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第一章静电场 电场强度电位导体和电介质高斯通量定理静电场的基本方程 分界面上的边界条件泊松方程和拉普拉斯方程电轴法镜像法部分电容静电能量与力 基本物理量 静电场中的基本物理量的分布规律 1 1电场强度 1 库仑定律和电场 3 两类 点 场点和源点 4 根据库仑力求电场强度 5 电荷密度 2 电场强度 1 库仑定律和电场 1 1电场强度 库仑定律 1785年 法国科学家库仑用实验确定 真空中两个静止的点电荷的相互作用力 与这两点荷电量的乘积成正比 而与它们之间距离的平方成反比 这一规律即为库仑定律 即 q2受q1对它的作用力 库仑力 为 1 2 q1受q2对它的作用力为 真空的介电常数 库仑力表明两个点电荷之间存在着力的作用 这说明电荷周围存在着一种特殊形式的物质 我们称之为电场 电场 电荷的周围 存在着一种特殊形式的物质 称为电场 1 1电场强度 它的表现是对于被引入场中的静止电荷有力的作用 1 1电场强度 相对于观察者为静止的 且其电量不随时间而变的电荷所引起的电场 即为静电场 静电场 为静电场中电荷很小的试体电荷 表征静电场特性的基本场量 电场强度 1 1 2 电场强度 电场强度为矢量 且仅与该点的电场有关 而与试体电荷无关 其定义 为该试体所受的作用力 1 1电场强度 其中 3 两类 点 源点和场点 源点 场源 例如点电荷 所在处 场点 需要确定场量 如电场强度 的点 或 或 源点到场点的距离向量为 且 1 3 1 4 1 5 距离向量 距离向量 为r方向的单位向量 1 1电场强度 若有一源点 点电荷为q 场点处有一点电荷为q0 则此源点对场点处电荷作用力 库仑力 为 1 1电场强度 源点对场点处电荷的库仑力 如果有多个源点 则第k号源点到场点的距离为 其单位向量为 则第k号源点 设其电荷为qk 作用于场点 设场点点电荷为q0 的力为 1 1电场强度 它们作用于场点上的点电荷的力可表示成 有n个点电荷分别位于 1 6 1 1电场强度 4 根据库仑力求电场强度 位于原点的点电荷q 源点坐标 0 0 0 在离它r远处引起的电场强度 1 7 根据库仑定律和电场强度的定义 即根据式 和式 则可求得电场强度 1 1电场强度 位于坐标为处 源点 的点荷q对场点引起的电场强度 多个点电荷在某一场点所引起的电场强度 1 8 1 1电场强度 5 电荷密度 体电荷密度 面电荷密度 线电荷密度 考察连续分布的电荷所产生的电场时 引出的概念 设电荷连续分布于体积v 内 如图1 3所示 参看书 设位于r 处的元体积 v 内的净电荷为 q r 则在该点的体电荷密度为 除此之外 1 1电场强度 在无限大真空中 位于 r 源点 处的元电荷dq在场点 r 引起的电场强度为 应用迭加原理 全部电荷在场点 r 引起场强为 对于任何电荷分布 计算电场时 可以把它们分成许多元电荷dq 再把每一元电荷看成点电荷 先计算此元电荷所产生的电场强度 然后运用迭加原理 积分 计算全部电荷所产生的电场强度 1 1电场强度 任意分布电荷的电场计算 如对于连续分布的电荷 其中 对于体分布 1 1电场强度 可得 根据 可得 根据 可得 对于面分布 根据 对于线分布 例1 1求图1 4 a 所示以线密度均匀分布的无限长线电荷在真空中引起的电场 建立坐标 1 1电场强度 goback 奇函数 1 2电位 1 静电场中两点间的电压 2 静电场中任意两点间的电压与积分路径 3 表征静电场特性的另一个场量 标量 电位 4 真空中不同电荷分布的电位计算 5 电场强度和电位之间的关系 6 场的分布图形 电位作为描述静电场的一个场量 标量函数 其被提出的首要目的是为了简化电场强度的计算 实际上 电位同样具有实际的物理意义 初选 功 电压 电位 1 2电位 1 静电场中两点间的电压 试体qt作位移dl时 电场力所做的功为 将qt从p点移到q点 电场力所做的总功为 把apq与qt的比值定义为沿某一路径由p点到q点的电压 用upq表示 两点间电压的意义 移动单位正电荷时电场力所做的功 其中 e和dl都是矢量 2 静电场中任意两点间的电压与积分路径 结论 p q两点间的电压 只与p点和q点的位置有关 而与所取经过的路径 积分路径 无关 对于真空中的点电荷所产生的静电场 1 7 电场强度向量e的环路线积分恒等于零 或 即 或 