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相依风险模型下的破产概率 摘要 在风险理论中，破产概率是衡超偿付能力的指标之一，因此破产概率在精算科学 研究中有其重要意义保险中有关风险模型的破产概率问题已经被广泛地研究，在大 量研究风险模型的文献中，总是假没不同类型的保险、l k 务之间是相互独立的，而实际 上，由于可能引发风险、【k 务的共同因素存在，不| 面险种之间可能具有某种相依陛，因 此和经典风险模型相比，我f j 去研究带利率的相依风险模氆娘得更具有现实意义 c o s s e t t e 和m a r c e a u ( 2 0 0 0 ) 1 91 提f f 共同冲击风险模型，k & i l lc y u c n ( 2 0 0 2 ) l 驯 在他们的基础上研究了共同冲击过程足e r l a n g 过程的破产概率，本文第三章考虑了 带利率隋况卜共同冲击过程是e r l a n g 过程的风险模氆，并得到这种情况卜破产概 率满足的积分微分方程此外另一类刻画相依滗的方法是k a mc y u e n 和王过京 ( 2 0 0 2 ) i 2 1 j 提出的稀疏相依结构多险种风险模璎本文第四章在k a mc y u e n 和王 过京研究的基础上考虑了一j 类带利率的稀疏相依结构多险种风险模型，并得到这种 情况下破产概率满足的积分微分方程 关键词：相依陡；共同冲击；稀疏相依 相依风险模型下的破产概率 a b s t r a c t o n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti n d e x e st ow e i g ht h eb u s i n e s ss o l v e n c yi st h er u i n p r o b a b i l i t yi nr i s kt h e o r ys ot h er u i np r o b a b i l i t yp l a y sa i li m p o r t a n tr o l ei na c t u a r i a l s c i e n c e r u i np r o b a b i l i t yo ft h ei n s u r a n c er i s km o d e lh a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e d i n m o s ta c t u a r i a ll i t e r a t u r er e l a t e dt or i s kt h e o i y ，t h e0 。s s u m p t i o no fi n d e p e n d e n c eb e t w e e n c l a s s e so fb u s i n e s si na l li n s u r a n c eb o o ko fb u s i n e s si sa l w a y sm a d e i np r a c t i c e ，h o w e v e r ， t h e r ea r ec e r t a i nc o r r l e l a t i o nb e t w e e nc l a s s e so fb u s i n 妫sb e c a u s ec o l n l t l o nf a c t o rw h i c h c a u s er i s le x i s t s ，t h u sc o m p a r i n gw i t ht h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，i ti sm o r er e a l i s t i ct o c o n s i d e rd e p e n d e n tr i s lm o d e l sw i t hr a t e so fi n t e r e s t c o s s e t t ea n dm a r c e a u ( 2 0 0 0 ) 1 引p r o p o s e t i l ec o m n l o ns h o c kr i s km o d e l o nt h e b a s i so ft h e i rw o r k k a mc y u e n ( 2 0 0 2 ) 2 0 s t u d i e dt h er u i np r o b a b i l i t yw h e nt h ec o f f l