（系统分析与集成专业论文）基于时域的分数阶pid动态矩阵控制算法研究及其应用.pdf

目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1j ；i 言l 12 预测控制理论概述2 1 2 1 预测控制的发展历史2 1 2 2 预测控制的研究近况3 1 3 分数阶控制理论概述。4 1 3 1 分数阶微积分的的定义和性质4 l3 2 分数阶控制器6 1 4 本文研究目的和主要内容。7 1 5 文章组织结构8 第二章模型预测控制基本算法9 2 1 模型预测控制概述9 2 1 1 模型预测控制数学基础、基本原理及特点9 2 1 2 模型预测控制典型算法1 0 2 2 动态矩阵控制算法l1 2 2 i 动态矩阵控制的数学模型。1 l 2 2 2 基于预测状态空间模型的d m c 算法1 3 2 2 3 预测状态观测器。1 5 2 2 4 参数选取的分析1 6 2 2 5 动态矩阵控制算法实现步骤18 2 3p i d d m c 控制算法l8 2 4 本章小结2 l 第三章分数阶p i d 动态矩阵控制算法2 2 3 1 分数阶p i d 控制算法2 2 3 1 1 分数阶p i d 控制算法的特点2 2 3 1 2 增量式分数阶p i d 控制算法2 2 3 2f o p i d d m c 控制器2 3 3 3f o p i d d m c 控制器在e p a 实验装置双容水箱液位控制中的应用及结果分析。2 6 3 3 1 仿真研究2 6 3 3 2 实验及结果分析2 9 3 4f o p i d d m c 控制器在过热汽温控制中的应用3 0 3 4 1 过热汽温控制的现状3 0 3 - 4 2 仿真研究及分析3l 3 5 本章小结3 3 第四章针对延迟的p i d 动态矩阵控制。3 4 4 1 控制系统的时延问题分析3 4 4 2 有纯延迟的p i d 动态矩阵控制算法3 5 4 3 时问标记的p i d d m c 算法。3 6 4 4 仿真研究4 0 4 5 本章小结4 2 第五章总结与展望4 4 参考文献4 6 致谢5 0 攻读硕士学位期间发表的主要论文5 l 捅要 模型预测控制( m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ，m a c ) 是继经典控制理论和现代控 制理论之后出现的一类基于模型的先进控制算法，在工业控制过程中得到广泛 应用。它通过实验手段获取系统的模型，其基本思想为“模型预测反馈校正 滚动优化”，通过系统的二次性能指标获取最优控制量。它的典型算法有 三大类：模型算法控制( m o d e la l g o r i t h m i cc o n t r o l ，m a c ) 、动态矩阵控制 ( d y n a m i cm a t r i xc o n t r o l ，d m c ) 、广义预测控制( g e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r o l ， g p c ) 。本文以d m c 的状态空间描述为基础，主要对p i d 动态矩阵控制算法进 行改进和研究。 相对于传统的整数阶控制，分数阶控制是一种很好的概括和补充，它使传 统的控制理论更具鲁棒性，使控制系统的静态和动态特性能够得到很好的改善， 并且分数阶控制器可以在频域内进行设计。因此，本文在分析分数阶p i d 算法 和动态矩阵控制算法的基础上，推导了分数阶p i d 动态矩阵控制算法 ( f r a c t i o n a l - o r d e rp i dd y n a m i cm a t r i xc o n t r o l ，f o p i d d m c ) 。该算法既具有分数 阶p i d 算法的优点，结构简单，参数调节方便，又具有预测功能。在时域内分 析了分数阶p d d m c 控制器的参数选择对控制性能的影响，给出参数选取范围。 通过仿真说明了分数阶p d d m c 算法比基本d m c 算法和p i d d m c 算法具有更 好的控制性能。 目前，应用于e p a 控制系统和电厂过热汽温系统的控制算法还是以传统 p i d 算法为主，本文将改进的f o p i d d m c 算法应用在e p a 控制系统和过热汽 温系统中，并在时域内分析了参数选择对系统控制性能的影响，为今后的工程 实践打下基础。 此外，大多数工业过程被控对象都有延迟特性，因为网络引入的通信延迟 能导致系统性能退化甚至不稳定。