（基础数学专业论文）局部对称空间中的超曲面和局部对称lorentz空间中的类空超曲面.pdf

摘要 自黎曼几何诞生以来，黎曼流形的研究一直成为黎曼几何研究的核心内容。对外围空 间具有良好对称性的黎曼流形中子流形的研究特别是对球空间中子流形的研究已经获 得了非常丰富的结果。当把外围空间推广到其它情形如局部对称空间或l o r e n t z 空间时， 对此类空间中的黎曼流形的研究，许多学者已经获得了不少具有重要价值的研究成果。 本文利用外微分法、活动标架法、积分法以及局部和整体相结合的方法研究了局部 对称空间中的超曲面和局部对称l o r e n t z 空间中的类空超曲面及d es i t t e r 空间中的线性 w e i n g a r t e n 类空超曲面的各种内在量之间所蕴含的几何性质，并获得了内在量满足某种 关系时的内蕴刚性定理，具体地讲，本文的主要研究成果有以下几个方面。 1 研究了局部对称空间中具有常数量曲率的超曲面，利用丘成桐教授的自伴随算 子给出了此超曲面的第二基本形式满足一定刚性条件时全脐的内蕴刚性定理，从而推广 了李海中教授的一个结论。 2 首先给出了局部对称l o r e n t z 空间的定义，利用丘成桐教授和o m o r i 教授的广 义极大值原理以及自伴随算子分别研究了此空间中具有常平均曲率的完备类空超曲面 和常数量曲率的紧致类空超曲面，得出了两个内蕴刚性定理，把欧阳崇祯、李镇琦和刘 西民等人的主要结果推广到局部对称l o r e n t z 空间。 3 首先引入d es i t t e r 空间中线性w e i n g a r t e n 类空超曲面的概念并利用丘成桐和陈 省身的自伴随算子口研究了此线性w e i n g a r t e n 类空超曲面，并得到了两个重要的内蕴刚 性定理。其推广了z h e n g 1 9 和l i 2 0 关于d es i t t e r 空间中具有常平均曲率和常数量曲率 类空超曲面的两个重要结果。 关键词 黎曼流形，局部对称，超曲面，l o r e n t z 空间，内蕴刚性，常平均曲率，常数量曲率， 类空超曲面，d es i t t e r 空间，线性w e i n g a r t e n 类空超曲面 a b s t r a c t t h es t u d yo nt h er i e m a n n i a nm a n i f o l di sa ni m p o r t a n tf i e l do ft h er i e m a n n i a ng e o m e t r y s i n c er i e m a n n i a ng e o m e t r yh a db e e nb o m w h e nt h ea m b i e n ts p a c eh a sg o o d s y m m e t r i c ，t h e s u b m a n i f o l do fr i e m a n n i a nm a n i f o l d ，e s p e c i a l l ys u b m a n i f o l di nas p h e r eh a db e e ns t u d i e d a n do b t a i n e dm a n yr i g i d i t yt h e o r e m s w h i l et h ea m b i e n t s p a c ei s e x t e n d e dt o l o c a l l y s y m m e t r i cs p a c eo rl o c a l l ys y m m e t r i cl o r e n t zs p a c e ，m a n yr e s e a r c h e r sh a do b t a i n e dm a n y i m p o n a n tr e s u l t s i nt h i sp a p e r , b ym a k i n gu s eo ft h ee x t e r i o rd i f f e r e n t i a t i o n ，m o v i n gf r a m e sm e t h o da n d i n t e g r a lm e t h o d s ，w es t u d yt h eg e o m e t r i c p r o p e r t i e s o fh y p e r s u r f a c e so r s p a c e 1 i k e h y p e r - s u r f a c e si nal o