i n o l ls h o c kp r o c 硝sw a se r l a n gp r o c e s s i nc o n s i d e r a t i o no fi n t e r e s tr a t e jt h ei n t e r g o d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fi n f i n i t er u i np r o b a b i l i t yo ns u c ho c c a s i o ni sc o n c l u d e di nc h a p t e r 1 1 1 b e s i d e s ，a n o t h e rw a yt od e s c r i b et h er i s km o d e lo fc o r r c l a t e ta g g r e g a t ec l a i m si s t h et h i n n i n g - d e p e n d e n c es t r u c t u r ew h i c hw a sp r o p o s e db yk a mc y u e na n dw a n g g u o j i n g ( 2 0 0 2 ) 2 i nc h a p t e ri v w ec o n s i d e ram u l t i t y p e i n s u r a n c er i s km o d e lo ft h e t h i n n i n g d e p e n d e n c es t r u c t u r ew i t ht h er a t eo fi n t e r e s t a n dt h ei n t e r g o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o no fi n f i n i t er u i np r o b a b i l i t yo ns u c hc a s ei sc o n c l u d e d k e yw o r d s ：c o r r e l a t e da g g r e g a t ec l a i m s ；c o m m o ns h o c k ；t h i n n i n g d e p e n d e n c e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明 确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：蚺、i 专 悯年f 月1 0 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适 用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“4 ”) 作者签名：i 事1 专 刷磴名辩 日期：d 娴年f 月i 。日 日期：力唧年彳月1 1 日 j 相依风险模型下的破产概率 第一章引言 在保险、金融、证券投资以及风险管理等领域，风险理论作为经营者或决策者对 风险进行定量分析和预测的一般理论已被广泛应用，它借助于概率论和随机过程理 论构造数学模型，来描述各类风险业务过程保险业是经营风险的特殊金融服务行 业，它通过承保大量的同质风险，通过自身防灾、防损等管理活动，力求降低赔付 率，从l 酊获得预期的利润一个卓越的保险公司并不是通过提高保险费率、惜赔等 方法来增加利润的保险公司祁投保人为了在一定风险下获得最大收益或为保征1 定收益f 风险最小必然要对风险和收益进行选择p 耳此为了更科学的进行选择，就 要对风险过程进行多方面的具体研究，其吖r 风险理论中关于破产概率及其相关问题 的研究，已形成了一个重要领域一一破产理论 破产理沦足风险理论的核心内容，对它的研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b c r g 在19 0 3 年发表的博士论文，他的工作奠定了非寿险随机模型的基本结构形式，也奠 定了保险风险理论的苯础不过l u n d b e i g 的j 二作不符合现代数学的严格标准，它 的严格化足以h a r a l dc r a m e r ( 19 5 5 ) 为首的瑞典学派完成的h a r a l dc r a m e l 构 筑了非寿险数学模型的概率基础，深化了经典破产论的研究内容，使得风险理论成 为应用概率统计的一个非常活跃的分支在破产理论中，一个非常重：耍的问题是研 