静电场是守恒场 引出 则 静电场是无旋场 另外 应用斯托克斯环路定理 得 back 3 表征静电场特性的另一个场量 标量 电位 如果取q点为电位参考点 则p点相对q点的电位定义为 其中 参考点q点的电位为0 实际工作中 常选取无限远处作为参考点 则任意点p的电位为 单位为伏特 静电场中两点间的电压 两点间的电位差 电位是点函数 对一点谈电位 对两点谈电压 某两点的电位高低可通过这两点间电压的正负来判断 电压与电位的关系 静电场力所做的功与路径无关 所以当电场确定时 两点的电压就完全确定了 但每点的电位则还与参考点的位置有关 4 真空中不同电荷分布的电位计算 真空中位于原点的点电荷q在离它r远处的电位 已知 对于体 面 线电荷场中的电位为 面电荷 线电荷 体电荷 如果场源是n个点电荷 则某一场点 r 上的电位为 如果场源既有点电荷又包含各种分布电荷 则某一场点 r 上的电位为 1 21 5 电场强度和电位之间的关系 通过e求 通过求e 以作体分布的电荷所引起电场中的电位和电场强度为例 已知 对于任意标量函数 x y z 和 x y z 分别设其梯度为 则对于标量函数r 或 即可以看作其是 也可以看作其是 1 24 1 23 电位 场强 对比 找关系 其中 是标量函数 r 将 1 24 代入 1 23 中 得 即 对照 因此有 或 即 静电场的电场强度 可以由一个标量函数 电位 的梯度来表示 推论 1 e的量值等于电位随距离的最大减少率 方向为电位减少率的最大方向 2 由于电位是标量函数 通过求电位函数的梯度来运算e比较简便 3 电位不变的区域里 场强才为零 电位为零处 场强不一定为零 场强为零处 电位也不一定为零 判断正误 1 场强相等的区域 电位亦处处相等 2 电位相等处 场强也相等 3 场强大处 电位一定高 4 电场为零处 电位一定为零 5 电位为零处 场强一定等于零 例1 2图1 8所示真空中xy平面上一半径为a的圆形线电荷 线密度为 试确定轴线上离圆心z处的p点的电位及电场强度 有 步骤 积分 建立坐标 则得 确定元电荷及其产生的场量 由于电场强度在z方向有分量 例1 3求电荷面密度为 半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电场强度 在圆盘上取一半径为r宽为dr的圆环 则dq为 p 圆形线电荷 元电荷 在轴线上p点产生的电位 整个圆盘上的电荷在场点p引起的电位为 可以将圆环看作是一圆形线电荷 则其线密度为 步骤 积分 建立坐标 确定元电荷及其产生的场量 由于电场强度只有沿z轴方向有分量 可得电场强度为 如果圆盘的半径趋向无限大 即成一无限大带电平面 则它所引起的电场强度为 6 场的分布图形 电场强度线 简称e线 电力线 等电位线 等位面和纸平面相交而得的截迹 电场强度线 简称e线 电力线 e线是这样一种曲线 曲线上每一点的切线方向应与该点的电场强度方向一致 如以dl表示e线上的元段 则e线的矢量方程为 在直角坐标系中 2 27 将 2 27 进行矢量运算 即得e线的微分方程 某一点电场强度的方向 e线上该点的切向方向 电场强度的大小 e线的疏密程度来反映 此微分方程的解即e线的方程 电场强度在电力线上的体现 电力线的性质 性质1 电力线发自正电荷 终于负电荷 性质2 电力线不构成闭合曲线 性质1 电力线发自正电荷 终于负电荷 面s有正的电通量 因此s内必有正电荷 电场是无旋场 等电位线 等位面和纸平面相交而得的截迹 由电位相等的点形成的曲面 称为等位面 等位面的方程为 等位线的疏密反映场强的大小 等位线的性质 等位线处处与电力线垂直 反证法 如果等位线与电力线不垂直则 令试探电荷从p点沿等位线做元位移dl到p 点 因和 故电场力所做的功不为零 即p与p 电位不等 这就等位线定义矛盾 例1 4试决定点电荷场中e线的方程 设点电荷q位于原点 这时在p点产生的e为 由e线的微分方程得 正点电荷 两个等量正点电荷 有限长线电荷 带电金属球和一个不带电金属球 1 3导体和电介质 1 静电场中导体具有的性质 2 静电场中电介质具有的性质 3 均匀 各向同性及线性媒质 4 电介质在静电场中的表现 极化 5 电介质强度 实际电场分布与空间存在的物体 导体和绝缘体 的性质有关 根据空间物体 物质 的静电表现 可以把它们分成两大类 导电体 即导体 绝缘体 电介质 导体内的电场强度应为零 导体是一个等位体 