（信号与信息处理专业论文）基于dct的实值离散gabor变换及其快速算法.pdf

摘要摘要1 9 4 6 年，g a b o r 将f o u r i e r 变换的变换核即复指数函数，与一类可时移的窗函数乘积，构造了一新的可时移和频移的变换核( 即基函数) ，从而提出了基于f o u r i e r 变换的复值g a b o r 变换。虽然在g a b o r 展开被提出之后的较长时间里大家均认为g a b o r 展开是有用的，但由于g a b o r 展开系数计算的困难，其应用一直受到限制。综观g a b o r 展开与变换的研究历史，我们发现：对实值g a b o r 展开与变换的研究几乎空白。尽管g a b o r 在1 9 4 6 年也提出了在连续余弦变换基础上引入实值g a b o r 展开，1 9 9 5 年s t e w a r tdf 等又将其离散化，但对这种基于离散余弦变换的实值g a b o r 展开的研究很不充分，例如，其完备性条件如何等问题没有得到解决。基于离散余弦变换的实值g a b o r 展开的研究文献也是寥寥无几。基于上述分析，本文将实值g a b o r 展开与变换作为研究对象，主要研究内容有：研究在离散余弦变换( d c t ) 基础e 通过引入能够时移和频移的一系列基函数而产牛的实值离散g a b o r 展开与变换( 称为实值离散g a b o r 时频变换) ；研究该时频变换的完备( 存在) 性：研究实值离散g a b o r 时频变换的快速( 串行实现) 算法及其应用。本文的特色与创新之处在于：( 1 ) 研究了传统的基于d c t 的实值离散g a b o r 变换，将该时频变换存在条件由临界抽样条件拓展到过抽样条件；( 2 ) 由于所提出的实值离散g a b o r 时频变换的变换核中仍包含有对应的d c t 的变换核，因此实值离散g a b o r 时频变换保留了d c t 的特性。例如，基于d c t 的实值离散g a b o r 变换保留了d c t 的高效数据压缩特性等。( 3 ) 针对实值信号，实值离散g a b o r 时频变换比复值离散g a b o r 展开与变换在计算、实现方面更简单，并可利用快速d c t 和1 d c t 加速变换；关键词离散余弦变换( d c t ) ，离散g a b o r 变换，g a b o r 变换系数基于d c t 的实值离散g a b o r 变换及其快速算法a b s t r a c ti n1 9 4 6 ，d e n n i sg a b o r , ah u n g a r i a n - b o r nb r i t i s hp h y s i c i s t ，s u g g e s t e de x p a n d i n gas i g n a li n t oas e to fe l e m e n t a r yf u n c t i o n st h a tc o n s i s to fat i m e a n df r e q u e n c y - s h i f tf u n c t i o n ，a n dt h e n ，u s e dt h ee x p a n s i o nc o e f f i c i e n t sa st h ed e s c r i p t i o no ft h es i g n a l sl o c a lp r o p e r t y t h er e s u l t i n gr e p r e s e n t a t i o ni sn o w - k n o w na st h eg a b o re x p a n s i o n ( o rg a b o rt r a n s f o r m ) ，a l t h o u g ht h eg a b o re x p a n s i o nh a sb e e nr e c o g n i z e da sv e r yu s e f u lf o rs i g n a lp r o c e s s i n g ，i t sa p p l i c a t i o n sw u f el i m i t e dd u et ot h ed i f f i c u l t i e sa s s o c i a t e dw i t hc o m p u t i n gt h ec o e f f i c i e n t s a sw er e v i e wt h er e s e a r c hh i s t o r yo ft h eg a b o re x p a n s i o na n dt r a n s f o r m ，w ef i n dt h a tt h e r ei sv e r yl i t t l er e s e a r c ho nr e a l v a l u e dg a b o rt h e o r y a l t h o u g hg a b o ri n t r o d u c e dt h er e a l v a l u e dg a b o re x p a n s i o nb a s e do nc o n t i n u o u sc o s i n et r a