第3章 傅里叶变换.ppt

3.5典型非周期信号的傅里叶变换,一、单边指数信号,二、双边指数信号,三、矩形脉冲信号,四、符号函数,3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换,一、冲激函数,二、冲激函数的傅里叶逆变换,三、冲激偶函数,四、阶跃信号,3.7傅里叶变换的基本性质,一、线性（叠加性）,二、奇偶虚实性,则有两种特定关系：,三、对称性,若,则,f,f,若f(t)为实偶函数，则,对称性为：,f,2f(),(2),t,r(t)=1,1,f(j)=r()=1,1,例如：,四、时移特性,若,f,则,f,同理,f,例：求下图所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数,单边矩形脉冲信号波形,对称矩形脉冲信号波形,f,幅度谱保持不变，相位谱产生附加相移,表明信号延时了t0秒并不会改变其频谱的幅度，但是使其相位变化了-t0,时移的仿真波形及频谱图,五、频移特性（调制定理）,若,f,则,f,f,f,调幅的一般模型,例：求矩形调幅信号的频谱函数，已知f(t)=g(t)cos0t，其中g(t)为矩形脉冲，脉幅为e,脉宽为。,矩形调幅信号的仿真波形及频谱图,信号在时域中压缩等效在频域中扩展；信号在时域中扩展等效在频域中压缩。,六、尺度变换特性,尺度变换的仿真波形及频谱,综合时移特性和尺度变换特性，可以证明以下两式：,f,f,七、微分和积分特性,1、时域微分特性,若,f,f,f,则,例如：由于,f,所以,f,f,2、时域积分特性,若,f,f,则,其中,若,则,f,例：求三角脉冲信号的傅里叶变换,三角脉冲信号的频谱,3、频域微分特性,若,f,f,则,f,4、频域积分特性,若,f,则,f,若,则,f,3.8卷积特性（卷积定理）,一、时域卷积定理,二、频域卷积定理,若,f,f,则,f,若,f,f,则,f,其中,例：利用频域卷积定理求余弦脉冲的频谱,例：利用时域卷积定理求三角脉冲的频谱,3.9周期信号的傅里叶变换,一、正弦、余弦信号的傅里叶变换,非周期信号,傅里叶变换,f,f,f,二、一般周期信号的傅里叶变换,周期信号f(t)的周期为t1,角频率为,三、周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换,已知矩形脉冲f0(t)的傅里叶变换f0()为,3.10抽样信号的傅里叶变换,“抽样”是利用抽样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列的离散样值，这种离散信号称为“抽样信号”,一、抽样信号,电影是连续画面的抽样电影是由一组按时序的单个画面所组成，其中每一幅画面代表着连续变化景象的一个瞬时画面（时间样本），当以足够快的速度来看这些时序样本时，就会感觉到是原来连续活动景象的重现。照片是连续图象的抽样照片是由很多很细小的网点所组成，其中每一点就是一连续图象的采样点（位置样本），当这些采样点足够近的话，这幅照片看起来就是连续的。,电力线载波通信技术在油井数据传输中的应用研究,二、抽样信号的傅里叶变换,三、矩形脉冲取样（自然抽样）,四、冲激抽样（理想抽样）,理想抽样的频谱分析,抽样信号fs(t)频谱与抽样间隔t关系：,理想抽样的频谱分析,抽样信号fs(t)频谱与抽样间隔t关系：,理想抽样的频谱分析,抽样信号fs(t)频谱与抽样间隔t关系：,3.11抽样定理,一、时域抽样定理,若带限信号f(t)的最高角频率为m，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔t需不大于1/2fm，或最低抽样频率fs不小于2fm。,若从抽样信号fs(t)中恢复原信号f(t)，需满足条件：,fs=2fm为最小抽样频率，称为nyquistrate.,(1)f(t)是带限信号，即其频谱函数在|w|wm各处为零；,(2)抽样间隔t需满足;,或抽样频率fs需满足fs2fm（或s2m）。,其中：,二、理想低通滤波器的频率特性,根据时域抽样定理，对连续时间信号进行抽样时，只需抽样速率fs2fm。在工程应用中，抽样速率常设为fs(35)fm，为什么？,抗混低通滤波器,思考题,（2）若电视信号占有的频带为z，电视台每秒发送25幅图像，每幅图象又分为625条水平扫描线，则每条水平线至少要有_个抽样点。