究破产概率，即保险公司的盈余：首次为负时的概率破产概率之所以是破产理论研 究的重点，是f 习为它是精算师的基础工具，是险种制定、保费计算、再保险策略、代 理人策略等工作的基础关于破产概率的研究，许多人针对保险公司运作中遇剑的 种种问题，通过对概率或统计模型进行修正，附加必要条件，得到种种从不同方面 进行完善的保险风险模碰，使得模型更接近保险公司的实际运作过程，这促使风险 模型的研究变得更加富有挑战性，所以不同类型风险模碰破产概率的研究在国际上 一直是人们关注的一个焦点 相依风险模型下的破产概率 1 9 7 1 年t 强l l e rw f 1 】在h a r a l dc r a m e r 研究的基础上运用更新论证的技巧，利 用理赔时问间隔和全概率公式得川了对应的生存概率满足的更新方程和破产概率的 l u n d b e r g 不等式，并利用了关键更新定理同样得到了破产概率的l u n d b e r g c r a m e r 近似表达式； g e r b e rt t u ( 19 7 3 ) 1 2 - 首次运用随机过程鞅力法，利用风险盈余过 程构造一鞅过程，运用鞅的可选停时定理得到了破产概率的显示表达式，也再次证 明了破产概率满足的l u n d b e r g 不等式，这些主要是从论证方法的角度出发对破产 概率进行研究此外g e r b e r 和s h i u 对经典风险模型破产问题作韪 的另一重要贡献 足引入了两个刻画保险公司破产情况的量u ( t l ) 和i ，( 丁) i 即破产前的瞬间盈余和 破产时的赤字此后关于破产时刻、破产前的瞬问盈余和破产时的赤字以及这三者 联合分布等问题也成为破产沦研究的重要方面，但是由于在大多数情况下这些分布 的解析解并不存在，要得到相应的表达式是相当困难的，所以人们开始转而用各种 数学工具来研究这些分布的概率性质在经典的风险模壤巾，当个别理赔额服从混 合指数分布和混合g a m m a 分布时，g e r b e r 等( 1 9 8 7 ，1 9 8 8 ) 3 t ，h 给出了破产概率和 破产前瞬时盈余分布函数的解析表达式；d i & s o n ( 1 9 9 2 ，19 9 6 ) 剀，【6 j 等讨论了破产前 瞬时盈余和破产时赤字的边际分布的解析性质，以及它f f j 之问的相互关系；在个别 理赔额完全离散的情形下，d i e , s o n ( 1 9 9 1 ，1 9 9 5 ) 7 ，【8 j 利用递归的方法女计算这些分 布进一步的发展是g e r b e r 和s h i u ( 1 9 9 7 ，1 9 9 8 ) 1 0 j 提f h 了折现罚金函数 m 。( “) = e 【e 一制1 ( 【，( 丁一) ，i u ( 7 ) i ) ，( 丁 。) l 己，( o ) = = 乱】 利用与破产时刻、破产前瞬时盈余和破产时赤字榴关的罚金函数的性质来研究它们 的联合分布，他们的结：果表明罚金折现甬数满足一类更新方程此后，i 。i n 和w i l l n i o t 通过对更新方程性质的研究，给f 了相应的矩满足的积分方程，从衙可以用递 归的方法来求出矩的近似值 在经典风险模型及随后对其进行的许多推广研究中有一个很重要的假设，那就 2 相依风险模型下的破产概率 是理赔到达过程是泊松过程，用泊松过程描述的主要原因一是泊松过程是一种既典 型又简单的，应用极其广泛的随机过程，许多社会管理活动中各种需要等待服务的 管理问题，经常可以用泊松分布或泊松过程描述，比如单位时间段内电话交换台接 到的呼l 1 次数，剑车站、码头和机场的旅客人数等等对于一个保险公司来说，客户 因发生损失上门要求按合同赔付的人数也类似于这种等待服务的现象，冈而在般 情况下会采用泊松过程来近似描述其次，由于当理赔到达过程是参数为a 的泊松 过程时，则理赔相继到达的时间| u j 隔必服从参数为a 的指数，因此我们在进行数学 计算的处理过程就变得相对简单些但足很多社会现象是很复杂的，仅讨论理赔到 达是泊松过程就过于单一了，且有时并不符合实际，因此，对理赔为非泊松到达的 风险模型的研究得到了极大的关注a m m e t e r ( 1 9 4 8 ) i 1 1 提 的c o x 风险模碰，即 将经典的风险模型中理赔到达过程由强度为常数的泊松过程，推广到强度为一随机 过程的双重随机过程； r e i nh a r d ( 】9 8 4 ) 1 2 】对强度过程为两状态的马氏过程，理赔 额服从指数分布的c o x 模碰做了充分的研究；o r a n d e l lj j ( 1 9 9 1 ) 1 a l 在其专著中也 重点讨论了更新过程模型和c o x 