针对这种网络控制系统中的延迟，本文分析 了导致时延的原因，并引入时间标记的p d d m c 算法( t i m e s t a m p e dp i d d y n r l l l i cm a t r i xc o n t r o lt s p i d d m c ) ，建立随同时间标记的通信延迟模型。通 过时间标记测量网络延迟，在线校正系统的阶跃响应系数和控制系数，并给出 了算法的推导过程。仿真实验证明，针对文章所研究的延迟，这种新算法能得 到比p d d m c 算法更好的控制性能，改进了网络控制系统的可靠性。 关键词：m p c ，d m c ，分数阶p i d 控制，网络控制系统，时延 a b s t r a c t m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o li sat y p eo fa d v a n c e dc o n t r o la l g o r i t h m sb a s e do n m o d e la f t e rt h et y p i c a lc o n t r o la l g o r i t h ma n dt h em o d e mc o n t r o la l g o r i t h m i th a s b e e nw i d e l yu s e di ni n d u s t r i a lp r o c e s sc o n t r 0 1 n em o d e l si nt h i sa l g o r i t h ma r e g a i n e dt h r o u g he x p e r i m e n t a lm e t h o d s 1 1 l em a i ni d e a so ft h ea l g o r i t h ma r e m o d e l p r e d i 曲n 争诧e d b a c kr e v i s m 争m l l i n go p t i m i z i n g b yc a l c u l a t i n gt h eq u a d r a t i c p e r f o r m a n c ei n d e xo ft h es y s t e m ，t h eo p t i m a lc o n t r o lv a r i a b l ew i l lb eg o t m t y p i c a la l g o r i t h m so fm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o la r cm o d e la l g o r i t h m i cc o n t r o l ( m a c ) ， d y n a m i cm a t r i xc o n t r o l ( d m c ) ，g e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r o l ( g p c ) i nt h i sp a p e r , b a s eo ns t a t es p a c ed e s c r i p t i o n0 fd m c ，0 1 1 1 d i s c u s s i o n sm a i n l yf o c u so i li m p r o v i n g a n dr e s e a r c h i n gp d d m c a l g o r i t h m ，n l ef a c t i o n a l - o r d e rc o n t r o li ss u p p l e m e n ta n ds u m m a r yt ot h et r a d i t i o n a l i n t e g e r - o r d e rc o n t r o lt h e o r y i tm a k e st h et r a d i t i o n a l c o n t r o lt h e o r yb e t t e ri n s i m u l a t i o na n dr o b u s t n e s sa n dm a k e st h es t a t i ca n dd y n a m i cp e r f o r m so ft h ec o n t r o l s y s t e mc a nb ei m p r o v e d 懒sm o r e 。