（应用数学专业论文）具简化holling+Ⅳ型功能反应函数的时滞培养器模型的hopf分支.pdf

摘要 培养器模型是一个简化了的湖泊模型，具有深远的生态意义关于培养器模型各种 类型的方程如常微分方程，偏微分方程和时滞微分方程等已经有了很多结果本文主要 考藤真丽花酉h o i i m 型历琵反应函数的时滞培荞器模型的分芰阿题： 本文共分为三节在第一节也就是引言当中，介绍了培养器模型的的背景，本文要 考虑的系统以及主要工作对为何采用简化的h o l l i n gi v 型功能反应函数也做了具体 说明第二节考虑模型的静态分支问题，给出了按内部平衡点个数划分的参数区域及示 意图 第三节则致力于系统的特征方程的分析关于平衡点蜀的结果和文【5 ， 6 相似， 我们只简述了相关结论其次分三种情形详细分析了平衡点岛的相关情况，其中用到 了两种方法；一种是文 6 提供的，另外一种是本文的重点所在，其中用到了函数的单 调性和反函数及复合函数的相关性质，这些性质对解决本文的问题是十分重要的这两 种方法帮助我们得到了在参数空间( r ，卢) 上的分支图第二种方法为分析时滞微分方程 的特征方程根的分布提供了新的思路最后我们描述了分支图的走向及特点 关键词：培养器h o l l i n gi v 功能反应函数时滞 a b s t r a c t c h e m o s t a ti sas i m p l i f i e dm o d e lo fl a k e sa n di th a sg r e a ts i g n i f i c a n c ei nb i o l o g ? t h e r eh a v eb e e nm a n yr e s u l t sa b o u tc h e m o s t a ti n c l u d i n gm a n y t y p e so fe q u a t i o n ss u c h a so d e ，p d e ，r f d ee t c t h i sp a p e ri sd e v o t e dt od i s c u s st h eb i f u r c a t i o no fac h e n t o s t a t w i t hd e l a ya n ds i m p l i f i e dh o l l i n gt y p e i vr e s p o n s ef u n c t i o n t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e es e e t i o n s i nt h ef i r s ts e c t i o nie t h ei n t r o d u c t i o n ， w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do ft h ec h e m o s t a ta n dt h es y s t e mw h i c hw i l lb e d i s c u s s e da n dt h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r w ea l s oe x p l a i nw h yt h es i m p l i f i e dh o l l i n g t y p e i vr e s p o n s ef u n c t i o nc a ub eu s e di nt h es y s t e m i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ec o n s k h l i o ft h es t a t i cb i f u r c a t i o no ft h es y s t e ma n dd i s p l a yt h ep a r a m e t e rd o m a i np a rt i t i o n e d a e c o r d i n gt ot h en u m b e ro fi n t e r i o rs t a t i o