（应用数学专业论文）cagd中曲面曲率线的计算方法研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本文的主题是对c a g d 系统中所需的曲面曲率线的计算方法进行研究 第一章综述了n u r b s 曲面的发展历程，由此引申出测地线和曲率线计算的 必要性 第二章综述了有关测地线和曲率线的计算方法的研究现状，内容包括： n u r b s 曲面上测地线的求积，网格面上离散最短路径的算法，网格顶点处主方 向的估计，脐点的确定，特征处理，以及曲率线的跟踪算法和间距优化 第三章是本文的核心部分，作者对m 爪b s 曲面的曲率线的积分进行了系统 的公式推导，并利用n u r b s 曲面的离散法向量有效地简化了曲面第二基本量的 计算，使得用e u l e r 法迭代求解曲率线微分方程的过程得以加速；在求得曲率线 上的离散点集以后，又应用奇异混合插值技术，在可控精度内把蓝率线用显式直 接表为位于n u r b s 曲面上的b 样条曲线。 第四章是最后一章，介绍了作者在网格面上离散主曲率算法的初步研究结 果及设想 关键词：曲率线微分方程n u r b s 曲面奇异混合插值离散法向量离散 主曲率网格面 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et o p i co f t h i sp a p e ri st om a k ea l li n v e s t i g a t i o no na r i t h m e t i cf o rc u r v a t u r e l i n e so fs u r f a c ei nc a g d t h eo p e n i n gc h a p t e rg i v e sag e n e r a lo v e r v i e wo f h i s t o r yo f t h ed e v e l o p m e n to f t h en u r b ss u r f a c e ，a w a k e nt ot h en e c e s s i 母o fc o m p u t eo ng e o d e s i ca n dc u r v a t u r e l i n e so fs u r f a c e w es u m m a r i z et h ea c t u a l i t yo f c o m p u t eo ng e o d e s i ca n dc u r v a t u r el i n e s ， d e s c r i b e di nt h es e c o n dc h a p t e r i tc o n s i s t so fi n t e g r a lo fg e o d e s i co nn u r b ss u r f a c e ， a l g o r i t h mo f t h es h o r t e s tp a t ho nd i s c r e t em e s h e s ，e v a l u a t i n gt h ep r i n c i p a ld i r e c t i o ni n v e r t e xo nm e s h e s ，j u d g e m e n to f u m b i l i c a lp o i n t ，f e a t u r ep r o c e s s ，t r a c ka l g o r i t h ma n d o p t i m i z a t i o no fs p a c e i nt h et h i r dc h a p t e r , t h ee s s e n t i a lp a r to f t h i st h e s i s ，a u t h o rp r e s e n t sas y s t e m i c f o r m u l af o rc o m p u t i n gt h ei n t e g r a lc u r v a t u r el i n e so nn u r b ss u r f a c e s t h ed i s c r e t e n o r m a li su s e dt os i m p l i f yt h ec a l c u l a t i o no f t h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo f t h e s u r f a c el a r g e l y , w h i c ha c c e l e r a t et h ee u l e ri t e r a t i o np r o c e s si ns o l v i n gt