圆形有界磁场中“磁聚焦”规律有答案.pdf

合肥百花教育 圆形有界磁场中“磁聚焦”第 1页 圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习 当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律； 规律一规律一： 带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场， 如果圆形磁场的半径与圆轨迹 半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。 规律二规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒 子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所 有粒子都从磁场边界上的同一点射出， 并且出射点 的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。 【典型题目练习】 1如图所示，在半径为 R 的圆形区域内充满磁感应强度为 B 的匀强磁 场， MN 是一竖直放置的感光板 从圆形磁场最高点 P 垂直磁场射入大 量的带正电，电荷量为 q，质量为 m，速度为 v 的粒子，不考虑粒子间 的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（） A只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在 MN 上 B对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心 C对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长 D只要速度满足 qBR v m ，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在 MN 上 2如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆 心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一 圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场) 磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=310-7kg、电荷量 q=+210-3C的带正电粒子以速度v=5102m/s沿垂直ad方向且垂 直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（） A从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边 B从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边 C从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边 D从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点 3如图所示，在坐标系 xOy 内有一半径为 a 的圆形区域，圆心坐标为 O1（a，0） ，圆内分 布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线 y=a 的上方和直线 x=2a 的左侧区域内，有一沿 x 轴 负方向的匀强电场，场强大小为 E，一质量为 m、电荷量为+q（q0）的粒子以速度 v 从 O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿 x 轴方向时，粒子恰好从 O1点正上方的 A 点射 出磁场，不计粒子重力，求： （1）磁感应强度 B 的大小； （2）粒子离开第一象限时速度方向与 y 轴正方向的夹角； （3）若将电场方向变为沿 y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度 v 从 O 点垂直于磁 场方向、并与 x 轴正方向夹角=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总 合肥百花教育 圆形有界磁场中“磁聚焦”第 2页 时间 t。 4如图所示的直角坐标系中，从直线 x=2l0到 y 轴区域存在两个大小相等、方向相反的有 界匀强电场，其中 x 轴上方的电场方向沿 y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿 y 轴正方向。 在电场左边界从 A（2l0，l0）点到 C（2l0，0） 点区域内，连续分布着电量为+q、质量为 m 的 粒子。 从某时刻起， A 点到 C 点间的粒子依次连 续以相同速度 v0沿 x 轴正方向射入电场。从 A 点射入的粒子恰好从 y 轴上的 A （0，l0）点沿 沿 x 轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计 粒子的重力及它们间的相互作用。 （1）求从 AC 间入射的粒子穿越电场区域的时间 t 和匀强电场的电场强度 E 的大小。 （2）求在 A、C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿 x 轴正方向运动？ （3） 为便于收集沿 x 轴正方向射出电场的所有粒子， 若以直线 x=2l0上的某点为圆心的圆形 磁场区域内， 设计分布垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场， 使得沿 x 轴正方向射出电场的粒子 经磁场偏转后，都能通过 x=2l0与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？ 相应的磁感应强度 B 是多大？ 5如图所示，在 xoy 坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为 r=0.1m 的圆形 磁场区域，磁感应强度 B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与 x 轴、y 轴相切，切点分 别为 A、C；第四象限中，由 y 轴、抛物线 FG（ 2 100.025yxx ，单位：m）和直线 DH（0.425yx，单位：m）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度 E=2.5N/C 的匀 强电场； 以及直线 DH 右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场 B2=0.5T。 现有大量质量 m=110-6 kg（重力不计） ，电量大小为 q=210-4C，速率均为 20m/s 的带负电的粒子从A处垂直磁场 进入第一象限，速度方向与 y 轴夹角在 0 至 1800之间。 （1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径； （2）试证明这些粒子经过 x 轴时速度方向均与 x 轴垂直； （3）通过计算说明这些粒子会经过 y 轴上的同一点，并求出该点坐标。 合肥百花教育 圆形有界磁场中“磁聚焦”第 3页 6如图所示，真空中一平面直角坐标系 xOy 内，存在着两个边长为 L 的正方形匀强电场区 域、和两个直径为 L 的圆形磁场区域、。电场的场强大小均为 E，区域的场强方 向沿 x 轴正方向，其下边界在 x 轴上，右边界刚好与区域的边界相切；区域的场强方向 沿 y 轴正方向，其上边界在 x 轴上，左边界刚好与刚好与区域的边界相切。磁场的磁感应 强度大小均为 2 2 mE qL ，区域的圆心坐标为（0， 2 L ） 、磁场方向垂直于 xOy 平面向外； 区域的圆心坐标为（0， 2 L ） 、磁场方向垂直于 xOy 平面向里。两个质量均为 m、电荷量 均为 q 的带正电粒子 M、N，在外力约束下静止在坐标为（ 3 2 L， 2 L ） 、 （ 3 2 L，2 3 4 L ） 的两点。 在 x 轴的正半轴 （坐标原点除外） 放置一块足够长的感光板， 板面垂直于 xOy 平面。 将粒子 M、N 由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求： （1）粒子离开电场时的速度大小。 （2）粒子 M 击中感光板的位置坐标。 （3）粒子 N 在磁场中运动的时间。 7如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心 O1在 x 轴上，OO1距离等于半圆磁场的半径，磁感 应强度大小为 B1。虚线 MN 平行 x 轴且与半圆相切于 P 点。在 MN 上方是正交的匀强电场 和匀强磁场，电场场强大小为 E，方向沿 x 轴负向，磁场磁感应强度大小为 B2。B1，B2方向 均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点 O 射 入第 I 象限，其中沿 x 轴正方向进入磁场的粒子经过 P 点射入 MN 后，恰好在正交的电磁场 中做直线运动，粒子质量为 m，电荷量为 q（粒子重力不计） 。求： （1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。 （2）若撤去磁场 B2，则经过 P 点射入电场的粒子从 y 轴出电场时的坐标。 （3）试证明：题中所有从原点 O 进入第 I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。 合肥百花教育 圆形有界磁场中“磁聚焦”第 4页 8如图甲所示，真空中有一个半径 r=0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强 度大小 B=2.0103T，方向垂直于纸面向里，在 x=r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽 度 L=0.5m 的匀强电场区域,电场强度 E=1.5103N/C， 在 x=2m 处有一垂直 x 方向的足够长的 荧光屏，从 O 点处向不同方向发射出速率相同的比荷 9 1.0 10/ q C kg m 带负电的粒子，粒 子的运动轨迹在纸面内。 一个速度方向沿 y 轴正方向射入磁场的粒子 M， 恰能从磁场与电场 的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求： （1）粒子 M 进入电场时的速度。 （2）速度方向与 y 轴正方向成 30（如图中所示）射入磁 场的粒子 N，最后打到荧光屏上,画出粒子 N 的运动轨迹并 求该发光点的位置坐标。 