在导体表面上任何一点的电场强度方向一定要与导体表面垂直 导体如果带电 电荷只能分布于表面 拥有大量自由电子 其所携带电电荷叫做自由电荷 在静电场的作用下 电荷运动 使导体内电荷重新分布 在内部产生附加电场 且附加电场与原静电场方向相反 直至二电场抵消 1 静电场中导体具有的性质 导体特点 导体的场量及电荷分布特点 back 2 静电场中电介质具有的性质 电介质的特点 自由电子少 其中大部分电子被原子核束缚于其周围 在电场作用下 电子只能在原子和分子周围移动 因此其所带电荷称之为束缚电荷 其中 决定电介质静电性质的基本单元为电偶极子 束缚电荷包括 正电荷和负电荷 电偶极子 指相距很近的两个符号相反而量值相等的电荷 对 电偶极矩是矢量 其中d的方向是由负电荷指向正电荷 表征电偶极子特性的物理量 电偶极矩 简称电距 电偶极子在它的周围引起电场 另一方面 它在外场中也要受到力的作用 特点 性质 例1 5图1 16 a 表示真空中置于z轴上两个点电荷形成的电偶极子 试计算它引起的电场 注意 其电场的计算式 与静电荷电场计算式有何不同 q和 q分别在场点p引起的电位为 根据迭加原理 由电偶极子在p点引起的总电位为 解 1 30 建立球坐标 当r很大时 即r d r1 r2和r三者近乎平行 因此有 则 最近 电偶极子的电场强度可在球坐标系中对电位求梯度得到 电偶极子的场图如下 电偶极子的场图 back 图1 2 3电偶极子的等位线和电力线 3 均匀 各向同性及线性电介质 媒质 均匀媒质 媒质的特性不因空间坐标 x y z 而变 各向同性媒质 媒质的特性不因场量的方向而变 线性媒质 媒质的参数不随场量的量值而变 本书主要讨论 各向同性 线性媒质 back 4 电介质在静电场中的表现 极化 电介质中的分子可分为两类 非极性分子 极性分子 非极性分子中 其分子内部所有正 负电荷作用中心完全重合 极性分子中 其分子内部所有正 负电荷作用中心不相重合 形成电偶极子 但是 其中不同电偶极子的电矩方向是任意的 不规则的 在无外加电场时 所有分子的等效电偶极子的电偶极矩的向量和为零 图示 极性分子 电偶极矩 取向极化 非极性分子 位移极化 极化 极化 在外加电场时 一方面非极性分子正负电荷的作用中心发生相对位移 另一方面极性分子的电偶极矩发生转向 产生结果 等效电偶极子的电偶极矩向量之和便不再为零 此情况即为电介质极化 极化结果 在介质表面出现面分布的束缚电荷 其分布情况取决于外电场方向 如图 在介质内部为体分布的束缚电荷 若介质非均匀 则体分布也非均匀 这种因极化后 产生的面 体分布的电荷 统称为极化电荷 极化强度向量p 极化后形成的单位体积内的电偶极矩 实验表明 在各向同性的线性介质中有 式中 介质的极化率 是无量纲的正实数 电偶极矩密度 极化电荷的分布 体 面密度 与极化强度p的关系 设极化介质的体积为v 表面积是s 极化强度是p 现在计算介质外部任一点的电位 在介质中r 处取一个体积元dv 因 r r 远大于dv 的线度 故可将dv 中介质当成一偶极子 其偶极矩为 它在r处产生的电位是 极化介质在该场点处的电位 由于 所以 根据 令 则 1 36 可写成 应用散度定理可得 1 36 极化电荷的体密度 且这两部分 内部和表面 极化电荷的总和等于零 即 极化电荷的面密度 体积极化电荷总量 表面极化电荷总量 将 1 38 和 1 21 作比较 即得 1 38 则内部极化和面极化电荷可分别表示为 结论 电介质对电场的影响 可以看成是极化后的极化电荷在真空中所产生的效应 极化电荷引起的电位和电场强度的表达式 5 电介质强度 某种 绝缘 材料能够安全地承受的最大场强就称为该材料的电介质强度 或称击穿场强 返回 1 4高斯通量定理 1 电场强度向量的闭合面积分 真空中 2 电场强度向量的闭合面积分 电介质中 3 电位移d 4 电场在无限大均匀介质中的特殊情况 5 d线和p线 6 利用高斯定理求电荷对称分布的带电体的电场 在无限大真空中有一点电荷q 在该点电荷所在处为球心作一任意半径r的球面 则由该球面穿出的e通量应为 如果包围点电荷的是一个任意形状的闭合面 则由该闭合面穿出的e通量仍然等于 闭合面内包围了n个点电荷 则 1 电场强度向量的闭合面积分 真空中 闭合面内是连续分布电荷的情况 则 结论 在真空电场中 由任意闭合面穿出的e通量等于该闭合面内所有电荷的代数和除以真空的介电常数 自由电荷量为 