n s f o r mi n1 9 4 6 ；a n di n1 9 9 5 ，s t e w a r tdfd i s c r e t e di t ，b u tt h ea b o v er e s e a r c hi sf a rt o oe n o u g h ，f o re x a m p l e ，t h ec o m p l e t e n e s sc o n d i t i o ni sn o tr e s o l v e d t h er e l a t e dr e s e a r c hp a p e ri sa l s ov e r yl i t t l eb a s e do nt h ea n a l y s i sa b o v e ，t h i sp a p e rc o n c e n t r a t e so nt h er e a l v a l u e dg a b o re x p a n s i o na n dt r a n s f o r m ，t h em a i nc o n t e n t sa sf o l l o w s ：f i r s t ，w ed e f i n et h et h e o r yb yi n t r o d u c i n gas e r i e so ft i m e f r e q u e n c y - s h i f t a b l eb a s i sf u n c t i o n sb a s e do nd i s c r e t ec o n s i n et r a n s f o r m ，a n dt h e nw ed i s c u s st h et h e o r y l sc o m p l e t e n e s s ，f i n a l l y , w es t u d yt h et h e o r y ss e r i a lf a s ta l g o r i t h ma n di t sa p p l i c a t i o n s t h ep a p e r l sc h a r a c t e r i s t i c sa n di n n o v a t i o n sj u s ta sf o l l o w s ：f i r s t ，t h ep r o p o s e dr e a l v a l u e dd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r mc a nb ea p p l i e dt ob o t ht h ec r i t i c a ls a m p l i n gc o n d i t i o na n dt h eo v e r - s a m p l i n gc o n d i t i o n s e c o n d ，b e c a u s et h et r a n s f o r mk e r n e l o fo u rt h e o r yc o n t a i n sd c t l s ，s o d l cf e a t u r e so f t h ed c ta r er e t a i n e d ，e g e f f i c i e n td a t ac o m p r e s s ，t h i r d ，i na l l u s i o nt or e a l v a l u e ds i g n a l s ，r e a l v a l u e dd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r mi sm u c hs i m p l e rt h a nc o m p l e xd i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r mi nc a l c u l a t i o na n di m p l e m e n t a t i o n b yt h ew a y , o u ra l g o r i t h mc a nb ea c c e l e r a t e dw i t ht h eh e l po fd c ti ia b s t r a c ta n di d c tf a s ta l g o r i t h m sk e yw o r d s ：d c t ：d i s c r e t eg a b o rt r a n s f o r m ，c o e f f i c i e n t so f g a b o rt r a n s f o r ml i i独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得爱7 戤7 c 戡其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：垂黾墨f 吩签字日期：扣。