（理论物理专业论文）广义椭球函数与主方程试探性研究.pdf

k 叠 一 北京邮电大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所 知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。 申请学位论文与资料若有不实之处， 本人签名：_ 多毒卜 本人承担一切相关责任。 日期： 丝也；止 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学位 本人签名： 导师签名： 适用本授权书。 e tg q ： 幽! ：；毛 日期：针即女 。l 4 。 i f 广义椭球函数与主方程试探性研究 摘要 本篇论文主要包括两方面内容。第一部分是对广义椭球函数在权 重s = 2 和s 一2 的情况下能量本征值和本征函数的推导；第二部分 讨论随机引力理论中的一个重要的概念一主方程，在d r u d e 谱情况下 的系数的形式。全文共分为三章： 第一章是综述。简要介绍广义椭球函数和主方程的基本概念，研 究意义，以及广义椭球函数和主方程的研究现状。其中包含广义椭球 波动方程的形式，应用领域等；随机引力理论相关知识，以及主方 程的研究意义及其研究现状。 第二章我们将利用超对称量子力学方法试探性的推导出权重s = 2 和s = - 2 时广义椭球函数的形式。首先，我们使用超对称量子力学方 法近似的计算出前几阶超势和广义椭球函数的本征值；接着根据之前 所求得的超势和本征值推导出广义椭球函数一阶基态波函数。最后， 利用势能的形不变特性，使基态波函数与激发态波函数建立一种递推 关系，从而给出激发态波函数的解。该超对称量子力学方法的引入及 一阶基态波函数形式将有利于广义椭球函数深入研究。 第三章我们将在低温近似的情况下，利用拉普拉斯变换法来求解 d r u d e 谱主方程的的系数。首先我们将使用拉普拉斯变换求解d r u d e 谱主方程系数满足的初等函数u i ( i = l ，2 ) ；接着通过这两个初等函数求 出关于它们的格林函数g f o = 1 ，2 ) ；同时根据d r u d e 谱推导出噪声核； 最后推导出d r u d e 谱主方程的系数。这些系数将有利于进一步求解主 方程。 关键词：超几何函数，超势，广义椭球函数，d r u d e 谱密度， 主方程，约化密度矩阵 本论文由以下项目资助： 国家自然科学基金：1 0 8 7 5 0 1 8 一 ， i nc h a p t e r1 ，t h eb a s ec o n c e p t s ，r e s e a r c hs i g n i f i c a n c ea n dt h es i t u a t i o no f s p i n - w e i g h t e ds p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o na n dt h em a s t e re q u a t i o na r ei n t r o d u c e d ， i n c l u d i n gt h ef o r m a t i o no ft h es p i n - w e i g h t e ds p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o na n dt h e a p p l i c a t i o n se t c ；a tt h es a m et i m e ，t h e r ei st h er e l a t e dk n o w l e d g ea b o u ts t o c h a s t i c g r a v i t yt h e o r ya n dt h er e s e a r c hs i g n i f i c a n c ea n dt h ep r e s e n tr e s e a r c ho fm a s t e r e q u a t i o n i nc h a p t e r2 ，w ew i l l t r yt od e r i v et h ef o r m a t i o n so ft h es p i n w e i g h t e d s p h e r o i d a l w a v ef u n c t i o ni nt h ec a s eo fs = 2a n ds = - 2 ，u s i n gt h em e t h o do f s u p e r - s y m m e t r i cq u a n t u mm e c h a n i c s f i r s to fa l l ，w eu s et h i sm e t h o dt oc a l