极化电荷量为 2 电场强度向量的闭合面积分 电介质中 由于s面的贡献为零 则 散度定理 令 电位移 则 高斯通量定理 在静电场 无论是在真空还是介质中 也无论介质均匀与否 中 由任意闭合面穿出的d通量等于该面内自由电荷的代数和 与极化电荷无关 也即与电介质无关 3 电位移d 适合各种介质 不论在真空还是介质 不论介质均匀与否 在各向同性的线性电介质中 介电常数 相对介电常数 极化强度 介质极化率 4 电场在无限大均匀 各向同性线性 介质中的特殊情况 因为 则高斯定理 结论 当场源的自由电荷分布相同时 无限大均匀介质中的电场较无限大真空中相应的电场要小倍 因此在无限大均匀介质中一个位于原点的点电荷引起的电场强度和电位为 考虑到 1 52 5 d线和p线 d线由正的自由电荷发出 终止于负的自由电荷 p线由负的极化电荷发出 终止于正的极化电荷 a 介质中的d与空气中的相同 b 介质中的e小于空气中的电场强度 c 极化电荷在介质中所引起的p线 b e线 a d线 c p线 当带电体的电荷分布具有一定对称性时 电场的分布也将具有某种对称性 此时 应用高斯通量定理 可以十分简捷地求得电场强度e和电位移d 例 均匀带电球体 带电球形导体 带电圆柱体 6 利用高斯定理求电荷对称分布的带电体的电场 例 半径为r 电量为q0的金属球埋在介电常数为 的均匀无限电介质中 如下图 求电介质内的场强e 解 在介质中作一个半径为r的与金属球同心的球面s 高斯面 由对称性可知s上各点的d大小相等且沿径向 所以 例1 6真空中有两个同心金属球壳 内球壳的半径r1 带电荷q1 外球壳的内半径r2 壳厚 r2 带电荷q2 有关尺寸如下图所示 求场中各处的电场强度及电位 1 先讨论分析电荷分布情况 2 求电场强度 因为 所以 因为 所以 因为 所以 因为 所以 3 求电位 参考点选取无穷远处 因为 所以 则 时 外球壳外表面的电位为 则 时 外球壳内表面的电位为 则 时 内球壳的电位为 例1 7真空中有电荷以体密度 均匀分布于一半径为r的球中 如下图 试求球内 外的电场强度及电位 1 求电场强度 由高斯通量定理的特殊形式得 所以 即 由高斯通量定理的特殊形式得 所以 即 则 如果球内全部电荷用qr来表示 则 2 求电位 例1 8如下图所示一长直圆柱电容器 其长度l远大于截面半径 已知内外导体的半径分别为r1和r2 中间介质的介电常数为 试求介质中的电场强度与两导体电压之间的关系 解 以电容器的轴线为轴 以r r2 r r1 为半径以h为高作一圆柱面作为高斯闭合面 求电场强度 d的轴向分量 0 求电压 1 5静电场的基本方程 分界面上的边界条件 1 静电场积分形式的基本方程 2 静电场微分形式的基本方程 3 e和d在两种媒质分界面上必须满足的条件 4 e和d在导体 设为第一种媒质 与电介质 设为第二种媒质 分界面上必须满足的条件 5 电位函数在两种媒质分界面上的边界条件 1 5静电场的基本方程 分界面上的边界条件 1 静电场积分形式的基本方程 各向同性介质中 表征静电场的基本性质 以上两方程不管场中介质如何分布 只要是静电场都存在这一关系 结论 静电场中 电场强度向量e的旋度到处为零 因此 静电场是一个无旋场 应用斯托克斯定理 应用散度定理 结论 静电场是一个有散场 2 静电场微分形式的基本方程 高斯公式 静电场微分形式的基本方程 旋度 散度 3 e和d在两种媒质分界面上必须满足的 边界 条件 在实际的静电场问题中 空间往往分布着两种或多种媒质 导体和介质 此种情况下 需要把整个场域空间分为若干个不同区域研究 在不同的区域中 电场具有不同的特点 而在不同区域的分界面处 场量往往要发生突变 因此要计算整个区域中的电场 必须了解区域分界面上电场所应满足的条件 即分界面两侧的静电场之间满足的关系 这个关系就叫做边界条件 e在两种媒质分界面上必须满足的条件 则根据静电场的守恒特性 沿矩形边界求e的线积分 有 结果 在两种媒质的分界面上 电场强度的切线分量是连续的 其中 l2 0 l1很短 因而 l1上各点场强可以认为都相等 d在两种媒质分界面上必须满足的条件 柱体的闭合表面所包住的电荷为 应用高斯通量定理于圆柱表面 有 即 和 分界面上的自由电荷密度 两种介质内的电荷体密度 圆柱体的体积 其中 l 0 则有v 0 s很短 因而 s上各点场强可以认为都相等 若分界面上不存在作面分布的自由电荷 即 则上式为 