也ef r a c t i o n a l - o r d e rc o n t r o l l e rc a n b e d e s i g n e dw i t h i nt h ef r e q u e n c yd o m a i n b a s eo na n a l y z i n gt h et w oc o n t r o la l g o r i t h m , t h i sp a p e rd e r i v e sf r a c t i o n a l - o r d e rp i dd y n a m i cm a t r i xc o n t r o lf f o p d d m c ) a l g o r i t h m r n l i sa l g o r i t h mh a sn o to n l yt h ea d v a n t a g eo ft h ef r a c t i o n a l - o r d e rp d ， w h i c hi sr e l i a b l ei no p e r a t i o na n dc o n v e n i e n ti nr e g u l a t i n gp a r a m e t e r s ，b u ta l s ot h e p r e d i c t i o nf u n c t i o n s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h i sa l g o r i t h mi sb e t t e rt h a nb a s i c d m c a l g o r i t h ma n dp d m ca l g o r i t h mi nm a n yp e r f o r m a n c e s a tp r e s e n t , t h ea l g o r i t h ma p p l i e di ne p ac o n t r o ls y s t e ma n ds u p e r h e a t e d t e m p e r a t u r es y s t e mo fp o w e rp l a n t si sm a i n l yt r a d i t i o n a lp da l g o r i t h m i nt h i sp a p e r , t h ei m p r o v e df o p d m ca l g o r i t h mi sa p p l i e di ne p ac o n t r o ls y s t e m t h ei n f l u e n c e o ff o p i d d m cc o n t r o l l e rp a r a m e t e rt u n i n go ns y s t e mp e r f o r m a n c ei si n v e s t i g a t e di n t i m ed o m a i n , w h i c hl a y sa g o o df o u n d a t i o nf o rf u t u r ee n g i n e e r i n gp r a c t i c e m o s ti n d u s t r i a lp r o c e s s e sh a v ec h a r a c t e r i s t i co ft i m ed e l a y t h ec o m m u n i c a t i o n d e l a yi n t r o d u c e db yt h en e t w o r k sc a nl e a dt op e r f o r m a n c ed e g r a d a t i o na n de v e n i n s t a b i l i t y t oa d d r e s sn e t w o r k i n d u c e dd e l a y s ，at i m e - s t a m p e dp dd y n a m i cm a t r i x c o n t r o l ( t s p i d d m c ) a l g o r i t h mw h i c hu s e sac o m m u n i c a t i o nd e l a ym o d e lt o i m p r o v er e l i a b i l i t yo v e rn e t w o r kc o n