c a l l ys y m m e t r i cs p a c eo ral o c a l l ys y m m e t r i cl o r e n t zs p a c ea n do b t a i n s o m er i g i d i t yt h e o r e m su n d e ri t si n t r i n s i ci n v a r i a n ts a t i s f y i n gs o m ei n t r i n s i cc o n d i t i o n s ，i n d e t a i l ，t h em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e rm a yb es t a t e da sf o l l o w s ： 1 t h eh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r ei nl o c a l l ys y m m e t r i cs p a c ea r e s t u d i e db ym a k i n gu s eo ft h es e l fo p e r a t o ro fy a usta n ds o m er i g i d i t yt h e o r e m sa r eo b t a i n e d i ft h es q u a r e dn o r mo ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m s a t i s f y i n g s o m ep i n c h i n gc o n d i t i o n ，t h e r e s u l to fh a iz h o n gl ii sg e n e r a l i z e d 2 t h ed e f i m t i o no ft h el o c a l l ys y m m e t r i cl o r e n t zs p a c ei s i n t r o d u c e d ，c o m p l e t e h y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r ea n dt h ec o m p a c ts p a c e l i k eh y p e r s u r f a c e sw i t h c o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r ea r es t u d i e db ym a k i n gu s eo ft h ee x t e r i o rd i f f e r e n t i a t i o n , m o v i n g f r a m e sm e t h o d t w or i g i d i t yt h e o r e m sa r eo b t a i n e da n dt h em a i nr e s u l t so fc h o n gz h e n o u - gz h e nq il ia n dx i nm i nl i ua r eg e n e r a l i z e d 3 f i r s ti n t r o d u c et h en e wd e f i n eo ft h el i n e a rw e i n g a r t e ns p a c e l i k eh y p e r s u r f a c e si nd e s i r e rs p a c ea n db ym a k i n gu s eo ft h es e l f - a d j i o n td i f f e r e n t i a lo p e r a t o ro fs y c h e n ga n ds t y a u s t u d yt h e l i n e a rw e i n g a r t e ns p a c e l i k eh y p e r s u r f a c e sw eg e tt w oi m p o r t a n tr i g i d i t yt h e o r e m s ， w h i c hg e n e r a l i z e dt h et w om a i nr e s u l t so fz h e n g 1 9 a n dl i 2 0 】o nt h es p a c e