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西安建筑科技大学硕士学位论文 双参数弹性地基上四边自由矩形中厚板的弯曲 专业：工程力学 硕士生：武成浩 指导教师：黄义 摘要 本论文是博士生导师黄义教授所承担的国家自然科学基金项目的部分子课题。论文在胡海 昌的具有三个广义位移的平板弯曲理论的基础上，首次提出了具有四个广义位移的平板弯曲理 论，首次考虑了横向伸缩广义位移中，并用变分法精确推导了双参数弹性地基上四边自由矩 形中厚板的控制微分方程。本论文同时推导了准确的边界条件，由于增加了广义位移数目，边 界条件的个数从三个增加到四个。 本论文从微分控制方程中解出精确满足方程的四个广义位移的试函数，代入板_ 双参数地 基的总能量表达式，用交分法求出了试函数中的待定系数，从而解决了双参数弹性地基上四边 自由矩形中厚板的弯曲问题。 这种理论较具有三个广义位移的平板弯曲理论能更好的解决集中荷载，应力集中等问题， 并且可以计算出不考虑横向伸缩变形的三个广义位移的平板弯曲理论的误差。 本论文首次提出了具有四个广义位移的平板弯曲理论，具有重大的理论意义，同时对高速 公路路面板、机场停机坪、码头货舱、板式地基的设计和施工等工程实践具有重要的指导意义。 关键词：双参数弹性地基变分法四边自由矩形中厚板 论文类型：理论研究 本文得到国家自然科学基金资助 t h e b e n d i n g o f m o d e r a t e l y t h i c k r e c t a n g u l a r p l a t e sw i t hf o u r f r e e e d g e s o nt h ee l a s t i cf o u n d a t i o no f t w o - p a r a m e t e r g r a d u a t es t u d e n t ：w uc h e n g h a o t h i st h e s i si ss p o n s o r e db yt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o nw h i c hi sa s s u m e db yp r o f h u a n g y i t h ep a p e r p u t sf o r w a r db e 3 a d i n gt h e o r yo f f l a tp l a t ew i t he x t e n s i v ef o u r - d i s p l a c e m e n ta n d t h eg o v e r n i n gd i f f e r e n t i a le q u a l i o n sa r ea c c t 瑚a t e l yd e r i v e df r o mm o d e r a t e l yt h i c kr e c t a n g u l a rp l a t e s w i t hf o u rf l e e e d g e s o nf l a ee l a s t i cf o u n d a t i o no ft w o - p m 锄e t e rb ym e a n so fv a r i a t i o n a l m e t h o d , c o n s i d e r i n gt t a n s v e r s ee x t e n s i o na n d c o n t r a c t i o nd i s p l a c e m e n t 中3f o rt h ef i r s tt i m e , l x t s i n g o i lh u h a i c h a n g sb e n d i n gt h e o r yo f f l a tp l a t ew i f l ae x t e n s i v et h r e e - d i s p l a c e m e n t a n dt h ea c c u r a t e b o u 姗c o n c h l i o n a r ed e r i v e d t h en u m b e r o f b o u n d r y c o n d i t i o n si sf o u rb c c a u s eo ft h ei n c r e a s e d n u m b e r so f e x t e n s i v e d i s p l a c e m 铷岫 t h e t h e s i s s u c e s s f i d l ys o l v e t h e b e n d i n g p r o b l e m s o f m o d w a t e l y t h i c k r e c t a n g u l a r p l a t e s w i t h f o u r f l e e e d g e s o nt h ee l a s t i cf o u n d a t i o no f t w o - p m m