（基础数学专业论文）banach空间中非线性脉冲volterra积分方程的llocp解.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解出丕垣菹太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授 权出壅垣堇太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用 本授权书) 学位论文作者签名 签字日期：2 0 0 5 年月 日 签字 1 期：2 0 0 5 年( 。月p 日 山东师范大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中非线性脉冲v o l t e r r a 积分 方程的圪。解 王儒智 ( 潍坊学院数学系，潍坊，山东，2 6 1 0 6 1 ) 摘要 本文主要在b a n a c h 空间上讨论一类非线性脉冲v o l t e r r a 积分方程的 圪。解( 其中p 1 ) 设e 是b a n a c h 空间，j = o ，+ o o ) ，0 t l t 2 t 0 ，k = 1 , 2 ，0 菇 0 ，肌( t ) 1 1 9 d t 0 z a x 玩( ，e ) ，b o c h n e r 积分x ( t ) d t 存在l p ( 0 ，卅，e ) = k l x ： o ，州号e 强可测， 且 n 障( t ) 1 1 9 d t + o o 我们讨论方程： z ( f ) = ( f ) + 肛( f ，蹦( s ) ) 幽+ 口女( t ) t k ( x ( t ) ) ， ( 1 ) o 1 ) l e teb eab a n a c hs p a c e ，a n d j = o ，+ 。0 ) ，0 t 1 t 2 t 七 0 ，k = 1 ，2 ，0 e i sm e a s u r a b l es t r o n g l y ，a n d r | | z ( t ) 1 1 9 d t + 。) w ec o n s i d e rt h ee q u a t i o n sa sf o l l o w s ： w h e r e x ( f ) = 嘞( f ) + 肛( f ，蹦( s ) ) 丞+ ( t ) i k ( x ( t ) ) ， ( 1 ) o l ，二+ 二= 1 ，x o l f o 。( ，e ) ； pq 何2 ) ( i ) h ：j j e _ e ，h ( t ，s ，x ) i sc o n t i n u o u st o 工a n dm e a s u r a b l e s t r o n g l yf o r ta n dsr e s p e c t i v e l y ； ( i i ) t h e r ee x i s t sk ：r + r + 专r + ，k ( t ，s ) 0a n db 0s u c h t h a t l h ( t ，s ，x ) l l k ( t ，s ) + b l l x l l w h e r e f 尼( 啪) a s v o 。( ，r ) ； h 3 ) f o re a c h b o u n d e ds u b s e tdi nl f o 。( j ，e ) ，i ft 0 ，x dt h e n l i m s u pf h ( f + 厅，s ，工( s ) ) 一姚s ，x d ) ) l i d s = o h 4 ) t h e r ee x i s t sg 强。俾) ，g ( t ，s ) 0 a n df o re a c hb o u n d e ds u b s e t dce ， a ( h ( t ，s ，d ) ) g ( t ，s ) a ( d ) ，a , e ( f ，s ) j j a n d g ( f ) = f i ( g ( 啪) ) 9 d r ) i 玩( ，r ) ； h 5 ) i k c ( e ，e ) ，a n d l i l k ( x ) l l ( t l x l ) w h e r er c ( r + ，r + ) i sm o n o t o n en o n d e c r e a s i n g k = 1 , 2 ，； h 6 ) a 上。( ，r ) ，a 女( t ) = 0 ，t 0 , t ) w ec o n s i d e r 圪c s o l u t i o n so fe q u a t i o n ( i ) a n ds t u d yt h ec o n s t r u c t i o no f s o l u t i o ns e tw h e nt h es i xa s s u m p t i o n sa r es a t i s f i e d t h em a i nc o n c l u s i o n sa r ea s 山东师范大学硕士学位论文 f o l l o w s ： t h e o r e m1 i f 日1 ) ，h 2 ) ，h 3 ) ，h 4 ) ，h 5 ) a n dh 6 ) a r es a t i s f i e d ，t h e n o n ev o c - s o l u t i o no f e q u a t i o n ( 1 ) e x i s t sa tl e a s t t h e o r e m2i fh 1 ) ，h 2 ) ，h 3 ) ，h 4 ) ，h 5 ) a n dh 6 ) a r es a t i s f i e d ， t h e nsi sc o n n e c t a b l ea n dc o m p a c t w h e r e s = x v o 。