（理论物理专业论文）yangian代数在量子流问题中的应用.pdf

摘要 v g d r i n f e l d 所建立的y a n g i a n 和量子群理论对物理中的量子完全可积 模型的对称性研究提供了强有力的数学工具。在量子力学中y a n g i a n 代数超 出李代数的范围。它可以描述一类非线性相互作用模型的所有新型对称性； 另外它还可以组成在不同量子态之间跃迁的升降算符。自从1 9 9 2 年以来， 人们在y a n g i a n 各种物理实现和量子完全可积模型的研究方面取得了重要的 进展，并给出新的物理理解和理论结果。 本论文的研究是将y a n g i a 冗算子应用于量子流的非线性可积模型中，通过 y a n g i a n 算子写出一个整体转移矩阵，并且矩阵的一阶近似满足x x x 模型， 利用自旋三重态，验证该量子流为一个自旋流的正确性。从而证明了 y a n g i a n 代数可以应用到量子流的问题中。使我们更好地掌握y a n g i a n 代数 在物理问题中的应用。 关键词：y a n g i a n 量子流整体转移矩阵x x x 模型自旋 a b s t r a c t v g l d r i n f e l do f f e r e dap o w e r f u lm a t h e m a t i cm e t h o df o rt h er e a c ha b o u tt h es y m m e t r y o ft h ei n t e g r a b l eq u a n t u mm o bi np h y s i c s y a n g i a n a l g e b r ag o e sb e y o n dl i ea l g e b r ai n q u a n t u mm e c h a p 妇i t 锄d e s c r i b et h en o w - s t y l es y m m e t r yo f o n ek i n do f m o d e lo f n o n l i n e a ri n a l 出o n i na d d i t i o n , i tc a l lm a k e 叩t h es h i i 缅l go p e r a t o ri nd i f f e t e a tq u a n t u ms t a t e s p e o p l eh a v em a d eg r e a t p r o g r e s sb o t hi nd i f f e r e n tk i n d so fr e a l i z a t i o n so fy a n g i a na n di nt h es t u d i e so nq u a n t u m i n t e g r a b l em o d e l ss i n c e1 9 9 2 ，a n dh a v eg i v e nn e wp h y s i c su n d e r s t a n d i n ga n dt h e o r e t i c a l r e s u i t s i nt h i sp a p e r , w em a i n l ya p p l yt h et h e o r yo fy a n g a na l g e b r at oam o d e lo f q u a n t i z a f i o no f n o n l i n e a r l yi n t e g r a b l e ，t h r o u g ht h ew a y o fu s i n g y a n g i a no p e r a t o r s a f t e rg e t t i n gt h ew ef m d t h ey a n g i a na l g e b r at oat r a n s f e rm a t r i x i no r d e rt og e ta o n es t e pt e r mw ec o n s t r u c tt h e o p e r a t o rt h a ti sc o m p o s e do fy a n g i a no p e r a t o r s b yw h i c hw ec a l le l i m i n a t e i nt h ex x x m o d e l t h r o u g ht h es t u d yo ft h eq u e s t i o na b o v e ，w ew i l lk n o wt h ef u n c t i o ny