n a r yp o i n t s w ea l s og i v et h ed i a g r a m i nt h et h i r ds e c t i o n ，w ea r ed e v o t e dt oa n a l y z et h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n so f t h e s y s t e m t h er e s u l t sa b o u tt h ei n t e r i o rs t a t i o n a r yp o i n te 1a r es i m p l ys t a t e ds i n c et h e a r es i m i l a rw i t ht h er e s u l t si np a p e r 5 a n d 6 w em a i n l yd i s c u s st h ei n t e r i o rs t a t i o n a t yp o i n te 2i nt h r e ec o n d i t i o n s t w om e t h o d s a r eu s e di nt h ep r o c e s so n ei sp r o v i d e d b y 吼t h e o t h e ri st h es o u lo ft h i sp a p e rt h em o n o t o n i c i t yo ff u n c t i o n sa n dt h ep l 叩一 e r t i e so fi n v e r s ef u n c t i o na n df u n c t i o no ff u n c t i o n sa r eu s e dt h e s ep r o p e r t i e sa r em o s t i m p o r t a n tf o rs o l v i n gt h ep r o b l e m b o t ho ft h e mh e l pu so b t a i nt h ew h o l eb i f u r c a t i o n d i a g r a ma b o u te 2i np a r a m e t e rp l a n e ( r ，) f u r t h e r m o r e ，t h es e c o n dm e t h o dp ! 。v i d e s an e wi d e at ot h ep a r t i t i o no ft h er o o t so fe h a r a c t e r i ce q u a t i o n so fr f d ef i n a l l yw e n a r la t et h ef e a t u r eo ft h ed i a g r a m k e y w o r d s ：c h e m o s t a t h o l l i n gt y p e i vr e s p o n s ef u n c t i o nd e l a y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名：奎盘盘日期：羔! 堕：! 主! 墨q 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位沦文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：奎煎惑指导教师签名： 日期：羔! ! 主：! 三!日期 逸& 奎 1 移 、r 、；1 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：生扯趣醚电学院 电话：2 ! = 垒州岔 通讯地址：通螽谊撵蝴夺挪托路汕多邮编：垒旦! 塑一 引言 培养器是一个用于连续培养微生物的实验装置，其中具时滞的单种群微， ：物培养 j i 型可以用毛匾睁时潍微分方程苯描述 ，1 。