( ，e ) l x o ) s a t i s f y e q u a t i o n ( 1 ) 1 f i n a l l y ，w eh a v es u p p l i e da l le x a m p l et oe x p l a i na p p l i c a t i o no ft h e o r e m1 a n dt h e o r e m2 k e yw o r d s ： f r 6 c h e ts p a c e ；k u r a t o w s k im e a s u r e so f n o n c o m p a c t n e s s ； 圪c s o l u t i o n s ；i m p u l s i v ev o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n c l a s s i f i e a t i o n ：0 17 5 5 山东师范大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中非线性脉冲v o l t e r r a 积分 方程的玩解 1 引言 非线性积分方程的研究，虽然在2 0 世纪2 0 3 0 年代才刚刚起步，但 是由于它在物理学、化学、地质学、生物学以及数理经济学等很多领域都 有广泛的应用，因而日益引起人们的兴趣在5 0 年代中期出现了利用拓扑 方法和变分方法来系统地研究f r e d h o l m 型非线性积分方程的优秀著作，7 0 年代初r k m i l l e r 和c c o r d u n e a n u 系统地研究了v o l t e r r a 型非线性积分 方程此后，对于非线性积分方程的研究又有许多新的进展例如，大范围 变分学的出现，能获得非线性积分方程具有无穷多个解的新结果 脉冲方程是微分方程的一个新的重要分支，显然，脉冲微分方程与脉 冲积分方程是密切相关的抽象空间中的脉冲方程主要建立在p c ( i ，e 1 上， 这里i = 【f o ，丁】，t o t 1 1 ) 设e 是b a n a c h 空间，= 【o ，懈) ，0 t 2 t 0 ，k = 1 , 2 ，0 5 k o ，f 忙( f ) d t o 及x 工。，e ) ， b o c h n e r 积分f x ( t ) d t 存在l p ( 0 ，卅，e ) = 扛防： o ，卅号e 强可测，且 f 忙( f ) d t + 我们讨论方程： x ( f ) = 嘞( f ) + 肛( f 艽( s ) ) 出+ z a t ( f ) 丘( ；( 气) ) ( 1 ) o 0 ，n i x ( ) d t 0 及x e 玩。( ，e ) ， b o c h n e r 积分f x ( t ) d t 存在( o ，刀，e ) = 阳x ： o d 斗占强可测，且 n k ( t ) 1 1 9 d t + 。 我们讨论方程： 工( f ) = ( f ) + 肛( f x ( s ) ) 凼+ z a t ( f ) t ( 孤) ) ( 1 ) u 0 ，必有5 = 占( 占) 存在，使对于e 中任二有 界集d l ，d 2 ，只要如( d l ，d 2 ) ，就有距离d ( x 。，y 。) 1 ，g 1 ，三+ 三：1 ，x 。三品。( ，e ) ； pq h 2 ) ( i ) h ：j x j x e j e ，4 ( t ，s ，x ) 对t ，s 分别强可测，对x 连续； ( i i ) 存在k ：r + x r + 呻r + ，k ( t ，s ) o ，b o 使得 i i h ( t ，s ，x ) l l k ( t ，s ) + b l l x l l 这里f k ( t ，s ) d s v o 。( ，尺) ； h 3 ) 对任一有界集d 玩( ，e ) ，7 1 0 ，z d l i m s u pf r h ( h 而，州s ) ) 一她s ，z 。) l i d s = o h 4 ) 存在g i i o 。( r ) ，g ( t ，s ) o 且对任一有界集d e ， a ( h ( t ，s ，d ) ) g ( t ，s ) a ( d ) ，a e ( f ，s ) jx j 而g = ( 胁卿凇) l f o ，趴 山东师范大学硕士学位论文 h 5 ) i c ( e ，e ) ，且 恢( x ) 忙最( ) 这里最c 僻+ ，r + ) 单调不减，k = 1 , 2 ，： h 6 ) a k l f o 。