h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o no fc u r v a t u r el i n e t h ed i s c r e t ep o i n t so nt h ec u r v a t u r el i n ea r et h e no b t a i n e d a n da p p r o x i m a t e db yab s p l i n ec u r v eo nt h en u r b ss u r f a c ew i t h i ns o m et o l e r a n c e b a s e do ns i n g u l a rm i x e di n t e r p o l a t i o n t h ef o u r t hc h a p t e r ；t h el a s tc h a p t e r ，g i v e sa ni n t r o d u c t i o nt or o u g hr e s u l t sa n d i d e a so fa l g o r i t h mo fd i s c r e t ep r i n c i p a lc u r v a t u r eo nm e s h k e y w o r d s ：c u r v a t u r el i n e ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，n u r b ss u r f a c e ，s i n g u l a rm i x e d i n t e r p o l a t i o n , d i s c r e t en o r m a l ，d i s c r e t ep r i n c i p a lc b r v a t u r e ，m e s h s u r f a c e i i 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1n u r b s 曲线曲面的理论发展 c a d ( c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ) c a m ( c o m p u t e ra i d e dm a n u f a c t u r e ) 技术起源 于航空工业由于飞机的外形复杂，含有大量的曲面，因此，c a d c a m 技术从一 开始就与曲线曲面造型技术紧密联系在一起作为c a d 系统中最重要的概念， n u r b s 曲线曲面理论的发展与完善是国内外无数科研工作者几十年的努力的结 果 6 0 年代初，f e r g u s o n 首先在飞机设计上应用了参数三次曲线1 1 3 1 ，引入了参 数方法表示的自由曲线曲面，b 6 z i e r 在1 9 6 2 年设计了以逼近为基础的曲线曲面造 型系统u n i s u r f ，其核心思想是用控制网格定义曲线曲面的雎z j e r 方法u 4 。随 后，f o r r e s t - z s ，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 1 6 17 】等对b 6 z i e r 方法做了深入研究，揭 示了b e z i e r 方法与b e r n s t e i n 多项式之间的联系，从而使其具有更坚实的理论基 础。1 9 8 3 年，f a r i n 【1 8 】更进一步研究了能统一表示圆锥曲线与自由曲线的有理 b 6 z i e r 曲线。 另一方面，b 样条( b - s p l i n e ) 曲线曲面由于具有局部性及连续阶可调性而逐 步成为几何造型的核心技术。b 样条的概念最初是由s c h o e n b e r g 于1 9 4 6 年首先提 出来的1 1 9 。c l a r k1 2 0 , 2 q ，d eb o o r 【2 2 l 和c o x1 2 3 分别对b 样条曲线做了研究。 7 0 年代初，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 等人研究了非均匀b 样条【2 4 】，并首次将b 样条应用到外型设计口4 】。v e r s p r i l l e 完成了有关有理b 样条的博士论文l 2 5 1 在8 0 年代初期，l a n e 和c o h e n 提出了离散b 样条和分割技术| 2 5 , 2 7 。1 9 8 2 年，b o e h m 提出t b 样条曲线的节点插入算法【2 8 】；t i l l e r 论述了有理b 样条曲线曲面的具体 应用1 2 9 。