l i k eh y p e r s u r f a c e s w i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r ea n dc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r ei nd es i t t e rs p a c e i i k e y w o r d s r i e m a n n i a n m a n i f o l d ，l o c a l l ys y m m e t r i c ，h y p e r - s u r f a c e s ，l o r e n t zs p a c e ，r i g i d i t y , c o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e ，c o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e ，s p a c e l i k eh y p e r s u r f a c e s ，d es i t t e rs p a c e ， l i n e a rw e i n g a r t e ns p a c e - l i k eh y p e r - s u r f a c e s i i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：莹组堡指导教师签名 2 移岛年6 月7 日二刀矿 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：茵五日姨 如o 年f 月7 日 西北大学硕十学位论文 第一章绪论弟一早瑁v 匕 1 1 问题背景和意义 微分几何研究是- r 古老的学科，有着悠久的历史，是当今数学研究的重要分支之 一。微分几何的始祖是高斯，他的曲面论建立了曲面的第一基本形式所奠基的几何，并 把欧氏几何推广到曲面上“弯曲”的几何。1 8 5 4 年德国数学家b r i e m a n n 在其著名的就 职演说“论作为几何学基础的假设 中把微分几何的始祖c e g a u s s 的曲面上的几何推广 到了n 维空间，诞生了一门崭新的几何黎曼几何。后来经过许多学者和几何学家如 e b c h r i s t o f f e l ，l b i a n c h i 以及c g r i c c i 等人的进一步完善和推广，黎曼几何之大受爱因斯 坦的重视，后来成为a e i n s t e i n , s 立广义相对论的有力数学工具。a e i n s t e i n 把引力现象 和黎曼空间的曲率联系起来，爱因斯坦把引力现象解释成黎曼空间的曲率性质，因之， 物理现象变成几何现象，黎曼几何的了解遂为理论物理学者所必需。此后黎曼几何得到 了蓬勃发展，特别是大数学家e c a r t a n 建立的微分形式与活动标架法，沟通了l i e 群与黎 曼几何的联系，为黎曼几何的深入发展开辟了广阔的前景，影响极为深远。半个世纪以 来，黎曼几何的研究从局部到整体，产生了许多深刻的并在其他数学分支，如代数拓扑， 微分方程，多复变函数论等以及现代物理学中有重要作用的结果。因此，时日至今，黎 曼几何无论在基础理论上还是在实际应用上，都日益现出它的重要性和巨大价值。黎曼 流形是黎曼几何的主要研究对象，关于黎曼流形中的超曲面和子流形，黎曼曲率、拓扑 以及m o e b i u s 特性的研究目前仍是一个非常活跃和重要的研究方向。 当外围空间具有良好的对称性时，关于黎曼流形的各种子流形的研究已有相当丰富 的结果，特别是对常曲率黎曼流形球空间s 斛p ( c ) 中子流形m ”的第二基本形式摸长 平方s ，数量曲率，平均曲率h ，r i c c i 曲率心及截面曲率尺柳等内在量，加以某种 限制，从而得到子流形的某些性质，上述问题的研究，起源于1 9 6 8 年j s i m o n s 给出的球 面s p ( 1 ) 中的极小子流形的积分公式，自那以后，对p i n c h i n g 问题，几何学家研究的很 多。目前人们使用由e c a r t e n 仓j 造的并由著名数学家陈胜身先生发展的活动标架法来计 算流形上各种函数的l a p l a c i a n ，建立最佳的p i n c h i n g 常数及估计各种内在量在满足某 种条件下所具有的内蕴刚性定理，例如 1 2 3 。 当把外围空间推广到一般的情形，如非空间形式，复射影空间c p 4 ，或局部对称空 间时。