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第二节随机抽样【最新考纲】1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法4.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.1简单随机抽样(1)设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样(2)最常用的简单随机抽样的方法有两种：抽签法和随机数表法2系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本(1)先将总体的N个个体编号(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k，当不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取k.(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(lk)(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(lk)，再加k得到第3个个体编号(l2k)，依次进行下去，直到获取整个样本3分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个数，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)简单随机抽样是从总体中逐个不放回的抽取抽样()(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关()(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样()(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关()答案：(1)(2)(3)(4)2(2015广东卷)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A50B40C25D20解析：根据系统抽样的特点分段间隔为25.答案：C3(2016西安调研)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是()A总体 B个体C样本的容量 D从总体中抽取的一个样本解析：从5 000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5 000名居民的阅读时间的全体是总体答案：A4对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()Ap1p2p3 Bp2p3p2Cp1p3p2 Dp1p2p3解析：由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1p2p3.答案：D5(2015福建卷)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_解析：设男生抽取x人，则有，解得x25.答案：25两条规律1三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是.2系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列三个范围1简单随机抽样：总体容量较少，尤其是样本容量较少2系统抽样：适用于元素个数很多且均衡的总体3分层抽样：适用于总体由差异明显的几部分组成的情形三点注意1简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样2系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的3分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的A级基础巩固一、选择题1(2015四川卷)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A抽签法B系统抽样法C分层抽样法 D随机数法解析：根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法答案：C2某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481，720的人数为()A11B12C13D14解析：由20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间481，720的人数为12(人)答案：B3某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n()A9 B10 C12 D13解析：依题意得，故n13.答案：D4(2015陕西卷)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A93 B123 C137 D167解析：初中部的女教师人数为11070%77，高中部的教师人数为150(160%)60，该校女教师的人数为7760137.答案：C5(2016青岛二模)某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生()A1 030人 B97人 C950人 D970人解析：由题意可知抽样比为，设样本中女生有x人，则x(x6)200，所以x97，该校共有女生970(人)答案：D6采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A7 B9 C10 D15解析：由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为30，抽取的号码依次为9，39，69，939.落入区间451，750的有459，489，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729459(n1)30，解得n10.所以做问卷B的有10人答案：C二、填空题7(2014天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556，则应从一年级本科生中抽取_名学生解析：根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为30060.答案：608网络上流行一种“QQ农场游戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01，02，03，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为_解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽取人数的比例为，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为39657.答案：579(2014广东卷改编)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示为了解该地区中学学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为_解析：易知，样本容量为(3 5004 5002 000)2%200.又样本中高中学生共有2 0002%40(人)利用图知，高中学生的近视率为50%.因此所抽样本中高中学生的近视人数为4050%20(人)答案：200；20三、解答题10某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？解：(1)0.19.x380.(2)初三年级人数为yz2 000(373377380370)500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：50012(名)B级能力提升1(2016青岛模拟)将参加夏令营的600名学生编号为 001，002，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区，三个营区被抽中的人数依次为()A26，16，8B25，17，8C25，16，9 D24，17，9解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(kN*)组抽中的号码是312(k1)令312(k1)300得k，因此在第营区被抽中的人数是25；令300312(k1)495得k42，因此第营区被抽中的人数是422517，第营区抽5025178(人)答案：B2某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法将全体职工随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组(15号，610号，196200号)若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是_若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取_人解析：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下的年龄段的职工数为2000.5100，则应抽取的人数为10020(人)答案：37203某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：学历35岁以下3550岁50岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层抽样的方法在3550岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值解：(1)用分层抽样的方法在3550岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，解得m3.抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1