,(3)信号频谱所占带宽(包括负频率)为_1/s，若将它进行冲激抽样，为使抽样信号频谱不产生混叠，最低抽样频率fs=_hz，奈奎斯特间隔ts=_s。,200,100/,/100,令=200有：,解（1）,（2）,（3）,3.8调制信号的傅里叶变换,3.8.1调制的概念及调制的分类,1.调制的目的,（1）便于信号的辐射,（2）便于多路通信,2.调制的分类,（1）按调制信号g(t)的不同进行分类,a）模拟调制：g(t)为模拟信号。典型波形为单频正弦波。,b）数字调制：g(t)为数字信号。典型代表为二进制数字脉冲序列。,（2）按载波信号c(t)的不同进行分类,a）连续波调制：c(t)为连续波形。典型代表为正弦波。,b）脉冲调制：c(t)为脉冲波形。典型代表为矩形脉冲序列。,（3）按调制器的功能不同进行分类,a）幅度调制（调幅）：g(t)改变c(t)的幅度参数（即：载波c(t)的幅度随g(t)成比例地变化）。如：常规调幅（am)、脉冲调幅(pam)、抑制载波调幅(sc-am)等。,b）频率调制（调频）：g(t)改变c(t)的频率参数（即：载波c(t)的频率随g(t)成比例地变化）。如：调频（fm)、脉冲调频(pfm)等。,c）相位调制（调相）：g(t)改变c(t)的相位参数（即：载波c(t)的相位随g(t)成比例地变化）。如：调相（pm)、脉冲调相(ppm)等。,调频与调相都表现为总相角受到调制，所以总称为角度调制（调角）。幅度调制为线性调制，角度调制为非线性调制。,3.8.2几种调幅信号的傅里叶变换,根据g(t)与c(t)的不同，可分为以下几种情况：,（1）常规调幅（am）,-g(t)中的直流分量,-g(t)中载有信息的交变分量,为讨论问题方便起见，设则,（1）,am调制不失真的条件是：,f,f,f,（2）双边带抑制载波调幅（dsb）,在上式中令则,（3）,3.8.3解调概念,解调又称为检波，它是从s(t)恢复g(t)的过程。,（1）常规调幅信号的解调,由左图可见：的包络与g(t)成线性关系。因此，可以采用最简单、廉价的包络检波器（由二极管、电阻、电容组成）来恢复原调制信号。,（2）双边带抑制载波调幅信号的解调,由左图可见：的包络并不与g(t)成线性关系，而是随而变化，因此其包络并不包含g(t)的全部信息。因而不能采用包络检波的方法。,双边带抑制载波调幅信号的解调必须采用相干（同步）解调的方法。,（3）,3.9系统的频域分析,3.9.1系统响应的频域表示,（1）,对式（1）两边取傅里叶变换：,3.9.2系统的频域模型-系统频率响应,由于可对进行某种加工变成响应信号，因而，也称为系统的频率响应特性，简称频率特性或频响特性。,-幅频特性,-相频特性,（1）由微分方程求,设：,对上式两边取傅里叶变换（设起始状态为零），得,（2）由冲激响应求,f,解法一：对微分方程两边取傅里叶变换得,解法二：先求h(t)再求,由2.3节介绍的求冲激响应的方法，可求出,解：由频域等效模型得：,3.9.3非周期信号激励下系统的响应,例3-20图示rl低通网络，设求电阻上的电压,解：（1）求系统函数,（2）求激励信号的傅氏变换,f,其中：,或,（3）求系统响应的傅氏变换,（4）求系统响应,3.10信号的传输与滤波,3.10.1无失真传输,信号无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只有幅度大小和出现时间的不同，而没有波形上的变化。,1.时域条件,(1),2.频域条件,(1),对式（1）两边取傅氏变换，得：,即,无失真传输系统应满足如下两个条件：（1）系统的幅频特性在整个频率范围内为常数；（2）系统的相频特性在整个频率范围内应与成正比变化。,(2),3.10.2理想低通滤波器,理想低通滤波器是将频率低于的所有信号予以无失真地传输，而将频率高于的信号完全抑制。,（1）冲激响应,f,当时，,的特点：响应超前于激励（非因果系统）,（2）阶跃响应,-正弦积分,g(t)的特点：,1.响应波形的前沿是倾斜的，响应信号的建立需要一段时间。,-阶跃响应的建立（上升）时间,理想低通滤波器阶跃响应的建立（上升）时间与滤波器的截止频率成反比。,2.响应与激励相比有波纹。最大波峰的高度约为跳变值的8.95%左右（波峰值为1.0895),它与无