研究此类空间的流形也具有非常重要的理论价值，例如对关于不具有对称性的外 第一章绪论 围空间( 局部对称) 及一些特殊空间( 局部对称l o r e n t z 空间) 中的黎曼流形的研究在黎 曼几何中已占有十分重要的位置，对此类流形的研究与简单空间中流形的研究密切相 关，许多学者对此也作出了不少结果，如 5 - 8 】。 基于上述问题的研究，我们利用活动标架法、微分法、积分法等，进一步研究了局 部对称空间中的超曲面，局部对称l o r e n t z 空间中的类空超曲面及d es i t t e r 空间中的线性 w e i n g a r t e n 类空超曲面，从而得出了一些有趣的结果。 1 2 主要成果和内容组织 如上面所说的，本文主要研究了局部对称空间中的超曲面，类空超曲面及d es i t t e r 空间中的线性w e i n g a r t e n 类空超曲面，这些成果体现在研究了局部对称空间中具有常数 量曲率的超曲面，局部对称l o r e n t z 空间中的类空超曲面，d es i t t e r 空间中的线w e i n g a r t e n 类空超曲面，内容分布在第二章至第四章。具体说来，本文的主要成果及内容组织如下： 第二章，研究了局部对称空间中具有常数量曲率的超曲面，利用丘成桐教授的自伴 随算子给出了此超曲面的第二基本形式满足一定刚性条件时全脐的内蕴刚性定理，从而 推广了李海中教授的一个结论。 第三章，首先给出来了局部对称l o r e n t z 空间的定义，利用丘成桐教授和o m o r i 教 授的广义极大值原理以及自伴随算子分别研究了此空间中具有常平均曲率的完备类空 超曲面和常数量曲率的紧致类空超曲面，得出了两个内蕴刚性定理，把欧阳崇祯、李镇 琦和刘西民等人的主要结果推广到局部对称l o r e n t z 空间。 第四章，首先引入d es i t t e r 空间中线性w e i n g a r t e n 类空超曲面的概念并利用丘成桐 和陈省身的自伴随算子口研究了此线性w e i n g a r t e n 类空超曲面，并得到了两个重要的内 蕴刚性定理。其推广了z h e n g 1 9 和l i 2 0 关于d es i t t e r 空间中具有常平均曲率和常数量 曲率类空超曲面的两个重要结果。 2 西北大学硕士学位论文 第二章局部对称空间中具有常数量曲率的超曲面 2 1引言 近年来，人们对单位球面s 舯p ( 1 ) 中具有常平均曲翠和常数量曲率的超曲面的研究已 经获得了许多漂亮的结果如文 1 和 9 分别获得了以下定理： 定理2 1 1 ( 1 ) 设m 是单位球面s ”1 ( 1 ) 中具有常平均曲率h 的刀维紧致可定向超曲 面，如果h 2 b ，那么 ( 1 ) 或者闷2 = o ，m 是全脐的；或者h 2 b ( 2 ) i f 2 = b 当且仅当 ( a ) h = 0 ，m 是一个c l i f f o r d 环面； c o ) h 0 ，m 是一个日( ，) 环面，2 ! 翌； ( c ) h 0 ，刀= 2 ，m 是一个日( ，) 环面，0 ， 1 ，2 去 这里，h 2 = s 一槲2 ，对每一个日o 令 驰一2 + 端肌椰埘2 ) ， 是名( x ) = 0 的正根的平方。 定理2 1 2 ( 9 】) 设m 是单位球面s 肿1 ( 1 ) 中具有常数量曲率r 的n ( n 3 ) 维紧致超曲 面，如果 ( 1 ) 豆= r 一1 0 ， ( 2 ) m 的第二基本形式模长平方满足 nr一szko1)瓦z+4q一1)r-+刀】，2 ( 万一) ( n r + 2 ) 7、 则或者s = 腼，m 是全脐超曲面；或者s 2 石了甄n 习再酉 甩( 刀一1 ) 夏2 + 4 一1 ) 豆+ 疗 ， m 是骊s 1 ( 厨) ，一黑。 设肿1 是截面曲率峨满足条件 第二章局部对称卒间中具有常数量曲率的超曲面 寺 万k n 1 ( 2 1 ) 二 的甩+ 1 维局部对称的黎曼流形。 关于局部对称流形1 中具有常平均曲率和常数量曲率超曲面的研究得到了许多 学者的重视，得到了不少重要的成果，参见文 4 一 7 】其中文 4 】研究了局部对称空间中 具有常平均曲率的超曲面，获得了下面的定理： 定理2 1 3 ( 4 ) 设m 是肘1 中具有常平均曲率日的n 维完备可定向的超曲面，如果 n 肘1 的截面曲率e + 。胁州在m 上的任意一点x 处满足五k 椭州= n h ，这里a ，五，以 f 是m 在x 点处的n 个主曲率。 ( 1 ) 如果s d ( n ，h ) ，则m 是全脐的； ( 2 ) 如果s = d ( n ，日) ，那么 ( a ) 当h = 0 时，局部地m 是一个鼢以环面； 这里 ( b ) 当日o 时，局部地m 是一- ? - n ( 厂) 环面，r 2 生兰； 挖 ( c ) 当日o 时，局部地m 是一个日( ，) 环面，r 2 盟。 力 。( 刀，日) = ( 2 万一1 ) 刀+ 丽n 3 h 2 一而( n - 2 ) n i l n 2 h 2 + 4 ( 刀1 ) ( 2 万一1 ) 本文研究局部对称空间n 肿1 中具有常数量曲率r 的紧致超曲面，到了f = 歹0 定理： 定理2 1 4 设m 是n 斛1 中具有常数量曲率r 的n 维可定向紧致超曲面，若n 1 的截面 曲率疋+ 1 。+ 1 1 在m 上任意一点x 处满足以k 舶+ = n h ，这里a ，五，乃是m 在x 点处 的刀个主曲率，如果豆= r 一1 0 ，爱= r 一万，且m 的第二基本形式模长平方满足条件 s 刍2 i 垫迪笔n 蔫r2 n 6 器崭1 ) ( 5 n 芋型幽l ( 2 2 ) ，l i 2 + + ( 万一一2 )l 、。 则吖必为以下两种情况之一 ( 1 ) m 是全脐超曲面； s = 刍f 垫堕等蔫涮等型卜m 是环面 4 西北大学硕士学位论文 ( 厢) ，一赫 注1 5 ：在定理2 1 4 中，当万= 1 时，定理2 1 4 成为定理2 1 2 ，因此我们的结论推广了 文 8 】的结论。 2 2 基本公式 设m 是局部对称黎曼流形斛1 中的n 维可定向的, + 1 维紧致超曲面，在斛1 中选 取局部标准正交标架场 p 1 ，e 2 ，巳+ 。 ， c o 。，缈：，缈川) 是其相应的对偶正交标架场，使得 q ，乞，巳) 切于m ，向量 + 。) 法于m ，约定各类指标取值范围如下： 1 a ，b ，c ，刀+ 1 ，1 f ，j ，k ，门。 肿1 中的结构方程为 d c o 彳= 一国爿口人缈口， 缈邶+ 缈删= 0 ， ( 2 3 ) 矗 d 国彻= 一缈ca 0 。+ 去k a b c d 功c 国口。 cc d 因为n 肘1 是局部对称的，故其黎曼曲率张量k 口c d 满足下式 限制到m 上时有 k 姐c d e = 0 或 e k a b c d = 0 o c o + i2 0 ， + “= 国，| j 1 6 = k ， 葫哆= 一力i a ( 0 i ， + 国= 0 ， j d = 一 + 去纨 q ， 七二七， ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) r 啦= k h + h 墩h j l h | l h j k ， q 1 q 刀( 以一1 江= + 以2 日2 - s 。 ( 2 1 1 ) 这里， ) 是m 的黎曼联络l 一形式，h f ，r 彬及分别是m 的第二基本形式，黎 曼曲率张量的分量及n 时1 的曲率张量的分量。m 的第二基本形式模长的平方 s = 否乃2 ，m 的平均曲率日= 吉莩，m 的标准化数量曲率r = n ( ：- _ 1 ) 丢j r o o 。 第二章局部对称空间中具有常数量曲率的超曲面 用，分别表示的一阶和二阶共变导数，由文 2 】可知 由 2 】 处有 h 拈= h 彬+ k 斛l 阿， 一= ( 如掰+ ) 。 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) a h 驴= n h k 槲洲厂k 川b l m h l + n h h 诸h 材一s h 盯 七七 + ( 嘞+ k 舭h 盯+ 2 k 矾h 膳) + ( 刀) i 。 ( 2 1 4 ) i , k 选取规范标准正交标架 q ，可得在m 上的任意一点x 处有= 丑岛，使得在x 点 魄= 刀日以k 舶州一s x k + l n + l i + ( 乃一乃) 2 砀 i ，j ii i , j - s 2 + 甩日以3 + z a i ( n h ) 豇。 一 “ 对于任意的函数厂c 2 ( m ，r ) ，定义它的一阶和二阶共变导数及可 妒= z q ， o f jjl| f f 4 j = 搿t + f j i j j 仿文【3 】，在m 上定义对称张量 其中 引入算子口 可= 五。 l r = 乃q p c o ， f ， 乃= ，甜岛一。 盯= 乃乃= z ( n h s o 一) 乃。 i ji 。j 由于m 是紧致的，口是自伴随算子。 i f o g = l g 町 mm 这里，厂和g 是m 上的任意两个光滑函数。 6 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 西北大学硕士学位论文 由式( 2 1 1 ) 和式( 2 2 1 ) 有 嘎，z 日) = 岛- h o ) ( n h ) 扩 = l ，。