t r o ls y s t e m si sp r o p o s e d n en e t w o r k i n d u c e d d e l a y sa r em e a s u r e db yat i m e s t a m pm e t h o d ，b a s e do nw h i c ht h es t e pr e s p o n s e t o e 伍c i e n t sa n dc o n t r o lc o e 伍c i e n t sa t ec o r r e c t e di ne a c hs a m p l i n gp e r i o da n dt h e a l g o r i t h md e r i v a t i o ni sg i v e n s i m u l a t i v ev a l i d a t i o no ft h i sn e wa l g o r i t h mr e s u l t e di n i m p r o v e dp e r f o r m a n c ea n ds t a b i l i t yo v e rp m d m c c o n t r 0 1 k e yw o r d s ：m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ， n e t w o r kc o n t r o ls y s t e m ，t u n ed e l a y i i ! 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 2 0 世纪5 0 年代，经典控制理论逐渐发展成熟，其研究对象是只有一个输入变景和一 个输出变量、参数不随时问变化的单变量定常系统，以拉普拉斯变换为基础，采用输入输 出的传递函数作为系统数学模型，最后采用频率响应和根轨迹法对系统进行分析和综合。 现代控制理论则从2 0 世纪6 0 年代发展起来，以状态空问法为基础，以时间域方法对系统 进行分析和综合，研究对象广泛，建立各类对象的数学模型需涉及现代数学的多个分支。 经典控制理论和现代控制理论经过近半个世纪的发展和应用，在自动控制系统领域发挥了 重要作用，推动了控制理论和控制- t 程的发展，促进了生产力的进步。但随着科学技术和 生产力的快速发展，许多系统呈现多参数时变、大滞后、具有严重非线性、不确定性和强 耦合的多输入、多输出等特点，很难获取其精确数学模犁。即使某些对象能够建立起数学 模型，其结构往往十分复杂，很难设计和实现有效控制。虽然自适应、自校正控制技术能 在一定程度上能解决不确定性问题，但其本质仍然要求在线辨识对象模型，所以算法复杂， 计算最大，且它对过程的未建模动态和扰动的适应能力差，系统的鲁棒性问题仍未解决， 应用范围也受到限制i ij 。 为了克服理论和应用之间不协调这一问题，近十几年来发展了多种先进控制理论和方 法。而计算机自问世以来，计算机软、硬件技术都得到了飞速的发展，数字计算机向小型、 高速、大容量、低成本方向发展，使计算机在工业控制应用中得到普及，同时也推动了高 级过程控制、人工智能控制、模糊控制等一系列先进控制技术、复杂工业控制算法、策略 的诞生、发展和完善【2 】。预测控制就是在这种情况下发展起来的一种新型的计算机控制算 法。 目前，几乎所有的控制系统在以微分方程描述时，其微分一般考虑为整数阶。实际上， 采用分数阶描述那些本身带有分数阶特性的对象时，能更好地揭示对象的本质特性和行为。 但因分数阶的复杂性和缺乏相应的数学工具，人们常常忽略系统的实际阶次，采用整数阶。 分数阶微积分自2 0 世纪6 0 年代应用于控制领域，直到2 0 世纪末才出现较好的成果，例如 o u s t a l o u p 等提出了c r o n e 控制原理【3 l ，m a t i g n o n 研究了分数阶系统的稳定性、可控性、 可观性【4 】【5 】，p o d l u b n y 研究了肼丑z 吵控制器【们，v a l e r i od 等研究了基于时域的分数阶控制 器的实现r 7 1 ，z h a o 、c 等针对一类分数阶系统提出了分数阶p i d 校正算法i s 。在分数阶控 制的发展历程中，五d 控制器的出现是个里程碑，分数阶控制实际上是对古典整数阶控 制的普遍化。 随着科学技术的发展，尤其是计算机的应用，分数阶控制理论成为了许多学科发展的 理论基础和数学工具。近年来，学者们试图将其应用于控制领域，分数阶控制理论引起了 广泛关注。