（机械工程专业论文）曲面金属幕墙展开方法及排样优化设计.pdf

摘要 论文题目： 学科： 作者姓名： 指导教师： 答辩日期： 曲面金属幕墙展开方法及排样优化设计 机械工程 安勇( 签名) 郑建明副教授( 签名) 2 0 0 7 - 7 - 1 0 摘要 会属幕墙是一种广泛应用于大型建筑物的墙面装饰，具有易于加工成各种曲面造型的 特点。将各种曲面造型的建筑物表面，如球而，椭球而，抛物丽，按一定分割方法分成若 干小块曲面片，然后将各个曲面片展开成平面，按照平面的包络矩形在板材上下料，再加 工成曲面形状，最后在建筑物表面上进行装配构成金属幕墙。在金属幕墙生产中，曲面展 开是重要环节，由于双曲面为不可展曲面，目前己提出了多种展开方法，如力学展开法， 基于几何展开方法的三角平面网格方法和在曲面上构造可展曲面的方法等。但在金属幕墙 整体曲面造型制作中，由于要求分格整齐，曲面纹路走势平滑，上述展开方法通常难以满 足金属幕墙的工艺要求。同时，对于大规模金属幕墙的用料，下料的方法不同，材料的利 用率也不同，而求解最优矩形件排样属于n p 完全问题，目前主要方法有近似算法，启发 式算法，人工智能方法等，但在已有的排样方法中，一般都没有从工艺的角度考虑“一刀 切”问题。 本文根据对曲面金属幕墙的分格整齐，曲面纹路走势平滑等要求，在分析已有展开方 法特点的基础上，提出了一种等边心距展开方法，即曲面边上的点到曲面中心的距离和对 应展成平面边上的点到平面中心的距离不变，给出了等边心距展开的算法原理，通过曲面 的展开实例表明采用该方法所生产的曲面金属幕墙边界整齐，纹路平滑；同时为了满足“一 刀切吓料工艺要求，设计了矩形匹配分割算法和遗传算法相结合的矩形件排样优化方法， 编制了实现上述方法的计算机程序，并进行了数值仿真实验。仿真计算实例表明，等边心 距展开方法可以满足曲面金属幕墙的工艺要求，设计的矩形件排样方法可以找到更好的 解。 关键词：会属幕墙；曲面展开；矩形件排样；遗传算法 西安理工犬学工程硕士学位论文 d e s i g no fd e v e l o p m e n tm e t h o df o rd o u b l ec u r v e d s u r f a c e so fm e t a lc u r t a i nv i ：a l la n dp a r t sp l a c e m e n t o p t i m i z a t i o n s p e c i a l t y - m e c h a n i c a le n g i n e e r i n g a u t h o r ：y o n g a n s u p e r v i s o r ：p r o f j i a n m i n gz h e n g a b s t r a c t ( s i g n a t u r e ( s i g n a t u r e m e t a lc u r t a i nw a i l sa r ew i d e l yu s e dt od e c o r a t et h el a r g eb u i l d i n g s ，b e c a u s eo fi t sg o o d c h a r a c t e r i s t i co ft h ef l e x i b l e t h ed o u b i ec u r v e ds u r f a c e so fm e t a lc u r t a i nw a l l s u c ha ss p h e r e e l l i p s ea n dp a r a b o l o i d ，a r ep a r t i t i o n e di n t om a n ys m a l lc u r v e ds u r f a c e s ，a n de a c ho ft h e mi s o u t s p r e a d e di n t op l a n e a f t e rt h a t ，i t se x t e r n a lm i n i m a lr e c t a n g l ea sar e c t a n g u l a ro b j e c ti sc u t f r o mt h ep l a t em a t e r i a l a i lo ft h ep l a n e sa r ec o m b i n e dt h ec u r t a i nw a l l t h ed o u b l ec u r v e d s u r f a c e sa r en o n - d e v e l o p a b l es u r f a c e af e wo f d e v e l o p i n gm e t h o da r ep r o p o s e d b e c a u s et h e o r d e r l i n e s sa n dt h es m o o t hc u r v ea r er e q u e s t e di nt h em e t a lc u r t a i nw a l l s t h ep r o p o s e dm e t h o d s a r en o ts u i t