( ，尺) ，a k ( f ) = 0 ，t 【o ，t 女) 自先，我们讨论万程 z o ) = i t x o o ) l l + f k ( t ，s ) a s + i 口。( t ) l p k ( z ( t ) ) + 6 f ：( s ) d s ( 2 ) 0 t o 使得若f 1 ，f 2e o ，明，| f l t 2 l s ，则 1 ( j 2 v 9 ( s ) 出) l 现在取轨 二c o ，丁 ，满足o = t o f 1 f 川 f 。= t ，使得 t 。+ 1 一t f 占，i = 0 ，1 ，n 一1 若t t o , t 1 】，则 对上式积分得 1i “( f ) 1 ，( z ) ( 1 甜( s ) 凼) v ( f ) ( 甜( j ) 出) 9 111 ( j 1 “9 0 ) 凼) i ( 1 1 “9 ( s ) 出) ；( y 9 0 ) 幽) j 1 从而( 1 1 “9 ( f ) 疵) 9 = 0 ，于是“( f ) = 0 ，口卫f o ，】t 对f t l , t 2 ，我们有 1ll 甜( f ) v ( f ) ( 1 “9 ( s ) 出) 9 = v ( f ) ( f u p o ) 凼) 9 v ( f ) ( j 2 “9 ( j ) 出) 9 山东师范大学硕士学位论文 对上式积分得 ( i 2 u 9 ( s ) 凼) j ( p ( s ) d s ) t ( p ( s ) 出) j 因此“( f ) = 0 ，口p t h t 2 】依次类推u ( o = 0 ，a 卫te t 。t + l 】， i ：0 , 1 ，即一1 所以越( f ) = o ，以e t o ，丁】证完 下面我们给出方程( 1 ) 解的存在性定理 定理1若日1 ) 、日2 ) 、h 3 ) 、h 4 ) 、h 5 ) 和6 ) 成立，则方程( 1 ) 至 少有一个兹。解 证明：首先，令 ( 爿x ) o ) = ( f ) + f h ( t ，蹦( s ) ) 出+ 吼( t ) i k ( x ( t k ) ) - ( 3 ) o t ， 于是对x 玩。( ，e ) ，有 i i ( a x ) ( 悱卅f k ( t , s ) 出+ 6 胍s ) 怯+ m f ) m t ( x 瓴) ) i | o h - f 敝卅l k ( t , s ) d s + 6 ( 胍s ) 1 1 9 凼) + k ( o i p t l x ( t t ) | 1 ( 4 ) u “ o 及子列b j 使得 a y o h s o ，j = l 2 一 l p r ( 5 ) 另一方面，由于d ( y 。，y 。) 一o ， y 。b 。】j c 口( d ，“】，e ) 具有等度绝对连 续的范数，又由：) ，i i - ( t ，s ，y 。o ) ) l l - k ( t ，s ) + b l l y 。( s ) 因而饵( f ，s ，y 一( s ) ) 也具有等度绝对连续的范数由 i y 勺一y 。k 。斗o ，我们有y 一，( f ) 斗y 。( ) 口七t 0 ，t 。 ，j 寸+ o o 因此 h ( t ，s ，y 。；o ) ) 号日( f ，j ，( s ) ) ，斗+ ，d _ p 由控制收敛定理 f 炉( 啪，y 。弘) ) 一h ( t , s , y o ( s ) ) 旷d s - - - ，0 ，j 一帆 由相同的证明知 击l 一峨忱，( s ) 一y 。( s ) l 陋一。，_ ，一+ o 。 由，是连绥鼢，得 i i l ( y 。，) 一j 炒。( t i ) ) 卜o ，j 斗+ 因此， 芝3 “萝。，( u ) 一l ( y 以，) 堋_ o ，歹斗十氓 从而一圳础斗o ，- ，一慨这与( 5 ) 式矛盾，因止匕艉连续的 山东师范大学硕士学位论文 由弓i 理5 ，存在z l ；o 。( ，r + ) ，使得z 满足万程( 2 ) 令 b = x l x e l f o 。( ，e ) ；t l x o ) | i z ( f ) ，e f ，) 则b 亡v o 。( ，e ) 是凸的、闭的 下面我们将证明爿满足引理4 的条件 ( a ) 对x b i i ( a z ) ( o l l - 0 ，口p ( q o 】) = o 即可对x b ，有 i | ( 4 x ) q + h ) - ( 4 x ) 0 ) | | 1 1 x o ( z + 而) 一粕( r ) | | + i 池”h 。+ 矗，s ，x o ) ) 凼一f h ( f 工( s ) ) 幽i | + l 口。o + ) ，。( ；( “) ) 一a k o ) ( ；( 气) ) l | | o “ h o t k t | | z 。