7 年月易，日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解钎孜左扩有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授杈善7 弘岛可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：垂毛毛盼导师签名：产鳃老签字日期：饥7 年占月y 日签字日期：力妒7 年月多日学位论文作者毕_ k 去向：，工作单位通讯地址电话邮编第一章绪论第一章绪论1 1 国内外研究现状及分析1 8 2 2 年，法国工程师傅里叶( f o u r i e r ) 指出，一个“饪意”的周期函数x ( t )都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是傅里叶级数。求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换。传统f o u r i e r 变换以及与之相关的实值变换如h a r t l c y 变换、余弦变换和正弦变换是分析和处理平稳信号的最常用和最主要的方法，在电学、声学、光学、机械学、信号与图像处理、机器视觉、通讯和自动控制等领域有着广泛的应用【1 “。然而，由于f o u r i e r 变换是在整体上将信号分解为不同的频率分量，因此它实际是一种全局的变换，无时间局部信息，无法表述信号的时频局域性( 即无法描述信号的频率分量是如何随时间变化的) ，而这一点恰恰是非平稳信号如语音、生物医学信号等最根本和最关键的性质。为了有效地分析和处理非平稳信号，旱在1 9 4 6 年，英国物理学家d e n n i s g a b o d3 ( 于1 9 7 1 年因发明全息照相获得了诺贝尔奖) 就提出在信号分析和处理中使用时间和频率两个变量对信号进行描述的方法。在文献 3 】中他将f o u r i e r 变换的变换核即复指数函数，与可时移的g a u s s 窗函数乘积，构造了一新的可时移和频移的变换核( 即基函数) ，从而提出了在联合时频域中将信号展开成一组g a u s s基本函数形式。这一展开形式被后人称为g a b o r 展开，而求解展开系数的式子被称为g a b o r 变换。虽然在g a b o r 展开被提出之后的较长时间里大家均认为g a b o r 展开是有用的，但由于g a b o r 展开系数计算的困难，其应用一直受到限制。在g a b o r 展开式中基函数不构成正交基，因而不能用通常的内积规则来计算展开系数。这样，就存在如何计算g a b o r 展开系数问题( 即g a b o r 变换问题) ，g a b o r 当时只给出了一种近似的迭代计算方法。随着计算机技术的发展，在实际应用中，人们逐步认识到需要将g a b o r 展开与变换离散化来解决这一问题。直到近十几年离散g a b o r 展开与变换提出后，计算g a b o r 展开系数方法才有所突破。近十几年来一些学者在g a b o r 展开与变换的离散化与有限化方面傲了许多工作，内容颇为丰富。g a b o r 展开与变换的研究方法形式多种多样，主要有以b a s t i a a n s 【4 】、w e x l e r恻和q i a n 6 - 7 1 等人为代表的双正交分析法，m o r r i s 8 1 等人为代表的框架理论、基于d c t 的实值离散g a b o r 变换及其快速算法d a u g m a n 嘲等人提出的神经网络方法、t e u n d 0 1 和i b r a h i m 【l l 】等入提出的自适应学习算法以及l u 【| 2 】等人提出的并行格型结构实现块时间递归g a b o r 变换算法。为了克服g a b o r 展开中基函数带宽固定的缺点，q i a n 还提出了自适应g a b o r 表示方法。为更好地理解语音信号，p o t t e r 等人 “1 在1 9 j , 7 年也提出了一种实用的时频分析方法一短时f o u r i e r 变换。尽管g a b o r 展开与短时f o u r i e r 变换在上世纪四十年代几乎是同时被提出的，但二者之间关系很长时间不为人所知，直到上世纪八十年代初期才搞清楚短时f o u r i e r 变换实际上就是g a b o r 变换。但正如文献【7 】所指出的那样，短时f o u r i e r 变换虽然也有离散形式，但其并不是从展开与内积的角度来研究的，有些重要方面，如过抽样与信号精确重建之间的关系不明确，特别是对偶窗函数的计算求和式是无界的，从而不便于数值计算实施。综观上述g a b o r 展开与变换的研究历史，我们注意到传统的g a b o r 展开与变换是复值形式的，是在复值f o u r i e r 变换基础上通过引入能够时移和频移的一系列基函数而产生的，对实值g a b o r 展开与变换的研究几乎空白。尽管g a b o r在1 9 4 6 年文献【3 】中也提出了在连续余弦变换基础上引入实值g a b o r 展开，1 9 9 5年文献f 1 5 】又将其离散化，但对这种基于离散余弦交换的实值g a b o r 展开的研究很不充分，例如，其完备性条件如何等问题没有得到解决，基于离散余弦变换的实值g a b o r 展开的研究文献也是寥寥无几。因此半个世纪的对g a b o r 展开与变换的研究和应用实际上是以基于f o u r i e r 变换的复值g a b o r 展开与变换为主导地位的。