a b l ef o ri t t ol a r g es c a l er e c t a n g u l a ro b j e c t s ，t h ed i f f e r e n tp l a c e m e n t sm a k et h e d i f f e r e n tr a t i oo fu s i n gs h e e t s f i n d i n gt h eo p t i m a lp l a c e m e n tm e t h o ds a t i s f i e dw i t hq u i r e c u t t i n gi sv e r yh e l p f u lt or e d u c et h ec o s to f p r o d u c t i o n t h i sp a p e rp r o p o s e dam e t h o do fe q u a la p o t h e mf o rt h ed e v e l o p m e n to fd o u b l ec u r v e d s u r f a c e st h a tt h ed i s t a n c eb e t w e e nt h ee d g ep o i n t sa n dt h ec e n t e ro f c u r v e ds u r f a c ei sc h a n g e l e s s b e f o r ea n da f t e rt h ec u r v e ds u r f a c ei sd e v e l o p e d t oi t sc u t t i n gf r o mp l a t e s ，am e t h o ds a t i s f i e d w i t hq u i r ec u t t i n gi sp r o p o s e d , w h i c hc o m b i n e dar e c t a n g l em a t c h i n g - p a r t i t i o nm e t h o da n d g e n e t i ca l g o r i t h m t h ec o m p u t e rp r o g r a mi sd e s i g n e df o rt h em e t h o d sp r o p o s e di nt h ep a p e r , a n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o ne x p e r i m e n t sa r ei m p l e m e n t e d t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o d sp r o p o s e di nt h i sp a p e rs a t i s f yt h e d e v e l o p m e n tr e q u e s to f t h em e t a lc u r t a i nw a l l ，a n dt h em e t h o do f r e c t a n g u l a ro b j e c tl a y o u tc a n f i n db e t t e rs o l u t i o n k e y w o r d s ：m e t a lc u r t a i nw a l l ；c u r v e ds u r f a c ed e v e l o p m e n t ；r e c t a n g u l a rp a r t sp l a c e m e n t ； g e n e t i ca l g o r i t h m h 独创性声明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：本人所呈交的学位论文是我个 人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人的研究成果。与我一同工作的同志对本文所论述的工作和成 果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并已致谢。 本论文及其相关资料若有不实之处，由本人承担一切相关责任 论文作者签名：盔建p 司年7 月1 日 学位论文使用授权声明 本人：堑是在导师的指导下创作完成毕业论文。本人已通过论文的答辩，并 已经在西安理工大学申请博士硕士学位。本人作为学位论文著作权拥有者，同意授权 西安理工大学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生按学校规定提交 印刷版和电子版学位论文，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生上交的 学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；2 ) 为教学和 科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图二f s 馆、资料室 等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 本人学位论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权西安理工大学研究生部办 理。 ( 保密的学位论文在解密后，适用本授权说明) 论文作者签名：逡塞导师签名论文作者签名：越级导师签名 。州年- 7 月l 旧 第l 章概述 i 概述 会属幕墙是一种新型建筑装饰材料，山金属幕墙板组装而成。会属幕端板足优质 的铝板材，经过钣盒成型、装配、表面处理等工序制成，被广泛应用于大型建筑物的内外 墙装饰。 对于双曲面会属幕墙，日前的方法是设计人员将工程图纸分格后，借助j ：模线样板， 给出每个曲面块的三个定义坐标，用绘图仪按1 ：1 的比例画出样板图，然后根据样板图 制作出比例为l 比1 的模胎，冉根据模胎的外形尺寸依次分别进行划线、在板材上下料、 成型，然后装配成整体曲面，从而完成一块双曲面造型的金属幕墙的加工和制作。上述曲 面展开工艺方法，由于主要是人工操作，可靠性比较差，不仅浪费原材料，而且设计和生 产工序多，生产效率比较低。 展开后的多个小块幕墙板需要在板材上下料，而在下料方面，生产企业曰i i 采用的多 是凭经验人工进行排样的方法，不仅排样效率低，而且材料浪费比较大。 鉴于上述生产中存在的实际问题，本文在分析总结已有的曲面展开方法和矩形件排 样方法的基础上，根据曲面金属幕墙的工艺要求，进行了曲面展开方法和矩形件排样优化 方法的研究，并应用计算机技术设计了展开算法程序和排样优化算法程序。 1 1 曲面展开技术的研究现状 曲面展开技术的研究开始于二十世纪八十年代，国内外学者在曲面展开的不同应用 领域做了许多研究工作，取得了显著的研究成果。曲面类型按照复杂程度和讣算乍成算法 可分为简单曲面和复杂曲而两种。简单曲面如圆柱而，圆锥面等为可展曲而而复杂曲面 如球丽，椭球而，抛物而等为不可展曲而。可展曲而可以通过建立曲而的数学模犁进行展 丌，展j i ：的曲面可以复原成与原始曲面完全一样。而不町展曲面的展j f 丰要足采用将 1 1 1 线 近似为直线，以直线代替曲线进行展开，展开的曲面不能精确t 久复到原始曲而。囚此，曲 而展开技术中，不同的展丌思想形成了不同的展开方法。 文献【1 】提出了应用有限元方法计算曲面的展开方法，该方法基于曲面离散的表达式， 运用分区域曲面的展开思想进行曲面展开。文献 2 】提出了直纹面三角网格分割法，将曲 面先分割成若干个条状区域，每一区域用直纹面逼近，然后将直纹面用三角形网格划分， 把直纹面展开到平面；文献【3 】采用四边形网格等面积法将曲面离散化，确定展开中心， 然后将网格展开成平面。文献【4 】提出了一种在依附于复杂曲面的两条空间曲线之间，构 造可展面，将复杂曲面变成可展曲面后再进行展开的方法。 以上曲面展丌方法中，几何展开法最为常用。在实际工程中，运用哪种曲面展开方 法要根据工程要求确定，因为不同的工程对曲面展开的结果要求也不同。比如，展开后等 面积要求，等角度要求，还有用边长逼近时的等边长要求等。把不可展曲面展开为平面时 要同时满足以上要求是困难的，而曲面展开复杂性越大，同时满足要求的可能性就越低。 西安理工大学工程硕士学位论文 如劂托晒展，r 时没，f r 破裂和储铍也没有缝隙和蘑卺，| ：i 儿等面积、等角度、等边艮等 要求容易达到，而复杂“晴f 如r 微丽、抛物舾展丌时就不可避免地出现破裂和裙，镀，mf l 等面积、等角度、等边长的要求时满足是比较困难的。所以具体的工程要根据具体的_ 1 二 艺、施工、效果和目标婴求i | j 采用1 i 同的展丌方法。 1 2 矩形件排样方法的研究现状 在机械制造领域，随着，产规模的不断扩大，零件的规格和数量及所用的原材料的 数量也越来越大。一般情况下，零件毛坯的几何形状比较复杂，通常把非矩形零件用其最 小包络矩形代替，这样，矩形零件的排样问题就成为了人们关注和研究解决的优化问题。 实际上，矩形件排样是一个组合优化的二维图形布局问题，对于规格种类多，数量大的大 规模矩形件排样问题，要找到一个最优的排放方案是比较困难的。实际上，这个问题属于 计算复杂性最高的一类n p 完全问题，至今尚未找到解决该类问题的多项式时间算法。由 于实际生产的需要，迫切需要找到满足生产要求的解决方法，在可接受的时日j 内找到最优 解或近似最优解。迄今为止，针对各种形式上的矩形件排样问题提出了许多有效的解决方 法| 1 2 - 2 6 | ，各种方法都有其自身的特点及相应的应用效果。 1 2 1 近似算法 文献 1 2 】给出了一种近似算法，其设计思想如下： 设从板材的左上角开始排放第一批f 个矩形件，从而板材被分割为a ，b ，c ，d 四 个区域，如图1 - l ( a ) 所示，其中区域a 已经排放了矩形件，口，c ，d 为空白区域。采 用相同的策略，分别从口，c 区域的左上角开始排放剩余的矩形件，则又会产生空白区域 蜀。，b 。：，g 。，c l ：，如图l i o ) 所示。