随着分数阶数值方法及其算法不断改进，其分析方法和控制策略以及分数阶控 制器设计等的不断提出，分数阶控制理论得到更加广泛的应用和发展【9 】。 南京信息工程大学硕士学位论文 1 2 预测控制理论概述 1 2 1 预测控制的发展历史 2 0 世纪6 0 年代初，k a l m a n 等人提出线性二次高斯控制( l i n e a rq u a d r a t i cg a u s s i a n ( l q g ) ) 方法【m 】【l l 】，这标志着现代控制理论的到来。随着微处理器的出现，计算机性能大 幅度提升，使计算机应用于工业成为可能，于是人们开始探索将先进的现代控制理论应用 于工业控制中，对传统的p i d 控制进行补充和完善。但是，通过实践证明，如果只是机械 地将现代控制理论拿来应用于_ t 业控制，其控制效果很不理想，与最优控制性能相差甚远。 原因在于，工业对象具有不确定的结构、环境和参数等，对其建立精确数学模型存在困难。 而以现代控制理论为指导设计的控制策略要求精确的数学模型，否则，这些控制策略非但 达不到预期效果，甚至可能造成控制性能恶化。在这种情况下，为了满足复杂工业过程的 控制要求，产生了一种建模与控制的新方法，即模型预测控制技术。 预测控制的基本思想可以追溯到6 0 年代。z a d e h 和w h a l e n 在1 9 6 2 年就提出了有关最 小时问优化的控制问题。1 9 6 3 年，p r o p o i 提出了预测控制的核心思想滚动时域控制的方 法0 2 1 ，即“开环优化问题”。1 9 6 7 年l e e 和m a r k u s 在他们的最优控制教科书中也预言了如 今m p c 的实际形式【l3 1 。1 9 7 8 年，r i c h a l e t 等在论文中第一次阐述了智能控制算法产生的背 景、机理和应用效剽1 4 1 。经过3 0 多年的发展，预测控制在算法改进和理论分析等方面取得 了巨大发展，并日趋成熟，迄今为止已经成功地应用在石油、化工、冶金和机械等多个工 业领域。 预测控制算法的形式有很多种，一般情况下，可将其划分为两大类： 第一类为基于非参数模犁的模型预测控制( m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r 0 1 ) ，简称m p c 。 r i c h a l e t ( 1 9 7 8 ) 1 1 4 m e h r a ( 1 9 8 2 ) 【l5 】等提出建立在脉冲响应模型基础上的模型预测启发 控制( m o d e lp r e d i c t i v eh e u r i s t i cc o n t r o l ，m p h c ) 或模型算法控制( m o d e la l g o r i t h m i c c o n t r o l ，m a c ) ：c u t l e r ( 1 9 8 0 ) 1 1 6 1 等以阶跃响应模型为基础，提出的动态矩阵控制( d y n a m i c m a t r i xc o n t r o l ，d m c ) 为该类控制算法代表。其特点是：易于在工业现场获得其脉冲响应， 无需复杂的系统辨识建模：针对各种不确定性的因素，采用反馈校正基础上的在线滚动优 化取代传统的最优控制，增强了控制的鲁棒性，同时在线计算也比较简单。因此，这类算 法迎合了实际二l 二业过程控制的需要，很快引起了人们的广泛兴趣，并迅速成功应用于实践 当中。 第二类是基于参数化模型的预测控制，主要有c l a r k e ( 1 9 8 7 ) 0 7 1 提出的广义预测控制 ( g e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r o l ，g p c ) 和l e l i c ( 1 9 8 7 ) i l 州提出的广义预测极点配置控制 ( g e n e r a l i z e dp o l e sp l a c e m e n t sc o n t r o l ，g p p ) 。2 0 世纪8 0 年代初期，在研究自适应控制理 论的过程中，以广义最小方差为基础，引入预测控制中的多步预测优化策略，产生了基于 辨识受控参数模型、且带有自适应控制或者为增加系统稳定性而配置的极点的预测控制算 法，从而增强了自适应控制系统的鲁棒性。由于g p c 结合了自适应控制和预测控制。因而 2 第一章绪论 能及时修正参数变化产生的预测模型的预测误差，进而改善系统的动态性能，g p c 在工业 过程控制中的应用取得巨大成果。 