c u l a t e s u p e r - p o t e n t i a la n de i g e n v a l u e so fs p h e r o i d a lf u n c t i o n si nt h ef i r s ts e v e r a lt e r m s f u r t h e rm o r e , w ed e r i v et h eg r o u n de i g e n f u n c t i o ni nt h ef i r s to r d e rt e r m s a tl a s t ，w e w i l lu t i l i z et h ep r o p e r t i e so ft h es h a p ei n v a l i a n to ft h ep o t e n t i a le n e r g yt ob u i l dt h e r e c u r r e n c er e l a t i o nb e t w e e nt h eg r o u n ds t a t ew a v ef u n c t i o na n dt h ew a v ef u n c t i o n so f t h ee x c i t e ds t a t e sa n do b t a i nt h es o l u t i o no ft h e s ew a v ef u n c t i o n so ft h ee x c i t e ds t a t e s t h i ss u p e r - s y m m e t r i cq u a n t u mm e c h a n i c sm e t h o da n dt h ef o r m a t i o no ft h eg r o u n d s t a t ew a v ef u n c t i o na lev e r yu s e f u lf o ra p p l y i n go ft h es p h e r o i d a lw a v ef u n c t i o n p r o b a b l y i nc h a p t e r3 ，w ew i l la t t e m p tt od e r i v et h ec o e f f i c i e n t so ft h em a s t e re q u a t i o ni n t h e s p e c i a l c a s e d r u d e s p e c t r a ld e n s i t y , v i a t h e l a p l a c et r a n s f o r m a t i o n ，a t l o w t e m p e r a t u r ea p p r o x i m a t i o n f i r s t ，w eu t i l i z et h el a p l a c et r a n s f o r m a t i o nm e t h o d t os o l v et h ee l e m e n t a r yf u n c t i o n su i ( i = l ，2 ) ，w h i c hc o u l dc o n s t r u c t e dt h ec o e f f i c i e n t s o fd r u d e sm a s t e re q u a t i o n ，a n dt h e nw et r yt oc a l c u l a t et h eg r e e nf u n c t i o n s g ：o = l ，2 ) ，w h i c h a let h e c o m p o u n df u n c t i o n s o ft h ee l e m e n t a r yf u n c t i o n s u i ( i = 1 ，2 ) ；a tt h es a m et i m e , w ec o u l do b t a i nt h en o i s ek e r n e la c c o r d i n gt od r u d e s p e c t r a ld e n s i t y a tl a s t ，w ew i l ld e r i v et h ec o e f f i c i e n t so fd r u d e sm a s t e re q u a t i o n ， w h i c ha l ep r o p i t i o u st os o l u t i o no ft h em a s t e re q u a t i o n k e yw o r d s ：h