如此不断地填充空白区域，直到所有的空白区域 2 c b d ( a ) ( c ) 图i - 1 近似算法 f i g 1 - 1a p p r o x i m a t ea l g o r i t h m 第l 章概述 部舴常小，以至于没有个待刳i 知，彤件可以排入其| 1 ，这时，板材上的面积分割情况如图 l 一1 ( c ) 所示，呈阶梯状所剩余的窄l 勺区域为eu eu u ，u f ，其中，：，一，e ，作 为单个空白区域，已不能排卜| 任f i l 矩形件，但如果将部分区域加以拼合，删除，那么断积 就会扩大，有可能排下檗螳钎i 肜件，如图i - 1 ( d ) 所示，把e 删除，则e 。和e 。就会向d 扩 张，面积变大。此时，变化衍的e ，一。和e + 。就有可能排f 某些待排矩形件。荇町以则排 入，否则重新选择一个e ，并继续尝试，如此反复，直到所有矩形件排完为止。在此过 程中，采用寻优规则在板材上划分矩形区域。 该算法给出了排样方案的一种求解方法，比人工排样方法具有很高的板材利用率和 排样效率。但是，由于该算法在板材上划分矩形区域的寻优规则的局限性，会使最后一块 板材上的矩形件排完后的空白区域呈锯齿状，这将使剩余板材的可利用性变低。 文献【1 3 】对近似算法做了改进，给出了以板材的长或宽对待排矩形件的长或宽求余 数，再根据余数结果计算矩形件排样的算法。该算法对种类数不多而数量比较多的矩形件， 特别是对边有倍数关系的矩形件，可以得到比较好的排样结果。 1 2 2 剩余矩形匹配方法 在矩形零件排入板材的过程中一般采用剩余矩形匹配算法，剩余矩形匹配算法是把 矩形零件依次按照板材的剩余矩形最佳匹配原则排入板材，其方法如下： 如图卜2 所示，将第一个矩形p 1 排入到板材的左下角后，板材剩余2 个矩形r 1 和 r 2 。从r l 和r 2 中选出一个剩余矩形，选出的原则是：下一个矩形零件能够放入r l 或r 2 ， 及放入后零件的长或宽与r l 和r 2 矩形的某一个边最接近，如图1 - 3 所示。 图i - 3 中p 2 的边长与r 2 的短边最接近。排入零件p 2 后，剩余矩形为r l 和r 3 。当 剩余矩形的长或宽小于所有矩形零件中长和宽的最小值后，该剩余矩形从矩形表中删除。 图卜2 单块板材l f i g 1 2l a y o u t io fs i n g l ep l a t e r 1 r 3 尊，p l 黧黪辫劈照 一二每，一r “高：t 盯醚浚涵磊鬣瀚 图卜3 单块板材2 f i g 1 3l a y o u t 一2o fs i n g l ep l a t e 文献 1 4 给出了将填充算法和遗传算法相结合的方法，用来求解最优排样方案。但 是，由于该方法是通过沿板材宽度方向不断产生条料，将二维布局问题转换成一维布局， 同种规格的矩形件必须沿板材宽度方向连续横排或连续竖排。显然，这样求得的最优解不 能保证是全局最优的，也就是说，不能保证板材的利用率最高。 西安理工走学工程硕士学位论更 1 2 3 基于遗传算法的方法 遗传算法山于具有仓局搜索的特性，比较适合于解决排样问题的怛排和套排。文献 1 5 给出了一个套排的遗传茆法解决方法，用一个矩形件的排列顺序表示一个染色体，例 如编码( 09 32 87 l645 ) 对应的套排方案可能为：第0 ，9 ，3 号矩形件持入第一 块板材，第2 ，8 号矩形件排入第二块板材，第7 ，l ，6 ，4 ，5 号矩形件排入第三块板材。 该算法比较有效地解决了套排u j 题。 但是，从目前所提出的遗传算法方法来看。由于染色体编码没有充分体现矩形件的 排放信息，排样的优化效果不够理想。从排样的结果看，均不满足“一刀切”的下料工艺 要求，没有考虑“一刀切”问题的排样方案，将会使排样算法的应用受到限制，同时，金 属板材的剪切下料效率也不够高，甚至难以实施。 1 3 论文的主要研究内容 根据实际生产需要和对有关问题的研究现状，本课题的主要研究和设计内容如下： ( 1 ) 曲面展开方法设计 由于球面、椭球面和抛物面都是不可展曲面，把它们直接展开为平面时，对应点距离 将发生变化。在研究分析已有展歼方法的基础上设计出符合曲面块接缝整齐，曲面纹理走 势平滑等工艺要求的展开方法。 ( 2 ) 排样优化方法 设计既满足“一刀切”下料工艺要求又具有较好排样效果的排样优化方法。 ( 3 ) 应用程序设计 应用计算机技术，将曲面展开方法和排样优化方法用计算机程序实现，设计具有实际 应用意义的算法程序和应用程序。 1 4 论文结构 论文共分为4 章：第l 章主要论述曲面展开技术和排样技术的研究现状和课题主要 内容；第2 章介绍双曲面展开的等边心距方法和数值仿真实验结果，以及应用程序设计方 法；第3 章介绍基于遗传算法的排样优化方法及采用该方法所获得的数值仿真实验结果； 第4 章总结。 4 第2 章曲面展开的等边。距方法 2 等边心距曲面展开方法 曲面会属幕墙整体造型的设计从荚观和施一r ：的角度来看，首先进行曲面网格化分制， 把整个曲面分割成许多小块i i | i l f ，然后，把各小块曲面展丌成平面。对会属幕墙整体i i i l i f l i 造型，有制作好的曲面幕墙t 1 1 1 1 f i j 块接缝整齐，曲面走势平滑等要求。本文在参考已仃办法 的基础上，提出了一种适用十曲由l 金属幕墙施上的等边心跑曲面展外方法，包括网格分割 方法和等边心距展丌方法。 2 1 网格分割 网格分割是指由横竖交错的分割线构成网格来对曲面进行整体分割，类似球面的经 纬线。