a n g i a no p e r a t o r si n q u a n t u mc u r r e n t f u r t h e r m o r ew ec a nb e a e rm a s t e rt h er e a l i z a t i o no fy a n g i a na l g e b r aj n p h y s i c s k e y w o r d s ： y a n g i a n ；q u a n t u mc u r r e n t ：t r a n s f e rm a t r i x ；x x xm o d e l ；s p i nm o d e l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：至挺日期：皇塑2 ：6 ：丛 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：圣短 指导教师签名： 日 期：童鲤z ：羔 日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 凰一 第一章绪论 l l 引言 物理中存在着许多经典可积模型，目前常遇到的有十几种。人们长时间研究它们的 孤子解【1 , 2 1 。但是，再复杂的具体经典解的发现也无助于力学系统的量子化。对于非线 性问题的求解，我们常可以在求解量子力学中的单体问题的基础上，使用微扰方法来求 出修正部分，然而，当相互作用比较强的时候，则要寻求问题的严格解。这不仅是求解 的技术问题，更重要的是严格解的性质和微扰论各阶叠加的结果常常有本质的不同，许 多经典孤子解就提供了这方面的例证。f d d e e v 学派在实现从经典到量子的研究方面做出 了重要的贡献。而以杨一巴克斯特方程f 3 叫( y a n g - b a x t e re q u a t i o n ，简称y b e ) 为中心的 有关理论包含了极其丰富的物理内容，在本质上反映了一大类非线性模型的特点，是系 统的处理非线性模型的成功理论，是解决非线性问题理论发展的一个巨大飞跃，它的研 究对象是多体系统。回顾理论物理发展的历史，经典可积问题【1 】的理论建立于1 9 6 5 年， 而对于量子可积问题理论的建立则开始于1 9 6 7 年杨一巴克斯特方程的建立。 杨一巴克斯特方程及其相关的理论起源于两个方面的物理研究：一是一维量子多体 问题i l e l ，二是统计力学中的二维精确可解问题【1 3 】。最早引入有实在物理意义的q y b e 的是杨振宁，1 9 6 7 年他在处理具有d 一函数作用势的一维问题时，为保证多体散射的自 洽条件而引入了q y b e 的原始形式l 仲1 5 】。1 9 7 2 年，澳大利亚学者r j b a x t e r 在研究统计 力学中的二维精确模型时，为了对角化他所定义的转移矩阵，从另一角度独立的得到了 称之为t r i a n g l e s t a r 的关系。当时这两种形式并未很好的结合起来。直到以l d f a d d e e v 为首的前苏联列宁格勒学派迸一步发展了量子反散射方法1 1 6 1 ，发现杨振宁与r j b a x t e r 引入的这类关系可以写成一般形式： r ，：0 墟。0 + v 次，：o ) - r 。( v 墉，：m + v 城。0 ) ( 1 1 ) 这对一大类低维量子可积模型有巨大的用途，定名为y a n g b a x t e r 方程。随着各方 面研究成果的积累，人们发现q y b e 普遍存在于量子可积问题中，并且起着核心作用。 近三十年来，有关q y b e 的研究取得了长足进展f 1 7 删。作为处理一大类非线性量子可 1 积模型的普遍理论，它已成为理论物理研究中一个重要的分支。 对于1 + 1 维量子可积模型和统计力学中的二维精确可解模型的研究，目前主要有 两种方法：一是早期的b e t h e a n s a t z 方法及其推广，二是后期发展起来的由法捷耶夫学 派等创建的量子逆散射方法。法捷耶夫在统一杨振宁和巴克斯特理论时，建立二次量子 化逆散射方法理论并同时提出了r t t 关系。r i t 关系如下： 1221 n ( x 一) n ( 神n ( 坊- l ( ) n ( a 拉 一力 ( 1 2 ) 量子力学中有两个基本的东西，一是哈密顿量，二是基本算符间的对易关系。而 r t t 关系的重要性在于：1 ) 它给出了量子整体转移矩阵 ) 的矩阵元之间的交换关系； 2 ) 由 ) 生成系统的守恒量。也就是说，r 1 盯关系是一个概括了许多已知对易关系的， 具有更广泛形式的对易关系，它有利于从更一般的角度讨论算子之间的对于关系。