o + ) x 0 ( t ) l l + f + 6 i l h ( t + h ，s ，x ( s ) ) l i d s + f i l h ( t + h ，s ，x ( s ) ) 一h ( t ，s ，z ( s ) ) l i d s 山东师范大学硕士学位论文 一 一 ( f ) 厶( z ( 气) ) l | o t k t | | 珂( 6 ) 积分，伺 刖( 血) ( f + 矗) 一( 彳x ) ( t ) l l d t 刖粕( h 五) 一x o ( t ) l l d t + f “m ( h h ，s ，x o ) ) l l d s d t + l ”1 l h ( t + h ，5 ，x ( s ) ) 一h ( t ，j ，x ( s ) ) 1 d s d t + 肌女( hj i 2 ) - - a k ( t ) l d t p k ( 三( t ) ) 易见， = 1 ， + ，2 ， + l ， + ，4 ， 由2 ) ，得 由玛) ，得 从而 般粤厶，一2 0 ，嬲霉厶，一2 0 ! i 黑8 u p l ， = 0 斗ox 刍“ 憋s u p l 3 ， = 0 _ + ot ” 。l i 。m 。s 。u ；口p 。“i | ( 一石) o + 办) 一( 4 x ) 。) l d t = o 由c c 历( o ) u 爿( c ) ) ，可知 l ，i m ，。s 。u ；。p ”l i x o + 而) 一z 。) l i d , = o 从而引理1 、引理2 的条件满足更进一步得 a ( c ( f ) ) ( 6 ) t0 一工 ，ly 矗+ 0 吼“ 眨 + 山东师范大学硕士学位论文 口( ( f ) + l h ( t ，蹦( s ) ) 凼+ 口女( f ) ，( 孤) ) ，x c ) ) 0 i f a ( f 日( f ，( s ) ) 凼，x c ) + m f ) i a ( ( 孤) ) ，x c ) ) o t k f 2l 口( ( f c ( s ) ) ) 幽+ m f ) 厶( x ( 屯) ) ，xec ) o t k f 2 f g ( f ，s ) 口( c o ) ) d ，+ b t ( f ) l 口( ，t ( x o t ) ) ，石c ) ) u h r 对t o ，t 1 ，得 口( c o ) ) 2 f g o ，s ) 口( c o ) ) d s 2 g o ) ( 1 a 9 ( c o ) ) d ，) 9 由引理6 ，得 a ( c ( f ) ) = 0 ，口e t o , t 1 】 更进一步，由引理1 ，得 a ( 孑( ) ，x c ) 叫去l l - 点砌) d t ，x c ) ) 云k 邢渺 = 0 因此忙( f 1 ) ，x c ) 在e 中相对紧由，l 连续，a ( 冤( f 1 ) ) ，x c ) ) = 0 从而，对t t it 2 ，得 口( c ( f ) ) 2 【g ( t ，s ) a ( c ( s ) ) d s + 口10 ) 口( ，1 ( x ( t 1 ) ) ，x c ) j 2 fg ( f ，s ) a ( c ( s ) ) 出 山东师范大学硕士学位论文 2 ( f ( g ( f ，s ) ) 9 凼) ( i a 9 ( c ( j ) ) 凼) i 由引理6 知 c e ( c ( t ) ) = 0 ，a e t h , t 2 】 依次类推，得 口( c ( f ) ) = 0 ，a e t 1 i _ 1 , t 。 ，i = 2 , 3 ，n 由引理2 ，得 口( q 。引) 2 l “a ( c ( t ) ) d t = 0 从而c 。如 0 ( o ，t 。 ，e ) 相对紧由于c 【。 】l p ( 0 ，t 。 ，e ) 具有等度的绝 对连续范数，可见c 【吣。】l p ( 0 ，t 。 ，e ) 相对紧 由条件( a ) 、( b ) 成立和引理4 ，爿在( ，e ) 中有不动点z + ，即z + ( ) 是方程( 1 ) 的解证完 4 解集的结构 在本节，我们讨论方程( 1 ) 的解集的特点令s = 缸磁。( ，占) j 互( f ) 满足方程( 1 ) ，= 饲 o ，uk s ；j l t l7 ( 见6 1 ) 设“，v ，w 非负满足 “，v ，w el p ( o ，f 。 ，r + ) ，1 1 1 ，| | ，。d ，d 1 ， 且 啡) v + w ( f ) ( p 邯) 幽芦，v f o j j j l i 山东师范大学硕士学位论文 f “9 ( s ) d s 2 9 1 d 9 p 2 9 。1 ”9 5 出 引理8 设z 0 ，z ，w e ( o ，f 。 ，r + ) ，最c ( r + ，r + ) ， b 女咄小“ ，r + ) ，k = 1 ，2 ，”一1 ，且 z ( f ) z 。( f ) + w ( f ) 【j z ，( s ) 出户+ 坟( f ) 最( 三( 气) ) ， o d ， 使得 鼽s ) 出掣一，d i p e 2 p - i 川汕 对所有满足( r “z ，( j ) 出产d 的乙，f ：1 ，2 ，z 1 令d ：以，则d 就是 我们所求的证完 对 z ( f ) f ) 卜y ( f ) 砌饥z ，( s ) 出丫+ m f ) 眩( 三( “) ) ( 9 ) 、7 0 t f 我们有相应的d ，使得若( 9 ) 成立，则 鼽s ) 出掣一1 d p c 2 p i 巩9 如 对所有满足慨岐。