( t ) = ( 岛一8 ( z ) ) d 一秘( t ) ) z ( t )( 1 l 圣( t ) = - o z ( t ) + p ( 8 ( t r ) ) z ( t ) 这里，s ( t ) ，x ( t ) 分别是培养器内t 时刻营养基和微生物的浓度；岛为输入到培养器 内的营养基的浓度；d 为输入输出的流量；微生物的生长对营养基的消耗率设为常数 l d ；p ( s ) 称为功能反应函数，反映微生物增长率和营养基浓度的关系；r 为时滞，表 示营养基使微生物浓度发生变化所需要的时间 1 9 6 5 年，h o l l i n g 1 给出了h o l l i n gl i 型功能反应函数 p ( s ) = 罴 ( 1 2 ) 和h o l l i n gi i l 型功能反应函数 删= 再 m 了s 2 ( 13 ) 这两类功能反应函数都是单调递增函数，图像如图i 1 所示， p ( s ) 图1 - 1 然而从实验观察( 见文 2 ， 3 】等) 可知，营养基的浓度过大不但不会促进微生物的 生长，反而会起到抑制的作用，即采用单调型的功能反应函数并不总是符合实际情况 1 9 6 8 年，a n d r e w s 2 提出了非单调的h o l l i n gi v 型功能反应函数 p ( s ) = 羔 ( ) n 十0 s 十s “ 1 9 8 0 年，s o k o l 和h o w e l l 4 j 又提出了简化的h o l l i n gi v 型功能反应函数 其图像如图12 所示 p ( s ) t s 再了 ( j p ( s ) s 图1 2 这里，函数( 1 5 ) 的性质与函数( 14 ) 类似，且能更好的符合实验数据，又只含有两个 参数m 和。，因此比( 1 4 ) 的应用更为广泛 若系统( 1 1 ) 中的p ( s ) 取为函数( 1 2 ) ，令8 = 岛i ，z = s o d t ，t = 7 d ，m = d h ，n 二二 s o d ，r = r d ，且仍用s ，茁，t ，t o , ，o ，r 来记i ，虿，i ，碗，瓦，f ，则有 f 量( t ) = 1 一s ( f ) 1 【圣( 。) = 一茁( 。) + z ( 。) 扣) ( 16 ) 显然( 16 ) 存在唯一的内部平衡点口= ( s + ，茁) = ( 而马，窨) ，其中m n + 1 众多学者已经对系统( 1 6 ) 进行了广泛的研究，得到了一系列结果 文献【5 以r 为参数讨论了系统( 16 ) 的h o p f 分支存在性及大范围周期解的存在 性，主要结论是： ( 1 ) 如果0 2 r 的非常值周期解这里p ( 一j 罴卢刊s m = 坠与掣 啪( 卢) ( 1 + f 1 ) 2 + 、( 1 + 卢) 4 + 4 卢2 、2 。i 一一j 文献 6 中主要是在参数平面( n 卢) 上第一次给出了系统( 1 6 ) 的分支图，其主要 结论是： ( 1 ) 若0 o 或r 告，卢 r i o ( r ) ，则e 8 是不稳定的，系统至少存在一个周期t 2 r 的非常值周期 解 ( 3 ) 若2 ( n 一1 ) ”+ 告 0 ，且矗一觑如文献 删一一一一一 、卢= 卢o p r 愁 s t , a b l e 协三麓熏巍 - ， 能是渐近稳定的，也可学是不稳定的，而第二个平衡点总是不稳定的，并且分别利用 本节考虑系统 2静态分支分析 1j 0 7 兰1 一_ s i t 7 p 哆( j i 0 ) l 圣( t ) = z ( ) + p ( s ( t r ) ) z ( ) 其中p ( s ) = ? 篝，显然p ( s ) 满足 ( 1 ) p ( o ) = 0 ，且p ( s ) 0 ，对任意s 0 ”如，：妻鬟面 令s = 5 4 ，z = z 4 为系统( 2 1 ) 的平衡点，代入( 2 1 ) 有 ( 21 ) 易知无论参数m ，a 取何值，e o = ( 1 ，0 ) 总是系统( 2 1 ) 的边界平衡点另外，由 于系统的实际意义，若( 矿，茁+ ) 为系统( 2 】) 的内部平衡点，须有p ( s ) = l ，s 。 o ，- j + 一 1 5 8 0 p ( s ) 的图像可以分为五种情形，如图2 1 1 215 所示 p ( s )p ( 5 ) 逡。