并且 r t t 关系原则上也提供了哈密顿量及其守恒量的形式，从而可以建立整个动力学系统。 总之，r t t 关系是杨一巴克斯特方程系统理论中的基本关系式，是研究完全可积模 型的出发点，这个关系不只限于建立对易关系，更重要的是它同时给出了量子系统的守 恒量，其中包括哈密顿量，即规定了系统的动力学性质。我们知道如果系统的所有运动 积分( 守恒量) 能够给出，则系统是完全可积的，而对于有了完全可积限制的系统而言， r t t 关系提供了一个最为理想的理论框架。从它出发可以同时提供哈密顿量和对易关 系，有了这些原则表达形式，就可以进一步用物理算符实现这些关系，从而可以将哈密 顿量具体化。r i t 关系描述相当宽的一大类量子可积系统，尤其对许多非线性系统更是 具有普遍性。 杨一巴克斯特方程有三种类型的解：1 ) 有理解，它是无周期的，对应于y a n g i a n ； 2 ) 三角解，它是单周期的，三角函数对应于实轴上的单周期函数，双曲函数则对应于 虚轴上的单周期函数，三角解对应于量子代数；3 ) 椭圆解，它是双周期的。此三者脱 胎于经典理论。我们主要研究了有理解及其三角解的情况。q y b e 的解重要意义在于确 定了局域算符( 格点上) 之间的交换关系。对给定的一种类型的q y b e 的解，则相应的 确定了一种代数关系，对代数关系的不同物理实现，也就对应于不同的物理模型。 量子力学中，在处理相互作用系统时，从微扰论的观点，必须用原始对称性算符做 无穷展开，造成无穷项修正项，这是因为没有找到反映整个相互作用的严格对称性，因 而不能严格处理非线性问题。r t t 关系后经v g d d n f d d 在y a n g b a x t e r 方程的基础上， 建立翰愕缸n 代数理论和量子群理论【嬲】。妇愕如月代数是由生成元l 和厂 组成的集 2 合，其中 ) 组成单李代数，它们遵从如下代数关系： ， 【， ，i p 】一。 p ，【l a , j p 】- 。 p ， p ，l 】一【，。，【j ，j ，】，i h 口扣岬， t a ，j ， 【v 。，】，【j ，j ，】+ ，】，【，- ，- ，】 = 鲁。枷晰c 。+ 4 删c 枷) ，口， ( 1 3 ) = i 枷晰c 御+ 4 删c 枷) u a 芦，r l l 副 y a n g i a n 代数的引入源于一维量子多体问题严格解研究，它在数学上属于h o p f 代数 【3 0 1 ，从理论物理的角度，它描述了完全量子可积问题中一类非线性相互作用模型所特有 的对称性。d r i n f e l d 阐述了y a n g i a n 的重要性质：对于量子完全可积系统，当给定量子 杨一巴克斯特方程的一个解r ( u ) 时，利用r t t 关系能够得到辅助空间中的矩阵元死o ) 之间的对易关系，即决定了量子算符瓦 ) 之间的代数关系，如果取定r ) 为”的多项 式形式，则称为y b e 的有理解。对于有理解的情况，此时矩阵元巧町 + ，一，3 ) 所构成 的代数不同于李代数，因为它是不封闭的无穷维代数，这个无穷维代数是由有限个生成 元所决定的。而u 4 与“。2 阶的算符间的对易关系是最基本的，只要满足这两阶所有的关 系，那么所有高阶关系将由它们所决定。可以说正是完全可积性这个特点才导致了这种 很强的限制结果，所以y b e 是我们研究可积系统的一个强有力的手段。 如果体系的h a m i l t o n 量与y a n g i a n 的生成元对易，我们就说该体系具有y a n g i a n 对 称性。值得指出的是，杨巴克斯特系统保证了量子可积性质，但并不保证其h a m i l t o n 量与y a n g i a n 对易，相反，如果h a m i l t o n 量与y a n g i a n 对易，也不一定是量子可积的。 这些性质依赖于具体的实现。以一维h u b b a r d 9 i 模型为例，y a n g i a n 正是无穷长链h u b b a r d 模型的对称性，并由此带来了新型简并度，正是，的作用引起不同格点间自旋的耦合， y a n g i a n 的引入大大简化了这种新型对称性的描述。 除了描述物理体系的对称性之外，y a n g i a n 的另一个重要作用是它可以组成超出李 代数范围之外，在不同量子态之间的升降算符( s h i f to p e r a t o r s ) 。李代数算子只能在同一 个权内变动，而j y a n g i a n 却可以以一种特定的方式将不同权之间的态联系起来，它正是 3 量子力学中跃迁算子的推广。以h 原子l 邵l 为例，对于每个能量本征值，均有翰增妇n 对 称性，对应着角动量的简并，f i t y a n g i a n 算子组成的角动量移动算子，将第n 个能级的 角动量从f 跃迁到，+ 1 。