1 2 研究内容、研究目标、以及拟解决的关键问题众所周知，g a b o r 将f o u r i e r 变换的变换核即复指数函数，与一类可时移的窗函数乘积，构造了一新的可时移和频移的变换核( 即基函数) ，从而提出了基于f o u r i e r 变换的复值g a b o r 交换。与之类似在毕业论文中借助于稍作修改的d c t 的实值变换核与一类可时移的窗函数乘积，构造出新的可时移和频移的实值变换核( 即实值基函数) ，运用双正交分析方法给出了一种全新的变换：基于d c t 的实值离散g a b o r 变换。实值离散g a b o r 时频变换的完备( 存在) 性问题研究是这个新的时频变换2第一章绪论理论建立的关键。类似于复值离散g a b o r 交换，实值离散g a b o r 时频变换的完备( 存在 性是通过变换核中的综合窗及其对偶窗函数( 即分析窗) 必须满足双正交性条件来体现的。双正交性条件的证明中最主要的一点是利用了余弦函数形式的离散泊松( p o i s s o n ) 求和公式。根据所要分析信号的需要，选择一综合窗后，就可由双正交性条件求出对应的分析窗。在( 串行) 快速算法中要解决的关键问题是，如何通过矩阵变换，并利用快速的d c t 、i d c t ，使得求解实值离散g a b o r 时频变换系数以及由变换系数重建原信号问题的计算复杂性最小，从而有效地提高算法的速度。1 3 课题的研究意义复值离散g a b o r 变换己取得了不少成功的应用成果，但问题是其计算复杂性较高，特别是在实时处理要求下，这一问题更加突出。而文中提出的实值离散g a b o r 时频变换比复值离散g a b o r 变换在计算、实现方面简单，并可利用快速d c t 、i d c t 加速变换：同时，实值离散g a b o r 时频变换不仅能很好地表示信号的时变信息，在频域方面还保留了对应的d c t 的特性，例如，基于d c t 的实值离散g a b o r 变换不仅保留了d c t 的高效数据压缩特性，而且由于具有时频局域性还可以克服使用d c t 压缩数据产生的块效应，等等。利用实值离散g a b o r时频变换的这些优点和特点，将其推广应用到信号和图像分析处理( 如s a r 图像压缩、数字水印生成、数字滤波器组设计) 等方面，必将有效地提高非平稳信号与图像的分析、处理速度和效率。毕业论文的课题研究是在教育部优秀青年教师资助计划项目( 教人司r 2 0 0 2 1 4 0 号) 、安徽省自然科学基金项目( n o 0 1 0 4 2 2 1 0 ) 、安徽省教育厅自然科学重点研究项目( n o 2 0 0 1 k j 0 2 0 z d ) 以及安徽大学人才队伍建设项目基金的资助下完成的。l 。4 论文内容安排第一章简单讨论了g a b o r 交换的产生背景及其发展历史，并对毕业论文将要论述的主题进行了简要的说明。第二章分别回顾了传统复值和实值g a b o r 变换的理论方法，为后面的论文主题作出必要的理论铺垫。基于d c t 的实值离散g a b o r 变换及其快速算法第三章提出基于d c t 的实值离散g a b o r 变换，对其完备性进行了证明，论述了该变换的串行快速算法。第四章针对上一章提出的算法进行了实例验证。4第二章g a b o r 变换基本理论的回顾第二章g a b o r 变换基本理论的回顾2 1 概述g a b o r 展开是一种同时用时间和频率表示一个时间函数的方法，而求解g a b o r 展开系数的公式被称为g a b o r 变换f 卦。g a b o r 变换和g a b o r 展开已被公认为是通信和信号处理中信号与图像表示的最好的方法之一。然而，由于g a b o r基本函数彼此之闻互不正交，g a b o r 展开与变换的计算复杂性很高，实对应用受到很大限制。近十几年来一些学者在g a b o r 展开与变换的离散化与有限化方面做了许多工作，内容颇为丰富。g a b o r 展开与变换的研究方法形式多种多样，主要有以b a s t i a a n s 【4 】、w e x l e r 5 3 和q i a n 6 - 7 1 等人为代表的双正交分析法，m o r r i s r 8 】等人为代表的框架理论、d a u g m a n 9 1 等人提出的神经网络方法、t e u n 0 1 0 1 和i b r a h i mi n 等人提出的自适应学习算法以及“比1 等人提出的并行格型结构实现块时间递归复值离散g a b o r 变换算法等。本章从连续g a b o r 展开和变换的定义出发，以双正交分析法为主，回顾了g a b o r 展开和变换的基本理论。2 2 复值g a b o r 变换基本理论的回顾2 2 1 连续复值g a b o r 展开和变换连续时间信号x ( t ) 的连续g a b o r 展开【3 】定义为：j ( f ) = f c ( , n , n 。( f )( 2 1 )式中k 月( f ) = h ( t m t ) e x p o n o t ) ，r n ，n = o ，士1 ，士2 ，( 2 2 )称为g a b o r 基本函数，其中j = j 。a n ) 称为g a b o r 展开或变换系数。