y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n , s u p e r - p o t e n t i a l , s p i n w e i g h t e d s p h e r o i d a lh a r m o n i c s , d r u d es p e c t r a ld e n s i t y ；r e d u c e dd e n s i t ym a t r i x ；m a s t e r e q u a t i o n ； t h i sw o r kw a ss u p p o r t e db yn a t i o n a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a f r o 1 0 8 7 5 0 18 ) 一 1 1 3s w s h s 的研究现状一2 - 1 2 主方程一3 - 1 2 1 随机引力理论及意义3 1 2 2 主方程的研究现状一4 第二章广义椭球函数试探性研究6 2 1 广义椭球波动方程6 2 2 超对称量子力学方法的引入7 2 3s = 2 时广义椭球函数的基态波函数1 1 2 3 1 前二阶的超势矽和能量本征值1 1 2 3 2 升降算符和基态波函数1 7 2 4 铲2 时广义椭球函数的基态波函数1 9 - 2 5 小结与展望2 4 第三章主方程试探性研究2 5 - 3 1 主方程相关的基本知识和概念2 5 3 1 1 时间演化算符，密度算符和密度矩阵，约化密度矩阵2 5 3 1 2 拉普拉斯变换2 9 3 2 系统模型及该模型下主方程具体形式一3 l - 3 2 1 系统模型一3 卜 3 2 2 主方程形式- 31 - 3 3 欧姆谱的主方程系数3 3 3 3 1 欧姆谱及其主方程3 3 3 3 2 欧姆谱主方程系数3 4 3 4d r u d e 谱的主方程系数推导3 5 3 4 1d r u d e 谱线。- 3 5 3 4 2d r u d e 谱主方程系数推导3 6 3 5 小结与展望4 4 参考文献一4 5 附录4 7 攻读硕士学位期间参加的科研课题和发表的学术论文4 8 致 谢4 9 v 1 1 广义椭球函 1 1 1s w s h s 概论 广义椭球函数 1 2 ，1 ，2 行分离变量【l 2 】，即 甲咖。( 厂，只仍f ) o c 愿m 。( 厂) 墨栅( 伊) p 一栅p 脚 ( 1 一1 ) t e u k o l s k y 得到。( ，) 径向、s $ 1 m 。( 臼) 角向方程， 即 r 昙( 争一，= o ( 1 - 2 ) 丢【( 1 ) 丢】+ 【钆+ ( 科一2 c o s x 一年】= 。( 1 _ 3 ) 其中，y = 2 i s ( r - m 广) k - k 2 4 i s r a r + k a = ，2 2 和+ 口2 ，k = ( ，2 + 口2 ) 缈一a m 彳砌。= 4 砌。- s ( s + 1 ) + c 2 一m c ， x = c o s o 角向t e u k o l s k y 方程( 卜3 ) 加上边界条件在x 一1 ，+ 1 ，处有限构成斯特 姆刘维本证问题。s w s h s 是与本征值a s m e 对应的本证函数， 它们主要在黑 洞物理学中有许多重要的应用。 1 1 2s w s h s 的研究意义 ( a ) 在引力波探测实验中的应用 现在广义相对论进入检验时代，引力波探测是检验广义相对论最重要的实 验，国际上地面的试验，如v i r g o ，g e 0 6 0 0 。宇宙空间的探测实验是l i s a 。如 果探测到引力波的信号时，我们需要从这些信号中得到引力波源( 通常为黑洞) 的有用信息：黑洞的质量m ，角动量参数a 、它的自转轴相对探测器的方位等等， 这些信息必须利用s w s h s 按照公式( 1 - 1 ) 展开波函数1 3 4 1 。 ( b ) 在k e r r 黑洞稳定性中的应用 由于k e r r 黑洞视界外存在能层，能量密度在能层是负的，导致k e r r 黑洞 的稳定性问题一直在广义相对论界引起很大的争议 5 - 8 1 ( p r e s s 、t e u k o l s k y ， h a r t l e 、w i l k i n 、s t e w a r t 、w h i t i n g 直接研究k e r r 黑洞线性微扰方程证明它是 稳定的；d a m o u r 、d e r u e l l e 、r u f f i n i 、z o u r o s 、e a r d l e y 、d e t w e i l e r 等证明 k e r r 黑洞中有质量标量场的微扰中存在不稳定的模式) 。后来人们利用准简正模 来研究k e r r 黑洞的稳定性k e r r 黑洞准简正模的频率直接依赖s w s h s 的本征值 。