m e t e r b ym e a n so f s o l v i n g t h eu n c e r t a i n t yc o e f f i c i e n ti n t h et r i a lf u n c t i o n sw h i c hi ss o l v e dl i o mt h eg o v e r n i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb ym e a n so fv 捌o n a l m e m o da f t e rs u b s t i t u t i n gt h et r a i l 矗删o n so ft h ef o u re x t e n s i v ed i s p l a c e m e n ti n t op l a t e - f o u n d a t i o n e n e r ye x p r e s s i o m t h et h e o r yw h i c h i sa d v a i 删b yt h ep a p e rc a ns o l v em o s tp r o b l e m sw i t h c o n c e a r a t e dl o a d so rs e s se o n c e n l r a t i o nm u c hb e t t e rt h a nh u h a i c h a n g st h e o r ya n d i tc a l lc a l c u l a t e t h ee r r o ro f h u s t h e o r y w i t h o u tc o n c i d e r i n go ft h ee x t e n s i v e d i s p l a c e m e n t 中3 t h et h e s i sp u t sf o r w a r d b e n d i n gt h e o r yo f f l a tp l a t ew i t he x t e n s i v ef o u r - d i s p l a c e m e n tf o rt h ef i r s t t i m e ，s oi th a ss i g n i f i c a n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c e a n dt h et h e o r yi sh e l p f u la n dp r a c t i c a lf o rt h ed e s i g n a n dc o n s t r u c t i o no fe x p r e s s w a y , a i r p o r ta i r c r a f t p a r k i n ga r e a , w h a r ff r e i g h t s h e da n dp l a t et y p e f o u n d a t i o n k e y w o r d s ：e l a s t i cf o u n d a t i o n o f t w o - p a r a m e t e r v a r i a t i o n a lm e t h o d f o u r f r e e e d g e s m o d e r a t e l y r e c t a 0 1 9 i ：d a r p l a t e s t h e s i s 噼t h e o r e t i c a l r e s e a r c h t h i s s t u d y i ss u p p o r t e d b y t h e n a t i o n a l n a t u r a l s c i e n c e f o u n d a t i o n i i 声明 本人郑重声明我所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 怍及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人或其他 人在其它单位已申请学位或为其它用途使用过的成果。与我一同工作的同 志对本研究所做的所有贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：我我浩 关于论文使用授权的说明 日期：z o o 牛； 本人完全了解西安建筑科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或者其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在论文解密后应遵守此规定) 论文作者签名：武我壤 导师签名： 注：请将此页附在论文首页。 r 叫。盈 西安建筑科技大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 弹性地基板研究的现状 弹性地基上四边自由的矩形板在工程上有着广泛的应用。