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专题一数学思想问题 初中数学常用的数学思想有数形结合思想 分类讨论思想 转化或化归思想 整体思想等 数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系 既分析其数量关系 又揭示其几何意义 使数量关系和几何图形巧妙地结合起来 并充分地利用这种结合 探求解决问题的思路 使问题得以解决的思考方法 分类讨论思想是研究与解决数学问题的重要思想之一 在 中学数学的应用中十分广泛 由于数学研究对象的属性不同 影响了研究问题的结果 从而对不同属性的对象进行研究的思想 或者由于在研究问题过程中出现了不同情况 从而对不同情况进行分类研究的思想 我们称之为分类讨论思想 正确的分类 必须遵循一定的原则 以保证分类科学 统一 不重复 不遗漏 并力求最简 将一个陌生的 未知的问题转化为一个熟悉的 已知的问题的思想叫做化归思想 也叫转化思想 化归思想就是化未知为已知 化繁为简 化难为易 化归思想是数学的核心思想 又是未知通往已知的桥梁 整体思想 就是在研究和解决有关数学问题时 通过研究问题的整体形式 整体结构 整体特征 从而对问题进行整体处理的解题方法 从整体上去认识问题 思考问题 常常能化繁为简 变难为易 同时又能培养学生思维的灵活性 敏捷性 图z1 1 则 a 正确的命题是 c 正确的命题是 b 错误的命题是 d 错误的命题只有 综上所述 正确的命题是 答案 a 名师点评 本题考查了函数与不等式组的关系 先根据正比例与反比例函数的解析式 求出两交点的坐标 然后结合图象对选项做出准确判断 分类讨论思想 例2 2013年四川凉山州 如图z1 2 在平面直角坐标系中 矩形oabc的顶点a c的坐标分别为 10 0 0 4 点d是oa的中点 点p在bc上运动 当 odp是腰长为5的等腰三角形时 点p的坐标为 图z1 2 解析 由题意 当 odp是腰长为5的等腰三角形时 有 三种情况 1 如图z1 3 pd od 5 点p在点d的左侧 图z1 3 过点p作pe x轴于点e 则pe 4 2 如图z1 4 op od 5 图z1 4 图z1 5 过点p作pe x轴于点e 则pe 4 此时点p坐标为 3 4 3 如图z1 5 pd od 5 点p在点d的右侧 过点p作pe x轴于点e 则pe 4 oe od de 5 3 8 此时点p坐标为 8 4 答案 2 4 或 3 4 或 8 4 名师点评 分类讨论要做到 不重 不漏 在讨论 odp为等腰三角形时 可以选择腰为分类标准 分别讨论即可 转化与化归思想 例3 2013年山东烟台 如图z1 6 正方形abcd的边长为4 点e在bc上 四边形efgb也是正方形 以b为圆心 ba的长为半径画 连接af cf 则图中阴影部分的面积 为 图z1 6 解析 如图z1 7 连接ac bf 在正方形abcd和正方形befg中 ac和bf分别是正方形的对角线 cab fbg 45 ac bf 图z1 7 acf和 acb是同底等高的
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