此后，lp i e g l 和w t i l l e r 更系统地探索了有理b 一样条曲线曲面的构 造和形状调整问题，并系统论述t n u r b s ( n o n - u n i f o r mb - s p l i n e ) 方法 3 0 , 3 1 , 3 2 , 3 3 1 。 由于n u r b s 方法可以用统一的方式表示由次，= 次曲线曲面和其它自由 曲线曲面复合成的复杂曲线曲面，所以它在外形设计方面具有强大的功能与潜 力n u r b s 方法的引入大大增强了c a d c a m 系统的曲面造型功能，因而得到了日 渐广泛的应用目前，工业制造业已选用n u r b s 作为几何描述的主要方法d 4 o 浙江大学硕士学位论文 n u r b s 已成为众多c a d c a m 系统的基本几何表达形式和数据交换的国际标准 1 2 测地线和曲率线研究 经典的微分几何研究三维欧氏空间的曲线和曲面在一点邻近的性质。在微分 凡何发明的同时，就开始了平面曲线微分几何的研究，第一个作出重要贡献的就 是l e u e r ( 1 7 0 1 一1 7 8 3 ) 。他在1 7 3 6 年引进了内在几何的研究。将曲率描述为 某一特殊角的变化率。后来欧拉由于从事变分法研究开始讨论曲面上测地线的性 质，以及后来德国伟大的数学家高斯对曲面基本定理的确立，开创了微分几何经 典时代。 微分几何学以光滑曲线( 曲面) 作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线 的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一 般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲面在一点的曲率等，就 是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微 分的方法。 在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由点 到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一 点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的条 测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面上曲率线的判别与计算也是 微分几何的重要内容。 尽管微分几何已经给出了曲面上曲率线的微分方程，但未给出实用有效的 求解方法特别是，当n u r b s 已成为众多c a d c a m 系统的基本几何表达形式和数 据交换的国际标准以后，在已知的n u r b s 曲面上求出其曲率线，并用b 样条形式 来显式表示的现实问题就提到了议事日程上 本文正是从曲率线的微分方程出发，先求出n u r b s 曲面的积分曲率线上的离 散点列；再利用奇异混合插值技术，将这些离散点列集成为此n u r b s 曲面上用b 样条来显式表达的一条参数曲线此外，本文还对网格面上曲率线的估算给出 一些初步的结论 浙江大学硕士学位论文 第二章测地线和曲率线的研究现状 曲率线和测地线是曲面上极为重要的两类曲线 1 1 。在外形设计中，如何 灵活而有效地利用这两类曲线的微分几何性质，把它作为曲面造型的辅助工具， 是一项富有实用价值的研究课题。近年来，有关测地线的研究较为活跃，已有 相当多的文献，给出了参数曲面、网格蓝面、点云曲面上测地线的计算方法】 及其在蓬帆制造【4 】、切割或油漆路径设计 5 1 、光学路径设计【5 1 、流程模拟 s l 、 活动轮廓线 6 1 、机器人行走路径规划1 7 等工业领域的应用，然而在曲率线的绘 制与应用技术方面鲜有研究文献发表，仅有一篇文章提到了网格曲面的曲率线 求解方法 g l 。 2 1 测地线的研究 在一张曲面s 上任意取2 点p ，q 在s 上由点p 到达点q 的路径有无数条， 但是在局部范围内最短的路径只有一条，叫做p 到q 的测地线。曲面上的测 地线与平面上的直线有许多非常相似的性质，因此测地线是曲面造型研究中的 一个基本对象，也是曲面造型构造中一类非常重要的曲线。 在复合金属材料机械加工和计算机仿真设计中，测地线扮演十分重要的角 色。在线圈缠绕，心轴表面的光纤铺设以及高等几何中曲面曲线的等距问题中， 测地线都有着非常广泛的应用。曲面上的一条曲线，如果曲线上的每一处的主 法向落在它的密切平面内，我们称它是测地线。曲线上任意一点处的 f r e n e t s e r r e 标架包含三个互相正交向量。每点测地曲率为零的衄线也被定义 为测地线。由曲面上任意给定的点，沿着与曲面相切指定的方向，可唯一确定 一条测地线测地线其他的特性参见d oc a r m o 在1 9 7 6 年发表的相关文献【3 5 1 。 