，s w s h s 的本证值对k e r r 黑洞准简正模的频率的作用超过球谐函数数对氢 原子光谱的精细结构的影响和作用，因此广义椭球函数对k e r r 黑洞的稳定性作 用很大。 ( c ) s w s h s 在弯曲时空中的应用 在弯蓝时空的量子场论存在紫外发散，需要重正化：在半经典爱因斯坦方程 中，引力场的源是量子场的能动张量的期待值，因受到紫外发散的困扰，必须 进行重正化，重正化需要广义椭球函数方程本征值的高频近似的详细知识【叫 1 1 3s w s h s 的研究现状 方程( 1 - 3 ) 的本征函数就是广义椭球函数( s w s h s ) 它在c = o 时退化为带权重 的球谐函数；c = s = o 时，它将退化为缔合勒让德函数。s 0 的s w s h s 的研究主要 集中在低频微扰展开和高频微扰近似方面，并主要依赖数值计算；但是，对s 不为0 的高斯近似还存在分歧。能否从新的角度，用新的方法重新研究它们，以 期望得到新的结果? 由于椭球函数的应用很广泛，五十年代，椭球函数的积分方程已经找到。6 0 年代到9 0 年代，人们研究了它们的积分方程，发现了很多奇异的性质。例如椭 球函数有一个很重要的性质：它们可以同时在时问和频率或空i 、日j 和波数上局限 化，这点性质很象高斯函数，因而在信号、图像处理及通信等领域有很广泛的应 用。但是却没有人研究s 不为0 的s w s h s 的积分方程。2 0 0 4 年，田贵花教授等 人首次在国际上得到了s 不为0 的广义椭球函数的若干个积分方程形式f 1 2 0 3 1 。这 些积分方程的发现为我们用新的方法研究s w s i - i s 提供新的有利工具1 1 4 3 。2 0 0 9 年， 田教授又推导出了s = o ，c 0 广义椭球函数形式1 5 1 。 本篇论文的第一部分将利用超对称量子力学方法近似的计算出s = 2 和s = - 2 时广义椭球函数的基态本征值和基态波函数，并利用势能的形不变特性以及升降 算法的一些性质来得到第n 激发态的能量和波函数。 1 2 主方程 1 2 1 随机引力理论及意义 广义相对论中的奇性困难，凸显了经典引力理论的局限性，迄今为止引力的 量子化仍然是一个悬而未决的理论问题。因此，半经典引力理论有了用武之地， 此理论中引力场的源是物质量子场的动能张量的真空期待值，虽然半经典引力理 论能解决很多问题，但是，在量子场的随机涨落不可忽略的情况下不再适用0 6 1 。 当物质场的能动张量的随机涨落不能忽略时，相应的反作用会导致引力场的 随机涨落，取代半经典理论的便是半经典引力理论。之所以称为半经典的随机引 力，是由于产生度规涨落的源是具有量子特性的( 即量子场的能动张量的涨落) ； 但是度规的涨落是经典的。半经典随机引力理论决定性的发展步骤是由h ub l 提出的量子开发系统：在处理黑洞物理中的反作用时，把量子场当作外界环境， 引力场当作系统，得到爱因斯坦一朗之万方程n 7 】。国内同行业也有从另一个角度 考虑涨落效应，例如考虑时空的涨落导致的量子光锥涨落等等i i s j g 。 半经典随机引力理论能够描述量子引力在退相干和经典化之后的某些遗留 痕迹。可以为引力量子化提供一些新的有用的线索，已经应用在黑洞物理和宇 宙系中 2 0 1 。它作为引力场量子化的一条途径，从上个世纪9 0 年代开始有了很快 的发展，其中b l h u ，e y e r d a g u e r ，r m a r t i n 等是这个领域的代表人物。他们 在半经典引力的基础上，把引力场的微扰当做一种高斯型随机张量场，并利用 s c h w i n g e r k e l d y s h 的c t p 有效作用量方法推出了描述能动张量涨落的正规化爱 因斯坦一朗之万方程。随后把这些理论应用到稳态时空和共形稳态时空，得到闵 氏时空的涨落耗散关系，并研究了关于粒子产生的问题，如粒子产生的总概率， 产生粒子的能量f 2 1 1 。 本世纪初，b l h u ，e v e r d a g u e r 等一些人又把随机引力理论应用到施瓦西时 空，得到了噪声核n 和耗散核d ，它们满足温度涨落一耗散关系m l 。 2 0 0 3 年，s h i h - v u i n l i n 对四维时空中的u n r u h - d e w i t t 型单极探测器进行了 研究，计算了由这个做匀加速运动探测器所导致的经典和量子能动密度，讨论 了与u n r u h 效应跃迁概率相关的辐射能量问题 2 3 , 2 4 l 。2 0 0 6 年s h i h - y u i n l i n 和 b l h u 利用u n r u h - d e w i t t 探测器理论，在海森堡绘景中描述了探测器和场这个 系统的量子动力学，得到了闵氏真空探测器亮点函数的真空期待值，计算了由 这个做匀加速运动探测器所导致的能动张量的期待值，并把这个结果与2 0 0 3 年 的结果进行了比较。