通常设窗函数h ( o 受能量归一化约束，即e i h ( t ) 1 2 d t = l( 2 3 )在连续g a b o r 展开中，若已选定了窗函数h ( o ，时移和频率参量r 与鳓选基于d c t 的实值离散g a b o r 变换及其快速算法择则决定了连续g a b o r 展开的完备性、唯性和数值稳定性。连续g a b o r 展开完备性的必要条件是t o = 2 n ，其中t o ；2 r t 条件称为l 商界抽样条件，可使展开系数l ，盯) 求解唯一和数值稳定，但这种选择约束性强、自由度差；两t o 2 n 条件，是不完备的，c ( m ，月) 失去稳定。由于o a b o r 基本函数 。( f ) 不是正交的，计算c ( m ，n ) l l 较困难，可采用辅助窗函数( 又称为双正交分析窗函数) y 来计算t 愀t 4 1 ，即c ( m ，n ) = 二x ( t ) r m 。( t ) d t( 2 4 )上式定义为连续g a b o r 变换，因此，连续g a b o r 展开为连续g a b o r 变换的逆变换。上式中y m , n ( ) = r ( t m t ) e x p o n - ot )( 2 5 )将( 2 4 ) 式代n ( 2 1 ) 式，就得到下列完备性关系： 。( f ) ，：，。( f ) = j ( 卜，)( 2 6 )埘月这里故力表示d i r a c 万函数。上述完备性关系可表示成如下双正交条件：警j 二琊) ，( t 0 ) e x p ( 巾0 0 r ) a t 坝m ) 跗)( 2 7 )上式中与珐为而= 箬，墙= 了2 7 ( 2 8 )下面来证明( 2 7 ) 式的双正交条件。由( 2 6 ) 式得z h ( t m t ) y ( f l - m t ) e x p j n o ( t - t ) 】= 占o t )( 2 9 )历h对下列复指数函数序列应用泊松( p o i s s o n ) 求和公式，e x p j n o ( t - t ) = t 0 o ( t f n )n月于是，( 2 9 ) 式可表示成：( 2 1 0 )r o y s ( t f i - - n ) 】 ( f m t ) r + ( f m t - n t o ) = 8 ( t f f )( 2 1 1 )n州再币j 用泊松求和公式可知下式成立：6第二章g a b o r 变换基本理论的回顾。e x p j m 舭。) 钉荨j ( t - t - m t ) 2 鼍等占( t - t - m t )( 2 1 2 )m- - um上式可用于证明下式成立：h ( t m t ) y ( r m t 一月)：鲁善。坤c j 。编，j 二蛳w ( f 。而_ 冲c - j 。疡n 甜g 1 3 将( 2 1 3 ) 式代入( 2 1 1 ) 式得荨即- f t - t o ) z 。e x p ( j m a o ) 专挚e 砸w ( f i h t o 廊p ( 嘲掣( 2 “)月、- ，= 艿( f 一，)。欲使上式成立，必须兰譬砾) “t - - t o ) e x p ( 一j m o o t ) d r = 6 ( m ) 取n )( 2 1 5 )将变量册和玎位置调换后，此式就是( 2 7 ) 式的双正交条件。对于某些窗函数壳( o ，如高斯( g a u s s ) 、单边与双边指数窗函数，双正交窗函数y ( 力可由( 2 1 5 ) 式求得解析式，而对一般窗函数 ( 力，双正交窗函数“力则难于求得解析式，需借助数值方法求解。同样，连续g a b o r 展开和变换也必须经采样与求和截断有限化( 即离散化) ，才能用数值方法求解。2 2 2 离散复值g a b o r 展开和变换选取正整数m 和砑使得u = t m = r o m( 2 1 6 )( 2 1 7 )( 2 1 s )显然即( f ) 和h u ( t ) 都是周期为u 的连续周期函数。将( 2 1 ) 式代x ( 2 1 7 ) 式得船彬“ho=)oomb史定并墨王墼! 塑塞堕塞墼鱼! 墅垄塑墨墨堡垄塞鲨一一x v ( t ) = x ( t + k u )= “鸺n ) h ( t + k u m t ) e x p j n o ( t + k u ) = c ( m ，# 眨h ( t + k u m t ) e x p ( j n l 2 t )、- - z c ( m ，) h u ( t r o t ) e x p ( j n c 2 t )令m = p + s m ；p = o ，1 ， 仁l ；5 = 一8 一+ 8 ，则，勘( f ) = c ( p + s m ，n ) h u t 一( p + s m ) t e x p ( j n 0 1 )：笠1 f s m , n ) 1t - p c ( p + s mh u tp t e x p ( j n o t )( 2 2 0 )= i ) 1( 2 2 0 )np = 0 、j= 白( ，n ) h u 【f - p t e x p ( j n f 2 t )上式中c m ( p ， ) = c ( p + 蹦，n )( 2 2 1 )再选取正整数和使得v = 倒= 编( 2 2 2 )现以v 为抽样角频率对x u ( ) 和幻( f ) 进行采样，显然，由编= 2 ，r t 关系，在矿：编抽样情况下，其时间抽样间隔应由引蜂为r 。