d ， l y l m 1 ，( 量k ( s ) 厂出户d 今 山东师范大学硕士学位论文 这里 h = 扛l p ( 0 ，“ ，g ) ；l t x k c j ( 1 0 ) 厂 上 、； c = l2 p - i d ，8 2 一1 f ”6 9 s 9 西l 。 lj 令 d 。= x e 三，( o ，气 ，e ) ；l i x 一一。x i i ，。 这里爿。x = a x l 】我们有下面引理7 引理9 若定理1 的条件成立，0 占1 ，则破在l p ( o ，t 。 ，e ) 是非空 的、连通的 证明：我们利用参考文献6 1 中定理2 的思想，对川，设厶：笠 今 ( a x ) ( f ) = x00)，0tam x 。( f ) + r 日( 卜厶，蹦( 5 ) ) 凼+ ( 卜厶) 厶( i ( “) ) ， 厶 f f 。 o t k f - 厶 由定理1 的证明，a ：( o ，t 。 ，e ) 一( 0 ，t 。 ，e ) 是连续有界的，且对 z l p ( o ，t 。 ，e ) ，由条件h 2 ) l ( a 。x ) ( f ) ( f ) 忡尼。( r ) + 6 f 珈x ( 州幽户+ za m , k ( f ) 只( 愀“) i ) 这 o t k 里 f0 ，t o ，丸】； k “。2 仃如雄一铀) 出，吲铂。 山东师范大学硕士学位论文 & 。，。，= 以： 。x ，t e 。 ，0 。t + k + 。2 ，= ，。 易见 i 尼。| i ，。i 七1 1 ，。， 1 i 口。，t 1 1 ，。i i 口t | l 岛。 ( 1 2 ) 下面，我们证明j a 是双射一方面，对y 口( 【0 ，t 。 ，e ) ，令 z ，0 ) = y 0 ) + x 0 0 ) ，t 0 ，厶】 且 fx i ( f ) ， o t f 允。； x 。+ o ) ：y ( f ) + x 。( f ) + f 一厶h ( f 一九，s ，而( s ) ) 出 + a k ( t 一九) j 女( 墨( 靠) ) ， j k t ( j + 1 ) k 。 io 0 ，使得 al ，x , , x q - i 川j5 n h j 五l ( j ，1l ，r = ( ，一a n 川) 1 ，( 兄) ，2 ( ) = 兄( 丫1 一，| 叱川x i ) 。 ，( 1 一_ 1 ( r ! 一l 肌川! ) ? 汁r 山东师范大学硕士学位论文 a n , t a x i k i l t a n , t a x il l ，。+ i 爿。x r r l + 安， ，2 则愀旯) 叩+ 等，旯【o ，1 由( 1 4 ) 知v i h ，因此 慨a n v z l l ，。恍。v z 十，! ( a ) 一a n v x h o 和使 删 十 慨一v , i i 川占o ，v m ， i 聊 令y = v ，y z ，v 。，) ，由矿eh ，地恐l v 。一a n y m 峙。= 0 ，存在子列 v 竹j ；0 ) 一爿。o ) 0 ， a e t o ，t 。】 另一方面， 盘( p 。廖) j j = 口【，( f ) 一a 。v 髀( t ) i ) + a a 。v m ，( f ) j ) = 口帕。v 。，( f ) j j ， a 以t o ，t 。】 类似于定理1 的证明，【扣竹 ) = 0 ，这与假设矛盾因此 l i m 口( ) = 0 m + r l ：= i 山东师范大学硕士学位论文 k3 3 - 3v m ，最= n ”= l 知s 。紧连通证完 定理2 设定理1 的条件成立，则s 连通紧致 证明：根据引理3 ，由s 。紧致连通及刀之任意性知s 连通紧致证完 4 应用举例 下面我们将讨论一个例子，旨在说明有了定理1 和定理2 ，不仅可以研 究一些问题的解的存在性，而且还可以讨论解的紧性与连通性 我们考虑脉冲微分方程的初值问题 工：十l ( s g n c o s + 。+ 去l n i + ( 1 + c o s t ) e l 川如 n n a x 。b = k 2 。( j j ) ，k = 1 ，2 ( 1 5 ) x 。( 0 ) = c o s 聍，n = 1 , 2 一 这里瓦( 后) 2 去矗( 。出， 。 瓯 尼， k = 1 , 2 , - - - 令e = 扛；x = ( x 。，x ：，石。- ) ，s u p l x 。i + 。 对x e ，令忙i = s u p x 。i ，则e 是b a n a c h 空问明显地，( 1 5 ) 等价于初值问题 x = f ( t ，x ) ，t 1 , 2 血b2 艋( 七) ，后= 1 ，2 ( 1 6 ) x ( o ) = x 0 ， 这里x o = ( c o s l ，c o s 2 ，c o s r ，) e ，f = ( 五， ， ，) ，而 胁) + ! 。