1 70 静电场的折射定律 设两种媒质皆为线性且各向同性 它们的介电常数分别为和 则 则 因此 两式相除得 例1 9设y 0平面是两种介质分界面 在y 0的区域内 1 5 0 而在y 0的区域内 2 3 0 如已知e2 10i 20j伏 米 求d2 d1及e1 解 求d2 求d1 求e1 例1 10在聚苯乙烯 2 6 0 与空气的分界面两边 聚苯乙烯的电场强度为2500伏 米 电场方向与分界面法线的夹角是200 如下图所示 试求 1 空气中电场强度与分界面法线的夹角 2 空气中的电场强度和电位移 解 求 2 由折射定律 求e2和d2 因为 即 所以 则 e2方向如图所示 d2方向如图所示 4 e和d在导体 设为第一种媒质 与电介质 设为第二种媒质 分界面上必须满足的条件 由于导体内部电场强度和电位移都必须为零 即e1 0 d1 0 和导体带电时其电荷只能分布在表面 即分界面 则 平行板电容器里的e线和d线 由 结论 在电介质与导体表面相邻处的电场强度e与电位移d都垂直于导体表面 且电位移的量值就等于该点的电荷面密度 例1 11图1 25和1 26都表示平行板 导体 电容器 设d1 d2 s1 s2 1和 2已给定 对于前者 图1 25 还给定了极板间电压u0 对于后者 图1 26 则给定了两极板上的总电荷 试分别求其中的电场强度 解 1 在两种介质中 又因为 所以 则 和 图1 25 利用媒质边界面条件 解 2 在两种介质中 又因为 所以 由于每一极板上两部分电荷密度不等 设为 1和 2 则 所以 图1 26 5 电位函数在两种媒质 电介质 分界面上的边界条件 电位函数在两种媒质分界面上的边界条件 电位函数在导体 第一种媒质 与电介质分界面上的边界条件 电位函数在两种媒质分界面上的边界条件 因为 则在两种媒质的边界面上有 及 5 电位函数在两种媒质 电介质 分界面上的边界条件 对两种不同介质的分界面 由e1t e2t 得 等式两边对t进行积分 得 c为积分常数 又因为e总是有限值 故分界面两侧距离趋于无限小的两点电位差为零 则此积分常数c为零 参考电位差定义 因此用电位函数表示两种介质分界面上的边界条件为 则有 电位函数在导体 第一种媒质 与电介质分界面上的边界条件 1 6泊松方程和拉普拉斯方程 前几节的内容中 主要讨论了根据电荷分布求解静电场的几种途径 已知给定区域的电荷分布 且场内电介质均匀 各向同性 如何求电场强度 方法 先求电位函数 再由e 求电场强度 或者 用高斯通量定理直接求e和d 如 此外 引言 若已知电场的分布 即d x y z 或e x y z 是已知的 求电荷的分布 方法 根据微分形式的高斯能量定理 d 或 e 通过求散度的运算 即可得电荷的分布 密度 但是 但是 在电工中通常遇到更为复杂的情况 情况1 某些问题中 已知各导体上的电位 而要求场中的电位分布 此类问题通常称为第里赫列问题或第一类边值问题 情况2 已知各导体表面的电荷面密度 由于 故也可以说已知的是电位的导数 而要求每一导体的电位及场中的电位分布 此类问题通常称为聂以曼问题或第二类边值问题 情况3 已知某些带电体的电位和另外一些带电体的电荷面密度而要求整个场的分布 此类问题通常称为混合边值问题 本节内容 教材 2 微分方程解的唯一性定理 以上几种情况中 如何求电场分布 1 静电场中电位所满足的微分方程 泊松方程和拉普拉斯方程 只能根据边值 边界 条件 通过求解电位所满足的微分方程 即可解得电场 而且解具有唯一性 方法 电场分布 电位 场强等 泊松方程 均匀介质 静电场的泊松方程 高斯通量定理 1 静电场中电位所满足的微分方程 泊松方程和拉普拉斯方程 矢量恒等式 拉普拉斯方程 如果场中无电荷分布 即 0 处 则 静电场的拉普拉斯方程 其中为拉普拉斯算子 在直角坐标系中 它的展开式为 1 81 2 微分方程解的唯一性定理 泊松分布和拉普拉斯方程难以通过直接积分求得结果 在采用不同的方法求电位或电场分布的结果时 只要满足了给定的边值条件 则问题的解答具有唯一性 证明 略 或 在静电场中凡满足电位微分方程和给定边值 边界 条件的解 是给定静电场的唯一解 边值条件 场 初始条件 微分方程 几类边值问题 第利赫列问题 第一类边值问题 已知各导体上的电位求场中的电位分布 聂以曼问题 第二类边值问题 已知各导体表面的电荷密度求每一导体的电位及场中的电位分布 混合边值问题 