最初d d y a n g i a n 得到的不同量子态之间的平移算予均是由不含时 间因子的算子所给出的，近年来，对于含时情况下，y a n g i a n 的实现和随时间演化的平 移算子的性质方面的研究也有很大进展，同时，也拓展了y a n g i a n 在物理中的进一步应 用。 另外，我们知道掌握了系统的全部对称性意味着可以得到能谱的重要信息，因此 y a n g i a n 对称性还可以应用于能谱结构的研究，y a n g i a n 包含了极为丰富的物理内容，它 对研究系统能谱具有重要的意义。 1 2 论文的选题背景及意义 y a n g i a n 属于数学上的霍普夫( h o p f ) 代数。从物理角度看，它描述了完全量子可 积问题中的一类非线形相互作用模型的所特有的新型的严格对称性。同时，它的引入使 这种新型对称性的描述得至q 简化。值得提到的是，x x x 模型谱的实验研究已经获得相 当的成功。除此之外，它还有另一种直观的物理含义：它可以描述不同量子态之间的跃 迁，即其生成元可以构造出量子力学中能谱的升降算符。因而，y a n g i a n 算符在跃迁行 为中的作用也是非常值得研究的。用y a n g i a n 对称性重新研究量子流，是个刚刚发展的 课题。 1 3 论文的主要研究内容 本论文主要验证如何用y a n g i a n 算子组成的算符代表的量子流，并证明该量子流 是自旋流问题。我们知道y a n g i a n 以其具有超出李代数范围的一种无穷维代数的结构特 点，它可以描述了完全量子可积问题中的一类非线形相互作用模型的所特有的新型的严 4 格对称性。 本文的具体研究内容是运用所学的y a n g i a n 理论，通过计算和经验总结，猜测并设 计由y a n g i a n 算子组成的新算符所构造的l a x p a i r 方程，通过计算得到表示经典流的 非线性可积模型，并通过格点化得到量子流的非线性可积模型，将该模型的一阶近似展 开，放在x x x 模型中研究，最后证明所得到的量子流是自旋流。进一步阐明了y a n g i a n 算 子的作用，使我们能更深入了解和掌握y a n g i a n 代数的性质和作用。 5 第二章建立流的非线性可积模型 2 1y a n g i a n 理论简介 y a n g i a n 来源于y a n g - - b a x t e r 方程的有理解。它是由数学家v g d r i n f e l d 在1 9 8 5 年 l ， 。f s 舢，l ，】。i e 却，l 砷，以】。铷。一 ( 3 1 ) 厶， j 4 ，一】卜等( 1 + j - j i 地 6 h u b b a r d 模型的对称性，并由此带来了新型简并度，正是歹的作用引起不同格点问自旋 的耦合，y a n g i a n 的引入大大简化了这种新型对称性的描述。 2 2 构造l a xp a ir 方程 砌增缸n 包含了极为丰富的物理内容，不同的由y a n g i a n 算子组成的算符对应着不同 的物理实现，也就对应着不同的物理模型，要建立经典流的非线性经典可积模型，由上 述这个性质我们首先要引入由翰愕妇n 代数生成元组成的流算符，再构造一个l a xp a i r 方程，由方程最后得到经典流的非线性经典可积模型。 首先我们假设有一个非线性经典的流：在1 + 1 维空间中存在，让它的曲率自由， ( ，代表一个非线性经典的流) 建立的泊松括号 a ，l a ，+ l ，l - 0 ( 1 ) 假设t a 是琢愕缸托代数的生成元 ，( x ，f ) - f 4 j 一4 ( 工，f ) ( 2 ) ( f 4 ，f 矗】昌，4 6 c f 。) ， 轧t 啪一毖j x ( x , t , u 囊：巍 c y b e 来源于一大类1 + 1 维经典可积物理方程，我们知道二阶的偏微分方程的求解 是件非常困难的事，但在实际物理问题中，如果考虑到非线性的效应时，求解这种方程 又是不可避免的。求解这类方程的最有效的方法的第一步就是通过引入l a x p a i r 方程。 2 3 经典流的非线性可积模型 在区间 x l ，x 。+ ， 中均匀插入n 一1 个点，毛，蔓，毛相邻的间距为a 则：= _ “- - x i ，p ( 而+ 。) 一，一k ) 2 “( 而) 二：， 肆)( 4 ) 7 _ ，肛( 而+ 。) 皇( 1 + “( t ) f 二：) ，f ( 墨， ( 5 ) 利用上式进行逐次叠加，并取n - - p c o , a - o 可以得剑， k 。j 骢。n ( + v ) j 。) 