（应用数学专业论文）无限级dirichlet级数的增长性与整函数的因子分解.pdf

摘要 本文分两部分，第一部分就右半平面上的d i r i c h l e t 级数和全平面上的 d i f i c h l e t 级数这两方面对近年来的研究成果作了简单的叙述，在此基础上， 作者在一般的指数条件与瓯号；皋粤= 1 情形下，对右半平面上和全平面 上的无限级d i r i c h l e t 级数作了系统研究，获得d i r i c h l e t 级数的系数与增长性 之间关系的一些新结论第二部分研究整函数的因子分解，得到判断函数为拟 素的或e 一拟素的一些必要条件 关键词td i r i c h l e t 级数；级；型函数；精确级；正规增长；超越亚纯函数l 整函数；拟紊的聚结线；聚点 a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ef o l l o w i n gt w op a r r s t h ef i r s t ，t h e a c h i e v e m e n to fd i r i c h l e ts e r i e si nt h e r i g h th a l f - p l a n ea n d i nt h ec o m p l e x p l a n e f o raf e wy e a r sa r er e l a t e d o nt h eb a s eo f t h i s ，w h e nt h eg e n e r a e x p o n e n t i a c o n d i t i o n h o l d s ，a n du n d e r t h e c o n d i t i o n o f 甄萨= 1 , i s t u d yi n f i n i t eo r d e rd i r i c h l e ts e r i e si nt h ef i g h th a f t - p l a n ea n di nt h ec o m p l e x p l a n e a n do b 七越n t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e o r d e ro f g r o w t ho f d i r i c h l e ts e r i e sa n dc o n f l l e i e n t s t h e s e c o n d ，w es t u d yt h ef a c t o r i z a t i o no f e n t i r ef u n c t i o ni nt h ec o n d i t i o no fc o m p o - s i t i o n o f f u n c t i o n s ，a n d o b t a i n t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s o f s o m e p s e u d o - p r i m e o re p s e u d o p r i m ef u n c t i o n s k e y w o r d s ：d i r i c h l e ts e r i e s ；o r d e r ；t y p e - f u n c t i o n ；p c o d m a t e o r d e r ；r e g u l a r g r o w t h ；t r a n s c e n d e n t a lm e r o m o 删ef u n c t i o n ；e n t i r ef u n c t i o n ；p s e u d o - p r i m e ； a g g r e g a t i o nl i n e ；c l u s t e rp o i n t i 引言 d i r i c h l e t 级数是1 9 世纪中叶l d i r i c h l e t 研究数论时寻f 进的，可看作是 t a y l o r 级数的推广，也是l a p a l a c e - s t i e l q e s ( 拉普拉斯一斯缔尔杰斯) 的一个 特列对于d i r i c h l e t 的研究，方面是为了解决数论中提出的问题，一方面 是为了了解级数本身的分析性质在后者中，对级数的系数与增长性之间的关 系近年来，许多专家和学者进行了大量的研究 对于d i r i e h l e t 级数的研究，自从v a l i r o ng 【1 与h o n gk i n l a i m 分别引 入有限级和无限级d i r i e h l e t 级数的型函数v c t ) = r p ( r ) 以来，有关型函效的 性质得到进一步的刻划同时，利用型函数u ( r ) ，确定d i r i e h l e t 级数的精确 级，研究d i f i c h l e t 级数的系数与增长性之闻的关系，也得到进一步的发展 但是，余家荣教授i s ，一、孙道椿教授ht 8 。 