风险模型，不过研究的难度很大，而且研究的内容 也不火深入；s p a r r ea n d e r s o n ( 1 9 5 7 ) 着手研究了理赔为一般更新到达风险模酗的 终极破产概率；g e r b e r ( 1 9 8 3 ) 引入了复合的混合泊松风险过程，讨论这种情况下的 破产概率； o r a n d e l l 1 9 9 7 ) 1 4 1 较为细致的研究了复合的混合泊松风i 硷过程及破产 概率在理赔额分布分别是轻尾分布租重尾分布时的渐进隋形i 由于e r l a n g 过程比泊 松过程具有更多的适应| 生，日前有很多学者研究了理赔到达过程是e r l a n g 过程的风 险模型，d i c k s o n ，d c m 和c h r i s t i a ni t i p p ( 19 9 8 ，2 0 0 1 ) 1 5 】，| l6 1 对理赔到达过程 是e r a l a n g 过程的风险模璎进行了比较系统的研究，得到了关二于二破产概率的一些重 要结论 虽然人们从小同角度对经典风险模型进行了不同深度的研究和推广，但足在以 上的推j “模型中，为研究方便经常忽略很多因素，例如在模型的构建过程中忽略利率 3 相依风险模型下的破产概率 4 因素在现实的保险金融市场中，除了理赔到达的不确定性外，还存在另外一种非常 重要的风险那就是市场利率的风险，保险公司的大部分盈余来自于投资收入，所以在 模型中根本不考虑利率冈素是不太合理的，基于这种原因带常利率的风险模壤正日 益受到人们的关注，但足在有利率的风险模璎中，聚合理赔过程增量就不再具有甲稳 性，这就为研究带来了一定的难度，因此在很多情况下我们也只能是得到此关于破 产概率的基本性质s u n d t 和t e u g e l s ( 1 9 9 5 ，1 9 9 7 ) 1 1 7 j 1 8 1 研究了常利率下复合泊松 模型的终极破产概率，特别地，在个别理赔额服从指数分布的情形下，得到了终极破 产概率的鼹示解此外在许多模型的构建过程中经常考虑保险公司只经营一种风险 或者假设同时经营多种风险但是却假设不同类型的险种之问理赌发生或理赔到达过 程是相互独立的但实际 二，由于可能引发风险业务的共同因素存在，不同险种之间 某种风险理赔发生在一定条件下可能导致另一不同风险理赔的发生；又或者足不同 险种之间的理赔到达具有某种相依性，从而引发了对理赔相依风险模砸的研究其 中主要有两类常用的研究相傺陡风险模璎的建模方法，一类足在不同类型保险、j 眨务 的理赌剑达过程中加入个共同分量，这就是n - i 餮共同冲击风险模璎在m a r s h a l l 和o l k i n ( 1 9 6 7 ，1 9 8 8 ) 所构建的柄依关系的基础卜， c o s s e t ( ，e 和m a r c e a u ( 2 0 0 0 ) 1 9 j 提出了共同冲击风险模型，主要讨论离敞情形下理赔到达过程t l 加入共同冲击过程 的风险模型，其中对于共同冲击过程考虑了不同类型，例如泊松过程、负二项过程 等等由于e r l a n g 过程具有更广泛的适应性且日益引起人们的关注，本文第二章 在k a mc y u e n ( 2 0 0 2 ) 2 0 j 等研究的基础上考虑了带利率的、共同冲击过程是e 卜 a l a n g ( 2 ) 过程，内在因素导致的理赔过程足泊松过程的风险模型，并得到了这种情况 下终极破产概率满足的积分微分方程；另一类刻画理赔棉依风险的足k a mc y u e n 和王过京( 2 0 ( ) 2 ) | 21 j 提出的具有稀疏1 ：f l 依结构的风险模型，其中假没某一类险种的理 赔以一定概率导致对其他类型险种的理赔本文第四章在k a mc y u e n 和工过京 ( 2 0 0 2 ，2 0 0 3 ) 2 1 j 7 【2 2 】提出的具有稀疏相依结构风险模型的基础上考虑一类带利率的稀 相依风险模型下的破产概率 疏相依结构风险模型 本文是在许多学者研究基础上考虑带利率的相依风险模型的破产概率，对于经 典风险模型的破产概率我们很难获取它的精确表达式，现在我们在经典模型中不仅 增加了利率的因素而且还考虑了风险的相依陆使得问题变得更加复杂，计算也更加 繁琐，甚至很多问题必须掌握更深的理论知识才能解决，因此本文的研究也只能得到 这些问题中破产概率应满足的积分微分方程，但是由于求解非线性常微分方程( 组) 的解析解是比较潲难的，寄希望于通过数值方法代入相应的参数得到问题的数值解 5 相依风险模型下的破产概率 第二章预备知识 2 1 经典风险模型 经典风险模型主要研究保险、 ，的随机模型，保单持有者若遭遇损失可以根据 