霄代表了按鼍的大小由左向右的顺序排列，因为h ( 。) 为矩阵函数，不同点的比( 。) 不能 彼此交换，所以排列顺序不能随意改变，因此( 6 ) 式称为积一积分，它是指数形式的推 广一般可形式的记为 b ，) 一p e x p ( r ；_ ，船，) d 亭) 实际为微分方程歹( 札。) = ( 1 + “( f ：) _ ，；) 的形式解， 取一一一lx l 和边界条件 c ) 。j r 其中i 是单位矩阵 当l - - , o o 时如果极限值( 。) 2j ( l ，。pe x p f f l r d x j ( ，) ) 不依赖于时间t 与x 且均 匀收敛时，l “) 称为经典局域转移矩阵，它仅依赖于谱参数u 其非线性经典可积模型可写为：三一 ，；“) 。r 寺( ，一o ，) + “8 ：l o ，) ) ( 7 ) 8 第三章量子流非线性可积模型 3 1 经典流非线性可积模型格点化 我们知道，在原有的经典场论中，场量满足的是线性方程。正则量子化理论是将场 量的泊松括号变为对应的对易括号，然后将正则变量用于产生算符和湮灭算符表示，相 应的系统哈密顿量也用产生( 湮灭) 算符写出来。在此基础上构造f o c k 空问，在粒子数 表象中讨论哈密顿量的对角化问题。对于非线性模型，经典场论的正则量子化方法是不 能直接使用的，因为这是场量所遵从的运动方程是非线性方程。所以，研究一维量子非 线性场论的出发点是l a x p a i r 方程和基本泊松括号，所采用的方法是由f a d d e e v 学派 等创建的量子逆散射方法。 由r t t 关系可得：r ( “，h ) 工k ) 工备( “) - ；( “) l 1 u ) r ( h ，7 ) 经典和量子差l + 我们将由t a ( y a ”g 缸开代数的生成元) 所构造流算符，p ( z ，t ) 一t 。，p 4 ( 工，f ) 得到经典局域转移矩阵l 一 ，；h ) 。r 之彳( ，一 ，) + “8 ：一 ，) ) 将一维坐标x 格点化 格点煸得圳小耄( d “和亡y h l 舯) 其中k ) 是经典的局域转移矩阵。 在格点间距的一阶修正下，k ) = 1 + 圪 ) k ) 一k 阮，f ；“) 格点化后， 一仁积b 1 斗砷，粕+ 利用上式，注意到 ) 2 1 + k 9 )k ) ；圪( 毫，f ；h ) 则在一阶近似下，得到仁 工瓦似) ) t 吒，f ，n 一，砖 ，+ z c ；l k ) 是一个关于量子流的非线性可积模型，也是一个整体转移矩阵。 黧冀篓黧：。爹连续鲫作格点近似得貅在实际物理腑中，树# 线 性模型本身就是格点模型。 ”。”“ 93 2 整体转移矩阵k ) 前两项展开 将k ) 分解为两部分计算。 已知- 1 + 1 “薹“” 开普勒公式允，蠢，m 。砷善m 所以击1 * ( 由)+ “ “、1 + 甜。1 ， 令v 。“一1 所以爵1 ( 暑_ 一幽t v 耖 ( 击卜v 。( 南” 我们将上面得到的方程进行微商， 次微商得j a y l + l p ) = ( - 1 ) 与知2 州次微商得筹由卟旷1 删亡) 一 瞰微蒯南“t 焉要d v 由1 4 - 上+ 矿 ( ，l 一1 ) 1 4 一l 、 v ， 刺岳卜v 筹幽一器矿”筹南 一丽一1 ) n - iv “熹矿d n - ! 几怨v 4 熹南旷1 ) ( 8 ，o 一1 ) ! 名咖”1o 一1 ) ! 缸忉一o 一埘 因为要v m ，舢一。- 4 v 所以筹伊一嘶妒k 一 - 1 ) + 以p - 1 ) 一高南 腿得由“一跞i nv 4 耋 上一“一lj ! ；j j ； 令n = l 得 令n = 2 得 1 1 + 堕一(一v)“一。棚(9m - ( n - 1 ) 一、。9 。v x v “ 名 击1 - v 弘矿 一- v ) t 一， 一“ 惫o 、 7 1 ，2 了t n ，”1 惫o 爪一l 荟。朋( - v ) 1 1 第四章验证量子流k ( “) 满足自旋流模型 j 4 1x x x 模型简介 x x x 模型为l a n d a u - l i f s h i t z 方程的一种特殊形式，l a n d a u - l i f s h i t z 方程的运动方程 为s t s x s 。+ s x j s 其中s s ) t ( s 1 , s 2 ，s3 ) i sl 一1，是耦合常数， 并且，一d i a g ( j l , ，：，3 )j s - ( ，s ，j ：s ：d 3 岛) 场量s 4 ( 口；1 ，2 ，3 ) 满足泊松括号： s4 ( z ，f ) ，s6 ( _ ) ，f ) ) 一占。，。