这样，连续函数劭( f )和h u ( t ) 离散化后在一个周期u 内的抽样数为工= u “r ，) = m t ( t ) = 打f = m t o i ( z o i n ) = 五两即三：m n 一： 一( 2 2 3 )记x z ( k 1 = x u ( k t n ) ( 女) = h v ( k t n )( 2 2 4 )( 2 2 5 )显然，这里吨( 女) 和( 女) 分别为旬( ) 和幻( ) 离散后的周期信号，离散周期为将( 2 2 0 ) 式代入( 2 2 4 ) 式，并利用( 2 2 5 ) 式，得釜三童壁! ! 竺奎丝董查里丝堕旦旦l 一札 冀搿c 一、- - v ，= m ( p ，n ) h l ( k p 帮t ) e x p ( j 2 r m k n )令n = q + r n ；q - - o ，1 ，_ 1 ；r = + 8 ，则x ，( 们：m - ! n - ! f c h ( 凸g + f ) b ( 一p 丽) e x p ( j 2 m k n )椰5p = 0q = o 悸州p 堋炒一2( 2 1 2 2 )、rzi西) e x p ( j 2 n 缸n )上式中( p ，0 = z e c o , + 5 m ，q + r n )( 2 2 8 )式( 2 2 7 ) 就是周期( 或有限长经周期拓展的) 时间序列的离散g a b o r 展开，序列周期为l o 而离散g a b o r 展开系数o ( b q ) 已变为以p , q 为变量周期分别为 厶的二维周期函数。下面再来推导离散g a b o r 变换公式。将( 2 4 ) 式代入( 2 2 8 ) 式得o ( m ，n ) = c ( m + s m ，n + 堋- - z z x ( f ) y i t 一( m + s m ) t e x p 一j ( h + 州) 力= 二缸晖r f _ ( m + 跗) r 】州一j 砌霉唧一舢出= 聃) 砂t - m t - s m t ) e x p ( 书鲫斋砂川厕出= 专等妒厕印( 厅席) - m 卜栅】酬。棚删莉= 专等川厕俐瓢，厕) 一棚】酬一伽m上式推导中利用了下列泊松公式唧( 一j 狮班j 莓v 他)定义r u ( f ) = r ( t + s u )r l ( k ) 2 亩托( k t )并设r = 计以；k = 0 ，i ，一，l - l ；j 8+ 8 ，则9( 2 ，2 9 )( 2 , 3 0 )七姒曲p“咖删=一一墨王里塑堕壅堡塑墼壁塑! 壅垫墨苎堡望堡堡c m ( m ，n ) = 三屯( ) ，：( 一r a n ) e x p ( 一j 2 铆，聊( 2 3 1 )此式即为离散g a t x h 变换公式。同理，式( 2 7 ) a l e 交条件也可离散化为 一ir应( k ) h l ( k + 厕州- j 撅厕拈刍沥蛾万)(232)k=0h y丽= o ，1 ，厨一1 ；万= o ，1 ，一l在连续g a b o r 展开和变换中z 幻= 2 兀条件为临界抽样条件，由( 2 8 ) 式、( 2 1 6 )式和( 2 2 3 ) 式不难推导出对应于离散g a b o r 展开和变换的临界抽样条件为l = m n或面= m 、帮= ；为了简便表示，下面讨论中将忽略( 2 2 7 ) 式、( 2 3 1 ) 式$ 1 1 ( 2 3 2 )式中( ，” 的下标五厶，以及丸、丸( 刁、r d k ) 的下标。如下给出临界抽样下的离散g a b o r 交换设x 为有限长或经周期拓展的时间序列，周期为l 。在临界抽样即三2 f 或面= m 、露= 条件下，由( 2 2 7 ) 式和( 2 r 3 1 ) 式知，其离散g a b o r 展开和变换分别为 ，一l n lj ( ) = 三三c ( 刚臧。( 女)f 2 ，3 3 )m = 0 月却c ( m , n ) 2 王缸) 露一( i )( 2 3 4 )2 u上两式中。( 女) = 莓( 一蒯) 矽础露。( ) = 尹( 女一m n ) w 础矽= e x p ( j 2 ，r n )( 2 3 5 )( 2 3 6 )( 2 3 7 )其中石( ) 和双) 分别是综合窗| j l ( 的、分析窗y ( 助的周期延伸，即氟) 5 莩6 ( i + 让) = 芹( + ( 2 3 8 )双”2 莩，位+ 正j - 尹职+ d( 2 3 9 )由( 2 3 3 ) 式羊 f l ( 2 3 4 ) 知，为了精确地描述离散周期信号，需要有l = m x n 个g a b o r 展开系数。应注意的是，对一预先设定的l ，由于满足三= 协c 的任何分l o第二章g a b o r 变换基本理论的回顾解都是容许的，因此离散g a b o r 展开式( 2 3 3 ) 一般不是唯一的。