对于球面、椭球面和抛物面等单向凸曲面，所有经线都经过顶点，且同一经线在空 间共面。被经线分割的平面，有如下的特点： ( 1 ) 平面之日j 夹角，即二面角近似均匀分布，相邻面的夹角最小； ( 2 ) 所有面共线，如图2 一l ，2 2 ，所有面都经过z 轴。 纬线的确定目前主要采用以下用两种方法，即等角度法和等高度法。 2 1 1 等角度法 等角度分割是指纬线由等仰角确定，而纬线的仰角是指纬线上的点和坐标系原点的 连线，与通过原点的水平面的夹角，如图2 1 所示，纬线a 上的点和坐标系原点的连线， 与x o y 平面的夹角称为纬线a 的仰角。图2 1 是用等角度法绘出的三维网格分割图，可 以看出，所有的网格经线自身封闭，且每一条经线在空间共面，每一经线所在的面都与 x o y 面垂直。 z x 幽2 - 1 等角度分割法 f i g 2 1e q u a la n g l ed i v i d i n gm e t h o d y a 每一条经线上的点的仰角不同，仰角之间可以等差分布，也可以按照一定的规则分 5 西安理工大学工程硕士学位论丈 和。：l ，椭球【“i 的z 轴半径和x ，y 轴卜径小等时，如果仰角按等差分御，纬线之f 1 1 j 的直 观研i 离4 ：等，也不协调。当椭球的x 轴和y 轴不相等时，这样得到的纬线在空m f i j 晡， 且z 坐标( 高度) 不十h 等。当椭球的x 轴和y 轴相等时，同一纬线的所仃点共面，且处 在同一高度，也就是既同一线e 所有点的仰角相等。还有，当曲面是抛物面或其他单向凸 面是也有类似情况。但在很多情况f 单向凸曲面的两水平半轴长度不等，所以就会j m 生啊 一纬线不在同一高度的情况。而在设计上，有时又要求纬线等高，因此提出了另外一种分 割方法，即等高度法。 2 1 2 等高度法 等高度分割法和等角度分割法的相同之处是，所有的网格经线自身封闭，经过顶点， 每一条经线在空间共面，且每一经线所在的面也与x o y 面垂直。 等高度分割法和等角度分割法的不同之处是，每一纬线整体由一个z 坐标确定：纬线的高 度，即纬线上所有的点处在同一高度。如图2 2 所示的椭球面网格纬线的等高度分割法。 z 图2 - 2 等高度分割法 f i g 2 2e q u a lh i g hd i v i d i n gm e t h o d y b 纬线的位景由同一z 坐标确定。图2 - 2 中纬线b 上的所有点按等角度法中的定义计 算仰角，有可能仰角不相等。也就是说，同一线上所有点不是同一仰角。每一纬线的所有 点的高度相等，而且共面，可以认为此纬线圈是由所在面和曲面相交得到的相交线。这时 所有纬线的高度一般不是等差分布，可以按照某一经线等差仰角点确定的高度来分布整个 纬线。当椭球面的z 轴半径和x ，y 轴半径相差太大时，这种方法也会使高度比例失调， 因此，纬线之间因为大小的不同在直观上失去效果，也不协调。当椭球的x 轴和y 轴不 相等时，这样得到的相邻纬线在不同的经线上距离不等。当椭球的x 轴和y 轴相等时， 因为不同的高度分布方法，有可能与等角度法得到相同的效果。 一 在实际的设计中，采用哪种分割方法可根据不同的工程要求选取。 6 第2 章曲面展开的等边m 距方法 2 2 等边心距展开方法 对已经分割为网格的：次 | l i l l i ( 如椭球面或抛物面) 的分割块作简单操作，i ，得到 各个分割曲面片的基本参数。 如图2 3 所示，曲丽” i 形i ) 为网格化分割块，其中a b 和d c 为网格化分割的纶线， a d 和b c 为删格化分割的 ，线。 改曲向方程为：f ( x ，_ ，z ) = 0 ，若分割方法已知，则备边 界点已知，即a ，b ，c ，d ，l ! 点已知。如果是等高度分割，则点a 和d ，b 和c 商度分别 相等。下面讨论采用等边心距疗法对曲面片进行展丌的原理、算法及实施示例。 2 2 1 展开中心的确定 曲面展开为平面时其几何性质发生了变化，但两者存在着某种联系，确切地说，曲 面展开是曲面到平面的一个映射。这种映射遵循某种规则，而且曲面上的任一点在平面上 都有唯一的点与之对应，即点与点之日j 的一一映射。等边心距的展开方法遵循的规则是： 曲面上所有的点到中心p 的距离和平面上对应点到中心p 的距离相等。因此，首先需要在 曲面上确定一个合适的中心点p 。 由于是曲面展开，中心点必须在曲面上。网格化分割的曲面的经线都经过顶点，也 就是说所有的经线都在顶点相交，这将使得分割的曲面块上下大小不一样。中心点的确定 则最好偏向大的一边，因为平面材料有一定厚度和重量，从实际施工的角度来说，曲面到 平面映射后对应的中心点最合理的位置是平面形状的重心。但是在用算法展开曲面之前， 事先不知道平面的形状，无法确定平面形状的重心，如果中心点偏向大的一边，将有利于 中心点接近重心位置。在左右方向上，因为等角度分割和等高度分割引起的左右大小没有 明显的不同( 在曲面局部如此) ，所以中心点的左右可取分割区域的平均。 中心点上下偏差是一个需要考虑的问题，本文提出解决方法如下： d c b 图2 - 3 中心点确定 f i g 2 3c e n t e rp o i n td e t e r m i n i n g 如图2 3 所示，无论网格分割是等角度法还是等高度法，取曲面块的一条经线a b ， 中心点p 的z 坐标值为该条经线两端点( a 和b ) z 坐标值的平均，即p 点的高度为a 7 西安理工大学工程硕士学位论支 点和b 点高度的、f 均值。