投保条款向保险人理赔，保险公司即按保险合同规定的保险责任赔付被保险人的损 失经典风险模型从动态角度出发，用一个简单的数学模型来描述保险人的财务状 况，即盈余随时问i 酊变化的过程聚合风险模型是将所有的保单视为一个整体，以每 次理赔为摹本对象来建模该模型中，理赔的到达次数用一个随机点过程来表示，由 保险人支付的每次个别理赔额表示为一类随机变蕈，保险人收取一- ；2 的保费以维持 公司正常运作，称保费收入与甲均理赔额的差值为“相对安全负荷”此外，通常还 假设保险公司有一定的初始准备金在不考虑利率、通货膨胀、运营费用和支付红 利等因素的前提下，保险公司的盈余可以划分为两部分；具有不确定性因素的理赔 作为负债部分，保费收入和初始准备金组成资产部分，当保险公司的盈余小于零的 时候，我们称之为“破产”，虽然此时保险公司可以通过追加资金来维持运营，也就 并不意味着保险公司即将倒闭，但是它能够作为保险公司财务预警系统的个重要 指标 经典风险模础是由l u n d b e r g 和c r a m e r 最初建立起来的，我们通常也称之为 c r a m e r i 。u n d b e r g 模型，其在保险风险理论巾具有 分重要的地位下面着重介绍 一下经典风险模型的构建过程 给定完备概率空问( q ，莎，p ) ，以下的随机变量均为该窄问e 的随机变量 下面给出经典风险模型的简单假定，其主要由f 面元素构成： ( 1 ) 理赔额变量 用随机变量x k 表示第k 次的理赌额，个别理赔额序列 x k y i ”是独立同分布 随机变量序列，其共同分市函数为f ( o ) ，且f ( o ) = 0 ，均值为弘 相依风险模型下的破产概率 7 f 2 ) 理赔到达时刻 用随机变量n 表示第k 次理赔发生的时刻，且满足0 正 死 札，即意味着每单位时i u l 内收 到的保费超过单位时问内所支付的理赔额的期望值，此时有正的相对安全负荷若 不作特别说明，约定相对安全负荷为正我f f j 主要讨论如l o 定义的破产概率问题 定义2 1 记l 一m i n ( t ：t20 且u ( t ) o ) 为破产时刻即首次出现盈余 为负值的时刻，称妒( 乱) 一，( 7 1 。) = p ( u ( ) 。h x 一 矽 一 幻 s 相依风险模型下的破产概率 8 在该式中定义的破产概率没有时间限制常称为终极破产概率在实际中由于保 险公司往往关注的是在某一确定时期内比如在5 年、1 0 年或2 0 年之内的经营状 况，数学上即考虑在有限时问间隔内的破产概率，记作： 妒( 扎，t ) = p ( u ( s ) 0 ，s s ( 0 ，t 1 ) 为方便起见，以( 扎) = 1 妒( “) 表示终极生存概率当理赔到达过程足齐次泊 松过程时，模型( 2 1 ) 和( 2 2 ) 构成经典的风险模型 上面定义的破产概率都足对连续时问而言的，实际中保险人可能仅仪在价固 定的时l 矗- j f , j 隔上( 如每年) 检验或被监管机构要求检验其偿付能力对应于这种情况， 需要定义离散时叫段上的破产概率同样的假设保险公司的初始准备金为u ，p 为每 一期闻保费收入，则盈余过程定义为 u ( n ) = 珏十s ( 仃) ( 2 4 ) 其中u ( n ) 表示在时刻n ( n 一0 ，l ，2 ) 的盈余， ( 2 5 ) x 表示期问盘的总理赔额，并且 义) p 是独立同分布随机变量，共同分布甬数 为f ( z ) ，且f 1 ( 0 ) ：_ 0 ，均值为p 由式( 2 4 ) ，( 2 5 ) 我们可以将盈余过程写成如下形 式： ( 礼) 一乱i 一( p x 1 ) + ( p x 2 ) + 十( p 一) ( 2 6 ) 此时破广：时刻定义为 丁= m i n n ：竹芝0 ，u ( n ) o 如果对于所有的佗一l ，2 有u ( n ) 0 ，则假设t 一。 一x 。蹦 瓦 。 一 缈 烹 叻 双 相依风险模型下的破产概率 9 相应令这段期问的破产概率为 妒( 乱，1 ，n ) 一p ( t n ) 同样的 咖( “，1 ，1 1 , ) = p ( u 1 0 ，u 2 0 ，己k 0 ) ：p ( w 1 钆+ p ，叭十w 2 札+ 2 p ，w l 一 + + 仇么乱一 即) 只要检验偿付能力的时间问隔充分小，用于描述破产概率的离散时问模型! 孑连续时 l q 模型具有相同的效果在计算上，也可以通过离散化途径来近似连续模型r 的破 产概率若在妒( 钆，1 ，咒) 中令佗一。c ，我们有妒( 乱) ：= = p ( t 0 ，h ( r ) 0 ， 则 咖h 1 一舰 ( 2 1 6 ) r 为满足方程 z ( s ) 一a 2 ，+ ( s ) ( 2 1 7 ) 的止根( 即为调节系数) ，其中，+ ( z ) = 。