护c 麽v e - - 。 图2 1 1 图2 ，l3 3 4 图2l2 图2 】4 o 0 三 三 $ z o 、j、j 铲 驴 ，l，l p p 一 +矿护 一 一 1 ，c，【 定义 p ( s ) s 图2 i 5 这乳：m - 、，m 霉2 - 4 a ，s 2 _ t m + x , m z - 至4 a 对于图2 11 2 15 ，若按内部平衡点的个数分类，有如下三种情况 1 。若图2 1 t l 或2 ，1 5 成立，则有 磊 1 ) m 2 地。 g 1 # ( n ，m ) i m 2 4 a ，0 a 1 或0 ( 2 8 ) 则当( n ，m ) g t 时，系统( 21 ) 没有内部平衡点 定义 2 0若图21 2 或2 14 成立，则有 焘- 1 , a 1 或堕2 a4 - 1 ) “o ，m ) 1 m = a4 - 1 ，0 a 1 ) ( 。，m ) l - 1 2 = 4 a ，0 a ，且坚譬兰 以 堕号：坐 ， 帘鼙 g 3 ：= “。，m ) 1 2 v 石 m n4 - 1 ，0 a 0 和曲线段m = 2 石，0 2 r 的非常值 周期解 ( 3 ) 若2 ( 扎一1 ) + 芸 rs 2 n ? r4 - 芸，n 为正整数，则系统( 2 1 ) 在启l 一孰 ( ，) a = 0 ，1 一】产生h o p f 分支 其中而= 岛( r ) ，= 0 ，1 n 一1 见f 6 命题24 中口一文( r ) 一0 ，1 ，i 的 定义但是在 6 ) 中p ( s ) = ，n z 和n 均是系统( 1 6 ) 中的参数，? 一p ) r 【 r 7 7 尘型慨一1 ) ， r 门a h o p f 分支图走向如图1 3 所示，但纵轴为岛 7 3 2 岛的局部动态分支分析 由于岛的大小会影响特征方程( 3 4 ) 中各项系数的符号，因此对( 34 ) 的分析按 1 膨 0 ，一o 。 一l 和岛= 一i 三种情况讨论。 由 岛十l =( 盘s ；) ( 1 s 2 ) 盯z s + 1 ：塾= ! 礁7 n - 2 a m s 2 o j 分为期f 三种情况： 】。 当( 口，m ) ( n ，m ) j2 以 m 口+ 1 ，o 】l f ( n ，n ) fo 。i ! 翌! ：二j 二! 塑i i 二! 避，o ( 。： 时一i 脘 0 。 2 。靳，小 ( 0 ，- t ) 1 o n 墼二旦墨匹至，o m 抽耿一， 3。当(“，m)(n，m)j。=_(2m-1)+(1-rn)vt-忑m，om：)寻岛：一1 为叙述方便，本节不妨将国简记为 3 2 1 一l 卢 0 ，将其代入( 3 4 ) 中，有如下方程组成立： f ls i n 8 嬲篡眦 。s ， l( u r ) = ( 1 + 卢) “ i j 。j 显然如果a = 山是( 3 ，4 ) 的根，则u r ( 2 姗十 ，2 7 r + 娑) ，：o ，1 ，2 ， 消去卢，得 “8 “( “j r ) 一1 一i 石姜i 万2 o ( 36 ) 设西= 0 ) t 有 面rs i n r 2 c o s 巧一- 2 = 0 f 37 1 令 9 喊r ) ：= 订r s i n r 2c o s 一铲 f 3 8 1 令瓦：= ( 2 栅+ ”，2 k 7 r + 萼) ，七= o ，1 ，2 ，7 ：= u 墨。不，考虑g ( 面，) 在7 中的零点 引理3 2l 若矿7 是9 ( 口，r ) 的零点，则妨( 矿，r ) 0 证明：设对某个n ，石一i kc 了，且9 ( 面一，r ) = 0 ，即 9 ( 西+ ，r ) = g rs i n 巧+ 一r 2c o s 茚+ 一百“：0 对( 3 8 ) 关于口求导，且由s i n 0 ，c o s 口4 0 ，得 尊函( 百+ ，r ) = rs i n 面+ 十西rc o s + + r 2 s i n 西+ 一2 蟊x 0 引理3 t 2 2 ( 】) 若9 ( 2 k 丌+ 丌，r ) so ，夕( 2 七丌+ 等，r ) o ，则口( 玎? 、) o ，g ( 2 m r 4 - 8 。