5 ， 厶一2 = 一b l b 2 一b 4 6 5 一堍一6 9 + o 一4 ， a 一1 = 一6 3 一b 4 一b 7 一b 8 + a l b 5 + a l b 9 ， 厶= 一6 6 6 7 + 0 1 6 8 + n 2 6 9 证明： 而( 入) = a + 1 一n l n 2 一0 3 一n 4 - - a n - 4 - b x 一6 3 - b 6 10 入一c l 0a 00 n 将上式一直按最后一行展开，直到第一列不出现零元为止，然后在运用引理2 2 1 的结 论整理得： ，b ( 入) = 入n + ( 1 一c ) a n 一1 + ( 一口1 一c ) a n 一2 + 銮；( 一a i 一1 + c 啦一2 ) 一- t - ( - b 2 一b 5 一b 9 一a n _ 4 - i - c a t l 一5 ) p + ( 一b l b 2 一b a b 5 一b 8 一的+ n 一4 ) 久2 + ( 一b 3 一沁一b 一堍+ 口1 阮+ a l b g ) 久+ ( 一6 6 6 7 十a 1 6 8 + a 2 6 9 ) 引理得证 引理3 1 2 ：符号模式c 中恰有2 n 个非零元素且蕴含 它们分别是： 1 ( c 1 a n 一5 ，a n 一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，d 4 ，如，d 6 ，d 7 ，如，d 9 ，d l o ) = ( 一 2 ( c l a n 一5 ，a n 一4 ，d l ，d 2 ，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d o ，d l o ) = ( 一 3 ( c 1 一5 ，一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，幽，d 5 ，如，由，d 8 ，南，d l o ) = ( 第1 2 页 幂零的符号模式有且只有1 9 种， ，0 ，+ ，0 ，0 ，0 ，一，一， ，0 ，0 ，一，0 ，+ ，0 ，+ ， ，一，0 ，0 ，0 ，一，0 ，一， o o 0； o 0 一 一 入 0 0 0 0 0 0 0 0 o o 。 入 o；o o 由 o 。入 o o ； o o 也也 。a o o o； o 也也由 + + + 0 0 0 + 一 + 中北大学学位论文 4 ( c 1 c n 一5 ，c n 一4 ，d l ，d 2 ，如，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一一，一，0 ，0 ，0 ，0 ，一，一，+ ，0 ，0 ，+ 5 ( c l 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d t o ) = ( 一，一，0 ，0 ，+ ，0 ，0 ，+ ，0 ，一，0 ，+ 6 ( c 1 c n 一5 ，a n 一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，也，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，一，一，0 ，0 ，一，0 ，+ ，0 ，+ 7 ( c l c n 一5 ，c n 一4 ，d l ，d 2 ，如，d 4 ，d 5 ，d 6 ，由，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，0 ，0 ，+ ，一，+ ，0 ，一，0 ，+ 8 ( c 1 一5 ，c n 一4 ，d l ，d 2 ，d 3 ，d 4 d 5 ，d 6 d r ，d s ，d 9 ，d l o ) = ( 一一，0 ，0 ，0 ，0 ，+ ，一，一，0 ，+ ，0 ，+ 9 ( c l a n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，幽，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，0 ，0 ，一，一，一，0 ，+ ，0 ，+ 1 0 ( c l c n 一5 ，c n 一4 ，d l ，d 2 ，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一一，一，0 ，o ，+ ，0 ，o ，+ ，0 ，0 ，一 1 1 ( c 1 a n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，d 2 ，如，d 4 ，如，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一一，0 ，+ ，0 ，+ ，0 ，0 ，+ ，0 ，0 ，一 1 2 ( c l c n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，如，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，0 ，0 ，+ ，一，+ ，0 ，0 ，一 1 3 ( c 1 c n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，如，d 3 ，也，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，o ，o ，0 ，0 ，+ ，+ ，+ ，0 ，0 ，一 1 4 ( c 1 c n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，也，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一一，0 ，o ，o ，o ，+ ，一，一，0 ，0 ，+ 1 5 ( c 1 c n 一5 ，c n 一4 ，d l ，d 2 ，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一一，0 ，0 ，0 ，+ ，0 ，一，0 ，一，+ ，0 1 6 ( c 1 c - n ：5 ，c n 一4 ，d 1 ，如? d 3 ，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，0 ，一，+ ，0 ，0 ，+ ，0 ，一 1 7 ( c 1 c n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，d 2 ，如，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 童，d 9 ，d l o ) = ( 一一，o ，0 ，0 ，0 ，一，+ ，0 ，0 ，+ ，一 1 8 ( c 1 c - n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，如，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，0 ，0 ，+ ，一，0 ，0 ，一，+ 1 9 ( c 1 c n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d b ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一一，0 ，0 ，0 ，0 ，+ ，一，o ，0 ，+ ，一 证明：在引理3 1 1 中令，1 ，南，3 厶= 0 ，即： c = 1 a l2a 22 = a n 一52 - 1 6 2 + 6 5 + 6 9 + a 。一4 + 1 = 0 ， 6 1 + 6 2 + 6 4 + 6 5 + 6 8 + 6 9 一a n 一4 = 0 ， 6 3 + 6 4 + 6 7 + 6 8 + 6 5 + b 9 = 0 ， 6 6 + 6 7 + 6 8 + b 9 = 0 考虑方程组： 第1 3 页 + + + + + + + + + + 中北大学学位论文 一、若方程( 4 ) 中6 6 ，b 7 0 ，而b s = b 9 = 0 则原方程组即为： i6 2 + 6 5 + a n 一4 + 1 = 0 lb l + b 2 + b 4 + b 5 一一4 = 0 l6 3 + 6 4 + 6 7 + b 5 = 0 i6 6 + b 7 = 0 因为6 6 ，b t ，1 0 ，按要求只需再找两个非零元即可： ( 1 ) 若b l 0 ： 为满足要求则只有令b 5 0 ，其它全为零，即方程组的解为： ( a n - 4 ，6 l ，6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 6 8 ，b 9 ) = ( 0 ，1 ，0 ，0 ，0 ，- 1 ，- 1 ，1 ，0 ，0 ) 所对应的符号模式为： 1 ( c l c n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，d 2 ，如，也，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一一，0 ，+ ，0 ，0 ，0 ，一，一，+ ，0 ，0 ，+ ) ( 2 ) 若b 2 0 ： 为满足要求则只有令6 4 0 ，其它全为零，即方程组的解为： ( a n 一4 6 1 ，6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，b 9 ) = ( 0 ，0 ，- 1 ，0 ，1 ，0 ，1 ，- 1 ，0 ，0 ) 所对应的符号模式为： 2 ( c 1 c n 一5 ，一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，c f 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，一，0 ，+ ，0 ，+ ，一，0 ，0 ，+ ) ( 3 ) 若b 3 0 ：则不存在满足条件的解 ( 4 ) 若b 4 0 ： 为满足要求则只有令6 2 ，一4 其中之一不为零，其它全为零，即方程组的解为： 若b 2 0 则：与( 2 ) 中的解重合 若一4 0 则：( a n 一4 ，b l ，b 2 ，b 3 ，b 4 ，b 5 ，b 6 ，b 7 ，b 8 ，6 9 ) = ( 一1 ，0 ，0 ，0 ，一1 ，0 ，一1 ，1 ，0 ，0 ) 所对应的符号模式为： 3 ( c 1 a n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，d 4 ，如，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，一，0 ，0 ，0 ，一，0 ，一，+ ，0 ，0 ，+ ) ( 5 ) 若如0 ： 为满足要求则只有令b 1 ，a n 一4 其中之一不为零，其它全为零，即方程组的解为： 若b 1 0 则：与( 1 ) 中的解重合 若一4 0 则：( a n 一4 ，b l ，b 2 ，b 3 ，b 4 ，b 5 ，b 6 ，b 7 ，b s ，b 9 ) = ( 一1 2 ，o ，0 ，0 ，0 ，一1 2 ，一1 2 ，v 2 ，0 ，0 ) 所对应的符号模式为： 4 ( c 1 c n 一5 ，c n 一4 ，d l ，d 2 ，d 3 ，c f 4 ，d 5 ，d 6 ，由，如，d 9 ，d l o ) = ( 一，一，0 ，0 ，0 ，0 ，一，一，+ ，0 ，0 ，+ ) ( 6 ) 若a n 一4 0 ：则与前面情况重合 二：若方程( 4 ) 中6 6 ，b 8 0 ，而b 7 = b 9 = 0 则原方程组即为： 第1 4 页 中北大学学位论文 i6 2 + 6 5 + a n 一4 + 1 = 0 i b l + b 2 + b 4 + b 5 + b 8 一a n 一4 = 0 i6 3 + 6 4 + 6 8 + b 5 = 0 l6 ；6 + b s = 0 因为6 6 ，b 8 ，1 0 ，按要求只需再找两个非零元即可： ( 1 ) 若一4 0 ： 为满足要求则只有令6 3 