1 0 l 等人对d i r i c h l e t 级数的系数 与增长性之间的研究，他们所得的结果，大多是在：匾号；等等掣= 1 时获得 的本文作者在匿鼍；彦乎= 1 的情形下，着重研究无限级d i r i e h l e t 级数 的系数与增长性之间的关系，获得一些新的结果“j ， 亚纯函数的因子分解主要研究一个给定的亚纯函数能否表成两个或两个 以上的非线性亚纯函数的复合它的发展与研究函数的不动点的存在有很密 切的关系早在1 9 2 6 年，f u t o u 声称任何一非线性整函数的，( z ) 的二次迭 代，( ，( z ) ) 至少有一个不动点这一事实直到1 9 5 2 年，p c r o s e n b l o o m 利 用p i c a r d 定理作了正式证明之后，利用n e v a n l i r m a 值分布论的新成果，美 国的f g r 0 8 8 和c c y a n g ；俄国的g o l d b e r g 和p r o k o p o v i c h ；英国的b a k e r 和g o l d s t e i n ；德国的s t e i n m e t z 和b e r g w e i l e r ；日本的o z a w a ，u r a b e 和n i i n o ； 中国的郑建华和宋国栋等对函数的因子分解沦中的函数的索性与拟索性，周 期函数的互调性，复合函数分解的唯性，迭代函数的方程解及复合函数的不 动点的臆浇的证明等方面作了大量的研究 i i 第一章近年来d i r i c h l e t 级数的研究进展 1 1 右半平面上d i r i c h l e t 级数的研究 为了解右半平面上d i r i c h l e t 级数的研究，下面介绍一些定义及相关的结 果 设d i r i c h l e t 级数 ，( 8 ) = e 以”， ( 1 1 ) 其中 口。) cg 0 o ) 内解析的函数 定义1 1设，( s ) 在右半平面上的最大模与最大项分别是t m c 嚣，) = s u p i f 0 + 细) i ；可r 扛 o ) ， m ( 茹，) = m a x 6 l ，l i e 一1 ”。；n ；) ( z o ) 定义l 2 ，( 8 ) 在右半平面上 s i r e s = 茹 o ) 的增长级p 定义为： p = 耍r 器- l n l 二n m 矿( x , ) ， ( 1 4 )p 2 竺器= 面7 一， 【l 4 j 当p = 0 ，0 p o ) 关于有限级d i r i c h - l e t 级数，1 9 7 8 年余家荣教授 4 1 得到如下结果 定理1 1 设有限p 级d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 满足( 1 2 ) 、( 1 3 ) 式则 甄等铲= r 甘甄坠掣= 等赢 其中0 r + ，r = w ( t ) 与t = r u ( r ) 互为反函数 定理1 2 设有限p 级d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 满足( 1 2 ) 、( 1 3 ) 式则 一l i m + 擎= r 一甄攀掣= 等慨1 1 且存在一个递增的正数列t n ”，便 。骧芈= 等r 南_ 。甄导“ _ + + n 口p 1 + p ”一十 ，、“_ 其中0 r + o o ，r = ( t ) 与t = r u ( r ) 互为反函数 刘名生教授在文【1 4 中，在一般的指数条件下，进一步讨论了有限级 d i f i e h l e t 级数的精确级与系数的关系。并筒化推广了以上结果，得到 定理1 3 设有限p 级d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 满足( 1 3 ) 式及 - - 1 i m m i l n l n f n = d o ) 关于无限级d i r i c h l e t 级 数，孙道椿教授获得如下结果【7 】 定理1 5 设右半平面上无限级d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 满足( 1 3 ) 、( 1 5 ) 式，则 n ，甄帮= a 甘蕊赢斋吐 6 ) 糯帮= a 铮藏茜吐 且存在 a n 的子列 k 。帕 ，使 l i r a ，+ + = 卜，蛾去= a 2 一p 虹亳 h 一矾 同时，孙道椿教授还利用文【1 5 所定义的型函数所满足的性质。得到下 列结果 8 】 1 6 】 定理1 6 设无限级d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 满足( 1 3 ) 、( 1 5 ) 式，则 甄帮= j 婷燕端2 z 定理1 7 设无限级d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 满足( 1 3 ) 、( 1 5 ) 式，则 。 面：r - - ，o + 絮笋巡蕊- 嘶m l o i = 正 ( 吣。 面z - - f o + 嘲笋= l 2 甄砥观 1 2 全平面上d i r i c h l e t 级数的研究 对于全平面上的d i r i c h l e t 级数，下面介绍一些定义及其相应的结论 设d i r i c h l e t 级数 ( 8 ) = e h 3 ， ( 1 6 ) 其中 口。) c c ，0 茎a 。