如建筑物的基础、公路刚性路 面、机场跑道、船坞底板和码头平台等。研究这种基础与地基之间的相互作用弹性分析，对 于工程结构有着十分重要的意义。因此，弹性地基上四边自由矩形板的受力分析和计算，一 直是许多力学工作者所感兴趣的一个问题。 但是我们看到，弹性地基上四边自由矩形板的弯曲问题是一个很麻烦的问题。因为从板 的四阶的弹性曲面的偏微分方程去精确求解，不仅必须使解答满足板弯曲面的微分方程，还 要满足全部自由边上的几何边界条件和内力边界条件，这是非常困难的。 由于重型车辆和大型飞机已经成为普遍的交通运输工具，尤其是宇航技术的飞速 发展，机场跑道、航天发射场坪的不断增厚，在实际工程中经常遇到厚度较大的弹性 地基板。如重型飞机跑道和集装箱运输车辆场坪的面板厚度均达到5 0 c m 以上。在有关 水泥混凝土场坪的设计与旖工建设中，由于没有合适的计算方法，通常仍沿用传统的 弹性地基上薄板分析方法进行结构计算，同时采用加大板厚的办法加以解决，以保证 工程的使用寿命，其计算结果的误差可想而知，因而有可能造成巨大的浪费。如果场 坪板厚选的太薄，则会导致场坪使用寿命大大缩短，甚至造成重大事故，延误大型发 射任务或导致交通堵塞，政治上和经济上的影响都很大。因此，发射场坪、机场跑道、 港口场坪、集装箱货场和土木工程大型地基板等大型工程问题，均需要采用弹性地基 上厚板理论进行分析计算。然而由于厚板理论中的控制方程和边界条件比较复杂，其 力学和数学处理上均存在较大困难，即使用数值方法也是如此。弹性地基上的矩形厚 板过去曾经有学者研究过，但是由于其控制方程比较复杂，只是对于某些特殊边界条 件才能得出精确解。 近年来，黄义教授在这方面的研究是卓有成就的。特别是在黄义先生等人的“广义滑支 边界”概念的引入后，应用叠加法解决了四边自由弹性地基上矩形厚板的问题。本文是在黄 义教授精心指导下，另辟蹊径，研究旨在找出一种适用于各种边界条件的双参数弹性地基上 中厚板弯曲问题的有效解法，这就是板与地基相互作用的变分解法。这种解法行之有效地解 西安建筑科技大学硕士学位论文 决了双参数弹性遗基上四边自由矩形中厚板的弯曲问题。 1 2 弹性板的概述和发展简史 任何一个结构及它的一部分，实际上都是一个三维体。但是在分析它们的应力和变形时， 并不是经常用弹性力学三维理论，因为，如果这样会带来数学处理上的匿难，甚至在很多情况 下不能求解，对于结构上的板来说也是如此。 工程中存在大量特殊的三维结构，它的一个方向尺寸( 厚度) 远远小于其他两个方向的 尺寸，而且是无曲率的，平直的，这种特殊的三维结构就称作为“板”或者“平板”。本论文研 究的是厚度为常量的等厚度板。 同板的上下表面等距离的点所构成的平面称为板的“中平面”或者简称力“中面”。在 垂直于中平面方向的荷载作用下，板发生弯曲变形，此时，中平面变成一个曲面，称为板的“弹 性曲面”。中平面同弹性曲面之间，在垂直中平面方向上的距离，称为板的挠度。 按板的结构特点( 几何尺寸，受力情况等) ，板可以分为厚板、薄板、薄膜等。这实际上 是力学特性上的分类而不是几何上的分类。刚性薄板的力学特征，就是在横向荷载的作用下。 发生弯曲变形，荠主要以弯蓝变形来抵抗外加的横岛苟载。薄膜则是以沿厚度均匀分布的张 力来平衡外加的横向荷载。而柔性板( 大挠度薄板或非线性薄板) 的工作状态，处于刚性板 和薄膜之间，它是以内力矩，横向剪力以及膜内力来承担外加荷载。严格的讲，厚板必须用弹 性力学的空间一般理论来分析，但是这是相当困难的，不过在薄板理论的基础上，放弃某些假 设，还有所谓的“中厚板理论”板的精化理论。这个理论也是本论文所应用的理论。 这里简要回顾一下弹性板理论的发展过程。 作用在结构上的荷载，可以区分为静荷载及动荷载。在建立基本理论时j 一般总是首先从 静荷载作用下的结构开始研究，然后再进一步考虑动荷载的影响。但是关于板的第一次分析 和试验研究，却是从板的自由振动开始的。弹性板理论是属于应用弹性力学的范畴。弹性理 论的建立，始于法国工程师、桥梁专家纳维尔( n a v i e r ，l m h 1 7 8 5 年1 8 3 6 年) 在1 8 2 1 给 出的弹性俸平筏帮运动微分方程。僵是，关于弹性板鲍探索，却开始于1 7 6 6 年，著名科学家欧 拉( e u l e r ，l 1 7 0 7 年1 7 8 3 年) 对薄膜振动的研究。他在描述一个薄膜的振动时，把薄膜当 作由两组互相正交，且拉紧的线条组成，从而解决了矩形和圆形薄膜的自由振动问题。他建立 了如下的数学表达式： 娑：一娑+ b ：- - ”；- ( 1 1 ) 掰斑 砂一 式中w 为挠度，a 、b 为两个常量。欧拉的学生杰克伯努利( j a c q u e sb e r n o n l lj 。1 7 5 9 2 ；型丝墅丝垒堡些型鎏一 年1 7 8 9 年，是著名的伯努利科学家家族的成员之一) ，将欧拉的比拟用于板的弯曲问题给 出方程 刚+ = a u z ， 认为横向荷载强度q 是由x ，y 方向的两组梁来分担。x 方向梁承担e i ：等= 吼，y 方向 梁承担e i 号芳2 9 ，。在两梁的交点处有相同的挠度，l i q ，+ g 一2 g 。