已知某些带电体的电位与另外一些带电体的电荷面密度而要求整个场的分布 第四章中详细讨论 给定的边值 边界 条件 例1 12如下图所示平行板空气电容器 板的尺寸远大于板间距离 中 有体密度为 的电荷均匀地分布着 已知两板间电压值为u0 忽略边缘效应 求电场的分布 解 如果令yz平面与电容器的左边极板重合 且理想化为无限大平板的情况 则电位将仅为x坐标的函数 则 通解 第几类边值问题 应用边值 得 因此 电场强度为 代入 1 7电轴法 应用唯一性定理求解静电场问题的一种间接方法 主要用于求解一类实际问题 很长的两平行带电圆柱导体 线 之间的电场 实际用途 计算输电线路的参数 1 7电轴法 带有等值异号电荷的两根平行的长圆柱体导体周围的场分布问题 先从较为理想的情况入手 用电轴法如何解 1 讨论截面积可以忽略不计的两根等量异号线电荷的电场 2 讨论两平行的同半径 带等值异号电荷长直圆导线的电场 学习 电轴法原理 举例 点电荷与带电球 线电荷与带电圆柱 以 为对象 0 电轴法的初步理解 1 讨论截面积可以忽略不计的两根等量异号线电荷的电场 真空中一根正线电荷 在离它r1处引起的电场强度 任意取q点作为电位参考点 则正的线电荷在场中p点引起的电位为 同理 负的线电荷在同一场点引起的电位为 在所建立空间坐标中 根据叠加原理 场点p上的合成电位为 设电位参考点选在y轴上 则 场中任意一点的电位可表示成 最近 c2 0 则 在r1 r2处 p 0 有 gop168 由 可求得电场强度为 等位线 由等位线方程 得两根平行的长直线电荷的电位表达式 则 即 令 讨论 则得 其代表的几何曲线 即为等位线方程 整理得 两根平行长直线电荷的等位线方程 圆心 半径 半径a 圆心到原点距离h与线电荷到原点的距离b三者的关系为 代入即得 即 等位线是在xy平面上的一族圆 k取不同值 讨论 e 电力 线 由e线的微分方程 和两根平行的长直线电荷的电场强度表达式 则 即 解之得 两根平行长直线电荷的e线方程 或 e线都起始于正线电荷而终止在负线电荷上 因此e线是圆心在y轴上的圆弧 圆心 得 长圆柱带电导线 在周围大于其半径 a 处的电场分布 即等效为与之等电荷的线电荷在该半径处的电场的分布 有一半径为a 轴向电荷密度为 的长圆柱导线 在其半径为r a处的电场 与上述一线电荷在半径为r a处的电场有何异同 两个半径相同 带有等值异号电荷的长圆柱带电导线体外电场分布 可否等效为两个线电荷对应的电场 两长圆柱体导线 半径为a 在周围产生的电场可用两个线电荷产生的等位面 半径为a 以外的电场分布等效 代替 则两个线电荷即为两圆柱导线的等效电轴 两细导线的场图 已知静电场中的导体面是等位面 如果将两根细导线的场图 右图 中某一等位面 比如半径为a的圆柱面 用导体圆柱代替 将不会影响圆柱外的电位和电场 只要单位长的导体柱的面电荷为 即可 则式 就可以表示线电荷 及与之平行的带电导体在导体柱以外空间产生的电位 即 带电量相等的导体柱和线电荷是等效的 此时的线电荷 即被称为对应的导体柱的电轴 同理 线电荷 也可被称为其对应导体柱的电轴 但是应注意 电轴的位置不是位于导体柱的轴线上 2 讨论两平行的同半径 带等值异号电荷长直圆导线的电场 把带电线电荷理解成原来导线 半径为a 上电荷的对外作用中心线 常称为等效电轴 要求解两带电的平行圆导线的电场 只需确定它们等效电轴的位置即可 通常把这种方法称为电轴法 如果两导线几何轴间距离为2h 每一导线的半径为a 如上图所示 则根据式 1 93 可求得等效电轴与原点距离为 例1 14如图所示 两根不同半径 但相互平行 轴线距离为d的带异号电荷的长直圆柱导体 试决定等效电轴位置 又 b为等效电轴 线电荷 到原点的矩离 h1 h2为等位面圆心到原点的矩离 a为半径 解 建立座标 3 在高压电力传输中 为了降低电晕损耗 减弱对通讯的干扰 常采用分裂导线的办法 即将每一根导线分成几股排列成圆柱形表面 1 8镜像法 镜像法是求解静电场问题的一种间接方法 它巧妙地应用唯一性定理 使某些看来棘手复杂的问题很容易地得到解决 1 镜像法 第二步 以所要分析的场域外用一个或几个虚拟的等效电荷代替原场域边界上分布电荷的作用 使场的边界条件保持不变 从而保持被研究的场不变 镜像法求解问题的一般步骤 由于等效电荷有时处于镜像位置 因此称为镜像电荷 而这种方法称为镜像法 本节只了解其应用 第一步 