a ( n h ) 2 - e ( 也) 2 - z 2 i ( n h ) 仃 = 三刀( 刀一1 ) 欲一三( 荨砀) + 丢丛一疗2 i v h l 2 一军丑( 门。 ( 2 2 3 ) 由式( 2 1 5 ) l ，a s = 2 + 魄 。 f ，ki , j = 2 + ，胛五心舶枷- s k 椭“ i 。j k ii + ( 名一乃) 2 - s 2 + 槲名3 + 乃( 柑) 盯。 ( 2 2 4 ) 因为m 的数量曲率是常数及斛1 是局部对称的黎曼流形由式( 2 5 ) 及式( 2 2 4 ) ，式( 2 2 3 ) 变成 d 胴) = 2 一刀2i 跗1 2 + 刀h 以e 砌州一s z 玉：o 椭州 i j 。 i i + ( 以一乃) 2 砀一s 2 + 刀h 以3 。 ( 2 2 5 ) i ，j i 2 3 引理及估计 由文献 1 】有如下引理： 引理2 3 1 ( 1 ) 设。，2 ，以是九个实数，满足段= o ，肼2 = 2 ， ff 一南胚a i3 赫胪 其中等号成立时当且仅当五，如9e 9 以恸；f i n - 1 个相等。 令 由式( 2 1 ) 知 一s z k 。+ 。如，一n s = 一n f l 2 一，1 2 h 2 ， f 其中0 ，则 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 第二章局部对称空间中具有常数量曲率的超曲面 ( 丑一t ) 2 k 骑万( 以一乃) 2 = 2 n 8 ( s n h 2 ) = 2 n s i f l 2 。 ( 2 2 9 ) t ji 。j 因为( 日一旯，) = o ，( 日一五) 2 = s - n h 2 = l 厂1 2 ，由引理2 3 1 知 ff 槲以3 = 3 槲2 s - 2 n 2 h 4 - n h ( h 一磊) 3 jf 施日2 f 2 + n e l l 4 一端陟1 3 。 ( 2 3 。) 由式( 2 2 8 ) ( 2 3 0 ) ，式( 2 2 5 ) 变为 d 以h ) 2 吲2l v 日1 2 + ，z h 五疋+ ，拥+ “一刀i 厂1 2 一行2 h 2 f 。j t i 伽i f l 2 - s 2 + 3 槲2 i f l 2 + n 2 n 4 一丽n ( n 面- 2 ) 矧i ：1 3 = j j l 辨2 一刀2 l v 日1 2 + 珂日( 五k 州加枷一以日) 州 ( 2 8 - 1 ) n + n h 2 一丽n ( n - 2 ) 陟i _ | 丌卜 ( 2 3 1 ) 由 8 有下列引理： 引理2 3 2 ( 8 ) 设m 是局部对称空间n 肘1 中的超曲面，若m 的数量曲率n ( n 一1 ) r 为常 数，目r 一1 0 ，那么 2 ，z 2 i v u l 2 。 ( 2 3 2 ) f j 。t 由引理2 3 2 知 d 槲) 槲( 军以k 柏州一胴) + 忻 ( 2 万一1 ) 厅+ 柑2 一丽n ( n - 2 ) 1 日1 1 ：1 一i ：1 2 ) 。( 2 3 3 ) 2 4 定理2 1 4 的证明 由于m 是紧致可定向的，我们可选择m 的一个方向使得h 0 ，再由定理2 1 4 的假设 及式( 2 3 3 ) 有 d 槲娜1 2 【( 2 刀+ 桶2 一丽n ( n 面- 2 ) 日i ：1 一i ：1 2 】。 ( 2 3 4 ) 由页= r 一1 ，j i i = r 一万及式( 2 1 1 ) 我们有 西北大学硕：t 学位论文 砉k ( 万一1 ) g + s 】日2 1 咖叫j i i 叫， ( 2 3 5 ) _ n - 1 ( s 一，z 天) - 1 1 1 2 = s n h 2 型圆一腼) 。 ( 2 3 6 ) 以力 通过式( 2 1 1 ) ，式( 2 3 4 ) 及式( 2 3 5 ) ，式( 2 3 4 ) 变成 d 桕) 忻 ( 2 万一1 ) ，z 一2 ( 纷一1 ) 豆一丝s 一( n - 2 ) x s + n ( n - 1 ) r ( s - n r ) 。 ( 2 3 7 ) nn 通过直接计算可知 s 生l 竺! 竺兰燮兰塑尘二坚坠丛丝二旦塑墨堕二旦鱼二坠鱼型! i ， ( 2 3 8 ) 以一2 i n 2 k + 2 n d + ( 万一1 ) ( 5 n 一2 ) l 、 等价于 ( 2 万一1 ) 玎+ 2 ( 刀一1 ) 瓦一一n - - 以2 s 2 芝 s + 甩( 刀一1 ) 晨】( s 一甩夏) ， ( 2 3 9 ) 由式( 2 3 8 ) 和瓦= 尺一1 。