伯努利本人也认为这是 近似的，例如不取正交的梁，则结果不同。同时还可以看出，两梁截面的交线在变形后将分裂 为两条线，这是由于在板的弯曲问题中，伯努利的理论仍采用梁理论中的平面假设所致。实 际上，在该理论中忽略了扭转所承担的一部分荷载，相当于在微分方程中未考虑板的抗扭刚 度。 德国物理学家启拉第( e h l a d n i ，e f f ) 于1 8 0 8 年秋天，在进行板的振动试验时，发现 了各种自由振动的振型，这引起了对板理论的极大关注。1 8 0 9 年他应拿破仑( n a p o l e o n ) 和法国科学院的邀请，到法国科学院做这个实验的表演，拿破仑亲自光临，并在他的建议 下，法国科学院提出资金为3 0 0 0 法郎的悬赏题目“探求板振动的数学理论”，并用实验验 证，1 8 1 1 年i 0 月为应征截止期。许多科学家如拉格朗日( l a g r a n g e ，j l 1 7 3 6 年1 8 1 3 年) 、勒让德( l e g e n d r e ) 、富里叶( f o r i e r ，j ) 、纳维尔、毕奥( b i o t ) 、拉普拉斯( l a p l a c e ) 、 泊松( p o i s s o n ，s d ) 都曾经试图求解这个问题。但届时只有一人应征，她就是法国数学 家索菲诺曼( s o p h i eg e r m a i n ，1 7 7 6 年1 8 3 1 年) 她是在数学力学领域中历史上两位 著名的女科学家之一。她是位富商的女儿，曾得到拉格朗日的爱护和支持。她从弯曲变性 能的积分式出发，用变分原理得到挠度的微分方程。索菲诺曼设板的弯曲变性能的积 分式为： a j ( 去+ 专2 出 ns ， 式中n ，岛为弹性曲面的主曲率半径。但是在计算变性能的积分表达式时，由于忽略了 板中面的翘曲所做的功，而发生了错误，未得到正确的微分方程。然而审查人对她的工作并 不满意，曾是审查人之一的拉格朗日修正了她的工作，并加进了遗漏项，得到一个较满意的 方程： t c 拿+ z 寿+ 窘，+ 窘= 。 n t ， 西安建筑科技大学硕士学位论文 这就是通常所说的索菲诺曼拉格朗日方程。 弹性理论奠基人纳维尔给出了第一个令人满意的，完整的薄板弯曲理论，列出了板弯曲 变形能的正确公式。1 8 2 9 年泊松进一步改进了板的理论，得到微分方程： d ( 2 + 2 婴+ 罂) ：g ( 1 5 ) 缸 缸砂咖” 泊松还讨论了板的边界条件。x , 捅y 3 a , n 固定边，他给出的边界条件方程与现在通用的边 界条件是完全一样的。但对沿着有致分布力的边界情况他要求有三个边界条件( 剪力、扭 矩和弯矩) 。由于板的控制微分方程是四阶的，而个边界上有三7 一友界条件与此是矛盾的。从 三个边界条件减为两个边界条件是由克希霍夫完成的，他是著名科学家牛曼的学生。克希霍夫 于1 8 5 0 年发表了薄板理论的重要论文，提出了薄板的两个基本假设，确立了板弯理论的基础。 他纠正了泊松在边界条件上的矛盾，指出在板的每一边界上只存在两个边界条件。他被公认为 是考虑弯曲和拉压联合作用的板理论的创始人。开尔文对有分布力作用的的边界上的边界条件 由三个减为两个做了物理上的解释。他应用圣文南原理认为沿板的边缘可以把扭矩转换为静 力相当的等效剪力，这样就使得在边界上只有总剪力和弯矩这两个边界条件。 当扳有较大挠度时，必须考虑中平面的拉伸，这就是非线性板问题。冯卡曼于1 9 0 9 年 最终推导出了大挠度板理论的控制方程组，这便是著名的卡曼方程组，至今仍被广泛的应用。 在线性理论中所建立的控制微分方程，根据克希霍夫忽略了横向剪切对挠度的影响，因 而即使在板很薄时，它也是近似的理论。随着板厚度的增加，剪切的影响逐渐加大，利用板弯 理论将带来逐渐加大的误差。为此很多科学家致力于建立更为精确的板理论板的“精化 理论”或称为“中厚板理论”，即考虑剪切的影响。在不同的中厚板理论中，以赖斯纳在1 9 4 5 年所建立的理论应用最为广泛。 1 3 关于弹性地基模式的若干评述 结构基础的分析，在很大程度上取决于地基反力模型的选择。由于影响土体力学性能的 因素很多，试图精确地描述其力学性能在目前几乎是不可能的，只能根据其主要的力学性能 加以简化。自从w i n k l e r 在1 8 6 7 年首次提出弹性地基抗力的一种计算模型至今已有一百多 年的历史。一百多年来先后提出了各种各样的地基抗力计算模型，归纳起来主要可以分为三 大类。 1 3 1 w i n k i e r 地基模型 以1 i l i n k l e r ( 1 8 6 7 ) 模型最为简单。这种模型认为土介质是由一系列各自独立的、相距 4 西安建筑科技大学硕士学位论文 很近的线性弹簧元件组成，其弹簧的特性常数为k ( 也称为地基抗力系数) ，于是假定地基抗 力p ( x ，y ) 与地基表层位移w ( x ，y ) 之间的关系如下： 这种模型的一个重要特征是地基位移仅限制在荷载作用区域，而该区域以外的任何点的 位移为零。同时还可以看到无论地基承受刚性荷载冲击或者均布荷载，在受荷区域内这两种 荷载所引起的位移相等。 这显然与地基受荷载时的实际变形状态不相符合。 