铲e - s 。e d b ( z ) ，z ( s ) = p 2 s 2 2 a p s + a 2 若在模型中考虑利率因素，设6 0 ，则： 定理2 6 不破产概率矽( “) 满足一卜 面的积分微分方程 ( p 十6 “) 2 ( 6 ( 札) + ( 6 2 a ) ( p + 6 钆) 砂7 ( 6 ( 一u ) 斗a 2 6 ( t ) = ：a 2z “砂( 一z ) r f l l ( z ) ( 2 a s ) 证明：类似于s u n d t 和t e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 1 引 同样的通过妒( 钆) 一1 一咖( 乱) 便可得到破产概率应满足的积分微分方程 1 3 相依风险模型下的破产概率 第三章带利力的共同；中击风险模型 经典风险模型的构建假设保险公司经营的足同质风险，并且不考虑利率的因素 本章将考虑带利率且理赔到达具自共同冲击过程的风险模型为了考虑问题的方便 假设保险公司i 司时经营两类不同质风险，令第一类风险的个别理赔额序列为 x 0 产， 它们独市同分布，其共同分布函数为f x ( z ) ，且声k ( o ) = 0 ，均值为肛x ；令第二 类风险的个别理赔额序列为 ) 于，它们独立同分布，其共同分布函数为g y ( x ) ，且 凡r ( o ) = 0 ，均值为，t y ；同时我们还假没 义0 哥与 k 是相互独立的且取( z ) 声l ，( z ) ，也就是说这两类不同质风险的理赔额大小是相互独立的，不会互相影响，但 是两类险种之闻的相依关系我们通过理赔到达过程来刻画；6 表示利力由于破产 只发牛在理赔时刻，于足我们可以构造总理赔过程为： n l ( 幻她( 幻 s ( t ) ：一ex f 一五+ ek e 6 一嗽 ( 3 1 ) i = 1i = l 其中i ( ) 是第i ( i = ：1 ，2 ) 类风险的理赌次数，它与序列( x j t 和 k ) f 之闻是 相互独立的；五表示第一类险种的第i 次理赂时刻，暇表示第二类险种的第i 次 理赔时刻，这两类理赔到达过程通过如f 的关系联系在一起： n 1 ( t ) = k l ( t ) + a ，( t ) ， n 2 ( ) = k 2 ( t ) + ( z ) ( 3 2 ) 其中k 】( ) ，k 2 ( z ) 和k ( t ) 是三个独立的更新过程，而k ( t ) 就是两类险种中理赔 到达的共同冲击过程，因此虽然我们前而假设两类险种的理赔额人小足相互独立， 互不影响的，但足它们的理赔剑达过程却存在一定的相依关系在这种情形下盈余 过程如下： ( 3 3 ) 1 4 wk k 崩 一 置双 泡 x 甜 一 硝 + 一 u | l 相依风险模型下的破产概率 其中( ) 表示保险公司在t 时刻的盈余，i t 是初始准备金，p 是保费率， 终极破产概率假设如下弘p 铷= k 篡 妒( 1 m ) = p ( t t l w = ) 一p ( w a l4 一入2 a t lw = l 1 1 ) 一e 一 a l 斗a 2 + 天，利用这些概率，式( 3 7 ) 可以写成 l ( 乱) = 天z o 。e z 。e 埘 厣以十( a l + 入2 ) 砂( 雠疵斗西等一z ) d 取，( x ) d t z ”e 埘u e 6 t + p s l ? ) 咖e a t + 万等，一z ) d r 如胁+ 十a 。) 厂。e 埘 j o p ，( 伽疵十硝一z ) d 取俐 令s = 扎e 淝+ 砖? 换元后有 矽( 钆) ：爻( 钆6 p ) 0 0 ( l s 一p ) - 一害一1 矽1 ( s ) d s 十( 入1 斗a 2 ) ( 乱6 + j ，) 鲁矽( 钆) ： 爻( 钆6 p ) 一p ) 。一害一1 矽1十( 入1 斗a 2 ) ( 乱6 + j ，) 鲁 ，“ l ：。g s + p ) 一 一1 ，t 咖i s 一霉) d ? f x 文1 d s 1 ( 乱) ：页( 钆6 十j ，) ；厂。( 6 s + p ) ；1f 8 ( s - x ) d f y x ) d f y ，( x ) d s 1 ( 乱)：页( 钆6 十j ，) ；( 6 s + p ) ；1 ( s ， ，“t ，0 + ( a ，+ a 。) ( 钆6 + p ) ；z 0 。( s s + p ) ( 3 7 ) 1 小( 胁如灿 1 7 入一入 。 、i ， 。