s ( x ，f ) 6 ( x y ) 相应的哈密顿量取为h - 知出( ( 是) 2 一s 船+ ，) 对于耦合常数j 来说，有三 种可能的情况，五蕾厶一以，1 t 以；1 厶一厶- 以一1 当处于第三种情况时，为x x x 模型的经典来源。 一五。一l 时 瓦川；主j 4 吒此时，4 ( “) ；五- i 从而得到， ) 一一1 - 与u l i + ，4 0 ) c r 4 。吒一一i 1 01 10 前面建立的泊松括号对存在的l a x p a i r 方程的经典可积模型具有普遍的意义，它与j 的具体形式无关仅依赖于，( a ) 矩阵。 不同类型r ( a ) 对应不同的非线形模型，而且同一类型的，( a ) 也可以对应于不同的非线 性模型，经典可积模型所特有的，( a ) 矩阵就是y a h g b a x t e r 方程的解。 4 - - 2k ) 带入x x x 模型 将关于量子流的非线性可积模型k ) 带入x ) 。【模型中 a 。j v 一8 v3 。+ v 。，y ， - o 将1 a xp a i r 方程，o ，f ；“) - r 了1( j ，o ，f ) + h ：， ，f ) ) 格点化后可烯。k ”1 + 薹( ( 击) 棚秘幽y + 0 ( 占2 ) ( 1 。) 格点化后定义平均算符 ，j ，) 一p e x p u ；l ( ，) d 亭) 上一节我们将关于k ) 量子流的非线性可积模型展开 矧由”一焉v “熹南旷 由“一跞v “熹南广 令n 一我们得击一v 扩 令n = 2 得 击1 一薹。( 叫) ” 一 等o 。 。 ( 击) 2 - 一薹。m 旷1 ( 南2 2 薹。m ，一1 我们知道x x x 模型中对给定的某个矩阵r ( u ) ，相对于自旋有 所以俐小薹( 由”1 和由州胂两项展瓶 ：v 薹v ”+ v 磊。( 一 ，) ”， m4 v 舵( u ) = - - v2 薹优旷1 囔删 考虑 ) 的一阶近似 咻v x o 叫品4w m i = o ( 叫h 4 叫筹鍪卜陵 ：? - 墨五2 一蔓础- 只瑾- 一是 其中s 。是格点一上的任意自旋算符。 这个新的自由度具有下述特色： ( 1 ) 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。 ( 2 ) 它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当自一0 时，自旋效应 消失。 ( 3 ) 它是角动量，满足角动量算符的最一般的对易关系而且电子自旋在空间中任何 方向的投影只取h 2 两个值。 4 3 自旋流模型的建立 根据电子自旋的上述特点，可以找出自旋算符的矩阵表示，以及自旋算符的本征函 数。首先，自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。其次， 既然是算符，它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质， 而角动量算符j 满足的对易关系是 jx ；i m 在量子力学中，千万不要有一种误解，即角动量就是，x p ，x p 只是轨道角动量，是 角动量的一种，它也满足( 6 2 1 ) 式。在量子力学中，角动量的定义是通过对易子给出的。 按定义，凡满足对易关系( 6 2 1 ) 式的算符称为角动量。自旋既然是角动量，自旋算符必 须满足 j j ；i h s 写成分量形式是 1 4 萋耋：耋sz萋s：ih誊sihs s y s ：一 y i ， i s ；s 。一s ，s ：-，l 雪，、雪，、雪：三个算符的本征值都是h 2 ；s x 2 、s ，2 、s ：2 的值都是壳2 4 ，即 e 2 一s ，2 s ：2 一矗2 4 s 2 一2 + s y 2 + s ：2 _ 4 a h 2 s 2 一s o + 啪2 4 3 _ h 2 ， s - 1 2 ji 鱼6 奠一鱼2 存x ，j ，一h _ 2 0 ，j ；一_ h 2 0 ： ( 6 2 9 ) 写成分量形式是 鞋矧 k ，矛，l - - t y x c 7 ，+ 盯，吼 一言( 甸屯一6 ：6 ，) 6 ，+ 丢彦，( d ，丘一屯6 ，) 扮，毋：j 一0 l 屯，或j 一0 屯、6 ，、丘之间相互反对易。 现在来找在特定表象下，以、氐、疗：算符的矩阵形式。由于j 2 与j ；对易( 或称6 2 与d ：对易) ，在它们的共同表象中，j ：的矩阵必然是 p 筇爿 这是因为j ；只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是2 x 2 的矩阵，而且在雪：自身表 象中，j ：对应对角矩阵，且矩阵对角线上的元素就是它的本征值。 