7 r ，r ) 0 ，则9 ( 百，r ) 在瓦中有唯一解 证明：( 1 ) 假设结论不成立，则存在玩冗，使得9 ( 瓯，r ) 20 ，而9 ( 2 自。p f ，r ) ( 】 且爵 时，9 ( 面，r ) 连续，则存在硪瓦，使得口( 哦，r ) = 0 ，且妨( 硪，r ) 0 ，与引 理3 2 1 矛盾 ( 2 ) 证明与( 1 ) 类似 命题3 2 ( 1 ) 若0 r ”，则夕( 万，r ) 在7 中无零点 ( 2 ) 若2 ( n 1 ) 7 r + 7 r r 2 n t r + 7 r ，礼为正整数，则9 ( 丽，r ) 在了中有扎个零解 面o ，可l ，l o n _ 1 ) ，可k 乏，k = 0 ，l ，n 一1 ( 3 ) u 女( r ) ：= 坐导是关于r 的解析函数，r ( 2 7 r + 订，+ 。) ，且饥( r ) o 证明：( 1 ) 若0 - 则 g ( 2 k 7 r 十，r ) = r 2 一( 2 7 r4 - ) 2 0 g ( 2 栅+ 丁3 7 ，r ) = ( 2 自7 r + i 3 9 t ) ? ( 2 南7 r + i 3 7 t ) 2 。 则由引理3 2 2 知g ( ，r ) 0 ，对任意面7 t ，n ，则9 ( 石，r ) 在7 中无零点 ( 2 ) 若2 ( n 一1 ) 7 r 十7 r 0 由引理3 2 2 知9 ( 可，r ) 存在唯一零点 巩i k ，k = 0 ，1 - n 一1 则9 ( 万，r ) 在了中有n 个零点 瓯，可一c ；) n - 1 1 ，砜l ， 。 0 1 n 一1 ( 3 ) 令函t = 可e ( r ) 为由( 2 ) 确定的函数，9 ( - ，r ) 是【面，r ) 的解析函数，由号i 理3 21 及反函数定理知瓯= 砜( r ) 为解析函数，则u k = u k ( r ) ：坠掣j k 关- # ，的解析函 数，r ( 2 7 r - t - 7 r ，+ 。) ，则u k ( r ) 满足 对( 39 ) 直接关于r 求导，得 ，。2 1 一 墼 ：0 c o s 【“k rj 。：一。等；! 堡塑! ! 竺! ：2 二! ! 一 魄2 而面瓦而专荸矗蠢丁怎而丽而j 显然讥 0 ，命题证毕 命题3 2 4 令女= u ( r ) 为由命题3 23 给出的解析函数 ( 1 ) 特征方程( 34 ) 有纯虚根a = 士，u 女t - - i 瓦骨s = 岛( r ) ( 1 、1 2 9 ( 39 ) ( 3 1 0 ) 2 0 r +新一2 开 n 斗口”七 一 2 产弋 = = 阿塑。 鼢胁 ( 2 ) 若r ( 2 ”+ ”，+ 。) 固定， = 。，l ，2 ，则r e ( 等) 旧一蹦r ) 0 ，因此凤( r ) 严格单调上升，r ( 2 k s + 7 r ，+ ) ，k = 0 1 ，2 ， l i m 。i l k ( r ) = ，淼= l i r a 。，n 。, 篑，丽, ：l i m ( r s m w a r ) 一1 1 ：0 r _ + o c _ b o k t f 31 】1 然后证明，。2 l k i 。m + 。+ o 风( ”) = 一1 由西k = 面 r ) 满足g ( 面，r ) = 0 得 ，、2 r c o s 一矾s k 函 u 5 丽i r 由引理3 21 知船( 矾，) o 充分j 、， ，觅 分大，则蕊( r ) o ，里矾( r ) 2 ”十i 3 7 r 由命题32 3 知u * ( r ) = 里鼍7 严格递 减，( 2 - + ”，+ ) ，则，。! 溉。+ 。竺存在，进而，。：l k i ，r a + ，1 0 品a ( 7 ) 爵：存在， 0 丌 且2 k v4 - ws 口；s2 k s + 9 1 0 下面往证硪= 2 k a + 由于瓯( r ) 是9 ( 酉，r ) 的零点，且 ，地l i m r a + 。9 r ) = g ( 菇，2 k t r + 7 r ) = 硝) 警 =0 苫i i 理3 2 了菰葫运j ：j ；知，若2 k t r + ；f ：一蠢。