实践表明w i n k l e r 地基模型对非常薄的地基层才近似适用，对于较厚的地基层，w i n k l e r 地基模型将不能反映地基的实际变形状态。计算表明：如果板的平面几何尺寸一定，当h h _ 1 5 时，双参数地基模型的计算结果与w i n k l e r 地基模型计算结果基本相等。这说明在这个比 值范围内，可以用w i n k l e r 地基模型计算板的位移和内力，而不会有很大的误差。 1 3 。2 弹性半空间地基模型( 弹陛连续介质模型) 这种模型假定土的连续性性态，土o r 质被看成弹性半空间体。般认为用连续介质描述 土介质是比较精确的，但是对于土介质与弹性体的相互作用问题分析，不像w i n k l e r 模型那 样简单，通常要求解积分方程或积分微分方程，给理论分析和工程应用带来了难以解决的数 学问题。这种模型是1 8 8 5 年在b o u s s i n e s q 倡导下提出的。 上述两种模型可看作是土介质性态描述两个较为极端的情况，一方面用完全不连续的 w i n k l e r 模型表示，另一方面又用完全连续介质表示。为了克服以上两种计算模型的缺陷， 理论研究和实验情况表明有必要在介于这两种模型之间提供一种新的计算模型，这就是双参 数弹性地基模型。 1 3 3 双参数地基模型 双参数弹性地基模型是种介于以上两种地基模型之间的地基模型，它用两个独立的参 数分别表示土体的抗压和抗剪性能，既克服了w i n k l e r 地基模型的固有缺陷，数学处理上又 较弹性连续介质地基模型简单，而且经适当地选取参数可以很恰当地描述地基的力学性能。 所以，自双参数弹性地基模型提出以来，就受到了国内外研究者的重视。下面简要的介绍一 下双参数弹性地基模型的概念，双参数弹性地基板的研究现状及其发展趋势，以促进双参数 弹性地基板理论的进一步发展，推动这种地基模型的工程应用。 双参数弹性地基模型是经过两个不同的途径发展起来的。其一是在w i n k l e r 地基模型中 引入能传递剪力的假想介质以消除其不连续性。f i l o n e n k o - b o r o d i c h 假想在w i n k l e r 地基表 西安建筑科技大学硕士学位论文 面有一张力为常数t 的弹性薄膜，以使w i n k l e r 地基的挠度获得连续性。由此，得到地基表 面的挠度与荷载的关系： m ( x ，y ) 一t v 2 w ( x ，y ) = q ( x ，y ) ( 1 7 ) 图1 1 z ) 帕斯卡纳克假设w i n k l e r 地基表面有一层压缩，剪切刚度为g 。的剪切层，得出地基表 面的挠度与荷载关系为： k w ( x ，_ y ) 一g ，v 2 w ( x ，y ) = q ( x ，y ) ( 1 8 ) 符拉索夫从弹性力学空间问题的基本方程出发，对于平面尺寸为无限大，竖向为有限或 无限深度的弹性层，假设其仅发生竖向位移，而竖向位移沿竖向按某一设定的函数关系变化。 通过虚位移原理得到： k w ( x , y ) 一2 t v 2 w ( x ，力= g ( x ，y )( 1 9 ) 式中i ，2 r 与地基的弹性模量e ，泊松比，地基深度h 以及地基竖向位移沿竖向的变化 函数 ( z ) 有关： 七= 1 - a 2 胁( z 姚 ( 1 l o a ) 。；塑鎏塑璧垡丝篁垒垡二一；j ；# i i i i j i i i j ；_ i ；j ；# i i i i _ ；i i # ；# j i i _ 。一 2 ，= 志m 抽 n 蛐 2 ( 1 + 肋m 。 很明显，在式( 1 ，7 ) 、 ( 1 8 ) 和( 1 9 ) 中，如果把表征地基抵抗剪力的参数用相同 的符号来表示，它们是完全相同的。由于符拉索夫双参数弹性地基模型的两个参数具有较明 确的物理意义，其理论体系较为严密，所以得到了研究者的特别关注，它在各种双参数地基 模型中具有很重要的地位。本论文所述即针对符拉索夫双参数弹性地基模型。 1 4 中厚板的理论基础 大家对于在克希霍夫假设下所建立的小挠度薄板理论已经很熟悉了，包括它的控制微分 方程，各种关系式以及各种求解方法。在板的小挠度线形理论中，它最后归结为在给定边界 条件下，求解控制微分方程( 1 1 1 ) 。在通常情况下，对薄板来讲： d v 2 v 2 w = q ( 1 1 1 ) 是足够精确的。但是即使对很薄的板，严格地讲方程( 1 1 1 ) 也是近似的。它的近似性 是由于采用了克希霍夫假设，在进行变形几何分析时，忽略了横向剪切变形( y 。，。) 对板挠 曲的影响。但在建立平衡方程时，却考虑了横向剪力( 级，q 。) 。这意味着z 方向板的剪切模 量g ，是无穷大。这样在处理边界条件时，才能将截面上由水平剪应力所形成的扭矩，根据 静力等效原则，化为静力相当的两个竖向力，从而将三个力的边界条件化为两个。如果从数 学观点来看，方程( 1 1 1 ) 为四阶偏微分方程，边乔上每点只自彦有两个边界条件，方程才有 定解。这同要满足边界上每点三个力的边界条件是矛盾的。于是可见，在采用克希霍夫假设 后，虽然对板的分析大大的简化了，但是严格地讲，它与真实情况不完全相符。尤其随着板 厚度的增加，忽略z 方向的剪切变形，将产生越来越大的误差。