首先把原来具有边界的分区均匀空间看成是一个无限大的均匀空间 镜像法的关键 确定镜像电荷的大小及其位置 仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷 即镜像法具有 定的局限性 局限性 下面讨论几种可以应用镜像法求解的静电场问题 例子 变换前 上半场域空间电场分布 2 点电荷与无限大导电平板 边界面为平面 镜像法 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布 虚设电荷的个数 大小与位置使场的解答满足唯一性定理 图1 7 1平面导体的镜像 变换后 上半场域空间电场分布 分析导体平面上方空间的电场分布 原理 即变换前后一切条件 边值条件 不变 方向指向地面 整个地面上感应电荷的总量为 例1 15求空气中一个点电荷在地面上引起的感应电荷分布 密度 情况 解 设点电荷离地面高度为h 则 图1 7 2点电荷在地面引起的感应电荷的分布 密度分布曲线 该点的感应电荷面密度为 思路 求得表面处电场强度 利用介质导体分界面边界条件 点电荷电位 3 镜象法还可以用来求解两种不同介质中置有点电荷或线电荷时的电场问题 图1 7 9点电荷对无限大介质分界面上产生的电场 根据唯一性定理 所求的解在介质1 上半空间 应满足电位微分方程 点电荷所在处除外 在介质2中 下半场空间 应处处处满足 在介质分界面处 应满足边界条件 或 计算分界面的电场 两边 分界面对电场的影响 可看作是由极化面电荷的作用 求解两种介质中的电场时 可以分别用不同的镜像电荷代替极化面电荷的作用 图1 7 9点电荷对无限大介质分界面的镜像 采用镜像法步骤 第一步 上 下半空间用均匀介质填充 根据两个点电荷q和来计算上半空间的电场 第二步 上 下半空间用均匀介质填充 用点电荷计算下半空间的电场 关键 q 和q 大小 关键 q 和q 大小 图1 7 9点电荷对无限大介质分界面的镜像 4 讨论点电荷附近有一接地金属球时导体球外空间电场 镜象法 先讨论两个异号点电荷q1和 q2 的电场中 要获得一个零值的等位球面 这两个点电荷的量值 大小 和所处的位置应满足什么关系 参看教材 p点的电位 令 则有 p点为半径为r的零值等位球面上任意点 它与电点荷q1和 q2的距离分别为r1和r2 或 整理得 由于等位面是球面 或等位线是圆 因此电位与 无关 则 由上式可推得 因此有 如果两个点电荷的电量和位置满足上式 则在电场中就有一个半径为r的球面是零电位的等位面 设在点电荷附近有一接地导体球 求导体球外空间的电位及电场分布 1 除q点外的导体球外空间 除q点外的导体球外空间 图1 7 3点电荷对接地导体球面的镜像 讨论点电荷与接地金属球的问题 由叠加原理 接地导体球外任一点p的电位与电场分别为 图1 7 5点电荷位于接地导体球附近的场图 图1 7 4接地导体球外的电场计算 讨论点电荷与不接地金属球的问题 距球心 位于球心 对于球外任意点的场 可根据q q q 三个点电荷来计算 1 9部分电容 1 9 1电容 1 9 2多导体系统 部分电容 电容只与两导体的几何形状 尺寸 相互位置及导体周围的介质有关 工程上的实际电容 电力电容器 电子线路用的各种小电容器 1 9 1电容 定义 单位 电容器都是两导体组成的 一般定义 电容电容器 1 一般概念 1 9部分电容 电容的计算思路 有时也计算一个孤立导体的电容 该导体与无限远处另一导体的电容 2 孤立导体电容概念 1 9部分电容 根据 其中q为孤立导体电荷 u为其电压 则有 以上计算思路适用于任何一种电容计算 若已知孤立导体的电荷分布 例1 9 1试求球形电容器的电容 解 设内导体的电荷为 则 同心导体间的电压 图1 8 1球形电容器 例1 9 2试求二线传输线的电容 根据 1 7节分析 首先用电轴法确定电轴位置 然后选取两根输电线表面内侧两点1点和2点 则它们电位分别为 1 2 则两输电线间的电压 注意 两传输线分别为等位体 1 2 则二线传输线单位长度的电容 通常h a 因而b d 故有 1 9 2多导体系统 部分电容 几个概念 多导体系统 静电独立系统 部分电容概念 1 9 2多导体系统 部分电容 多导体系统 多导体 三个以上导体 组成的系统 如 真空三极管 电子管 就是三个导体系统 三相输电线则是三个或四个导体的系统 多导体系统中的电位和电荷间的关系比两导体系统复杂得多 静电独立系统 