2 ”+ 警j g ( 2 森+ t r ，j k ”+ ”) o , g ( 2 k 7 r + i 3 7 y ，2 枷+ 7 r ) 0 ，卢( 一1 ，o ) ，平衡点e 2 总是不稳定的， ( 2 ) 2 ( n1 ) 7 r + 7 r 0 ，则若a r 由 f ( a ) 的连续性，显然f ( a ) = 0 在( o ，1 ) 之间有解，因此踢是不稳定的 f 2 1 由命题3 24 知，对任意n n 十，若r ( 2 n t r 一7 r ，2 n 7 r + 7 r l 则特征方程( 3 4 ) 在卢= 尻( r ) ，k = 0 ，1 ，礼一1 时有纯虚根k = i w 若r 固定，则r e ( 等) 口：蹦，) 0 、k = 0 ，1 ，n 一1 ，其中，a = a ( _ 卢) 在p = 反( r ) 时通过z “ 由( 3 4 ) 知趣= i “ ，k = 0 ，l ，n i 为单重根，并且对任意固定的忍，若( 3 1 j 的 根a a 女，则满足a r r z a e ，对任意m n 若不然，则存在m n ，m 1 ，使得a = m a k 是( 3 4 ) 的根，则 i 卢c o s ( m “j k r ) = m 2 “； i 卢s i n ( 7 r w k r ) = ( 1 + j ) r r t c o , 则( t 7 7 2 2 c j 2 ) z + ( 业掣坠) ：= l ，即钾一“j 24 - ( 1 + 矗) z m 。u ；一矿= 1 ，m 南( 3 引 。 + ( 14 - 一) 2 叫 一疗2 = 1 ，则( m 4 1 ) 叫 = ( 1 斗卢) 2 ( 1 一竹7 2 ) u 、而l ：式当i t 仅肖川 1 时成讧再结合命题324 ，由h o p f 分支定理( 见h a l e 7 ) 知结论成立，证毕 一n f 引矾丽 魄 瑚q 3 2 2 口 一1 时 若声 o 固定，且令函数f l ( r ) ：= u ：s i n ( 6 4 ) f ) c o s r ) 和函数，2 ( r ) ：二= u 2 ，则1 ( ，) 和，2 ( r ) 和在区间k 的交点情况按u 值的大小大致可分为两类，如图31 和32 所 示： ，( r )厂( r ) 。一一一八- 一一一一一一一 厂、一一一一屯0 ) l 一j “一_ 一 一 ! ：，“ j! 儿v j ，ii 7 r 7 r ：3 w ：2 7 r 一2 w 五f 五：百 ： ： ： 一一1一一 v 一一7 。 一一一一 一 ：! ：弋= = 图3 1图3 2 r 一万 令q ：= l 专塑，则显然当o u 1 时，l ( ，) 和，2 ( r ) 在区间k 内无交点， 即9 、( u 、，) 没有满足条件( 31 3 ) 的零点；当l u 0 ，t ：( 。) 1 3 ”“”i 百丽v w 一十i 厂一 ( 32 1 ) ：竺! 翌二坚鲨尘二生：! 羞 一弋万可丽可丁j r j 兰旦 ( u 3 + 2 w ) w 2 u 2 面干丽伊亍i i 卅k 8 1 “丽 一i 一 一( 3 0 a s - 4 - 9 w 6 3 w 4 9 u 2 2 ) 0 0 2 + 2 a r c s i n 了蔷；辛彳( u 2 + 1 4 ) 3 口( u 2 + 1 ) 2 5 i 面巧面菰巧午i 萧而一 往证 ( u ) ：= 2 a r c s i n 了若；彳( u 2 + l 一3 w 6 9 w 42 w 2 0 7 ( u ) = 2 8 w 9 + 6 8 w 7 1 4 w 5 2 6 w 3 2a r c s i n 荷0 3 丽2 ( w 2 + i ) 衙确( 1 0 w 5 - w 3 - 7 w ) 2 8 w 9 + 6 8 w 7 1 4 w 5 2 6 叫3 7 r “( 叫2 + 1 ) ( 】0 “5 6 3 3 7 “) 0 其中o a r c s i n 了麦丽 ；，瓴万干葡 u ，对任意u ( 1 ：q ) 因此( u ) 是增函数，因此0 。_ + l i m i + 。女) 0 ，即h 2 ( u ) 是增函数，进而( r ) 7 ) 是增函数，且。1 i r a ，+ 0 ( r 2 ) 7 ) = 1 一；一2 k ” 0 - 。l i r a 。一。( r ：) 7 ( u ) = + 。 