1 9 8 9 年p a t r i k a l a k i s 和b a d r i s 提出参数曲面测地线的数字逼近形式非常精确 和简洁，但是非常耗时【3 6 1 。由于平面上的测地线就是直线这一基本原理的启发， 2 0 0 0 年h o t z 和h a g e n 提出任意曲面上的测地线方法。这个方法计算量大大减 少，在可视化测地网格中被广泛应用幽j 。 1 9 9 7 年t u c k e r 提出了网格曲面上离散测地线算法1 3 扪。平面片上的测地线 浙江大学硕士学位论文 是直线，当测地线跨越面片之间时具有保角性质。但是t u c k e r 并没有给出当测 地线通过网格顶点时的处理办法。1 9 9 8 年p o l t h i e r 和s c h m i e s 引进了离散测 地线曲率这一个概念 3 9 1 ，定义多面体上的最短路径，多面体上的离散测地线比 局部最短路径更为直观。他们指出，多面体上的最短路径，其上任意一点左右 弯曲角度相等。从而完善了t u c k e r 关于测地线在网格顶点处的定义。但这种方 法没有考虑曲面的法向对测地线计算的影响。 机械制造和计算机仿真设计追求一种在合理精度下快速简单的测地线算 法，对网格面计算离散测地线的方法显得尤为迫切。曲面上测地线的直接计算 和网格面上最短路径的离散逼近，两者之间的比较研究有着重要的实际应用背 景。在已知的参考文献里，没有发现各种测地线算法的本质差异。其方法大致 分为以下3 类： 1 、参数曲面测地线的直接计算和网格面最短路径的离散逼近之间的比较： 2 、利用网格面的法向，进一步完善网格面上测地线计算； 3 、提供n u r b s 曲面上测地线更为有效的算法。 研究工作只局限在三角网格。 2 0 0 3 年k u m a r 等人在c a g d 上发表了一篇综述性的文章口l ，详细地比较了 曲面上测地线以往研究工作的优劣性，并指出研究所遵循的原则。由于本文的 工作是受这一工作启发，对曲率线给出了类似的结论，在此介绍下这篇文章 的核心思想和具体步骤。文章主要总结了参数曲面上的测地线算法和网格曲面 上的最短路径算法。 2 1 1i 灯r b s 曲面上测地线算法 k u m a r 等人将p a t r i k m a k i s 和b a d r i s 提出参数曲面测地线的数字逼近方 法推广到n o r b s 曲面。曲面上的曲线c 可以用参数方程 旧器 c z ， 来表示，这里的t 是曲线参数。弧长的微分形式出如下： d s 2 = g l i d u 2 + 2 9 1 2 d u d v + g _ d v 2 ( z ，2 ) 于是曲面上一条曲线的长度可知，为 4 浙江大学硕士学位论文 上= f ( g j j n 2 + 2 9 1 2 f i g + 9 2 2 t 2 ) d t ( 2 3 ) 这里n 、i 是参数“、v 分别f 的偏导ag l l 9 1 2 ，g ：是曲面的第一基本量 9 1 1 = 屹，9 1 2 = ，9 2 2 = ， ( 2 4 ) 吒，是曲面对参数1 t ，v 的偏导数。 在局部范围内，测地线是连接2 点的曲线中弧长最短的曲线。寻找一条曲线， 构造“( f ) ，v ( f ) ，使得( 2 3 ) 式中的l 最小。这样我们就得到了一条测地线。函数 “( ) ，v ( f ) 应该满足 这里f = g i i 打2 + 2 9 1 2 疗t + 9 2 2 t 2 上式中我们选择弧长s 作为参数。( 2 5 ) 式可由以下一对非线性微分方程的形式 表达 窘+ 4 l ( 警) 2 + 2 吐： 妄) ( 罢) + 如( 害) 2 = 。 争白。d u ) 2 + 2 e ( d u ( d v ) + e ( d r ) 2 = 。 其中 d l l - - 酱署，铲箐导，驴酱舁 q ，= 竺 _ ：j 鲁，岛：= 旦笔j 鲁，e ：2 兰! j 三i 产 式中胛是曲面在点( “，d 的单位法向 九= l 兰 0 l ，w ，是曲面方程对“，v 的二次混合偏导，对n u r b s 曲面求导以及法向量 的计算在1 3 2 】有详细推导。测地线的轨迹可用以下四个一次微分方程 5 0 o = = 栌一锄妒一加 一 一 护一巷扩一；宅 d一衍j一击 浙江大学硕士学位论文 睾= ：曩( 叩，v 1 ) 蕊 ” 尘=vl=f2(u，v，“i，v1)ds 1117 警一如2 2 吐2 1 d l v l - 咖2 = 跏，v ，v 1 ) ! - - e l l l d l 2 - - 2 e 。：“。v l e ：v l ：= 只( “，v ，v 1 ) a s 在过点( u o ，v o ) 以及有初切向( 皇，罢b 的初始条件下，通过r u n g - l ( u t t a 法迭代 n sn s 求解出唯一解。 给定曲面上一点祁方向，通过自适应迭代步长的选择，可自动求解出一条 测地线。 