为了j l j ) l j 等角度法分割曲i 斫时带来的纬线的不同，巾心点的 经度取曲面块屈右边沿经线的经度的f 均值，中心点p 的经度为经线a b 和经线d c 经度 的平均。这样高度和经度确定后，即可得到中心点。 山于曲呵弯曲，曲面的f 二下部分倾斜程度不一，这样得到的中心点在重心附近。当 曲而凸面向下时，百r 以得到i t 可样的效果。 2 2 2 曲面的共轴面切割 在曲面上过中心点p 作曲面法线p q ，如图2 - 4 。曲面方程为，y ，z j = 0 ，则表达 式f g ，j ，z ) 在三维坐标的三个轴方向的偏导数构成的向量眩，e ，c ) 为法线p q 的方向 向量。由于p 点的坐标在上一节已经求出，则可以得出直线p q 的点法式方程： x x p y y p z z p 只i ，cl ，只i ， “17 其中( x py p , z ，) 为p 点坐标，ki ，ei p , 只i p ) 为向量，0 ，e ) 在p 点的取值。 a b ( 1 ) 0 b ( 2 ) c 图2 - 4 曲面展开方：i 去 f i g 2 4b e n ds u r f a c es p r e a dm e t h o d 过直线p q 作平面p q m e 和曲面a b c d 相交，得相惯线p e 为空间曲线。计算p e 的曲线 长度，以此确定拉伸后的平面上对应p e 间的直线距离，如图2 - 4 ( 2 ) 所示。 平面p q m e 绕p q 转动至p q n a 位置得交线p a ，计算p a 的曲线长度，以此确定在如图 2 - 4 ( 2 ) 的平面上p a 的直线距离。其中图2 - 4 ( 2 ) 中夹角e p a 为图2 - 4 ( i ) 中平面p q m e 与p q n a 所确定的二面角，这样用长度和角度可以确定a 点在平面上的位罨。平面p q m e 绕p q 转动一周，在不同的位置得到不同的平面，从而得到不同的空间曲线，同样道理可 以确定不同边界点在平面上离中心点的距离。角度的确定都和平面的原始位置p 删e 所央 的二面角相对。b 点的确定方法同理。至此，当平面共轴转动一周时，曲面边界上任意点 s 第2 章曲面展开的等边心距方法 的平面位置都通过这样的方法确定，从i i 得出曲面展丌后的平面轮廓图，如图2 - 4 ( 2 ) 所示。理论 二，需要把曲面边猝i ：的雒点映射到平面t 。| 能得刘f l f f i 展丌形状，们实 际上可以按照- 一定的精度要求离敞敢点宋处理，当要求映射精度比较高时，可以多取一些 点。 切割所得的宅问曲线，如图2 4 ( 1 ) 巾的l ，2 ，3 。都是i l 原始曲面被旋转i 1 7 i n i 切 割所得，所以称旋转平面为切割廊，存切割面转动一周的过程中每个位置需要求取其方 程表达式，用以计算切割所得空日j 曲线的长度。下面举例说明求取平面p q m e 方程表达式 的过程。 因为曲面已知，边界点已知所以e 点已知。设e 点坐标为协。，y 。，z 。j ，则平面p q m e 的法向量由向量( 只l p ，l p , 只i p ) 和向量( z 。一工，以一y p , z 。一z p ) 叉乘( 积) 得到。即平面p q m e 的法向量为： ( ci p ，i p ，ci p ) ( t x py 。一y p 乙一z p ) i f ， k l = lcl ，i ， t j ，l l x e x 口y e y p z e - z p 一乃坨，f ，一眈一j ，坦f ，j f ：+ 酝。一x ，妇，一z e - - z p ki ，b + 眇，一j ，弘ii ，一也一x ，弘jf ，】老 平面过p 点( x p ，) ，z ，) ，则平面p q m e 的点法式方程表示为： 一z ，虹i p b 一) 一工，ki ，】( y y ，) 一y ，kl ，k - - z p ) = o ( 2 2 ) 再由p q m e 面方程和曲面方程f g ，y ，z ) = o 联立确定曲线p e ，计算p e 的曲线长度， 以此确定拉伸后的平面上p e 问的直线距离，如图2 - 4 ( 2 ) 。计算二面角的公式如下： 设两平面的法向量分别为：( a i ，b l ，c 1 ) ，( a 2 ，b z ，c 2 ) 则两平面的二面角的余弦值： c o s 伊2 丽嚣嚣卷露 汜s ， 2 2 3 曲线分段 算法的难点在于计算曲面与平面相交所得空间曲线的长度，如图2 - 4 ( 1 ) 中的曲线 k 也位 一 一 一 b b l废岐圬知。 一 一 一 陋 + + 西安理工大学工程硕士学位论文 l ，2 ，3 。引入空h j 卣角啦标系后，曲线刀袱山曲面方程和平面方程共同确定，求解空n u 曲线艮度的积分表达式非常复杂，很难n 接求解。 由于所求空f h j 曲线是由平面和曲面相 交所得，所以曲线在空间共面。因此，本文提 出用分段逼近的思想来解决这问题，把一三维问题转化为平面问题。即把所求曲线段分成 著干小段，对于每一小段，先求! i ：此小段的- 1 - i n j 点后，用过中问点和此小段两端点的嘲弧 段( 或抛物线段) 的长度拟合此小段曲线长度，然后把每小段的拟合结果相加，这样可以 得到整段曲线的长度。 