叫渊 叫：】 a 、b 、c 、是待求的矩阵元。由于受厄米，因此屯也厄米，在( 6 2 1 8 ) 式中必有c 6 ， 再由 吼吼+ 呸以。瞄：】 ：三】+ 瞄三 ；：】 2 ；：】+ 一a 6 三】2 。 得 口i o ，d - 。；吒。 ：】 又因吒2 1 ，故有 叫噶加 ( 6 2 2 1 ) 即睁1 2 = 1 ，b 。e m ，若取口。0 ，贝q 叫： 仃，。- 寺( o r z a x o x t t z ) 。郜o ，o 一 。【0 ：】 以。 ：习，q 。 0i f ，吼。b 三】 表示式q 、盯，、叽称为泡利矩阵。 应该指出，泡利矩阵只是满足6 算符对易关系( 6 2 9 ) 式，在吒表象中给出的一种可 而不是唯一的取法。事实上，只取定屯，只固定了z 轴，在x y 平面中没有确定，还具 对x x x 模型 ) ：v 磊v “，+ v 毳( 一v ) “其中f 4 只是表象， 可以任意选取，令f _ 4 - 三盯， 盯为泡利矩阵 令，4 。 熹y “，暑+ + 熹c v ，4 嚣 厂4 一 ( 1 + v ) 辱+ ( 1 一v ) 嚣+ 令嚣- 4 = 一， r 4 r 4 一j 1c ，+ r 一+ ，一r + ，+ r 3 r 3 7 - z i f 至；茎 卜 置一列- 2 s 3 t 3 + s + t _ + st + - e 二 n 4 q t 一 一2 蹦，。r 三】 1 7 蚍一陵讣臣二，】 嚣为自旋流。 第五章全文展望与总结 5 1 展望 对于量子流的非线性可积模型，本文进行了一些研究，但是此系统仍然有很多有待 解决的问题，下面列出了对此模型的几个点展望： 1 本论文引入的新算符j ，( x ，t ) - t 。j ，。( 工，f ) 通过计算可以得到r t t 方程 的解 2 我们可以发现y a n g i a n 代数中二阶近似也具有重要的作用，在带入x x x 模型中 会得到什么样的结果。 3 本论文中我们可以知道，我们从理论分析知道嚣为自旋流a 但是由于受到计 算方法的限制，计算过程太过复杂，目前我们还不能得到其具有更普遍性意义 的解。 5 2 总结 从y a n g i a n 代数的有关性质出发，我们知道了杨- 巴克斯特方程的有理解对应着 y a n g i a n ，它是超出李代数以外的无穷维代数，是李代数的扩展。在研究量子可积问题 f f 寸y a n g i a n 的作用具有两个极为重要的方面。一方面是它可以描述量子可积模型的对称 性，另一方面是它可以描述量子态之间的跃迁，即可以由它的生成元构造出量子态之间 的平移算子。文论文就是利用了y a n g i a n 在描述量子可积模型的对称性，特别是x x x 模 型中的一些性质而进行的研究。 在本论文中我们首先得到了y a n g i a n 代数的重要性质和作用在此模型中得到了具体 的体现，它对于进一步分析y a n g i a n 代数在具体物理体系中的应用具有重要的意义。 1 9 参考文献 【1 】c s y a n g ，p h y s r e v l e t t 1 9 ( 1 9 6 7 ) 1 3 1 2 2 r j b a x t e r ，e x a c t l ys o l v e d m o d e l si ns t a t i s t i c a l m e c h a n i c s ，l o n d o n ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 2 【3 】有关杨一巴克斯特方程早期文献总汇，见j h n b om ( e d ) ，y a n g - b a x t e r e q u a t i o ni ni n t e g r a b l es y s t e m s , w o r l ds c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，1 9 9 1 【4 1k o r e p i nve ，b o g o l i u b o vn m ，i z e r g i nag ，q u a n t u mi n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o da n dc o r r e l a t i o n f u n c t i o n , c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 3 【5 】f a d d e e vi d ，i n t e g r a b l em o d e l si n1 + 