p ) 一 似日 厦 r o厂厶 t o 相依风险模型下的破产概率 将上面两式两端分别对钆求导，化简后得到下面两个积分微分方程 ( u s + p ) 川札) 一捌钆) 一砒一( 川糊“咖一州r 懈 ( 3 8 ) 一天z 缸咖刊删圹( a 1 - - a 2 ) ”州铲州州z ) 首先我们考虑一种比较特殊的情况，即假设取( z ) 和毋( z ) 均值都为，。的指 数分布函数那么此时的取，( z ) 仍足均值为p 的指数分布函数，而r t ，( z ) 是分布 密度函数为肛一2 z e 一盖的e r l a n g ( 2 ) 分布函数于是式( 3 8 ) 和式( 3 9 ) 分别转化为 ( “巧+ p ) ( - u ) = a ( 札) 一天砂l ( 扎) 一( 入1 十a 2 ) ( 札一z ) p 一1 e 一丢d z ，i 札 j o 一训旷孙) 一半e 碍小班。如 = m 一去z “撒叫e 学如一掣 z “州咖学妣 上式两端分别再对乱求导，化简后可得： ( u s + p ) 艄“) = = ( a 一半卅艄计扣卜p ( 钆) 一圣。( 钆) ( 3 1 0 ) 弘 害嘶( a 一掣一6 ) 咖：t ( “) ，p 一舍小班号如 慨1 1 ) 1 8 相依风险模型下的破产概率 对式( 3 1 1 ) 进一步求导可得 ( m 舶t 卜( 半一菩一字) i l ) ( 一2 字划) 西i 2 k ，) 斗含( 洲n ) 一蛳们 ( 3 1 n ) 我们可以看出若能够求出- ( “) 通过卜式可以求解出( 礼) 继续求导下去有 ( 卅删( 札) 一( a - 2 u 6 菩望删) 热( 奎一一菩一警) 莎j 2 ( 钆) u ， u ，ul r 一嘉咖i 1 ) ( 卅去( 硝1 ) ( 旷蝴 慨 ( 蚺艄( 乱) = ( a - 2 u 3 # 卅) 妒+ ( 字一万6 5 一等, ) 咖 l “ 。 + 字热卜耖m ) 将式( 3 1 4 ) 的两端同时乘以( t 。6 + p ) 得 ( 3 1 4 ) ( 卅酬a 一2 半州触训。引酬字一菩 一警) 妒卜孑2 5 刊鼎州一知6 刊( t i i ：2 k t ) 一2 ( “) ) 将式( 3 1 0 ) 与式( 3 1 1 ) 相减有 ( 3 1 5 ) 刍沁6 i p ) ( 弑2 ( 乱) 一护沁啪= = 去( a 一生笋一6 ) ( 硝( “) 一扩) ( “) ) + 刍会 ( 砂，( 乱) 一咖( z 。) ) 十窘天咖 1 ( ) 一立1 1 2 立# 2z “( z ) e 一矿一d x ( 3 1 6 ) 1 9 相依风险模型下的破产概率 由式( 3 1 2 ) 和式( 3 1 3 ) 知 去( “州妒：2 k 卜艄蝴 叫一半卅6 刊硝( 旷( a 一2 竿删斌3 k d 一( 等一苦一字斌2 b ) 斗耖】十扣刊钾) 十一万2 6 一半御( 旷( a 一2 芋埘泖m ) 】 + 触1 ) ( 曲+ 转心m ，一窘刍u 黼一等批， p 肿， 将式( 3 1 7 ) 代入式( 3 1 5 ) 中有 其中 4 5 砂：5 ( 钆) 一 1 4 砂p ( “) + a 3 p ( 乱) 十a 2 矽；2 ( 钆) 十a 1 咖：1 ( 乱) 一0 ( 3 1 8 ) 162+一3天6一2a(,u5+p)a2 a a一6 a 一1 6 2 + 一3 入6 一一6 a 一 “ 6 ( t 巧一4 - p ) 弘 i 2 ：i a 一( 钆万+ p ) 一万训( 天一 a 一4 6 一些) + 2 5 ( 札6 + p ) 肛 + 入a 肛一3 a ( u 6 + p ) 一2 5 a # ， a 3 一a 2 p 2 4 5 a # 2 一 3 5 2 t 2 2 瓢( u 5 + p ) 一4 a # ( u 5 + p ) + 1 1 6 # ( u 5 十p ) + 3 ( t 6 + p ) 2 ， a 4 = p ( u 5 + p ) 1 3 # ( u 6 十p ) 一2 a # + 5 6 纠， 4 5 = 弘2 ( u s + p ) 2 糟应的边界条件为 p ( 1 ( 0 ) 一一入1 ( 0 ) 十a ( 0 ) ， p 妒；1 ( o ) =a 1 ( o ) ， 2 0 相依风险模型下的破产概率 p j 2 ( 。) = 会咖，( 。) + ( a 一芸一6 ) 1 ( 。) ， ( 。c ) 一1 ， 1 ( 。