在空间对曲线分段有多种方法。可以把曲线按曲线长度等距离分段，也可以按弯曲 角度分段。按曲线长度等距离分段需要计算曲线局部长度，计算量大，而且算法的核心是 要分段后再计算长度，所以此种方法实现比较困难。如果按弯曲角度分段，有可能出现图 2 5 所示的两种弯曲方向不同情况，图中直线为曲线两端点的连线，这样问题变得更加复 杂。因此，本文提出用等距离平行平面截取的方法，以解决图中出现的两种不同的情况。 ( 1 )( 2 ) 图2 5 弯曲方向 f i g 2 5b e n dd i r e c t i o n 该方法的具体做法是：直线连接求取曲面的两端点，把得到的直线段等距离分段， 在每一个分段点上做垂直于此直线的平面，得到一组平行面，该组平行面和所求解的空间 曲线的交点即为曲线上的分段点。此方法操作简单，且算法容易实现。 2 2 4 曲线的逼近拟合 曲线分段以后，对每小段曲线逼近，拟合其长度。 如图2 6 所示，设曲线a b c ( 粗线) 为截取所要求解曲线的其中- - d 段。b 点为直线 a c 的中垂线与曲线a b c 的交点，过a ，b ，c 三点做三角形a b c 的外援圆0 ，因为a ，b ，c 点确定，所以h 和d 长度已知。设圆弧段a b c 长为，则有如下关系： t a n 岛= d 2 h 岛= a r c t a n ( d 2 h ) q = 2 防一2 a r c t a n ( d 2 h ) ( 2 4 ) a b = j 1 2 + d 2 4 ( 2 5 ) ，2 = 彳曰2 + ，2 2 r a b c o s 幺( 2 6 ) 第2 章曲面展开的等边心距方法 l = 1 ，儡 将式( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，( 2 7 ) 联立可求得： ，t = o h 2 + d 2 x ，r 一2 a r c t a n ( d 2 h ) ) 4 h 其中，d 为此小段两端点直线距离，h 为a c 中点到b 点的距离。 c ( 2 7 ) ( 2 8 ) 图2 - 6 用圆弧段拟合 f i g 2 _ 6a p p r o h i n gb yc i r c l e 理论上，对曲线的分段越多计算结果越精确，但由于不是用每小段两端点的直线距 离直接拟合，且一般所要求解的曲线曲率不大，所以分段数对计算结果影响并不大。本 文经过验证，用1 6 位双精度浮点数运算，分段数为1 0 和1 0 0 0 时计算结果几乎一样。 2 3 展开实例 下面给出本文算法程序对一块曲面的实际展开数据实例。 图2 - 7 椭球面取块 f i g 2 7s p h e f i e a lb l o c k 西安理工大学工程硕士学位论文 在平面几何中，椭圆的周长或弧长计算没有准确的计算公式，难以求出理论值来比 较算法的误差，所以取球体一块曲面来考察算法误差。 如图2 - 7 所示，球的半径为1 0 0 。曲面1 的经线跨度为6 0 度，即曲面1 的左线经度 为1 5 度，右线经度为7 5 度( 以x 轴正向为经度起点，向y 轴正向方向转动为经度增长， 过y 轴正向的经线为经度9 0 度) 。曲面1 的下线高度为- 5 0 ( z 坐标为一5 0 ) ，曲面1 的上 线高度为5 0 。展开结果如图2 - 8 所示。 _ j 格 1 0 1 1 0 0 0 0 0 鲁 1 0 t 1 1 巧5 缩盛：j 一 糖号：1 圈号：t - 图2 _ 8 曲面块展开图 f i g 2 _ 8s p r e a do f b e n ds u r f a c eb l o c k 对该曲面块展开实例的几点说明； ( 1 ) 实际工程中的曲面块不会有这么大，此处只是为了理论计算方便。 ( 2 ) 曲面模型为球面时，等高度网格分格法和等角度分格法的高度线和纬度线平行 或重合。 ( 3 ) 曲面1 的上下等高线相同于纬度线，根据曲面1 的高度值可知，所取曲面是以 “赤道”为中心，上下纬度跨度6 0 度。 ，； ( 4 ) 根据2 2 1 节知曲面l 的中心点o 确定为经度4 5 度，高度值0 ( 纬度亦为o ) 。 对应于图2 - 8 中的边沿点a ，b ，c ，d 点和中心点0 ，容易证明在曲面上a ，b ，c ，d 点到中心点0 的曲面距离相等，且为大圆周长的十二分之一。即： ，= 2 万1 0 0 3 0 + 3 6 0 = 5 2 3 5 9 8 8 。其它边沿点到中心点0 的弧长也可以计算出理论值， 因其理论值会涉及圆心角的计算，而圆心角的计算往往会因分式的不能整除带来误差，因 此，这里不用其它边沿点来考证算法的精度。a ，b ，c ，d 的计算精度亦能反映算法的精 1 2 第2 章曲面展开的等边m 距方法 度。