1 2 2 预测控制的研究近况 预测控制理论自提出一来，已经在许多工业领域获得成功应用。同时，针对新出现的 问题，人们不断对预测控制理论进行深入研究，通过将人工神经网络、模糊逻辑，专家系 统等智能方法与预测控制相结合，设计预测控制系统，这也成为预测控制的另一研究热点。 ( 1 ) 基于神经网络的预测控制 神经网络具有分布存储与冗余、非线性、并行处理、学习和自适应性等特点，可以任 意精度逼近非线性系统的输入输出特性，用其作为非线性系统预测模型，可较好地解决复 杂非线性系统的辨识建模和预测问题。因而，利用神经网络的这些优点，可实现非线性函 数的建模与多步预测，进而获取被控过程的预测信号；或者控制二个神经网络，按照与预 测控制目标函数相应的驱动信号，用控制网络来调整该网络的权值，从而逼近预测控制规 律函数。 自2 0 世纪8 0 年代中期兴起，神经网络理论很快就被应用于预测控制尤其是非线性预 测控制中，且与其他算法结合形成许多新的算法。m i l l s 等利用一种递推式网络建立模型进 行多步预测，用非线性规划求解非线性预测控制律，获得一种非线性预测控制器【1 9 1 。n a j i m 等利用两个神经网络，基于系统的各种约束条件和多步预测目标函数在线训练控制网络求 取控制律1 2 。张海龙研究了基于神经网络辨识的动态矩阵预测控制新方法，利用作为对象 辨识模型的神经网络产生输出预测，用滚动优化算法求出控制律，从而实现对非线性系统 的预测控制1 2 l 】。李志斌利用动态节点生成构造性r b f 神经网络辨识对象模型，同时预测 对象的未来输出，研究了一种利用r b f 神经网络预测模型的动态矩阵控制算法1 2 2 1 。 ( 2 ) 模糊预测控制 预测控制以精确的对象模型为基础，模型的选取注重模型功能：而模糊控制不需要精 确的数学模型，仅需利用一些反映系统特性的先验知识，按一定的控制规则来实施控制， 适合于复杂的、尤其是无法建立数学模犁的对象。结合预测控制和模糊控制两种方法，能 形成内在机理上互补的集成控制策略，提高控制效果，因此是研究热点之一。 a b o n y i 等将非线性系统转化为线性时变系统，对单值后件模糊模型进行工作点线性化 得到一种模糊预测控制 2 3 j 。l i u 等采用模糊聚类和线性辨识方法建立系统的t - s 模糊预测 模型，然后基于分支定界法对控制量进行离散寻优，实现对象的非线性预测控制，由此提 出一种基于在线模糊建模和离散优化的非线性预测控制算法 2 4 1 。孙乐文研究了基于t - s 模 糊模型的非线性系统辨识算法，并研究了非线性系统的模糊预测控制问题【2 5 1 。张立等对 w a n g - m e n d e l 建模方法进行了改进，并提出一种利用模糊控制权分担控制量及控制增景约 束的模糊预测复合控制策略1 2 6 1 。 ( 3 ) 预测函数控制 与一般预测控制相比，该方法更注重控制量是与相应的一组过程特性及跟踪设定值有 3 南京信息工程大学硕士学位论文 关的函数，它可克服其它模型预测控制可能出现的规律不明的控制输入问题，优点是控制 量计算方程简单，且所有系数可离线计算，实时控制最小，适用于快速系统的控制。在线 性控制系统中，预测函数控制取得了很好的理论研究和实际应用成果。 例如针对工业过程中一类场景的非线性对象，基于伪偏导数( p p d ) 的概念动态线性化 非线性系统，采用聚合方法预测p p d ，提出一种无模型自适应控制算法 2 7 】；针对工业炼焦 炉膛压，提出一种简化线性迭代预测函数控制方法网：基于递归模糊辨识和预测函数控制， 将递归模糊辨识方法应用于预测函数控制中，提出了自适应模糊预测函数控制器1 2 9 1 。 ( 4 ) 灰色预测控制 灰色系统是指部分信息已知的系统。灰色系统理论认为：任何随机过程都可看作是在 一定时空区域变化的灰色过程，随机量可看作是灰参数，无规则的离散时空数列是潜在的 有规则序列的一种表现，因而通过生成变换可以将无规则序列变成有规则序列。学者们把 灰色系统理论与预测控制相结合，形成灰色预测控制。姚培等针对变量时滞系统，提出一 种以灰色模型为基础的多变量灰色预测函数控制策略，并给出多变量灰色预测函数控制算 法，获得了较强的鲁棒性、快速性和强抗干扰能力m 】；郭颖等基于g m ( 1 ，2 ) 灰色模型和 一种新型综合偏差，提出了基于g m ( 1 ，2 ) 模型的多步自调节灰色预测控制算法，该算 法既能在线预测系统未来多步行为，又能实时调节预测值在控制凹路中的作用，减小预测 误差对系统的不利影响p 。 