不为零，其它全为零，即方程组的解为： 若b 3 0 贝0 ：( a n _ 4 ，b l ，6 2 ，b 3 ，b 4 ，b 5 ，b 6 ，6 7 ，b 8 ，b 9 ) = ( 一l ，0 ，0 ，1 ，0 ，0 ，1 ，0 ，一1 ，0 ) 所对应的符号模式为： 5 ( c 1 a n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d b ，d 7 ，d 裔，d 9 ，d l o ) = ( 一一，一，0 ，0 ，+ ，0 ，0 ，+ ，0 ，一，0 ，+ ) ( 2 ) 若b 1 0 ：则不存在满足条件的解 ( 3 ) 若b 2 0 ： 为满足要求则只有令6 3 不为零，其它全为零，即方程组的解为： ( a n 一4 ，6 1 ，6 2 ，6 3 ，k 6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，b 9 ) = ( 0 ，0 ，- 1 ，- 1 ，0 ，0 ，- 1 ，0 ，1 ，0 ) 所对应的符号模式为： 6 ( c 1 一5 ，一4 ，d l ，d 2 ，如，d 4 ，d 5 ，如，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，一，一，0 ，0 ，一，0 ，+ ，0 ，+ ) ( 4 ) 若b 3 0 ： 为满足要求则只有令6 2 或一4 不为零，其它全为零，即方程组的解为： 若b 2 0 则：与( 3 ) 中的解重合 若a n _ 4 0 则：与( 1 ) 中的解重合 ( 5 ) 若b 4 0 ： 为满足要求则只有令6 5 不为零，其它全为零，即方程组的解为： 若6 5 0 则方程组有无穷多组解，下面只对其符号的不同情况各取一组解： ( a n _ 4 ，6 1 ，6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，b 9 ) = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，3 2 ，- 1 ，1 2 ，0 ，- 1 2 ，0 ) ( 一4 6 l ，6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，b 9 ) = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，1 2 ，- - 1 ，- 1 2 ，0 ，1 2 ，0 ) ( a n _ 4 ，6 1 ，6 2 ，6 3 ，如，6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，b 9 ) = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，- 1 ，- 1 ，- 2 ，0 ，2 ，0 ) 所对应的符号模式为： 7 ( c 1 一5 ，一4 ，d l ，d 2 ，d 3 ，d 4 ，如，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，0 ，0 ，+ ，一，+ ，0 ，一，0 ，+ ) 8 ( c 1 c a 一5 ，一4 ，d 1 ，如，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，0 ，0 ，+ ，一，一，0 ，+ ，0 ，+ ) 9 ( c 1 a n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，d 2 ，如，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一一，0 ，0 ，0 ，0 ，一，一，一，0 ，+ ，0 ，+ ) ( 6 ) 若b 5 0 ：则与前面情况重合 三、若方程( 4 ) 中6 6 ，b 9 0 ，而b 7 = b 8 = 0 则原方程组即为： 第1 5 页 中北大学学位论文 ib 2 + b 5 + b 9 + a n 一4 + 1 = 0 ib l + b 2 + b 4 + b 5 + b 9 一一4 = 0 l6 3 + 6 4 + 6 9 + b 5 = 0 ib 6 + b 9 = 0 因为b 6 ，b 9 ，1 0 ，按要求只需再找两个非零元即可： ( 1 ) 若一4 0 ： 为满足要求则只有令6 3 不为零，其它全为零，即方程组的解为： 若b 3 0 则：( a n 一4 ，b l ，b 2 ，b 3 ，b 4 ，b 5 ，b 6 ，幻，b 8 ，b 9 ) = ( 一1 2 ，0 ，0 ，1 2 ，0 ，0 ，1 2 ，0 ，0 ，一1 2 ) 所对应的符号模式为： l o ( c 1 c n 一5 ，一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，幽，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，一，0 ，0 ，+ ，0 ，0 ，- - ，0 ，0 ，一，+ ) ( 2 ) 若b l 0 ： 为满足要求则只有令6 3 不为零，其它全为零，即方程组的解为： 若b 3 0n - ( a n _ 4 ，b 1 ，b 2 ，b 3 ，b 4 ，b 5 ，b 6 ，b 7 ，b 8 ，b 9 ) = ( 0 ，1 ，0 ，l ，0 ，0 ，1 ，0 ，0 ，一1 ) 所对应的符号模式为： 1 1 ( c 1 a n 一5 ，一4 ，d l ，d 2 ，如，d 4 ，如，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，0 ，+ ，0 ，+ ，0 ，0 ，+ ，0 ，0 ，一，+ ) ( 3 ) 若b 2 0 ：则不存在满足条件的解 ( 4 ) 若b 3 0 ：与( 1 ) ，( 2 ) 中的解重合 ( 5 ) 若b 4 0 ： 为满足要求则只有令6 5 不为零，其它全为零，即方程组的解为： 若b 5 0 则方程组有无穷多组解，下面只对其符号的不同情况各取一组解： ( a n - 4 ，6 1 ，6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，b 9 ) = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，1 ，- 1 2 ，1 2 ，0 ，0 ，- 1 2 ) ( a n _ 4 ，6 l ，6 2 ，b ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，b 9 ) = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，1 ，1 ，2 ，0 ，0 ，- 2 ) ( a n 一4 ，6 1 ，6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，b 9 ) = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，1 ，- 2 ，- 1 ，0 ，0 ，1 ) 所对应的符号模式为： 1 2 ( c 1 c r i 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，也，如，如，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，0 ，0 ，+ ，一，+ ，0 ，0 ，一，+ ) 1 3 ( c 1 c n 一5 ，一4 ，d 1 ，c f 2 ，d 3 ，幽，如，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，0 ，0 ，+ ，+ ，+ ，0 ，0 ，一，+ ) 1 4 ( c l c n 一5 ，c n 一4 ，d l ，d 立，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d 9 ，d l o ) = ( 一一，0 ，0 ，0 ，0 ，+ ，一，一，0 ，0 ，+ ，+ ) ( 6 ) 若b s 0 ：则与前面情况重合 四、若方程( 4 ) 中6 7 ，b 8 0 ，而b 6 = b 9 = 0 则原方程组即为： 第1 6 页 中北大学学位论文 l6 2 + k + a n 一4 + 1 = 0 i6 1 + b 2 + b 4 + b 5 + b 8 一一4 = 0 l6 3 + 6 4 + b 5 = 0 i 幻+ b 8 = 0 因为b 7 ，b 8 ，1 0 ，按要求只需再找两个非零元即可： ( 1 ) 若a n 一4 0 ：则不存在满足条件的解 ( 2 ) 若b 1 0 ：则不存在满足条件的解 ( 3 ) 若6 2 0 ：则不存在满足条件的解 ( 4 ) 若b 3 0 ：满足要求则只有令b 5 不为零，其它全为零，即方程组的解为： ( a n - 4 ，6 1 ，6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，b 9 ) = ( 0 ，0 ，0 ，1 ，0 ，- 1 ，0 ，- 1 ，1 ，0 ) 所对应的符号模式为： 1 5 ( c 1 a n 一5 ，a n 一4 ，d 1 ，d 2 ，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d 6 ，d 7 ，d 8 ，d o ，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，0 ，+ ，0 ，一，0 ，一，+ ，0 ，+ ) ( 5 ) 若6 4 0 ：则不存在满足条件的解 ( 6 ) 若b 5 0 ：则与前面情况重合 五、若方程( 4 ) 中b 7 ，b 9 0 ，而b 6 = b 8 = 0 则原方程组即为： i6 2 + 6 5 + 6 9 + a n 一4 + 1 = 0 i b l + b 2 + b 4 + b 5 + 5 9 一a n 一4 = 0 l6 3 + 6 4 + b 5 = 0 i6 7 + b 9 = 0 因为b 7 ，5 9 ，1 0 ，按要求只需再找两个非零元即可： ( 1 ) 若a n - 4 0 ：则不存在满足条件的解 ( 2 ) 若b 1 0 ：则不存在满足条件的解 ( 3 ) 若6 2 0 ：则不存在满足条件的解 ( 4 ) 若b 3 0 ：满足要求则只有令6 4 不为零，其它全为零，即方程组的解为： ( a n 一4 ，6 l 6 2 ，6 3 ，6 4 ，6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，5 9 ) = ( 0 ，0 ，0 ，- 1 ，1 ，0 ，0 ，1 ，0 ，- 1 ) 所对应的符号模式为： 1 6 ( c l a n 一5 ，c n 一4 ，d 1 ，如，d 3 ，d 4 ，d 5 ，d 6 ，由，如，幽，d l o ) = ( 一，0 ，0 ，0 ，一，+ ，0 ，0 ，+ ，0 ，一，+ ) ( 5 ) 若5 4 0 ：则与( 4 ) 情况重合 ( 6 ) 若b 5 0 ：则不存在满足条件的解 六、若方程( 4 ) 中b 8 ，b 9 0 ，而b 6 = b t = 0 则原方程组即为： 第1 7 页 中北大学学位论文 f b 2 + b 5 + b 9 + a n - 4 “- o ib l + b 2 + b 4 + b 5 一a n 一4 = 0 1 6 3 + 6 4 + 6 5 = 。 ib + b 9 = 0 因为b s ，b 9 ，1 0 ，按要求只需再找两个非零元即可： ( 1 ) 若a n 一4 0 ：则不存在满足条件的解 ( 2 ) 若b 1 0 ：则不存在满足条件的解 ( 3 ) 若b 2 0 ：则不存在满足条件的解 ( 4 ) 若b 3 0 ：则不存在满足条件的解 ( 5 ) 若b 4 0 ：为满足要求则只有令b 5 不为零，其他全为零，即方程组的解为： 若b 5 0 则方程组有无穷多组解，下面只对其符号的不同情况各取一组解： ( a n _ 4 ，6 1 6 2 ，6 3 ，6 4 ，如，6 6 ，6 7 ，6 8 ，b 9 ) = ( 0 ，0 ，0 ，0 ，- 1