如果一个系统 其中电场的分布只和系统内各带电体的形状 尺寸 相互位置及电介质的分布有关 而和系统外的带电体无关 并且所有的d通量全部从系统内的带电体发出 也全部终止于系统内带电体上 则此系统称为静电独立系统 1 已知静电独立系统中导体的电荷 导体电位 电压 的表示 部分电容概念 以接地导体为电位参考点 各导体和接地导体 0号导体 间的电压 即各导体的电位 与各导体上的电荷之间的关系可用下列式子形式进行表示 1 9 2多导体系统 部分电容 考虑三个都是带电球时 某带电体的电位 三导体静电独立系统 部分电容示意 说明 上述三导体静电独立系统中 有二个电位线性独立方程 其中 自有电位系数 表明导体 上电荷对导体 电位的贡献 互有电位系数 表明导体 上的电荷对导体 电位的贡献 三导体静电独立系统 返p168 自有电位系数 表明导体 以此类推 n 1 个多导体系统只有n个电位线性独立方程 即 上电荷对导体 电位的贡献 互有电位系数 表明导体 上的电荷对导体 电位的贡献 写成矩阵形式为 非独立方程 上一页 其中对式 推而广之 在n 1个导体组成的静电独立系统中 有第k个导体的自有电位系数为 自有电位系数详解 推而广之 在n 1个导体组成的静电独立系统中 有第n个导体电荷对第k个导体的互有电位系数为 又在 中 以上情况可解决 已知静电独立系统中导体的电荷 求电位和电位系数 互有电位系数详解 2 已知各带电导体电位 求电荷和感应系数 静电感应系数 表示导体电位对导体电荷的贡献 自有感应系数 表示导体电位对导体电荷的贡献 1 106 是方程组 1 103 中各电位系数组成的行列式 akk是 kk的余因式 akn是 kn的余因式 3 已知各带电导体电压 求电荷和部分电容 可以将式 1 106 改写另一种形式 矩阵形式 式中 c 部分电容 它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献 互有部分电容 第k个导体自有部分电容 或写成 则由部分电容表示的求电荷表达式为 互有部分电容 第k个导体自有部分电容 部分电容性质 所有部分电容都是正值 且仅与导体的形状 尺寸 相互位置及介质 的值有关 n 1 个导体静电独立系统中 共应有个部分电容 部分电容是否为零 取决于两导体之间有否电力线相连 例1 8 2试计算考虑大地影响时 二线传输线的各部分电容已知如图示 解 部分电容个数 如图 b 由对称性得 静电网络与等效电容 设两导线所带电荷分别为q1和q2 长度都是l 部分电容的计算 c 部分电容 静感应系数 电位系数 设两导线所带电荷分别为q1和q2 长度为l 求电位系数 根据镜像法 且设两导线电轴与其几何轴重合 求电位 根据镜像法 再设两导线电轴与其几何轴重合 得电荷分布如下图所示 得 计算两导线上电位 将q1 q1以及q2 q2看作两对线电荷 参考两线电荷电位的求法 各部分电容分别为 当r1 r2 r h1 h2 h时 则得 参看教材p67 1 10静电能量与力 1静电能量 2电荷任意分布时的静电能量 3静电能量的分布 能量密度 4真空中点电荷系统的静电能量 5电场力的计算 虚位移法 6法拉第对电场力的看法 因此 可以认为静电能量是在电场的建立过程中 由外力作功转化而来的 与力学系统相仿 一个带电体系统的能量 可以分为位 势 能和动能 但在静态条件下 这一系统的能量完全以位能形式存在 在带电体系统 静电场 中 由于电荷的相互作用 力 而引起的位能 即所谓静电能量 1静电能量 带电体系统 返回 则可以根据建立该电场时 外力所作的功来计算静电能量 电荷系统中的介质是线性的 因而各带电体电位与各带电体电荷呈线性关系 电场各量适用于迭加原理 静电能量决定于电场的最终分布状态 与建立电场的过程无关 某一带电体系统 设电荷体密度是 面密度是 电位分布为 2电荷任意分布时的静电能量 不考虑电场建立过程中 介质的热损耗及诸如辐射等等所带来的能量损耗 建立电场过程缓慢 忽略动能与能量辐射 假设 带电体在充电过程中几何形状不变 若系统中的带电体已充电至一定程度 即此时场中某一特定点p点的电位为 这个功转化为静电能量储存在电场中 任意t时刻 若将电荷增量从无穷远处 缓慢 移至该p点 则 外力作功 1 111 则 全部静电能量可以通过对 1 111 积分而得 设电位零点在无穷远处 依据 电压定义 系统充电过程 增加 移动 电荷过程 电荷密度增加 静电能