随着预测控制理论研究的不断深入，预测控制在工业过程中的应用越来越广泛，应用 范围遍及石油、化工、炼油、冶金、造纸、电力、工业锅炉及热交换系统、机械制造、液 压传动、军事、航空、航海等几乎所有行业。预测控制己成为- t 业领域中主要的先进控制 策略，它的使用带来了巨大的经济效益。近些年来在催化裂化反应过程【3 2 】、造纸过程【3 3 1 、 机器人 3 4 - 3 6 、电机控制3 7 1 、轧钢过程3 8 1 等方面得到了较为成功的尝试和应用。 1 3 分数阶控制理论概述 早在1 6 9 5 年，分数阶微积分的思想就被提出，它把微积分的阶次由传统的整数推广到 分数乃至复数。现实的多数系统都是属于分数阶的，因而运用分数阶模犁能更准确的描述 该类系统。但由于分数阶微积分计算复杂，且物理意义不够明确，多数学者都只是对其进 行数学理论研究。随着分数阶微积分理论和计算机科学的飞速发展，分数阶微积分成功应 用于实践，并逐步渗透到许多工程应用领域。 1 3 1 分数阶微积分的的定义和性质 分数阶微积分的基奉操作算子为。口p ，其定义为3 9 1 4 第一章绪论 口口p = d p | d t p 1 r e p 0 r e p = 0 f ( d f ) 叩r e p o ( 1 1 ) 其中，p 为运算阶数；t 和a 为积分的上、下限。至今为止已发展了好几种分数阶微积分 的数学定义，最常用的有嗍： r l ( r i e m a n n - l i o u v i l l e ) 定义： 巾) 2 南嘉n 矿川巾) 如 ( 比) g l ( g r u n w a l d l e t n i k o v ) 定义： 。o , p d t p f ( f ) _ 眇p 势) 它刊 饥3 ， n f ) 2 烛扩萎( 一1 ) u 弘一力) ( 1 3 ) c a p u t o 定义： 。驸= 丽i 瑶f n4 ) 其中珂- l p 刀；r ( ) 为欧拉g 锄眦函数；j i = ( ，一哆彳中 i 为计算步长；【】为整数 部分。实际应用中，上面式( 1 2 ) 和式( 1 3 ) 两个定义等价，但r l 定义常用于公式运算， 而g l 定义则用于数值求解。 整数阶微积分是分数阶微积分的特殊情况，故分数阶微积分与整数阶微积分的性质极 其相似4 1 】： ( 1 ) o q p 厂( ，) 对f 和p 都解析； ( 2 ) 当p 为接数时，其值与整数阶微积分相同： ( 3 ) 满足交换律- q 叠加关系 。口p l o , 9 厂( f ) 】= 。q 9 【。口p ( f ) 】_ 口q g s ( t ) ( 1 5 ) 争吖( ，) 】_ 口州竽h 口州巾) ( 1 6 ) “) 分数阶微积分算子具有线性特性 。口p 【五( ，) + g ( f ) 】= 丸q p 厂( ，) + 心口p g ( t ) ( 1 7 ) 5 南京信息工程大学硕士学位论文 1 3 2 分数阶控制器 随着人们对分数阶微积分理论的深入研究和应用，产生了分数阶控制理论和分数阶控 制器这一新的控制理论领域。通常可将闭环控制系统分为4 类：整数阶对象模型与整数阶 控制器、整数阶对象模犁与分数阶控制器、分数阶对象模型与分数阶控制器和分数阶对象 模型与整数阶控制器。也就是说，分数阶控制器既能应用于分数阶对象，也能应用于整数 阶对象。然而实际上多数对象都是建立整数阶辨识模犁，因此目前的研究仍集中在把分数 阶控制器应用在整数阶模型对象上，其好处是，相比整数阶控制器，只要采用简单的分数 阶控制器就能获得更好的动态性能，鲁棒性也有所增强。 分数阶控制理论发展至今，已有众多类型的控制器，具有代表性的有以下几种： ( 1 ) t i d 控制器 b j l u r i e 在1 9 9 4 年提出了t i d ( f l i t - i n t e g r a l - d e r i v a t i v e ) 控制器，由积分环节、微分环 节和一个分数阶环节并联组成，改变传统p i d 控制器的比例环节使其为s “，理论上系统 传递函数接近最优，因此该控制器不仅能继承传统p i d 控制的优点，结构简单，参数较少， 调节方便，而且其动态响应性能和抑制扰动的能力都得到增强h 2 1 。 ( 2 ) c r o n e 控制器 该控制器由o t l s t a l o u p 3 在解决汽车的鲁棒性控制和改进的悬架时提出，产生于传统的 悬架模型，其弹阻结构被一个机械液压气动系统代替。通过设计使系统的特征方程为 1 - i - ( 似) 4 = 0 ，从而获得较好的系统鲁棒性。目前，c r o n e 控制器已经成功应用于车辆底 盘控制h 3 1 、台架测试1 4 4 1 、液压