然后，他们对一般情况下做匀加速运动探测器的演化方程的 解进行讨论，得到了一些新的见解，弥补了以前理论的不足【2 钉。 总之，半经典随机引力应用引力理论、量子场论、非平衡统计物理及基本量 子理论研究开放系统，会对许多基本问题提供新颖的清晰的物理图像。尤其是 其中的关于主方程方面的问题。主方程广泛应用于量子测量理论瞄1 ，量子光学 1 2 7 1 ，退相干理论中 2 8 - 3 0 1 。这是一个值得我们花时间和精力去好好研究的课题。 1 2 2 主方程的研究现状 2 0 世纪中后期f e y n m a n ，v e r n o n 等人一些物理学家利用影响泛函路径积分 的方法研究了一个布朗粒子组成的孤立系统的量子布朗运动，给出了约化密度矩 阵的演化算符的形式【3 i l 。 2 0 世纪9 0 年代，c a l d e i r a ，l e g g e t t 等人将这种方法运用于欧姆谱环境， 2 0 0 7 年，b l n u ，c h u n g - h s i e nc h o u 和t i n gy u 提出了两个耦合布朗粒子的 量子布朗运动模型惭1 ，这些成果对于研究随机过程主方程有很好的帮助。 2 0 0 7 年1 1 月，c t t f l e m i n g 给出了上述系统与热库存在高斯耦合情况下的 欧姆谱主方程并简要讨论了该主方程的系数【3 7 i 。 本篇论文的第二部分将在一个布朗谐振子组成的系统与外界n 个谐振子组 成的热库存在耦合的模型下，利用拉普拉斯变换方法和格林函数试探性的推导 d r u d e 谱主方程的系数。这些系数的求出将有利于深入研究主方程的解及其性质。 第二章广义椭球函数试探性研究 2 1 广义椭球波动方程 众所周知，广义椭球函数是研究许多物理过程必不可少的工具或手段，如： 弯曲时空量子场论，原子核模型，引力波探测等物理问题( 3 9 , 3 9 1 。广义椭球函数首 次出现在k e r r 黑洞微扰理论中。1 9 7 3 年，t e u k o l s k y 第一次将该函数分离变量 后引入k e r r 黑洞中对于微扰为沙的k e r r 黑洞的波动方程为： c 学，軎+ 警等+ c 壬一南，髻 省旦(当一面1砉(sin口秽09ora r0 0如 华+ 篙】等 、 7 s “a p s i n 2 口。a 汐 墙【业一r - a 训】詈邯2 c o t 2 0 - s 肛。 1 ) 其中= ，2 2 m r + a 2 ；s 为自旋，取值为0 、1 2 ，1 ，2 对应于标量场， 中微子，光子，和引力子等的微扰场，可以将分离变量 y = p 一汹e 州o ( p ) 尺( ，) ( 2 2 ) 则t e u k o s k y 方程( 2 - i ) 就可以写成关于r ( r ) 的径向方程，和关于0 ( o ) 的角 向方程 一s 旦( ，掣) + k 2 - 2 i s ( r - m ) k + 铷卅动r ( ，) ：o d r 、a 厂 ”一 卜1 一d ( s m i d ) + s + a 2 0 2c o s 2 秒一2 删0 0 s 秒一亟掣】 ( 功：4 0 ( 功( 2 - 3 ) s i n 0d o 、d 口7如20 。一 3 其中k 2 = ( ，2 + 口2 泗一a m ，石= 4 + 口2 缈2 2 a m m 。 分离出来的关于o ( 秒) 的角向方程( 2 - 3 ) 就是广义椭球波动方程。它的边界条件 是，函数o ( 秒) 在秒：0 ，万处有界，这是一种典型的施图尔姆一刘维边界问题。 一般情况下，求广义椭球函数的本征值的方法主要依赖于三项循环关系。 在近似的情况下，不管是连续的还是量子离散的本征函数，都可以通过幂级数展 开如下形式： o 。= e 。 ( 2 4 ) k = 0 q 。= 只 ( 2 5 ) q ，。= 弓 ( 2 6 ) q = o ，g 其中0 。是第n 阶激发态波函数，k 则表示关于参数展开系数q ，。的阶数。由 于广义椭球波动方程很难处理，所以很长时间没有新的方法运用于其中。直到最 近几年，随着超对称量子力学的引入，广义椭球波动函数的求解成为可能。超对 称量子力学不仅提供了新视角，而且在很大程度上提高了求解微分方程的方法。 本章将试探性地使用超对称量子力学近似方法来计算s = 2 和s 一2 情况下的广 义椭球函数基态能量和基态波函数以及激发态能量和激发态波函数。 2 2 超对称量子力学方法的引入 我们可以先将薛定谔的谐振子因式分解法1 4 1 , 4 2 1 推广，用以研究一般的一维势 阱v ( x ) 中粒子的能量的本征值问题。对于一维势阱v ( x ) 粒子的薛定谔方程有： 地( 加卜篆嘉川瑚啪) = e 吣) ( 2 _ 7 ) 一维规则势阱中粒子的束缚态能级是不兼并的，基态波函数( 石) 除了两个端点 和边界以外无节点，设想基态波函数( 功满足下列势阱的能量本征方程，相应 本征值为0 ， 脚融) - 【墨z m 筹圳x 州加。 ( 2 _ 8 ) d x 一 由匕式可以看出 所以，匝可以写成 咐= 丢器 ( 2 - 9 ) 以= 芴h 2 卜万d 2 + 黑】 ( 2 - 1 0 ) 这样就可以容易地看出，只要定义算符： 彳：生( 旦一婴) ( 2 - 1 1 ) 2 m 、d x ( x ) 7 彳+ ：鱼( 旦+ 盟) ( 2 1 2 ) 2 m 、d r , c o ( x ) 7 则以可以因式分解成如下形式： 盟= 彳= 一石h 2 虿d 2 + 圪( 曲 ( 2 1 3 ) 显然，舭( 功= 0 ，又因为彳与彳+ 不对易，下面哈密顿量的本征值和本征态与以 存在某种关系 耻朋+ = 一嘉嘉堋石) ( 2 - 1 4 ) 其中驰卜羔怒+ 等c 紫，2 设 以昕= 嫉，从孵= 露孵 ( 2 1 5 ) 则 以彳昕= a a + 彳昕= a h v ；= 耳彳虻 ( 2 1 6 ) 即说明：彳嫉是从的本征态，( 对应的本征值为) ，也就是说：若忻是腹的 本征态( 对应的本征值为群) ，则彳昕是且的本征态，( 对应的本征值为) 。 类似 低能级e o = o 之外，n 与日_ 的能谱彼此一一对应， 即： e2 e l i ，1 2 l ，2 ， 现在将n 替换为n + l ，有： 月r + 彳5 味l = e l 。爿二l = e 彳5 味l 由此可以得到一维势阱束缚态满足： 彳陈lo c 虻 经过归一化后： 娥= 【瓦。】_ 胆彳烁。，虼。= 【严a + 孵 现在定义超势： 吣卜去怒， 超势形( x ) 要保证( 石) 平方可积。 由上式可以得到： 吣) = e x p 【_ 去p 阶) 】 所以： 彳= 而h 忑d + 形( x ) 爿+ = 一面h 五d + ( 曲 ( 2 - 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 由此可以得到： 而： 式中 彳+ 彳 1 4 + = a a + 彳+ a = 一 么4 + = 一 + 】= 面2 h ( 形( 功) ：一芸鲁邶( 砌： 2 朋出2 、“ ：一竺罢4-(砌z2 = i lr 一 md x 2 、77 ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) ：一芸罢+ k 2 7 。7 ( 2 2 8 ) ：一旦妥+一(工)、2md x 2 + 、7 k ( 功= ( 阶) ) 2 去( 吣) ) ， ( 2 - 2 9 ) 显然 吾【一( 功+ 圪( 曲 = ( 形( 砌2 如，：去c ， q 。3 因此我们只要求出形( 工) ，就能求出基态波函数( x ) 。 而对于势一( x ) 和k ( 工) ，从形式上来看，是非常相似，只是在参数上有些不同。 所以我们又可以将一个关系将它们联系起来： k ( 秒；口1 ) = v _ ( o ；a 2 ) + r ( a i ) ( 2 - 3 1 ) 其中口表示一系列的参数，a 2 是关于口。的函数，而r ( 口) 是势k ( x ) 和t ( x ) 的差 异，它与秒没有关系。而这种存在差异性正是我们分析能量本征值和本征函数的 决定性因素。对于一个连续的超对称，势能k ( 工) 的本征态可以表示为： 瓦= o ，乓= r ( a 。) ( 2 3 2 ) 矿 肜 上历土压 ” ” 形 矿 扩一舻扩一舻竺加竺锄 ” ” 矿 矿 上压土压 一 + 2 3 1 前二阶的超势和能量本征值 l ，2 ，3 ， ( 2 - 3 3 ) ( 2 - 3 4 ) 通过( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) 所提供的微扰方法，无法很好的求本征值和本征 函数，现在我们将使用新的方法一超对称量子力学微扰方法，来重新推导出广义 椭球函数基态波函数。 首先，我们做以下变换： o ( 耻击( 0 硼锄) ( 2 - 3 5 ) 这样我们就可以将方程( 2 3 ) 化简为： 窘+ 【丢+ s c o s 20-2cos9一百(m+seoso)2-14+4】f，=。(2-36) 这里的= 口，因为函数o ( p ) 在秒= o ，万有限，所以根据上面的变换，我们可 以得到杪的边界条件： 在( o ，万) 内二阶连续可微，且l i m ! 堕和l i r a 罢丝有限 口o4 s i n 0 口_ 席4 s i n 0 即l 舡o = y i 船，= 0 。 在超对称量子力学中，核心概念为超势肜。超势和势能存在以下关系： 形2 一w v ( o ，朋，s ) - e 。 ( 2 3 7 ) 这里引入e 。主要用来使超势能够分解，实际上，上面的方程本身是很难求解的， 但是我们可以使用近似的方法来求解它。