（新课标）高考数学专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的定值、定点及证明问题学案文新人教A版.docx

第3讲圆锥曲线中的定值、定点及证明问题做真题(2019高考全国卷节选)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.由于yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.明考情圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的热点，无论是选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖定值问题1直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示：(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数案例关键步(2017高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值(1)略(2)BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为yx2(x).由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(，)，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3.2从特殊到一般求定值：常见处理技巧：(1)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；(2)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算案例关键步(2015高考四川卷)如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由(1)略(2)当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，213.关键1：分类讨论，证明当AB的斜率不存在时为定值当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.关键2：当直线AB的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程，用参数从而x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.关键3：构造关于k，的表达式，得到当1时的值此时，3为定值故存在常数1，使得为定值3.典型例题 (2019贵阳市第一学期检测)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为短轴的上端点，0，过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点(2，1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点若k1，k2分别是直线MG，MH的斜率，证明：k1k2为定值【解】(1)由0，得bc，因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|，所以，.故椭圆C的方程为y21.(2)证明：由椭圆C的方程y21与点(2，1)，设直线l的方程为y1k(x2)，即ykx2k1，将ykx2k1代入y21中，得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0，由题意知16k(k2)0，得2kb0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，)中恰有三点在椭圆C上(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点(1)略(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0，即(2k1)(m1)0，解得k.关键2：设出直线l的方程并与椭圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及条件找到直线l中两个参数的关系当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1)关键3：将k与m的关系再回代变形，得到直线过定点典型例题 (2019安徽省考试试题)已知椭圆C：1(ab0)的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆x2y2相切于点M.(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且0，求证：直线l过定点【解】(1)由已知得直线OM(O为坐标原点)的斜率kOM2，则直线PQ的斜率kPQ，所以直线PQ的方程为y(x)，即x2y2.可求得P(0，1)，Q(2，0)，故a2，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)证明：当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件当直线l的斜率存在时，设l的方程为ykxn(n1)，联立，消去y整理得(4k21)x28knx4(n21)0，(8kn)244(4k21)(n21)16(4k21n2)0，得4k21n2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由0，得(x1，y11)(x2，y21)0，又y1kx1n，y2kx2n，所以(k21)x1x2k(n1)(x1x2)(n1)20，由得n1(舍)，或n，满足.此时l的方程为ykx，故直线l过定点.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关提醒(1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可如直线ykxb，若b为常量，则直线恒过点(0，b)；若为常量，则直线恒过点. (2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f1(x，y)f2(x，y)0(为参数)解方程组即得定点坐标对点训练(2019开封市定位考试)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，MF1F2为等腰直角三角形，且其面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1k22，证明：直线AB过定点解：(1)由题意得a21，所以a，又bc，a2b2c2，所以b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由(1)得M(0，1)当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，y0)，由k1k22得2，得x01，此时直线AB的方程为x1；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm(m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由，可得(12k2)x24kmx2m220，则8(2k2m21)0，x1x2，x1x2.由k1k22，得2，即2，(22k)x1x2(m1)(x1x2)，(22k)(2m22)(m1)(4km)，由m1，得(1k)(m1)km，所以mk1，即ykxmkxk1k(x1)1，故直线AB过定点(1，1)，经检验，当k0或k0，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.关键2：当斜率存在时，设出直线方程，并与抛物线方程联立，得到根与系数的关系直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0，所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.(2018高考全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0，证明：2|.(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1，0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2mb0)的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切(1)求椭圆C的方程；(2)如图，过定点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交椭圆C于点M，求证：PFMPFB.【解】(1)依题意可设圆O的方程为x2y2b2，因为圆O与直线xy0相切，所以b1，所以a2c21，又，所以a，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为yk(x2)由得(12k2)x28k2x8k220，因为l与椭圆有两个交点，所以0，即2k21b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若椭圆E的离心率为，ABF2的周长为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线解：(1)由题意知，4a4，a.又e，所以c，b，所以椭圆E的方程为1.(2)证明：当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；当直线AB，CD斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则，两式相减，得0，所以，所以，即kkOM，所以kOM.同理可得kON，所以kOMkON，所以O，M，N三点共线1(2019贵阳市第一学期监测)已知圆M：x2(y2)21，直线l：y1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切，设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且16，求证：直线AB恒过定点解：(1)由题意动圆P与直线l：y1相切，且与定圆M：x2(y2)21外切，所以动点P到圆M的圆心M(0，2)的距离与到直线y2的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以M(0，2)为焦点，直线y2为准线的抛物线故所求P的轨迹E的方程为x28y.(2)证明：设直线AB：ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入x28y中得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b，又x1x2y1y2x1x28bb216，所以b4，所以直线AB恒过定点(0，4)2(2019江西七校第一次联考)已知椭圆C：1(ab0)经过点M，其离心率为，设直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l与圆x2y2相切，求证：OAOB(O为坐标原点)解：(1)因为e，a2b2c2，所以a22b2，所以椭圆C的方程为1.因为在椭圆上，所以1，b21，a22，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：因为直线l与圆x2y2相切，所以，即3m22k220，由，得(12k2)x24kmx2m220，16k2m24(12k2)(2m22)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，所以x1x2y1y20，所以OAOB.3(2019长沙市统一模拟考试)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2F1F2，且|AF2|.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：ykxm与l1，l2分别交于M，N两点，求证：MF1N为定值解：(1)由AF2F1F2，|AF2|，得.又e，a2b2c2，所以a29，b28，故椭圆C的标准方程为1.(2)证明：由题意可知，l1的方程为x3，l2的方程为x3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(3，3km)，N(3，3km)，所以(2，3km)，(4，3km)，所以8m29k2.联立，得(9k28)x218kmx9m2720.因为直线l与椭圆C相切，所以(18km)24(9k28)(9m272)0，化简得m29k28.所以8m29k20，所以，故MF1N为定值.4(2019高考北京卷)已知椭圆C：1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)(1)求椭圆C的方程；(2)设O