及圭 l s l 2 ( 2 万一1 ) 刀+ 2 ( 刀一1 ) 豆一! 二呈s 一( n - 2 ) x s + n ( n - 1 ) r ( s - n r ) 0 。( 2 4 1 ) 刀刀 又因为肘是紧致的，口是自伴随算子并由式( 2 2 2 ) 知，d 刀日) = o ，我们有 - 1 ) + 2 ( 川皿导s 一孚瓜石丽丽 = o o 亿4 2 ， 因此我们有下列两种情形： ( 1 ) l s l 2 = o ，s = n i l 2 则m 是全脐超曲面。 ( 2 ) ( 2 万一1 ) + 2 ( 刀一1 ) 页一n - 2s n - 2 、 s + n ( n - 1 ) r ( s - n r ) ：0 。 ( 2 4 3 ) 这时式( 2 2 8 卜弋2 3 3 ) 及式( 2 3 4 卜- ( 2 3 7 ) 变为等式，由式( 2 4 3 ) 知此时s 是常数，再由式( 2 2 9 ) 等式成立时知锄= 艿，所以由式( 2 1 1 ) 知日是常数，故由式( 2 3 2 ) 等式成立时知对任何f ，_ ，k 右 令 第二章局部对称空间中具有常数量曲牢的超曲面 h 融= 0 。 ( 2 4 4 ) y = 一( k 州螂+ k 川耻) i ，j ，k 从文 2 我们有 k 州拈，= k 州归一k 川如+ l 七j l 一k 州咖+ l h 七f + k 。驰h 。，。 ( 2 4 5 ) 这里k 川执，是肘1 上的曲率张量k 一口c d 的共变微分k 一占c d ，限制到m 上的结果，既然肘1 是 局部对称的，则k 肚c d = 0 并从式( 2 4 5 ) 可获得 k 州猁= k 州如+ l 七h + k 州珈+ lj j l 材一k 。独h m ，。 ( 2 4 6 ) 从( 2 4 6 ) 式和式( 2 2 8 ) ，式( 2 2 9 ) 及定理2 1 4 的假设知 v = 一h i ( k 州埘+ k 川撇) f ，七 = 玎日a i k 州洲f s k 斛翻+ ( h m j k 臌+ 乃。t 乃。驰) ik l ，j ，i ，m = n 2 h 2 一砖+ i 1 ( 乃一以) 2 k 馘 f 七 = 7 1 2 h 2 一n s + n s ( s 一，脚2 ) = n s ( 8 一1 ) + 以2 h 2 ( 1 一万) = n ( 8 - 1 ) f 1 2 。 ( 2 4 7 ) 另一方面仿文 1 0 我们定义w 如下 w = ( 玩k + t o + j i i i k 槲驰) m 。 设挑为w 的散度即 d i v w = v t ( k k 州硝+ k 川独) 。 ( 2 4 8 ) f ，k 从式( 2 4 4 ) 有 v = ( k n + l j z i + k 州耻) 一d v w = 一挑， ( 2 4 9 ) f 。 k 通过式( 2 4 7 ) 和式( 2 4 8 ) 我们有西w = 一v = 刀( 1 一a ) f2 ，因为m 是紧致的，由g r e e n 散度定 理，有 l o 西北大学硕士学位论文 0 = p w = 卜( 1 8 ) l s l 2 。 ( 2 5 0 ) 又因为i f l 2 0 ，因此从式( 2 5 0 ) 知a = 1 ，此时j 圣= 豆，这时斛1 变为单位球面s 肘1 ( 1 ) ，并且 ( 2 4 3 ) 式变成 刀+ 2 ( n - 1 ) r n - 2s n - 2 s + n ( n - 1 ) r ( s - n r ) 。：0 。( 2 5 1 ) 由 2 知式( 2 5 1 ) 等价于 ：z _ 匕= - x 一1 ) 瓦2 + 4 ( ，l 1 ) 瓦+ ，z 】。 (252)s i n ( n 2 ) = 兰：一 一1 ) 尺2 + 4 ( ，l 1 ) 尺+ ，z i 。( 2 0 一( n r + 2 ) 。 、 。 、 因此，从文 8 的定理2 1 - 2 知m 是环酬( 厕产蒜，定理证毕。 第三章局部对称l o r e n t z 空问中的类空超曲面 第三章局部对称l o r e n t z 空间中的类空超曲面 3 1 引言 用m ? 表示m 维指标为s ( s 0 ) 的连通的伪黎曼流形，它被称作指数为s ( s o ) 的半定空间。特别地，m ，被成为l o m n t z 空间。当l o r e n t z 空间的截面曲率为常数c 时，称之为l o r e n t z 空间形式，用m i i ，l ( c ) 表示。当c 0 时，m 】，l ( c ) 称为d es i t t e r 空间。 