这个方法不同于( 2 - 4 ) ，( 2 - 5 ) ，( 2 - 6 ) 所提供的微扰方法；因此只要我们按照这个步骤一步一步计算，就能得出超势矽 的一系列级数形式和基态本征值。首先我们只计算超势和基态本征值的前几项， 然后通过前几项我们得出基态本征值完备的形式。这是与原先的微扰方法有着显 然的区别。 现在，可以将超势形按照参数的级数进行展开： w = w o + p w , + p 2 w e + 3 + ( 2 3 8 ) 则有： 旷一矿= ( w ， 0 2 - 形0 5 + ( 2 。形l 一) + f 1 2 ( 2 w o w 2 + 形1 2 一吩( 2 - 3 9 ) + 3 ( 2 w o w 3 + 2 w l w 2 一陟9 + 4 ( 2 w o w 4 + 2 w i w 3 + 形2 2 一暇) + 同样也将e 。展开成级数的形式： e 。= e e o n ” ( 2 4 0 ) a = o 这里的e 加是展开系数，其中第一个下标0 表示基态波函数，另一个下标r i 表示 参数展开项。这样微扰方程就可以写成： 形2 一矿= v ( 口，历，j ) 一e 岫1 a - - - - 0 = - 丢一s c o s 2 0 + 2 c o s 秒+ ( m + 1 s c o 矿s o ) 2 - 1 4 一窆n = 0 e ( 2 - 4 1 ) 现在比较表达式( 2 4 1 ) 和( 2 3 9 ) ， 可以得到关于各级关系式： w 0 2 - 啄= - e o o + 扣+ 坠掣 2 w 广形= - e o l + 2 s e o s o 2 w o w 2 + w i 2 一形= - e 0 2 - - c o s 20 2 w o 矿3 + 2 w l w 2 一形= 一e 0 3 2 w o w 4 + 2 w l w 3 + w2 2 一暇= - e 舛 现在可以令形产a + b _ c - o s o ，其中彳，曰都是待定常数。则有： s i n 2 3 4 5 6 4 4 4 4 4 一 一 一 一 一 2 2 2 2 2 睁警， 4 7 ， 矿。2 一一b 2 + a 2 + b 2 + b + i a ( 2 b + 1 ) c o s o s i n 2 0 i ：l ：；g er v 0 2 一啄和( 2 4 2 ) 可以得到关于彳，b 的关系式： a 2 + b 2 + b ：m 2 - i s 2 一三 4 a ( 2 b + 1 ) = 2 m s ( 2 - 4 8 ) ( 2 - 4 9 ) 一b 2 = _ e o o _ 1 4 一s s 2 ( 2 5 0 ) 已知积分丘嚣= l n ( t a j l i 0 ) ，s c o t 瞰秒= l n ( s i n 秒) ，当考虑到在s o ，m o 情况下 e x p ( - p j 厂o d o ) 在p = o ，万处有界，则彳，b 应取以下值： a = - 8 , b = - m - 吉( 2 - 5 1 ) 所以在s = 2 的情况下： 形。= 一南一( m + 争c o t 秒= 一i 丽1 【2 + ( 所+ 争c 。s 明( 2 - 5 2 ) e = ( m s ) ( m + s + 1 ) = ( m 一2 ) ( 历+ 3 ) ( 2 5 3 ) 这样( 2 - 4 3 ) 一( 2 - 4 6 ) 可以具体的表示为： + 【- 一_ 二石( 4 + ( 2 肌+ 1 ) c o s p ) 】形i = e o l 一4 c o s o ( 2 - 5 4 ) s i n 哌+ 去( 4 + ( 2 m + 1 ) c o s p ) 矿2 = e 0 2 + w t 2 + c o s 2 0 ( 2 5 5 ) s i n 暇+ 【去( 4 + ( 2 m + 1 ) e o s 0 ) w 3 = e 0 3 + 2 w i w 2 ( 2 - 5 6 ) s l n 以+ 【去( 4 + ( 2 m + 1 ) c o s 8 ) w4 = e 0 4 + 2 w l w 3 + w 2 2 ( 2 - 5 7 ) s i n 由方程( 2 5 4 ) 和矿。，可以推出w w i - - e 2 j 哪口【( 岛。一4 c o s o ) e - 2 i 唰口d 9 + 淞幻 ( t 锄i 0 ) 一( s i n 酽州 ，d o ( e o , - 2 s c o s 0 ) ( t 锄砂0 s i n 矿”枷】 1 3 ：( t a n - 譬) 。4 ( s i n9 )一(2斛1)x(2-58) 其中 x = 一( 口i 一6 lc o s o ) ( s i n o ) 2 ”2 + ( 口2 一b 2c o s o ) ( s i n o ) 拥一( s i n p ) 2 肿2 + 吩胁i n 矿， 册+ 1 ( 2 5 9 ) 孑 而这里的系数q ，6 l ，a 2 ，6 2 ，口3 分别为： a：丛垦l尘t m 一1 厶：! ! 