习l i t7 l ) 是凸函数，且先严格递减，后严格递增由( 3 1 8 ) 即有。_ + l i r n r 2 ( u ) = 2 k n - + 芸，r 1 ( 叩) = 讥证毕 由命题326 的证明，函数( r 2 ) ( u ) ，u ( 1 ，叩) 是严格增函数，且。马器。( r ) ( u ) = 1 一i 一2 ” 0 。1 i m 。一o ( r ) ) = + o 。- 则由介值定理知， ( r ) ) = 0 有且只有个 解，设为饥显然r ( 仇) = m ，i ，n ，r ) 命题32 7 讥) 是单调增的有界数列，k = 0 ，l ，2 ，且l i m 仇一口 证明：首先，易见对任意讥，= 0 ，1 ，2 ，均有1 诹 ( r 2 + 】) ) ，对任意u ( 1 ，1 ) ， 因此 0 = ( r 2 ) ( o 女) = ( r + 。) 7 ( o k + 1 ) ( ， ) 7 ( o 女+ ，) 则由( r ) ( “) 是增函数知a 饥+ 1 因此 诹) 是单调增的数列，且有上界r 由实数 的连续性叮知存在唯一的。使得 。l i r a 。& = 。 14 f 面往证面= r ( 反证法) 设，l i r a 瓯= 西 r ，将讥代入( 3 2 1 ) 中 e 呻+ a r c s i n 鱼 ( r ：) ( 。t ) = 一高一壶a r c t a n 瓦1 一半 士鏖! 一姿 ( 面；+ 1 ) 、击；十1 一面l u 两边取极限，令_ + o o ，左边等于1 i 碑( r ) ( 讯) = 0 ，右边等于 k + o 。 西2 莩arcsmv 百+ 1 + 两焉导丽“m2 瓦k 7 c 11 k - - e + o a 白2 f 西2 + ) 、历2 + 一面4 西l 左右矛盾，因此1 i m 讥= o = q 证毕 命题32 8 设r ( 瓯) = ：r 4 ，则 r + ) 是a - 调增数列， 2 k ”+ 告一，1 ：4 ) 也是单调 增数列，盎= 0 ，1 ，2 ， 证明：由( 3 1 8 ) 知r + l ) 一r 2 ) = 等，对任意u ( 1 ，叩) ，a 一0 ，l ，2 由命题 3 2 7 妣r + 2 r 她) _ 删m l i n ，州r = 则 硼伊志2 ；巧兰磊面 “j ( u 2 + 1 ) 卢7 ) = 、石f 订刁一” 一u 6 + 3 4 + 3 w 2 + 1 2 u 3 、石丁耳_ r 二再 以蔓臣j 蛋( 五霸研一u ) 2 一u 4 一u 2 + 3 甜4 + 3 w z + 1 2 w 4 以万玎f 了( 以万订- 二了一u ) 2 则卢：声) 是严格增函数，且。- l i m 。+ 。口) = 一。，。- + h m 。一。卢( “) = 二旦 丛：= a 由反 函数定理，u = u ( 卢) 也是严格增函数，且8 墨w ( 卢) = 1 ，口+ l i r a ，一0 c o ( ) 2q 命题3 21 1 由z c o s 2 ) = u 2 确定的函数u = u ( 卢) 是严格减函数 证明： u 2 u 2 1 = 一。 ”。8 2 ( “) c 。s ( a r c t a n 五1 一a r c s - “了乏l 丽0 2 十+ 2 k ，r ) 叫( u 2 + 1 ) 2 x 2 w 2 2 2 2 2 + 2 2 2 1 2 2 - - 2 2 2 w 2 2 4 + 一w 则 卢7 ) = u 6 3 w 4 一u 2 1 2 w 3 、丘了r 干_ i 刁 弋压辱讨( 以巧珊十“) 2 u 4 + u 2 3 “j 4 一u 2 1 2 w 3 c w 2 + 1 - w 4 0 玩芦订= 万( 以f 订= 了+ u ) 2 则芒 = 卢) 是严格减函数，且。t i m l + 。卢) = 一1 i 。_ + l i r a q 一。卢和) = 盯由反函数定理， u = u ( 卢) 也是严格减函数，且口。l i m 。+ 。( 卢) 2q ，口土味。u ( 卢) = 1 - 证毕 为示区别，将命题3 2 1 0 中得到的函数u ( 卢) 记做u 1 ( 卢) ，将命题3 2i i 中得到的 函数u ( 廖) 记傲u 2 ( 廖) ，丽定义 邶，= 箔：裂三盯 z 。