若m 上从l o m n t z 空间诱导的度量是正定的，则m 被成为此l o r e n t z 空间的类空超曲 面。 众所周知，l o r e n t z 空间中的完备类空超曲面在相对论中有很重要的意义，近年来 关于类空超曲面的研究已取得了许多结果。例如a k u t a g a w a 1 和r a m a n a t h a n 3 分别 证 明d es i t t e r 空间中具有常平均曲率的完备类空超曲面，如果 日2 c ，n = 2 ；n 2 日2 4 ( n 一1 ) c ， 刀3 时，m 是全脐的。近年来o u y a n g 和l i 1 2 及l i u 1 4 分别研究了d es i t t e r 空间 中 具有常平均曲率或常数量曲率的类空超曲面，证明了如下定理： 定理3 1 1 ( 12 ) 设m 是d es i t t e r 空间研“( c ) 中具有常平均曲率的完备类空超曲面， 如果其第二基本形式模长平方s 满足s 0 ，我们得到的定理3 1 3 即为o uy a n g 和l i 1 2 l 拘定理3 1 1 ，如果局部对称l o r e n t z 空间m ? + 1 变为d es i t t e r 空间m ( 1 ) 时，此时c = 一c _ l = c 2 = 1 时，则定理3 1 4 变成l i u 【1 4 】中的定理3 1 2 因此本文的两个定理分别推广了文 1 2 】和 1 4 】的两个主要定理。 3 2 预备知识 设m 是局部对称l o r e n t z 空间m 】! l “的甩维类空超曲面，我们在m 】! l “中选择一 个局部伪黎曼标准正交标架场q ，e 州，使得q ，p ：，e 。切于m ，q ，缈：，国川是 第三章局部对称l o r e n 亿空问中的类空超曲面 其对偶标架场，指标范围约定如下： m 1 i l “的结构方程为 1sa ，b ，c ，n + l ， 1 f ，j ，七，力。 d o 一2 一占丑国船 ， 彩爿口+ 彩鲥= 0 ， 口 d m 仙一s c ao 凹一去占c 瓦口c d 国ca o 。， c c ，d 这里毛= 1 ，占州= - 1 ，死c d 为m 】i l “的黎曼曲率张量的分量。 用如，瓦分别表示m y 的硒c c i 张量和数量曲率，则 如= 岛瓦锄， ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 豆= _ 瓦= 一2 瓦蝴+ 。+ 瓦 ai i , j = 2 c 。+ 砀。 ( 3 6 ) i ，j 当l 0 r e n t z 空间m 】i i “是局部对称空间时，则夏是常数，因此砝是常数。 i j 记瓦c d ；e 为瓦c d 的共变微分，那么分量瓦占c d ：e 被定义为 乇瓦娜= 碗c d 一乇( 瓦c d + 死肋+ 死肋+ 瓦口凹) 。( 3 7 ) ee 因为m ? + 1 是局部对称的，我们有 r 插呱e = 0 o 限制到m 上，我们有 d q = 一国扩 哆， 国扩+ = 0 ， j d = 一 一去略 哆。 ck ，l 从式( 3 4 ) 和式( 3 1 0 ) 可得高斯方程为 r 猁= r 驰f 一( h a h 弦一而珐矗) ， n ( n - 1 ) r = 瓦一刀2 日2 + s 。 记p = 砀- n ( n - 1 ) r ，则 i ，j 1 4 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 西北大学硕士学位论文 n ( n 一1 ) p = 以2 h 2 一s ，( 3 1 3 ) 这里s = ( 2 ) ，h - _ 吉和r 分别是竹的第二基本形式模长平方，平均曲率 l ，j 一1 和标准数量曲率。如果只是常数，由式( 3 6 ) ，式( 3 1 3 ) 知p 为常数。 定义的一阶和二阶共变微分，h 训为 啡= d h i 一h 可一， ( 3 1 4 ) h 涮q = d h 秘一z h 嘶c o 。f z h m 一j i l 枷国m 女。 ( 3 1 5 ) 1脚朋掰 由式( 3 1 4 ) 及式( 3 15 ) 通过直接计算可以获得c o d a z z i 方程和r i c c i 方程 h 沙一h 街= r 。+ l 毋， ( 3 1 6 ) 一= r 。谢+ z h 拥尺删。 ( 3 1 7 ) j hm 把死c d ；限制到m 上，瓦+ 。秘，记为 j i ：l + 呐，= 瓦+ 。彬+ j i ：l 柏枷+ 瓦+ 。跏+ 。+ h 耐瓦驰。 ( 3 1 8 ) m 的第二基本形式j j i 的l a p l a c i a n