这同材料力学梁理论中，对 普通梁( 细长粱) 与高梁的分析是相似的。 为了探讨横向剪切变形对板挠曲的影响，2 0 世纪三四十年代以来，很多学者进行过研究。 提出各种板的精化理论，以对板的小挠度理论进行修正。这些精化理论常成为中厚板理论， 它们并非严格的三维弹性理论。这里首先介绍瑞斯纳的理论，它也是应用较为广泛的一种中 厚板理论。 从板中截取一微元体h x d z x 咖，见图1 1 。板的厚度为h ，板面作用有任意分布的横向 荷载g ( x ，y ) 。在微元体的侧面上有六个应力分量，它们是盯，r 。，f 。及盯，f 。，f 。，见图 1 2 a b 。这六个应力分量在各自微面上形成六个内力素( 板截面单位宽度上的内力) 。而应 力分量盯，0 ，r 。d ，f 。，f ，同内力素( m 。，m ，肘m 。，g ，q ，) 之间的关系为式 ( 1 i z a b c d e ) 所示： 西安建筑科技大学硕士学位论文 y 南i2出i2 q 2 i 。k 出 岛2 i 。r ，y d z ，2 1 m ，2 【。吒z d zm ，。i ：； 2 0 y z d z m ，= 2 2 z d z t y z 图1 2 a b ( 1 1 2 a b c d e ) 瑞斯纳理论仍认为应力分量仃，盯，f ，= r ，在中面上为零，且沿板厚度方向( z 方向) 按直线分布。横向剪应力f 。，k 沿板的厚度按二次抛物线分布。而z 方向正应力盯：，由弹 性理论平衡微分方程第三式积分求得。这些应力分量同内力素及外荷载g ( z ，y ) 的关系，见式 ( 1 1 3 a b c d e f ) 所述。这同薄板的小挠度理论是相同的。 。一1 2 m ， 吒2 产“ 1 2 m ， 。，2 1 产“ 1 2 m 。v 2 1 产“ 铲兰竽幺 f n2 i i 广一敛 铲詈气2 9 r f 2 i j _ - 一g y 铲_ 2 9 与1 一尹z2 ( t + 在对板进行变形几何分析时，将不再忽略横向剪切变形。设板内任意一点的应变分量为 s ：，占j ，s ：，y 二，二，而三个位移分量为“，v ，w 1 ( 它们的值与板的厚度 相比较，认为是很 小的) 。而应变分量与位移分量之间在如下的几何方程： 8 西安建筑科技大学硕士学位论文 - d “ s j2 _ o x -珊 q 2 百 一 咖 s = 岔 y 二= 冬+ 豢，二= 等+ 芒y ：，= 芸+ 罢 ( 1 1 4 a b cd e f ) 2 i + 百y “2 西+ i 2 百+ 瓦 1 6 七o _ 。_ 现在引入“平均位移”的概念。令w 为沿板厚度的挠度平均值，纯，吼分别为x 等于常 数j k y 等于常数两个横截面的转角平均值。下面利用能量的观点来定义平均位移，认为任一 横截面的内力素及其相应的平均位移w 敢，吼上所做的功，等于同一横截面上的应力分量 在相应的实际位移分量 ，v ，w 上所做的功。也就是说存在如下之等式关系： c 2 2 仃x u d z = m ，败( ：v 。如= m 。吩 2o y v d z = m y ( o ， 2 ：f ，“出= m ，妒， e ：k w 。d z = q w2 ：w 。d z = q w 将应力分量同内力素的关系式( 1 1 3 a b c d e ) 代入( 1 1 5 a b c d e f ) ，这样就可以 得到平均位移与实际位移之间的关系式： 而物理方程 w ：三r ”w 1 1 一f 2 z ) z 坳2 h 2 - h l z 、h 7。一 妒：昙f “。三出 依2 矿l ，z “i 出 p 。：昙r ，三如 吼2 矿l ，z ”i 出 。豢：扣，叫叩 t 2 五_ 2 i 【盯x 一”( 盯，+ 盯：) 加却1 2 i + 虿2 西 j ：羔：盯，叫】 ，2 j f 2 i 【盯，一”( 盯z + 仃= ) 】 a “a w1 2 i + i 3 西k 曲置建筑科技大学坝士学位论文 a “卸1 y ”2 百+ n - 2 i f 一 ( 1 1 7 a b c d e ) 还有一个j 方程= 塑0 z = 吉h 叫矿) ，在这里放弃不用纯式( 1 1 7 a b c d e ) 的t ，s j ，y 三式中，解出吒，q ，并将( 1 1 3 f ) 代入，得到用实际位移表示的应力公式，它 们是： e ，、 ” 吒2 万( o + b ) + 西吒 2 专( 芸+ v 争而3 v ql _ _ 2 百2 z + i 1 ( 2 z 3 ( 1 1 8 a ) e ，、 ” 仃，2 f 芦【s ，+ 峨) + 丙口： 2 专( 苦+ v 争而3 1 , 1 l _ 2 一百2 z + j 1 钟2 z 铲丽et 万0 u + 参 ( 1 1 8 b ) ( 1 1 8 c ) 将瓦o l _ 1 8 a b c ) 代八( 1 1 2 a - b c d e ) ，可以得到以平均位移表示的内力公式，注 意利用到式( 1 1 6 a b c ) ： m z = 吒砘= 1 - v l 2 土。