鱼! 尘一三! 墨! ! 鱼竺 2 ，l 一1 ( 2 m + 1 ) ( 2 m 1 ) a：兰鱼!翌2 m 6 ：e o l + 1 6 鸭2 8 ( 磊- + 4 ) 一! 鱼鱼量掣m1 + 兰等2 坚m 墨措12 mz一 + l l一 利用超几何函数旧1 ( a 2 ) ，我们可以将矽。的最后一项展开 ( t 锄罢) 。4 ( s i n 臼) - ( 2 r e + i ) a 3 口f d 妒( s i n 矽) 2 m _ 3 锚- 1 ) m 嘉( 酬面巧1 ， 弓睦丽( - 1 ) t m 一推止耵嚣棚，尝 + 萋筹嘲c 2 m 帕+ 2 晰”- 柚2 , - ( h 2 k + i ) ；- 1 ) l nt a n 身 其中 z 础2 薹酱” ( 2 - 6 0 ) 当p 一万时，e x p ( 一，d p ) - - e x p ( ：鲁) 有界 b pe x p ( - i w 。a f o ) 在0 ，7 r 处有界。 通过对矽。进行化简得到： 彤= 一磊2 s i n 9 朋+ l 岛，= 一磊8，竹十l 现在将和e o 。代入方程( 2 5 5 ) ，这样我们就可以得到 呒2 ：了积1 ( c l 一面c o s 口) + ：= ：豕1 ( c j 一以c o s 秒) + 2 2 ( 2 6 5 ) n 窆= o ( z - - 疗1 ) 十k + 。l c k c 2 e l l ( 朋- m 一, z - 斤( 2 七+ l ，；一t ) ( t 三a 石n 丽罢) 2 ( n - m - 2 ) 1 5 2 1 一口肫脚 ，c【 旦少 + + 薹筹如暖：巧l 肋- m 埘- 2 , 一- 2 ( 2 “n 一) h 锄身 c 2 石回 其中系数 4 b c l2 一m - 1 2 b 一4 a 乞2 ， ，竹 2 彳 c 32 磊 ，竹+ l 4 = 是 ( b - s a ) + 篆m 百8 ( a - b ) 以= 丽i 圳) + 筹彳】 ， a d ，。互鬲 q 瑚+ 8 ( a - b ) 筹+ ( b - 8 a ) + 丽2 m + 2 么1 面4 m 丽( m - 1 ) 而这里的a ，b 分别为： 么= 两4f ，口= 1 + 利用e 。和相同的方法，必须有c 4 = 0 ， 即 ( 2 6 7 ) 8 脚( a - b ) 筹+ 【( b - 8 a ) + 慧刎丽4 m ( m - 1 ) = 。( 2 6 8 ) 因此，我们可以通过上式求出e 眈 。 m + 1 9 m 2 + 3 5 m - 1 5 一1 芴虿而而广 则代入系数c l ，d 。，c 2 ，d 2 ，c 3 ，以中，得到 8 ( m 1 ) ( m + 3 ) 2 c - = 一了。 1 ( 2 m + 3 ) ( 忉+ 1 ) r c 2 ：4 ( m - 1 ) ( m + 3 ) ( 3 m 7 + 一7 ) ， ( 2 m + 3 ) ( m + 1 ) 3 7 d：一，l 8 ( m - 1 ) ( m + 3 ) 2 ( 2 m + 3 ) ( 坍+ 1 ) d：墼竺二!丛竺兰!：!12 ( 2 m + 3 ) ( m + 1 ) g ：一2 ( m - 1 ) ( 了m + 3 ) ，d 一：! 竺二咝3 q 一面矿5 面i 丽 所以通过( 2 6 6 ) 式，我们可以得到超势w 的二阶项呒 ( 2 6 9 ) 吸：尘之粤黑( m c o s 0 + c o s 0 2 ) s i n 0 ( 2 7 0 ) 二( 2 m + 3 ) ( m + 1 ) 1 6 其中 4 = - 2 ，尽= 一( _ 7 ，l + i 1 ) ，q = 一磊2 因此有： n ( s i n 2 卯嘲( c o t 竹2 4 尽器脚c i 岛+ 局c o t 缈s i n 0 + o ( 岁2 ) = 面击( 彳+ 研) + 2 4 e 蔷篑一砰+ 2 p c , ( 4 + 届c o s 秒) + 。( 2 ) ( 2 _ 7 3 ) 形7 = 一石c o s 0 万4 一丽1 蜀+ c lc o s 0 + o ( p s i n 0 ) s i n 0 ) 2 ) ( 2 1 ( 2 1 1 则势能圪( p ，4 ，最，q ) 和一( 9 ，4 ，置，c 1 ) 可以表示为： 幽4 粥) 圳卅= 南( 彳+ 砰+ a m ) + 器( 2 4 旦圳 ( 2 - 7 4 ) 一砰+ g 【2 4 + ( 2 蜀- 1 ) c o s 0 + o ( f 1 2 ) ( 2 7 5 ) w ，4 ，粥m 2 = 击( 彳+ 研枷+ 器( 2 4 e 卅 一砰+ c l 2 4 + (