由( 2 3 2 ) 式知，尹( ) 满足下列离散双正交条件：卜y 1 h t k + 批v ) 矿一麻】尹( 七) = l - i 芹( 七+ m n ) w 时 尹( 的= 占( m 妒( h )( 2 4 0 )k = 0k = 0或表示成矩阵形式h - y = l ，式中0 m s m 一1 0 h n 一1 ，= 1 ，0 ，0 ，o ) 7r = 触) ( 1 ) ，触一1 ) ) 1 = y ( o ) ，y ( 1 ) ，y 1 ) ) 7两矢量长度均为厶日是一l x l 阶矩阵，结构为日=h 0 ) h ( m 一1 )日( 2 ) 日( o )日( 0 1 h t m 一2 )其中日( f ) 是n x n 阶矩阵：h f f ) ：( 0 )形( 0 )( 0 )w o )缈1 0 ) w ( n 一1 )( 2 4 1 )( 2 4 2 )( 2 4 3 )( 2 4 4 )d i a g h ( + ，) 】( 2 4 5 )式中w = e x p 0 2 x n ) ，j = j ：d i a g h ( f + ，) 】为一具有元素i ( + ，) 的对角矩阵，r = o ，l 1 一，n - i 。h 是一分块h a n k e l 矩阵，在合适选择m 和的条件下可保证日是可逆的此时可求出y ( t ) 为y = 日一1 v2 2 32 一d 离散复值g a b o r 变换及其快速算法( 2 4 6 )一维离散g a b o r 变换方法可以推广应用到二维离散g a b o r 变换。设一图像m 力，x = o ，1 ，j 0 1 ，y = 0 ，1 ，卜l 被分成触个维数为搬的不重叠的格子( 1 a t t i c e ) ，使得x = k m 和l r = l ( 临界抽样) 。这样图像眼力的离孙昌? 帆恐；叭基于d c t 的实值离散g a b o r 变换及其快速算法散g a b o r 展开就可定义为下列形式：置一1 工一1 m - 1 n 一1i ( x ，y ) = c ( k ，m ，h ) g 跏。( j ，y )k = o 后o m = on = o式中g a b o r 基本函数g 肼。( 薯y ) 定义为( 2 4 7 )肋舢化力钽一触y 删k n 叫伽陪+ 爿)( 2 4 8 )这里j = 厅，系数c ( k , l , m ，”) 可以通过下式获得x l r lc ( k ，m ，n ) = i ( x ，y ) y 毛。( x ，_ y )x = 0 y = 0( 2 4 9 )上式称为二维离散g a b o r 变换，系数c ( k , l ，m ，n ) 称为离散g a b o r 变换( 或展开)系数，上式中的辅助双正交函数由下式给出脯w c x 一蛳圳叫伽陪+ 爿)亿s 。，注意垂( x ，y ) 和i b ，) ，) 分别是综合窗g o ，y ) 、分析窗y 0 ) 的周期延伸，即雪( x ，y ) = z z g ( x + i x ，y + j y ) = 垂( + 石，y + r )( 2 5 1 )i ，( x ，y ) = ，扛+ ，y + j y ) = 天x + z ，y + y )l ( 2 5 2 )正如维情况，我们可以证明誊( z ，y ) 与i ( x ，y ) 必须满足下列双正交条件叫，2 4 等+ 铷俄圳= 占( 七) 占( ，) j ( m ) 万( h )( 2 5 3 )对于给定的二维窗函数g ( x ，y ) ，我们不得不解一个戥y 线性方程组以获得对应的二维分析窗函数y ( x ，y ) ，但如果使用可分离的窗函数，计算就可大大简化。g ( x ，y ) = g ，( z ) g y ( y ) ，根据二元性得，( x ，y ) 2r a x ) h ( y ) 。由此可以看出可分离的二维综合窗函数和二维分析窗函数实际上分别是两个一维综合窗函数和两个维分析窗函数的乘积。这里二个窗函数g ，( 曲和g y ( y ) 不必一样，甚至具有同样的类型。帅肼斛烈脚h 瑚第二章g a b o r 变换基本理论的回顾求出了y y ) 后，就可利用快速的2 - dd f t 哥l - ：g ( 2 4 9 ) 式中的c ( k , l , m ，n ) 。利用( 2 5 0 ) 式，可将( 2 4 9 ) 式改写如下：l , x - - 0 v = 0，啦+ 蜘，鸺n ) = 地讲+ o 一批y 一到等+ 等| l w哪卜降+ 铡( 2 5 4 )式中r m 。( x ，y ) = j ( j ，) ，+ 0 一m m ，y n u ) ，x = i l m + j l ，尸i 2 - n + j 2 ，很显然上式可利用m x n 的快速2 dd f t 进行计算。同样也可以用快速的2 - di d f t 重构二维图像，利用( 2 4 8 ) 式，可将( 3 4 7 )式改写如下：m 朋= k 磊- i l 舌一i 喜( x - k m , y - t n ) 兰1 饕c k , l , m , n ) e x p j 2 yt n ) 1 ) e x p m = o ，恬+ 詈 )m ，y ) = 喜c (，r l 詈+ 等| 女= o ，= 0月= ol j j设x = q x m + x o ，q i = o ，1 ，k 二lx 0 = 0 ，1 ， 童二1 ；y = q j v + y o ，q y = 0 ，l ，三一1 ，y o = 0 ，1 ，肛1 ，上式可以写为：l ( q x m + x o ，q v n + y o )】r i 一l= 垂( 2 ，m + x 0 一k m ，g y n + y o i n )k = 0 1 = 0笺婪限l 删e x p p 陪+ 铷c ( t ，m ) 。 j 2 z l ! 