2t 瓦o u + v - ) z d z 一藉苡唔一鲁+ ；( 警) 3 】娩 = d 【警w 等+ 百6 v ( 1 + v ) g 】 妒d 詈w 等+ 百6 v ( 1 + v ) 碍】 m ，= 掣( 等+ 等) ( 1 1 9 a b - c ) z 0 v出 。7 将式( 1 - 1 3 & b - c d e - f ) 5 u 2 _ r 。t y z 代入式( i 1 7 a b c d e ) 之，二，y ：中，两端各乘 以云【1 一( 鲁) 2 】出，在z = 一軎到+ 鲁之间进行积分 嘉c 豢+ 等卜c 2 忙= 罟c 刍2e 2 2 旷每) 2 】：出 分析式中的每一项 1 0 一至璧墅鎏垄堡兰丝窒乙一；i ；j i _ i ；j ；i ；i # i ；口_ ；i i j ；一 五3 f , 2 ：a 缸u - 1 一哮) 2 】出；云鼓鲁扯- 一( 鲁) 2 】卜一三2 h * r h ，z k 五百2 z 一2 严_ 专鼬h d z 吨 去e ：警【- 一( 鲁门出= 昙e ：w 面3 【，一( 争2 忙 ：i a w 型eq 。去4 h t a l 2 一( h 2 出= 坠5 e 如h 。 苏 。 2 。、 所以最终得到 妒，= 一面o w + 了1 2 1 1 + 矿v 坎- 妒，= 一面a w + 了1 2 百1 + v 妒，2 一面+ 了1 f 将式( 1 2 0 a b ) 代入式( 1 1 9 a b c ) ，注意利用平衡方程警+ ! 争= 一日( 毛) ，) ，则 有 坂= 咧睾+ 等，+ 等警一等罢 m y = - d ( 争2 t m + v + 譬等一等茜 m v = - d ”v ，舄+ 等c 等+ 争 ( l2 0 c d e ) 由上式可见，弯矩和扭矩不但与平均挠度有关，而且与横向剪力有关，与荷载有亘援 显式关系。如果板很薄，厚度厅趋于零，则上述关系式与板的小挠度理论中的公式完全相 同。 为满足平衡黼籼2 0 a b ) 代入警+ 等观和掣o x + 警o y 地中，并考m洲 虑孥+ 孥：一g ( 。，y ) 可得： q 一等v 2 幺- 。昙( v 2 呐一而h 2 面o q 幺一篙v 2 9 = 一。昙c v2 奶一最岛塞 ； ； 一 塑窒壅篁坠茎奎兰堡圭兰堡；篁奎。 ； 将( 1 2 0 c d ) 代入擎+ ! 旦：一g ( x ，y ) 可得仅含平均挠度的一个方程： 饿 a y d v 2 v 2 w ：g 一篓等v 2 9 ( 1 2 2 ) 如果是很薄的板，认为厚度趋近于零，则方程( 1 2 2 ) 就是小挠度板的控制方程。方程 ( 1 2 2 ) 为四阶偏微分方程，它的解还应当满足板边界上每点的两个边界条件。但是，实际 上问题还没有解决，因为求出平均挠度后，还不能把内力素求出来。因此还必须从方程组 ( 1 2 1 a b ) 中求出横向剪力。 瑞斯纳理论所给的控制方程为( 其中甲( x ，y ) 为应力函数) ： 。v 2 v 2 w ( x ，y ) = 如，) - h l u 22 卜- p vv 2 q ( x ，) v 2 、壬，( 置y ) 一百1 0 甲g ，力：o n 边界条件可以表示为： ( 1 ) 固定边界，有万= o ，瓦= o ，弼= 0 ( 1 2 3 a b ) ( 2 ) 简支边界，有万= o ，m n = o ，甄，= 0 ( 3 ) 自由边界，有矾= o ，瓦，= o ，西= 0 ( 1 2 3 a b c ) 以上简要介绍了一下瑞斯纳中厚板理论，自瑞斯纳提出上述考虑横向剪切变形的平板弯 曲理论以后，许多学者相继地提出各种精化理论。按照各个理论所作假设的不同大致可以分 为两类。明特林和亨奇继续沿用直线假设，明确假定板中各点的面内位移“，v 沿厚度方向按 线形变化，同时假设挠度w 与z 无关。因此可以表示为“= z 织( x ，y ) ，v = z 妒。( x ，y ) ， w = w ( x ，y ) 。 式中n ，伊，分别是x 等于常数和y 等于常数两截面的转角。 另类认为板中面的法线变形后不再保持直线，克隆，符拉索夫和莱文逊为代表。本论 文中主要参考了明特林的理论并且对其理论进行了修正，进行了误差分析。 1 5 弹性体的形变势能 弹性力学问题的变分法，也称为能量法，是和弹性体的形变势能密切相关的。因此在我 们用变分法推导双参数弹性地基上四边自由矩形中厚板的控制方程和边界条件以前，我们有 必要熟悉弹性地基板的形变势能的表示方法。 按照材料力学中的论证，设弹性体只在某一个方向，例如x 方向，受有均匀的正应力盯， 西安建筑科技大学硕士学位论文 相应的正应变为s ，则其每单位体积中具有的形变势能，即所谓形变势能密度或比能，为 盯，s 。2 ( 这里假定，弹性体在受力作用的过程中始终保持平衡，因而没有动能的改变，而且 弹性体的非机械能也没有变化，于是，外力势能的减少完全转化为形变势能) 。同样，设弹 性体只在某两个互相垂直的方向例如x 和y 方向，受有均匀的剪应力f 。，相应的剪应变为， 则其比能为f ，y ，2 。 设弹性体受有全部六个应力分量，则形变势能的计算似乎很复杂，因为这时的每一个应 力分量会引起与另一个应力分量相应的形变分量，好象形变势能将随着弹性体受力的次序不 同而不同。