2 1 2 网格面上离散最短路径 由大量小三角平面片组成的三角网格在几何建模、计算机图形学、地理信 息系统等领域中是一种常见的复杂曲面模型表示的手段，随着测量技术以及基 于测量数据的几何建模技术的发展，人们可以方便获得具有丰富细节的三角网 格模型，在任意三角网格曲面上寻找最短路径是计算几何的一个基本问题，网 格面上测地线的研究是最近计算几何的一个热点。 对于1 9 9 8 年p o l t h i e r 和s c h m i e s 提出的离散测地线算法1 3 9 ，限于篇幅， 只列出其步骤大致如下： 1 、把初始点b 作为离散测地线点集序列的第一个点。 2 、沿指定测地方向t o ，在昂所在面片矗，通过点异画一条直线，找到它与 面片蠕边界的交点只，把它作为后继点列。 3 、对于交点# 处的测地方向 ，分以下两种情况分别计算： a 当异位于面片r 的顶点，如图2 1 ( a ) 所示。首先计算该点处面片平面展 开所张的角度，取其一半作为交点最处的测地方向t 。换句话说， 与 ，0 在所展开平面左右交角矿相等。 浙江大学硕士学位论文 b 当墨位于面片矗的边上，如图2 1 ( b ) 所示。首先计算交点处方向乇与 边的夹角庐，下点的测地方向 与边的夹角也等于。 君继点 初始点 弼播颟片 t b ) 图2 ，1 三角网格面上最短路径算法 以此循环，直到达到网格面的边缘终止，我们就得到一系列的点列。把这 些点列按照顺序用真线分段连接，就是我们欲求的网格面上离散测地线。 另外对于复杂的曲面还可以考虑面片法向的影响，由于这部分内容不是论 文的重点，在此不再赘述。 2 2 网格曲面上曲率线的求解 随着计算机技术的发展和成熟以及数据测量技术的进步和迅速发展，越来 越多的实体模型以网格数据面的形式出现。它的出现，改变了原来c a d 系统中 从图纸到实物的设计模式，为产品的迅速开发以及快速原型化设计提供了一条 新的途径。曲线，曲面重建是逆向工程中两个重要的问题。主曲率和主方向在 曲面弯曲程度刻画中占重要地位，利用主方向向量场构造相应的参数网将是有 意义的；从已知的采样数据点得到的物体表面的三角网格模型出发，对物体表 面进行分析，计算和绘制的算法理论，是研究曲面性质的重要工具。 对于全脐曲面而言，其上任意一条曲线都是曲率线；因而对于平面和球面 而言，曲率线没有特别意义。网格面上的面片都是由平面片组成，因此传统意 浙江大学硕士学位论文 义上的曲率线概念及求解办法需要进一步修正。然而令人遗憾的是，关于网格 曲面上曲率线的求解参考文献非常少，仅在2 0 0 3 年p i e r r ea l l i e z 等人在 s i g g r a p h 会议上一篇曲面重建的文章里给出一种构造办法【8 】，具体做法是先作 网格顶点主方向的估计，然后插值求出三角片上每点的主方向，通过积分得到 曲率线。进一步得到曲率线网。由于本人在研究生阶段的课题与之息息相关。 在此，将文章的主要思想介绍如下： 2 2 1 网格顶点处主方向的估计 定义在曲面s 上的以p 为原点的测地极坐标系( p ，p ) 下，设正数风使0 0 ，f _ l ，2 ，m ；j - - - 1 ，2 ，”；再给定两组节点向量u = 霞一， 矿。 三一。，满足“。，v ，记相应的向七阶，v 向 阶曰样条基分 别为m 。( “) ，n 一( v ) ，则可定义一张七而阶非均匀有理b 样条曲面 咄m 卸帆吐炯川一胪( 筹，粉，筹j _ 、w ( “，vjw l “，vjw i “，vj j ( “) ( v ) j j ( “) m 。( v 心 蚝z f 甜。+ l ，v 兰v 1 _ “，m 2 七，九2 h ( 3 4 ) 假设 a ( u ，v ) = f 。( “) m 。( v ) 口f ，嘞 f = l j = l a = x ，y ，z ，出； a = x ，y ，z ，1 ； 由对七阶b 样条曲线的求导公式1 9 】 ，、( ，) ”g ) = l 艺m ，。o ) b = m 卜，p ) ， 、i “i，”j - k 十l + l t j t t j i ( 3 5 ) 浙江大学硕士学位论文 l p i ， f = 0 k 1 坠掣掣，f _ 1 ，2 ，户2 【m 广 可依次求出 舭，咖 1 ) 姜善等啪) x ( a t j w , , ：- a ，q , j w , q o ) 枷h ，喜鼽+ 兰h - c ”， ，1 ，- 2“，1 一“， ( 3 6 ) 4 。c v ，= c t 一，c 七一z ，善喜石：；兰i ：；： 三c q 。w ，一2 q u 。+ q 一：，w 一：。， 舭m 邓叫旷，萎喜= 2 当u i + k 拦ii a i 兰i + h - j = 2一一 “ l 一“j ( q ，j w ，一c l t - i , jw f 一1 ，j a i31 w ，一1 + q _ 1 j 1w j q ，1 ) ， 4 。似，v ) ：一1 1 伪一2 ) 争争 型! ：! ! ! ! 