展j r 数掘结果如表2 1 所示 表2 一l 展开数据 t a b l e 2 1d a t eo f s p r e a dr e s u l t 边心距o a边心距0 b边心距0 c边心距o d平均 理论结果 5 2 3 5 9 8 7 85 2 3 5 9 8 7 85 2 3 5 9 8 7 85 2 3 5 9 8 7 85 2 3 5 9 8 7 8 算法结果 5 2 2 2 9 6 9 85 2 2 2 9 6 9 85 2 2 2 9 6 9 85 2 2 2 9 6 9 85 2 2 2 9 6 9 8 绝对误差一0 1 3 0 1 8一o 1 3 0 1 80 1 3 0 1 8 一o 1 3 0 1 8 一o 1 3 0 1 8 相对误差 0 2 4 8 6 2 5 0 2 4 8 6 2 5 9 60 2 4 8 6 2 5 0 2 4 8 6 2 5 0 2 4 8 6 2 5 由于曲面1 的边沿点a ，b ，c ，d 在球面中的对称关系，使得展开结果的边心距也相 等。 平面板材变形成曲面时，会产生皱褶，该展开平面亦是如此。但用本方法展开的平 面，褶皱会从中央到边界由疏到密径向分布，且曲面块间的边界相吻合。 2 4 展开结果分析 图2 - 4 ( 2 ) 中平面线段1 ，2 ，3 的直线长度是根据图2 4 ( 1 ) 中l ，2 ，3 的曲线长 度确定的，且所有边界点都由对应的曲线长度确定，即所有边界点到中心点p 的平面距离 都由曲面边界点到中心点p 的曲线距离确定，由于曲面p 点和平面p 点对应，这样，形状 确定的平面材料块弯曲成曲面时，边界长短吻合，同时产生径向褶皱。但在实际工程中曲 面块相对整个曲面造型很小，所以弯曲程度很小，褶皱不明显。 由于图2 - 4 ( 2 ) 中所有径向直线( 如p a ，p b ) 与p e 的夹角都由图2 - 4 ( 1 ) 中对应 平面与p q m e 的二面角确定，这样使得平面与曲面的边界线长度不等，从而产生褶皱，此 类问题中褶皱的产生不可避免。本文提出的等边心距展开算法与已有的展开方法的不同点 在于，曲面展开为平面以后，边界上所有的点到中心的距离不变。这样就可以满足对曲面 金属幕墙的边界整齐、曲面纹路平滑的要求。 2 5 应用程序设计 为了能够在实际中应用曲面展开算法及对曲面块进行展开，实现曲面展开的计算机 化，本文设计了曲面展丌的计算机应用程序，可以方便地实现双曲面的选块、取块、展开 及展开图的显示，打印输出等功能。下面对主要功能模块的设计方法予以说明。 2 5 1 椭球面网格设计 在椭球面网格设计中，系统首先根据输入的椭球参数，以默认的横竖网格数画出椭 球面的三维立体图。在激活的工具箱中要求实现下述功能： 1 3 西安理工大学工程硕士学位论文 ( 1 ) 通过界i ：f i l 操作町以控制横t 经网格数以达到设计美观的效果。 ( 2 ) 在工具箱t f 用曲嘶块选择的取块工具可以选中要展丌的区域，这时呵以执 f 展丌命令，调用曲面i 展丌算法，得到f 面展丌图。 ( 3 ) 根掘设计；后要1 1 了以i i l i 格+ 瞳体球面的视角。 ( 4 ) 为了做局部的细微设计和观察整体设计效果，可以改变视角的远近。 因此，设计中涉及以下几个方面的问题。 a 三维透视投影变换 曲面网格设计时需要在平面上画出曲面的立体效果图，这就涉及立体物体的投影变换。 投影变换的主要目的是把三维图形变换到二维平面上绘制。投影变换一般有两种方法：一种是 透视投影。透视投影是把三维物体以“截头锥体”取景体积形式绘制到平面坐标系。在透视 投影中，注视点远近的改变不但可以改变透视投影结果的平面大小，也可以改变透视投影结 果的平面几何性质。另一种是难射投影，应用算法的设计所用的是j 下射投影。j 下射投影也叫 平行投影，这种投影方式的视景控件可以被看作是一个长方体。正射投影的最大特点是无论 物体距离视点多远，投影后的物体大小尺寸都不变。这种投影经常用在绘制图纸和其他计算 机辅助设计方面，这些情况一般要求经过投影以后物体的尺寸、比例以及彼此问的角度不变， 以便于施工和制造。但是，曲面网格设计时，有视点远近变化的需要，设计中采用图像放大 倍数的改变来达到视点远近的效果。 透视投影算法设计步骤为： ( 1 ) 引入投影变换的可控参数注视点的三维坐标值( z s d - x ，z s d - y ，z s d z ) ，根据坐 标值取得视角向量。 ( 2 ) 设三维坐标和平面坐标的原点重合对应，固定三维坐标系得z 坐标和二维平面坐 标系的y 坐标为竖直方向。计算透视点向量与z 轴正向的空间夹角。因为透视点向量与投影 方向平行，即得三维z 轴与投影方向的夹角，根据三角函数关系获得z 轴投影变换后的缩短 系数。 ( 3 ) 同理计算三维x 轴和y 轴的缩短系数。 ( 4 ) 在三维空间坐标系中，x o z ，y o z ，x o y 为三个特殊面，容易获得这三个面的法向量， 在x o z 面上取线段a b ，端点为( 1 ，o ，o ) 和( 0 ，0 ，1 ) ，易知线段长度为互a b 所在的 直线向量为a b 。根据向量a b 和视角向量的空间关系计算线段a b 的投影缩短系数，从而知 线段a b 的投影长度。用a b 的投影长度值、x 轴缩短系数值和z 轴缩短系数值构成三角形， 据正弦定理计算a b 边对角的三角值，此三角值即为投影变换后的x 轴和z 轴的平面夹角。 ( 5 ) 同理计算y 轴和z 轴的投影夹角。容易理解，注视点的z 坐标值z s d z 大于零和 小于零时，投影变换的轴夹角会有下偏和上偏的区别；又有，z 坐标值z s d z 等于零时x 轴 和y 轴都与z 轴投影结果垂直，且x 轴和y 轴共线，方向相反。 ( 6 )