( s g n c o s t h 。+ 去n l n i + ( 1 + c o s t 川 n 。 山东师范大学硕士学位论文 由参考文献 2 1 之结论，方程 x ( f ) = x 。+ f 弛，z ( s ) ) 姗厶( 确) ， o o 使得 1 y ：9 l ! d + 去( 1 n 3 + d ) ，n ：1 ，2 ，一，p ：1 ，2 ， n n 。 则妒j 有界由对角线方法，存在子y u p 。 ，使 。l i m 。y = y 。，n = 1 川2 一- 且 l y i 丢d + n - 丢( m + d ) ，n = 1 , 2 , - - 故y = ( y 1 ，y ) e 对给定的占 0 ，3 n 0 ，使得n 时 眇i 0 ，当i i o 时 山东师范大学硕士学位论文 从而当i i o 时 即 儿l 专， ，2 ，t 从而，口魄( f ，d ) ) = 0 易见h 2 ) ，h 3 ) ，h 4 ) 成立 更进一步，t c ( e ，e ) ，知日5 ) ，h 6 ) 成立从而定理l 、定理2 成立即 方程( 1 7 ) 有现。解，并且连通紧致证完 山东师范犬学硕士学位论文 参考文献 1 l a k s h m i k a n t h a mv , b a i n o vdd ，s i m e o n o vds t h e o r y o fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s i n g p o r e ：w o r l ds c i e n t i f i c ，19 8 9 1 3 0 【2 g u od a j u n n o n l i n e a ri m p u l s i v ev o l t e r r ae q u a t i o ni nb a n a c hs p a c e sa n d a p p l i c a t i o n s j j a p p l i e d - m a t h s t o c h a s t i c a n a l ，19 9 3 ，( 6 ) ：3 5 - 4 8 3 g u od a j u n i m p u l s i v ei n t e g r a le q u a t i o n s i nb a n a c h s p a c e s a n d a p p l i c a t i o n j a p p l i e dm a t h s t o c h a s t i c a n a l ，19 9 2 ( 5 ) ：1 11 - 12 2 4 】b u g a j e w s k id ，s z u f l as o nt h e e x i s t e n c e o fl “9 2 一s o l u t i o n so ft h e h a m m e r s t e i n i n t e g r a le q u a t i o n i nb a n a c h s p a c e s j m a t h n a c h r , 1 9 9 1 ，( 5 ) ：2 9 5 3 0 1 5 h m o n c h b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u m i o n s o fs e c o n d o r d e ri nb a n a c h s p a c e s n o n l i n e a r a n a l ，19 8 0 ，( 4 ) ：9 8 5 9 9 9 6 s s z u f l a o nt h ee x i s t e n c eo f 一s o l u t i o n so f v o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n s d i f f e r e n t i a li nb a n a c hs p a c e s j f u n c c i a l a je k v a c i a j 2 7 ( 1 9 8 4 ) ，1 5 7 1 7 2 7 v l a k s h m i k a n t h a m a n ds l e e l a n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i n a b s t r a c ts p a c e s ，19 81 ，p e r g a m o np r e s s 【8 z h u a n gw a na n dy uh o n g y i g l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o nt on o n l i n e a r i n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nab a n a c hs p a c e 数学物理学报19 8 9 ， 9 ( 4 ) ，3 6 7 3 7 2 【9 f a nj i