1d i m e n s i o n a l 舛l e sh o u c h e sl e c t u r e s1 9 8 2 , e l s e v i e r ， a m s t e r d a m ( 1 9 8 4 ) ，5 3 6 - 6 0 8 【6 1 m o l i ng e ，k a n gx u ea n dy o n g - m i nc h o ，g r e a t e ru n d e r s t a n d i n go ft h eo fh y d r o g e na t o m ： r t t - i n t e g r a b i l i t ya n dy a n g i a ns y m m e t r y , p h y s l e t t a1 9 9 2 ，2 6 0 ，4 8 4 - 4 8 8 【7 】u g l o va n dk o r e p i n ，t h ey a n g i a ns y m m e t r y 巧t h eh u b b a r dm o d e p h y s l e t t a ，1 9 9 4 ，1 9 0 ，2 3 4 - 2 4 2 【8 】葛墨林，薛康，杨一巴克斯特方程，上海科技教育出版社，1 9 9 9 ，第一版 【9 】m o - l i ng e ，k a n gx u ca n dy o n g - m i nc h o ，r t tr e l a t i o n sa n dr e a l i z a t i o n so fay a n g i a ni nq u a n t u m m e c h a n i c s , p h y s l e t t a ，1 9 9 8 ，2 4 9 ，3 5 8 - 3 6 2 f l o k n i i s hp p , r e s h e r t i k h i nn y ua n ds k l u a n i nek y a n g - b a x t e re q u a t i o na n d p r e s e n t a t i o nt h e o r y , l e t t m a t h p h y s ，1 9 8 1 ，5 ，5 9 3 - 4 0 3 1 1 v g d r i n f e l d ，h o p f a l g e b r a sa n dt h eq u a n t u my a n g - b a x t e re q u a t i o n s o v i e tm a t h d o k l 3 2 ( 1 9 8 5 ) 2 5 4 - 2 5 8 1 2 v g d r i n f e l d 。q u a n t u mg r o u p i n ：p r o c e e d i n g so fi c 驵b e r k e l e y ( c a l i f o r n i a ) ：a c a d e m i c p r e s s ，1 9 8 6 ，2 6 9 1 3 v g d r i n f e l d ，s o v i e tm a t h d o k l 3 6 ( 1 9 8 8 ) 2 1 2 1 4 m o - l i ng e ，l 【a n gx u ea n dy o n g - m i nc h o ，g r e a t e ru n d e r s t a n d i n go ft h e 巧h y d r o g e na t o m ： r t t - i n t e g r a b i l i t ya n dy a n g i a ns y m m e t r y , p h y s l e t t a 1 9 9 2 ，2 6 0 ，删8 【1 5 】m l g e ，k x u ea n dy m c h o ，r t t r e l a t i o n sa n d r e a l i z a5o f ay a n g i a ni nq u a n t u mm e c h a n i c s ，p h y s l e t t a2 4 9 ( 1 9 9 8 ) 3 5 8 - - 3 6 2 【1 6 】m b e r r y , p r o c r s o c l o n d o na3 9 2 ( 1 9 8 4 ) 4 5 1 7 谷超豪等，孤立子理论与应用，科学出版杜，1 9 9 0 2 0 1 8 郭柏灵，庞小峰，孤立子，科学出版社，1 9 8 7 1 9 l d f a d d e e v ，l a t a k h t a j a n ，h a m i l t o n