， 由汲 ， u p ) = l 及( 3 2 2 ) 知：存在域 口 暖使得“( 以) = 。( 蹦) = “ 命题3 21 2 ( 1 ) 雕) 是单调增的有界数列，= 0 ，1 ，2 ，且 一l i r a d 2 一 ( 2 ) 雠) 是单调减的有界数列，k = 0 ，1 ，2 ，且k 翌罕k 俄2 0 - 证明：( 1 ) 显然雕 口，k = 0 ，1 ，2 ，而u ( 雕) = 讯 机t 】= u ( 钟+ 1 且“( “ 在f 一。a 单调增，则雕 雕一则 饿 收敛又由。l i m 。“( f 1 2 ) 。粤l 。o t f 61 盯 一雠 ； h + 斗p 口*疗 ( u m 州l 口 ( 2 ) 证明过程类似( 1 ) ，略 令r 2 ( 卢) ：= r ( u ( 卢) ) ，卢( o 3 ，一】；r 2 ( 卢) ：= r l ( “- ( 卢) ) ，卢( o ，一1 ) 命题32 1 3 ( 1 ) r l ( z ) 在卢( 一o 。，口 ) 时严格递减，在口( 饿1 ，o j 时严格递增 且p r = 2 k ”+ ；，牌 r = r 屯粤。r 2 弧 。 其中“= u ( 口) ，且 e ：= 【( ( 1 + _ 曰) c o s ( 叫r ) 一2 ws i n ( u r ) 一卢r ) 2 + ( 2 wc 0 8 ( u 7 ) + ( 1 + 卢) s i n ( 0 ) 7 ) ) 2 】一 定理3 2 1 5 ( 1 ) 若一 0 ，卢( 一o o ，- 1 ) ，往证( 3 1 2 ) 有正的零点即可 f ( 0 ) = f ( 一) = = 则若ac ，f ：显然( a j = 0 在( 0 卢 0 ， 卢2 + ( 1 + 卢) ( 一p ) + 卢e x p ( 卢，) 一+ e x p ( r ) 一0 斗口= 0 一声) 之问有解，则筋是彳i 稳定的 】7 3 232l0=七 盯0 一 一 p c ， 定理32 1 7 ( 1 ) 卢= 一1 ，r 0 时，蜀是不稳定的， ( 2 ) 系统在( 卢，r ) = ( - 1 ，2 k r r + ”) ，k = 0 ，1 ，2 ，存在h o p f 分支 证明：( 1 ) 与定理321 5 类似，略 ( 2 ) 由( 32 4 ) 可知 = i 是单重根，且对任意固定的r = 2 ”+ 7 r ，由( 32 5 ) 易验 证，只要a i ，则有a m i ，对任意m n ，则系统( 2 1 ) 在r = 2 k 斗w ，a - = 0 1 ，2 一 存在h o p t 分支( 见h a l e 【7 ) 证毕 3 2 4 卢 0 时的分支图 综合3 2 1 3 2 3 可知只要易存在，则它总是不稳定的分支图如斟3 3 所示 1 8 0 | | a r 弧丽 一 ，l叶 a p 眦一 坠升 a2 即 7 r5 丌9 7 r r 撩虿 r 41 眄3 7 rr + 伪了, 5 9 v 1 # 一 盯 ? 一，：1一一r 一一、一7 一一 熙 弘+ 卜严 l f j 卢i f。 r ij j l l 风 沁舻， r = 爿r t ( 卢)r 刊7 2 ( 卢) i ；： ( r ) 幽3 3 说明：( 1 ) 为了和图1 3 一致，将图3 3 中的横轴确定为r 轴，将纵轴确定为芦轴( 实 际上为卢2 ) ，并且将3 2 1 中得到的曲线卢= 仇( r ) ，r ( 2 k t r 十7 r ，十。) 和3 2 2 中得到 的曲线r = 飞( 卢) ，卢( 一。，一1 ) 放在了同一坐标系中直线卢= 一l 上方是4 一= 魄( ，) ， 下方是r = n ( 口) ，点( 2 7 r + ”，一1 ) 使得卢= 风( r ) 与r = n ( p ) 能够连成一条光滑曲 线 ( 2 ) 蓝线r = 强) 的极值点( 畦，成) 随着自的增大逐渐向右上方运动，且以直线 卢= 口为渐近线( 由命题3 2 1 2 知) 【3 ) 点( r 也磁) 在直线r = 2 k ：v + 百7 1 左侧，且随着的增大离直线r = 2 h 十；越 来越远( 由命题3 2 ，8