o ) 一 1 式( 3 1 8 ) 足关于西，( 饥) 的五阶非线性常微分方程，想获得上述微分方程的解析 解是比较难做剑的，但足代入相应的参数通过数值方法得到咖1 ( 钍) 各阶导的数值解 后代入式( 3 1 2 ) 就可以得到痧( 钆) 接下米我们考虑理赔额都服从指数分布，但均值不相等的情况，即l z x - p y ，在 这种情况下通过应用类似的方法可以得到 ( u 6 + p ) 3 ( 乱) ：( a 一u 6 十p 一u 5 + p 一2 6 ) 咖2 ( 乱) + ( 业+ 垒二二生 恤x i l y恤xp , y 一鬲u 5 t p 一嘉一五a y ) o + 志撕) 一勋。)又，yx，yx 肛i 一忑1 + 三p y ) 爻科1 ) ( 旷志洲此恤x 。 讳x t y 刊舭卜”百u s + p 一警划) 热( a - - a 1 字p x，y肛xp y 一面u 5 + p 一去一嘉) 舭卅志( 钆) 刊m 1 9 )p x p y肛xp y 弘x y 我们可以看出若能够求出1 ( t t ) 通过上式可以求解f j 妒( 札) 最后可以得到微分方程 其中 a 6 砂 6 1 ( “) + a 5 咖f ( 乱) + a 4 4 ( 钆) 十a 3 砂；3 ( t ) + a 2 咖 2 ( 扎) aj 咖i 1 ( 扎) 一0( 3 2 0 ) a 。：2 天( 生尘+ 生尘u s + p旦一旦) 一文z ( 土+ 1 ) ， p x汕yp x p yu xp y j? 讳xl 上y j 相依风险模型下的破产概率 2 2 虾脚“等+ 字一等一万2 6 一面2 6 ，( 百a - - ) q 十等 一业一j l 一l ) 12 天( a 一兰兰里一u 6 + p 一2 6 ) 一爻2 ， “x l t y p , x上i t xp , y 盼胁一等一等埘) c 等十字一鬲, u s + p 一万3 6 一筹) + ( 尘土+ 尘立u 5 + p 旦一旦) ( 入一生塑一兰业一3 6 ) 】 十i 一十一一、一 u j ，i ”xp yl t x p yl t x o y 、 p xl z y 一2 天( t 艿十p ) 3 6 ( u 6 p ) ， 小俐一i ( a 等一警埘m 一百u 6 + p 一等卅) - ( u 6 + p ) ，a a l 。a a 2 u 6tp6 一十一一 t xl t yl t x p y 弘x t z 6 + p 4 6 4 6 、 一一一， p x i i , y性xl - t r 忙眦州卅酬2 等+ 2 警 a 6 一p , x l i , y ( t t 6 斗p ) 。 榍应的边界条件为 p 咖( 1 ( o ) = 一天l ( o ) 十a 咖( o ) ， )-(u6+pp,y) ( 导十等 弘xp y 十7 6 2 入) ， p 科1 ( o ) 二：a 咖l ( o ) ， p 砂即) 邓一瓦p 卅；1 ) ( 旷卜( a 胁- a i - 一等m ( 。) ， ( 。c ) ) = 1 ， 砂l ( 。) = 1 式( 3 2 0 ) 足关于，( “) 的夕i 阶非线性常微分方程，想获得隧微分方程的解析 解是比较难做剑的，但是代入相应的参数通过数值方法得到痧，( 也) 各阶导的数值解 后代入式( 3 1 9 ) 就可以得到痧( t 。) 相依风险模型下的破产概率 第四章稀疏相依结构多险种风险模型 在第三章讲述的是带利率且两类风险中理赔到达具有相同外在冲击因素的风险 模型，本章我们要考虑保险公司同时经营多种不同质的风险，其中某类险种的理 赔将以特定概率导- y 囊z d , f 其他类型险种的理赔，这样便导致风险总理赔额增加，即这 些风险在定程度卜是具有相依关系的一个典型的例子就是在一饮严重的交通事 故中，保险公司要进行理赌的就可能会涉及到机动车损险，车上人员险等险种 假设保险公司同时经营d 种不l 司质但具有定相依关系的风险；瓦表示第七 次理赔时刻， 瓦 p 构成一个时间序列；理赔次数则是由这些珏组成的泊松过程 v ( z ) ，关于理赔的次数，我们仍沿用_ 占典的情形，所不同的是在每一理赔时刻，这种 理赔可能是由d 种风险中的任何一种造成的，因此用指标变量磊表示第k 次理赌的 风险类别；6 0 表示常利力由，j 二保险公司阿时经营d 类风险，网此我们可以认为 玩是一个取自状态为j ，2 ，d 的m a r k o v 链，各个状态是互通的。这样在每一个 理赔时刻的理赔额就可以表示为x 手。，如果z k = = = = i ，则x 表示这次的理赌来自风险 i 对于每一个固定的l ， x ： 于是独立同分布的，分布函数为只( z ) ，r ( o ) = 0 ，均值 为肌根据有限不可约m a r k o v 链一定存在r 稳分布，我们可令7 r i ( i = = 1 ，2 ，d ) n 为m a r k o v 链磊的甲稳分布由于各状态之i u j 是互通的，于是有一