竺：! 兰竺! 。 ，v ) = ( 6 1 ) ( 6 2 ) i = l y j = 3 ( j + 坐h - l 一型j ) 坐( j + h 型- 2 - - 一j ) “ ( q j w j 一2 q j 1 w ，i + q ，2 _ j _ 2 ) ， 把以上算式代入以下各式： 口( ) ：尝掣；爿：x ，i ，z ；口：w ，z ； w ( u ，v j 咖 v ) = 业专胖 吼( ”) ：型塑坚掌娑幽， w ( u ，v ) ( ) ：生坠尘塑趣业掌攀型堕堂趔 w ( u ，v j ( ”) ；生丝坐堂盟鳖堕坚掣掣监幽坚丛些幽， w ( u ，v ) ( ) ：生幽生塾堕尘掣粤竺堕业地， w t u ，v j 浙江大学硕士学位论文 再利用( 3 2 ) ( 3 3 ) 两式，可求得曲面s = r ( u ， l j ) 的第一基本量和第二基本量 为简化第二基本量的计算，我们应用曲面的离散法向量来近似地代替实际 法向量 肛嚣餐筠， 并用公式 l = l 。r h ， m = 吒，h ，n ；，n ，( 3 7 ) 代替公式( 3 3 ) 具体做法是：把曲面上任意点p ：r ( u ，v ) 处的单位法向量n ，用 a a b c 的单位法向量来代替，这里，如图3 1 所示。 a = r ( u ，v + s t e p ) ， 卜牟，v - 刳 c = ，卜孚，v 一丁s t e p bc 其中s t e p 为参数域上的步长 图3 1 曲面法向量的近似 对曲面上p ：r ( u ，v ) 点，求出p 点的单位法向量，第一基本量e 、f 、g 及 第二基本量工、m 、，然后代入微分方程( 3 1 ) 中，解出两个根，对主方向 ( d ) = d u ：d v 归一化假设步长为s t e p 用e u l e r 法求出后继点 q ：，0 + j t 印d ，v + s t e p ) ，以此循环，求出曲率线上一系列离散的点对另一主 方向( 艿) = 却：巧v 也采用类似的办法 实例：n u r b s 旋转曲面上求曲率线上一系列离散点 先把妒平面上的母线，表示为以( 只，z ，) ( h 0 ) 为控制顶点，以 g ，( f - o ，1 ，搠) 为权因子，以u ：( 蜘，“。，“：，) 为节点向量的k 阶n u r b s 曲线 1 6 浙江大学硕士学位论文 ( y 0 ) ，= ( “) ) 点( y ( o ) ，z ( o ) ) 的运动轨迹是以置( ，= 0 , 1 ，6 ) 为控制顶点，h j 为权 因 子 ( = 心= 吃= 魄= 1 3 ， = 岛= 吃= 】 )， 以 v ：( v 0 ，v i ，v 2 ，v 8 ) = ( o ，0 ，0 111 ，2 ，2 ，2 ) 为节点向量的有理3 次b 样条曲线所表示 的整圆，其控制网格如图3 2 所示；则以l 为母线绕z 轴旋转2 疗角而生成的曲 面为k x 4 9 e l n u r b s 曲面，其权因子= 吩g ，其控制顶点是【1 0 ，1 1 】 尺2凡凡 ， - t ，1 0 ，5 ，1 0 3 o ) ， o ，t 0 , 5 ，1 o ) ， 1 ，1 ，5 , 1 0 3 o ， 1 , 0 ，5 ，1 0 3 0 ，f 0 ，0 ，5 ，1 ) ) ， “向节点向量均为b 1 2 _ - 1 0 , 0 0 ，0 0 ，0 0 ，1 0 ，1 o ，1 0 ，2 0 ，2 0 ，2 0 ，3 0 ，3 0 v 向节点向量均为e 1 2 1 = 0 0 ，0 1 ，0 2 ，0 8 ，1 2 ，1 ，4 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 自由造型曲面的控制顶点和权因子( 按行排列) ： 6 1 ，一6 0 ，3 0 ，0 2 ) ， - 4 5 ，- 6 2 ，2 0 ，0 1 ) ， - 2 5 ，5 5 ，- 1 0 ，0 6 ， 1 0 ，- 5 8 ，- 2 0 ，0 2 ) ， 3 5 ，一 5 5 ，一2 0 ，0 2 ， 5 5 ，一5 5 ，一2 0 ，0 2 ， 5 9 ，- 5 7 ，一2 0 ，0 3 ) ) ， 6 4 ，一4 0 ，1 0 , 0 ，1 ，( 一4 4 ，- 4 20 ，0 5 ， 一2 7 ，一4 8 ，1 0 , 0 4 ) ， 1 8 , - 4 5 ，一1 0 ，0 2 ) ， 3 2 ，4 8 ，一1 ，0 , 0 2 ) ， 5 4 ，- 4 6 ，一1 0 ，0 2 ， 5 9 ，一4 7 ，- 1 8 ，0 3 ) ) ， 6 8 ，一1 5 , 2 0 ，0 5 ) ， 一4 7 ，一2 6 ，1 0 ，0 3 ， 一2 6 ，一2 5 ，3 0 ，0 1 3 ， 1 9 ，- 2 4 ，1 ，5 ，0 2 ) ， 3 3 ，一2 5 ，1 2 , 0 2