但是，根据能量守恒定理，形变势能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确 定于应力及形变的最终大小( 要不然，我们按照一种次序对弹性体加载，而按照另一种次 序卸载，就将在一个循环中使弹性体增加或者减少一定的能量，而这是完全不可能的) 。因 此，我们假定六个应力分量和六个形变分量全都按同样的比例增加到最后的大小，这样就可 以很简单地计算出相应于每一个应力分量的比能，然后把它们相勤，从而得出弹性体的全 部比能： 1 u l = ( 盯，占，+ 盯y s y + 仃：占：+ 7 0 ，叫+ f 尸y ”+ f 口，) ( 1 2 4 ) 在一般的情况下，势l 生体受力并不均匀，各个应力分量和形变分量一般都是位置坐标的 函数，因而比能一般也是位置坐标的豳数。为了得出整个弹性体的形变势能u ，必须把比能 u 、在整个弹性体的体积内进行积分，也就是 u = u l d x d y d z ( 1 2 5 ) 将式( 1 2 4 ) 代入，即得 u = 三肿 坞矿掣；亿，。) d x d y d z ( 1 2 6 ) 形变势能可以只用应力分量来表示。为此，须利用物理方程( 1 2 7 ) q = 寺q 一( c r y + o ) 占，= i 1 眈一( q + 吒) 】 占：= 去p ：一( 盯，+ 】 k = 半k 西安建筑科技大学硕士学位论文 将( 1 2 7 ) 代入式( 1 2 4 ) 中简化可得 u 。= 去：+ 盯，2 + a ；) 一2 爿( o y o z + o z o x + o x o y ) + 2 ( 1 + 坝r 刍+ r 三+ r 绷 并由式( 1 2 5 ) 可得 ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) u = 去m ( 仃：+ q 2 + 盯；) - 2 a ( q 吒+ 吒吒+ q q ) + 2 ( 1 + 袱r 三+ r 三+ r 刍) 】d x d y d ： 形变势能也可以只用形变分量来表示为此。我们须剥用物理方程 令尚铂小寿 则：吒：旦( 旦e + ) 1 则：仃，= 垫一( 也一e + 1 + - t o1 一o “ 旷去c 尚， 盱击c 尚：， 2 丽g o r 。2 而e o y 。 r ，。而e o ， ( 1 2 9 ) ( 1 3 0 a b c d e f ) 其中8 = s ，+ s y + s ：将式( 1 3 0 a b c d e f ) 代入式( 1 2 4 ) ，简化以后得 最“( 29 2 ) + i 1 ( y 三+ y 三+ ，抽 ( 1 3 1 ) 1 4 半半 西安建筑科技大学硕士学位论文 u = i 而e oj 彘e 2 小，2 钙2 + s i 1 ( y 三+ ，三+ 枷出舭( 1 3 2 ) 形变势能还可以用位移分量来表示为此只须将几何方程( 2 2 5 ) 代入( 1 3 2 ) d 村 p 一= 戚 o v q 2 面 o w s ：2 _ o v 却o u 却a “却 2 瓦+ 万，“2 瓦+ 面2 万+ 面 这样就得出 u 2 丽j 【彘毫+ 万o v + o 出w ) 2 + c 2 + c 争2 + c 警2 + 三当+ 参2 ( 1 3 3 ) 毛c 罢+ 芸，2 + 圭+ 面o u ，2 d x d y d z c 。t ， 渐肿 灿 妙。堪 训毛9 ) = 啊即庐 0 f 矗射一蹦箍 攀峨鲫n 蛾 ”【- 啦f 鼽耵= ，m 叛胤“ 啦f y j = 咏f f 鲫“ 、 械5 、惝咚 ， 7 - - “ n 而，。旷切： 。霸二+ 锄函 一 ， 。爹i 图1 3 a b c 1 5 西安建筑科技大学硕士学位论文 为了考虑厚板外双参数地基对厚板的作用，符拉索夫假定如图所示四边自由矩形厚板以 外地基的沉降可以用板边和板角的挠度来表示例如 x 4 ，l y i b ：万= w ( a ，y ) e 一。” c y 6 ，i x l 墨口：万= w ( x ，6 ) 日一。4 x 口，y b ：面= w ( a ，b ) e 一“扯+ 一6 地基中总的内力功的一般表达式为 d 图1 4 一廿r ( 窘+ 删e 蚴+ 2 砌睁。哟卅2 口 网那川+ 2 【黝w ( 6 ，y 胤岫肌吉掣硝脚】 + 2 勘，w ( 础聃棚出+ 丢e 堡篆冶( 圳川+ 4 【一吾呻一硝棚 一嘲窘+ 争+ 枷丽蚴 一z 渺，斗+ ：刊一一言害k 劂朋纠 一z 渺r 斗+ z c a w 卜丢窘哟柳蹦叫t 呈叫盛聃甜， 此式可以简写为 一嘲窘+ 争+ 嘶蚴一2 鳞吣肭一2 略贴，蚺 一4 r 9 霹( 6 ，日) 舯如观，卦一刊。一言窘k 。 功茅卜心刮旷丢窘j ， 肚三叫篙 西安建筑科技大学硕士学位论文 1 7 极小势能原理 fdj 朋中虚力均最按芷幢示出 设有一弹性体，在定的外力作用下处于平衡状态。命“，v ，| 为该弹性体中实际存在的 位移分量，它们满足用位移分量表示的平衡微分方程，并满足位移边界条件以及用位移分量 表示的应力边界条件。现在，假想这些位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变，即 所谓虚位移或位移变分面，西，咖