9如图甲所示,质量 m=8.01025kg，电荷量 q=1.61015C 的带正电粒子从坐标原点 O 处沿 xOy 平面射入第一象限内，且在与 x 方向夹角大于等于 30的范围内，粒子射入时的速度方 向不同，但大小均为 v0=2.0107m/s。现在某一区域内加一垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场, 磁感应强度大小 B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与 y 轴平行的荧光屏 MN 上,并且 当把荧光屏 MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(=3.14)求： （1）粒子从 y 轴穿过的范围。 （2）荧光屏上光斑的长度。 （3）打到荧光屏 MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差。 （4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示） 。 合肥百花教育 圆形有界磁场中“磁聚焦”第 5页 参考答案 1当 vB 时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为 mv R qB 、 2 m T qB 的 匀速圆周运动；只要速度满足 qBR v m 时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径 相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在 MN 上，选项 D 正确。 2由0.3 mv Rm qB 知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从 Oa 入射 的粒子，出射点一定在 b 点；从 Od 入射的粒子，经过四分之一圆周后到达 be，由于边界无 磁场，将沿 be 做匀速直线运动到达 b 点；选项 D 正确。 3解析解析： （1）当粒子速度沿 x 轴方向入射，从 A 点射出磁场时，几何关系知：r=a； 由 2 v qvBm r 知： mvmv B qrqa （2）从 A 点进入电场后作类平抛运动； 沿水平方向做匀加速直线运动：2 x Eq va m 沿竖直方向做匀速直线运动：vy=v0； 粒子离开第一象限时速度与 y 轴的夹角： 2 0 2 tan x y vEqa vmv （3）粒子从磁场中的 P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形， 故粒子从 P 点的出射方向与 OO1平行，即与 y 轴平行；轨迹如图所示； 粒子从 O 到 P 所对应的圆心角为1=600，粒子从 O 到 P 用时： 1 63 Ta t v 。 由几何知识可知，粒子由 P 点到 x 轴的距离 1 3 sin 2 Saa； 粒子在电场中做匀变速运动的时间： 2 2mv t Eq ； 粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间： 3 2()(23)aSa t vv ； 粒子由 P 点第 2 次进入磁场，从 Q 点射出，O1QO3构成菱形；由几何知识可知 Q 点在 x 轴上，即为（2a，0）点；粒子由 P 到 Q 所对应的圆心角2=1200，粒子从 P 到 Q 用时： 4 2 33 Ta t v ； 粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间： 1234 (23)2aamv ttttt vvEq 。 合肥百花教育 圆形有界磁场中“磁聚焦”第 6页 4解析解析： （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有 0 0 2l t v 从 A 点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知 2 0 1 ( ) 22 Eq t l m 解得 2 00 2 0 82mlmv E qtql （2）设距 C 点为y处入射的粒子通过电场后也沿 x 轴正方向，第一次达 x 轴用时t，有 水平方向 0 xvt 竖直方向 2 1 () 2 qE yt m 欲使粒子从电场射出时的速度方向沿 x 轴正方向，有 0 22lnx （n =1，2，3，） 解得： 2 00 22 0 1 () 2 qE ll y nm vn 即在 A、C 间入射的粒子通过电场后沿 x 轴正方向的 y 坐标为 0 2 1 yl n （n =1，2，3，） （3）当 n=1 时，粒子射出的坐标为 10 yl 当 n=2 时，粒子射出的坐标为 20 1 4 yl 当 n3 时，沿 x 轴正方向射出的粒子分布在 y1到 y2之间（如图）y1到 y2之间的距离为 120 5 4 Lyyl； 则磁场的最小半径为 0 5 28 Ll R 若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子 的运动半径与磁场圆的半径相等（如图） ， 轨迹圆与磁场圆相交， 四边形 PO1QO2为棱 形，由 2 0 0 mv qv B R 得： 0 0 8 5 mv B ql 5解析解析： （1）由 2 1 1 v qvBm R 知： 1 1 0.1 mv Rm B （2）考察从 A 点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从 K 点离开磁场，O1和 O2分别是磁 场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此 O1AO2K 为菱形， 离开磁场时速度垂直于 O2K，即垂直于 x 轴，得证。 （3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（x，y1）,离开电 场时的坐标为（x，y2）,离开电场时速度为 v2； 在电场中运动过程，动能定理： 22 212 11 () 22 Eq yymvmv 其中 2 1 100.0025yxx ， 2 0.425yx解得 v2=100 x 在 B2磁场区域做圆周运动的半径为 R2，有 2 2 22 2 v qv Bm R 解得 R2=x 因为粒子在 B2磁场区域圆周运动的半径刚好为 x 坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在 y A Ox y v0 E E C A x=2l0 C x=2l0 O1 O2 P Q 合肥百花教育 圆形有界磁场中“磁聚焦”第 7页 轴上；又因 v2的方向与 DH 成 45，且直线 HD 与 y 轴的夹角为 450，则所有粒子在此磁场 中恰好经过四分之一圆周后刚好到达 H 处，H 点坐标为（0，0.425） 。 6解析解析： （1）粒子在区域中运动，由动能定理得 2 0 1 2 EqLmv解得 0 2EqL v m （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 2 0 0 v qv Bm r ，又有 2 2 mE B qL ，解得 0 2 mvL r qB 因 M 运动的轨道半径与圆形磁场区域的半径相同，故 M 在磁场中运动四分之一个 周期后经过原点进入磁场，再运动四分之一个周期后平行于 x 轴正方向离开磁场，进入电 场后做类平抛运动。 假设 M 射出电场后再打在 x 轴的感光板上，则 M 在电场中运动的的时间 0 L t v （1 分） 沿电场方向的位移 22 0 11 () 2242 EqLLL yat mv （2 分） 假设成立，运动轨迹如图所示。 沿电场方向的速度 2 y qEL vat m 速度的偏向角 0 1 tan 2 y v v 设射出电场后沿 x 轴方向的位移 x1，有 1 24 tan2 LL L x M 击中感光板的横坐标 1 2 2 L xLxL，位置坐标为（2L，0）（1 分） （3）N 做圆周半径与圆形磁场区域的半径相同，分析可得 N 将从 b 点进入磁场，从原点 O 离开磁场进入磁场，然后从 d 点离开磁场，沿水平方向进入电场。轨迹如图。 在磁场中，由几何关系 3 3 4 cos 2 2 L L 则=300，圆弧对应的圆心角=1800300=1500 粒子在磁场中运动的周期 0 2 2 2 L mL T vqE 粒子在磁场中运动的时间 1 0 5 360122 mL tT qE 由对称关系得粒子在磁场、中运动时间相等； 故粒子在磁场中运动的时间 1 5 2 62 mL tt qE 合肥百花教育 圆形有界磁场中“磁聚焦”第 8页 7 7解析解析： （1）粒子在正交的电磁场做直线运动，有 02 Eqqv B 解得 0 2 E v B 粒子在磁场 B1中匀速圆周运动，有 2 0 01 v qv Bm R 解得 0 112 mvmE R qBqB B 由题意知粒子在磁场 B1中圆周运动半径与该磁场半径相同，即 12 mE R qB B （2）撤去磁场 B2,，在电场中粒子做类平抛运动，有 水平方向匀加速 2 1 2 Eq Rt m 竖直方向匀速 0 2212 22EmRmE yv t BEqqBB B 从 y 轴出电场的坐标为 0 2112 12 () mE yyRv t qBBB B （3）证明：设从 O 点入射的任一粒子进入 B1磁场时，速度方向与 x 轴成角，粒子出 B1 磁场与半圆磁场边界交于 Q 点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形 OO1O2Q 四条 边等长是平行四边形，所以半径 O2Q 与 OO1平行。所以从 Q 点出磁场速度与 O2Q 垂直，即 与 x 轴垂直，所以垂直进入 MN 边界。进入正交电磁场 E、B2中都有 02 Eqqv B故做直线运 动。 8 8解析解析： （1）由沿 y 轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场可知 粒子 M 在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径 R=r=0.5m。 粒子 M 在磁场中匀速圆周运动有： 2 v qvBm R 解得 6 1 10/ qBR vm s m （2） 由圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等粒子 N 在磁场中转过 120角后从 P 点垂直电 场线进入电场，运动轨迹如图所示。 在电场中运动的加速度大小 122 1.5 10/ Eq am s m 穿出电场的竖直速度 5 7.5 10/ y L vatam s v 速度的偏转角tan0.75 y v v 在磁场中从 P 点穿出时距 O 点的竖直距离 1 1.50.75yrm 合肥百花教育 圆形有界磁场中“磁聚焦”第 9页 在电场中运动沿电场方向的距离 22 2 11 ()0.1875 22 Eq L yatm m