挚+ = 笋l = 0 月= 0ll 川圳上式中后二个求和项是一m x n 的2 一di d f t 。2 3 实值g a b o r 变换基本理论的回顾2 3 1 实值连续o a b o r 展开和变换( 2 5 5 )正如d e n n i s g a b o rj 茜_ 过引入可时移窗将f o u r i e r 变换改造成复值g a b o r 变换一样，我们可通过引入时频可移的窗函数将h a r t l e y 变换改造成一种新的联合时频域变换，这种变换是实值的，我们称之为实值g a b o r 变换，其逆变换即为实值g a b o r 展开。首先定义连续时间信号o 的实值连续g a b o r 展开为脚匕，几m巍枷h 伽：量基于d c t 的实值离散g a b o r 变换及其快速算法x ( f ) = z e , a ( m ，h 。( f )( 2 5 6 )式中k m ( f ) = h ( t m t ) c a s ( n 1 2 t ) ，研，n = o ，4 - 1 ，士2 ，( 2 5 7 )称为实值g a b o f 基本函数，其中c a s ( x ) = c o s ( x ) + s i n ( x ) 被称为h a r t l e y 甬数【1 7 】，a ( m ，n )称为实值连续g a b o r 展开或变换系数。通常设窗函数 ( 0 受能量归一化约束，即e i h ( t ) 1 2 d t = l( 2 5 8 )在实值连续g a b o r 展开中，若己选定了窗函数矗( f ) ，时移和频移参量r 和力的选择则关系到连续实值g a b o r 展开的完备性、唯一性和数值稳定性。类似于传统的连续复僮g a b o r 展开，保证连续实值g a b o r 展开完备性的必要条件是t q = 2 n ，其中t o = 2 n 条件称为临界采样条件，可使展开系数a ( m ，m 求解唯和数值稳定，但这种选择约束性强、自由度差；而t f 2 2 n 条件，是不完备的，a ( m ，) 失去稳定。由于实值g a b o r 基本函数h m , n ( t ) 不是正交的，计算a ( m ，n ) 比较困难，可采用辅助窗函数( 又称为双正交分析窗函数) r ( o 来计算的方法，即a ( m , n ) = e x ( t ) r m ( t ) d t( 2 5 9 )上式定义为实值连续g a b o r 变换，因此，实值连续g a b o r 展开为实值连续g a b o r变换的逆变换。上式中r m , n ( f ) = r ( t m t ) c a s ( n o f )( 2 6 0 )将( 2 5 9 ) 式代a ( 2 5 6 ) 式，就得到下列完备性关系：k ，。( f t ) ， ( f ) = 5 ( t - t )( 2 6 1 )这里文f ) 表示d i r a cj 函数。上述完备性关系可表示成如下双正交条件警e 雄+ m t o ) e a s ( 一o o 帅) d r = 舢) 砸)( 2 6 2 )上式中与珐为1 4第二章g a b o r 交换基本理论的回顾= 罟，墙= 了2 7 f下面来证明( 2 6 2 ) 式的双正交条件。f l q ( 2 ，6 1 ) 娴th ( t - m t ) y ( t - m r ) z c a s ( n , c 2 t ) e a s ( n f - 2 t )册月( 2 6 3 )= ( ，一m t ) r ( t m r ) e c o s n n ( t f t ) 】+ s i n n o ( t + ，) ( 2 6 4 )州n= 8 ( t f 1对下列复指数函数序列应用泊松( p o i s s o n ) 求和公式e x p j n o ( t f ) 】= t o 6 ( t + t 一而)h其中j = 厅，由上式不难得出下列三角函数序列的泊松求和公式：e o s n j 2 ( t f ) r o 6 ( t 士卜)ns i n n o ( t + t ) = o月于是，( 2 6 4 ) 式可表示成：占( f 一，- r 0 ) z ( f + n r o m t ) y ( t r o t ) = 艿( f 一，)n埘由( 2 6 6 ) 式和( 2 6 7 ) 式可知下式成立：c o s r e ( 2 0 ( t 一，) 】= r 占( f 一，一r o t )册喇s i n m o o ( t + f i ) 】i o崩( 2 6 9 ) 式和( 2 7 0 ) 式可用于证明下式成立： ( f + n r o - m t ) y ( t - r o t )m= ( “n t o ) r ( t ) j ( f _ f 一r o t ) a t 朋= ( “n t o ) r ( ，) c o s m 2 0 ( f _ f ) 】+ s i n m 力o ( ) 】渺m= 鲁c a s ( m 力。f ) i = ： ( f t + 一t o ) r ( ，) c a s ( m n o r ) d f tf 2 6 5 )( 2 6 6 )f 2 6 7 )( 2 6 8 )( 2 6 9 )( 2 7 0 )( 2 7 1 )基于d c t 的实值离散g a l x r 变换及其快速算法将( 2 7 1 ) 式