t + o 。，8 = + i y ( 茹，y 聊设 1 匠_ i n ：e + o 。， ( 1 7 ) n _ 十o o h 甄刿：一。， (18)a n - + + “ 则由级数横坐标收敛的v a l i r o n 公式【3 l ，级数( 1 6 ) 的收敛横坐标、一致收敛 横坐标和绝对收敛横坐标均是一o o 于是和函数，( 8 ) 表示整函数 定义2 1 设f ( 8 ) 在全平面上的最大模与最大项分别是t m ( z ，) = s u p ，( z + i y ) l ；筝r ) ， m ( x ，) = m 缸 l | e o “；n j ) 定义2 2( 8 ) 在全平面上的增长级p 定义为t _ p ：l i r a - i n i n m ( z , f ) ( 1 9 ) 、7 当p = 0 ，0 p o ) ， m ( x ，f ) = m a ) c l 嘶。l e 一1 2 ；n + ( $ o ) 如果 一l i r a i ni n m ( x , f ) 1 1 1 1 1：q - c 0 ) 充分小时，有t l n m ( 霸f ) ( 1 + ) u ( r ) ( 2 1 ) 令 y 一1 一 z i n u ( r ) | n 2 i n u p ) 2元2。tnu(r)h12inu(r)-inx 由于 m ( $ ，) = s u p i f ( 霉+ l ”) l ；冠) s + o o ( i i e h 。) = 薹( a n le x 小k 嵩器崭陆“丽者而， n 有 a 。 ( 1 n n ) 击 ( h n ) ( 1 州 ( 2 3 ) 结合( 2 2 ) ，( 2 3 ) 式，有 m ( 。，) + + 0 0 m ( x ，) e k 茸m ( x ，) ( + 1 + e - 1 n e ) n = i n = n + l m ( x ，f ) ( n - t - 1 + e - b ( 1 n ”) o ) n = n + 1 + = m ( x ，) ( + 1 + n - e ( h “) ) ( 2 4 ) 7 为使e ( 1 n n ) 6 2 ，取t = e ) 【p ( 面2 ，。1 当礼 t 时，由( 2 3 ) 、( 2 4 ) 式，有 朋0 ，) r e ( x , ，) ( + 1 + n f ( j n 8 ) 5 ) n = n + l m+ o o m ( x ，) ( + 1 + 竹一8 + n 一2 ) n = n + l n = 哪+ 1 s m ( x ，) ( 口+ f t - 罟d t ) 茎m ( x ，) ( g + 南t 1 。e ) ， 其中e 是一正常数结合( 2 1 ) 式，有 h m ( ，) l n m ( x ，) + l n c + i n r 兰面+ ( 1 一e ) i n t + l n 2 1 ( 1 + e ) u ( r ) + a + l n t = ( 1 + e ) u ( r ) + a + ( 芸) 2 l 重( 1 + e ) c ，( r ) - t - e u ( r ) = ( 1 + 2 e ) u ( r ) ， 其中6 1 是相应的正常数由e ( 0 ，i ) 的任意性，有 甄号铲= 甄铲 另方面，由【3 1 知，对v n - ，有 e 一 n $ = t l i m 1 f 0 t e i n ，扛+ p ) 氟 f l e h g = r 粤亍1 五t i ，扛+ f u ) l a u m ( 毛，) ， 敌m 忙，) sm 协，) 从瓶 甄笱铲一 o ) ，有 i ni n t 。i e 一1 n 。l n m ( x ，) sl n m ( x ，) ( l - t ) 昭南) 由( 2 , 6 ) 式，有 l n k 护i 掣( 卜艄禹i n ) ，i ( p ) i ! 里! 生剑、i n i o n i 、仁一t ) u ( 意高) 1 + i n 2 u ( 岛) 7u ( 高瀚) 7 磊赫一“ ( 2 5 ) ( 2 6 ) 于是存在序列 z n ( p ) ) ，( r n 2 去) ，使 ( j + 。c ，( h ) 2 了；i i n i l 吣硒) 1 ( 2 ，7 ) 结合( 2 5 ) 、( 2 7 ) 式有 l n 16h(p“e一州计。n(，(t，+t)u(n一扫)2了：筠； 去 ，有 南盯机 o ) ，使 ( 等等) 1 ，由 ( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 式，有 1 n i i e 一1 “2 日( ) 时，由( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 式，有 k l o m l e - a z 州南叫) 州礴1 哪) = k c i 暑写；笨黯一$ ，= 一禹 。 因此，由i ) , i i ) 知，对充分大有 i ni 口。i e 一1 “。 ( t + 2 e ) u ( r ) ，l n m ( x ，) ( t + 2 e ) u ( r ) 由定理2 1 及e ( 0 ， ) 的任意性，有 甄笋一甄南- 蒂毕 1 0 第三章全平面上无限级d i r i c h l e t 级数 本章在一般的指数条件下，利用文【1 5 】中所定义的无限级d i r i c h l e t 级数 的型函数咻在满足甄堕群= 1 时，获得在全平面上无限级d i r i c h l e t 级数有关增长性之间的性质 3 1 引言及引理 设d i r i c h l e t 级数 + f ( s ) = a e 抽， n = l 其中 ) c c , 0 sa 。t + o 。，s = z + i y ( z ，y r ) 设 甄等= e 慨 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 一l i r a 1 n l l a n - - ，+ o o ：一。o ， ( 1 8 ) k ”7 则由级数横坐标收敛的v a l i r o n 公式嘲，级数( 1 6 ) 的收敛横坐标、一致收敛 横坐标和绝对收敛横坐标均是一一于是和函数，( s ) 表示一整函数为了描 述，( 8 ) 的增长性，令 m ( x ，) = s u p i ( x + l ”) i ；y 埘， m 扣，f ) = m a x ln ，i i e l “。；n + ) 一l i mi n i n m ( z , f ) ：+ $ + 十o o z 则称级效( 1 6 ) 是无限级的对于全平面上的无限级d i r i c h l e t 级数( 1 6 ) ，在文 【1 5 中引理2 ，给出一种无限级型函数v ( r ) = “r ) ，p = e 蕾) ，满足： 1 ) p ( r ) 连续可微且单调趋于无穷； 2 ) ，蛾帑= l ，r = r + 丽币r l ：n 研r 两； 3 ) 甄铲= 1 称u ( r ) 为级数( 1 6 ) 的型函数，_ p ( r ) 为级数( 1 6 ) 的精确级 引理3 1 h 对于d i r i c h l e t 级数( 1 6 ) ，若满足( 1 5 ) 式，则 - - j l i n _ n ：e 0 ) 充分大时，有 i n m ( z ，) n ，有 k 0 n n ) 由= l n n ( 1 n n ) 禹 i n n ( 3 3 ) 结合( 3 2 ) 、( 3 3 ) 式有 m ( 甄，) + + m ( x ，) e h 占m 伍，f ) ( c - - e - k e ) n ；1 f i = m 呱，) ( d + e - e h n ( 1 n “) 由) ( 3 4 ) 十 n = 为使e ( j n ) 禹 2 ，取f = 麟p ( 釜) 2 当作 t 时，由( 3 3 ) 、( 3 4 ) 式有 m b 。 1 2 ， 一 占 佃小n + nh日一 e t 一 + 口 ， m 一 结合( 3 1 ) 式有 2 m ( x ，) ( g + n 一2 十n - 2 ) n = “ n = t 上1 m ( x ，f ) ( c 1 + 上t - e d t ) 2 m ( x ，f ) ( c 1 + 南t 1 。5 ) t 1 “肘( 岔，) 1 n m ，) + l c 1 + 1 n 南+ ( 1 一e ) l n t + l n 2 三1 + e ) c ，( 固+ 伤+ 1 n t = ( 1 + o ( 固+ 岛+ ( ；) 与点 2 、 一 ( 1 十e ) 矿p ) + e 矿( r ) = ( 1 + 2 e ) u ( r ) 百。- - d - - o o 号萨如l - 百- - m 。- l n m 嘶( x ) , f ) n ，l e l h 2 = t ! 瓣k 亍1 五t e t k 。，扛+ i y ) 咖， a n e a * x ( l t ) u ( 1 n r 。，) i 一) i n 2v ( d 。( p ) i 一) ( 3 6 ) 由( 3 6 ) 式，有 一矗南( 三叫列i 一) l n 2 刚i 一丽1 ) 坠型坠缸查2 埠型堕蛐 查2 i nl a n , p l 一百 于是存在序列 加) ) ，( r 。( p ) = 矿n 如) ) ，使 ( 川) = a n o , ) i n ( 1 + 丽而1 i 丽 = 一a n 1 n 1 n 1 + 再丽1 u ) 一响( 3 7 ) l n i j f l o ， l5 曲) 、 结合( 3 5 ) 、( 3 7 ) 式有 1 n i n n c p ) i e l n ( p ) $ n ( p ( ，+ t ) u ( r n ( ，) ) = a n ( p ) i n ( 1 + i ：i i ：i i ；i i l ：i i = 。；丽； i 忙h 茎( 1 + 二i i 杀) k ； e s 一( 1 + 丽丽1 ) ； 1 1 u m e 吣m 驯一赢1 + 丽丽) 2 】i 兰( 1 + e ) u ( i n ( p ) l 一。：亩) ( 3 8 ) 又由( 3 7 ) 、( 3 , 8 ) 式，并注意到- ，= l 一2 0 t ，有 一l n i n ，l l = = 圳i 一可些氅 h a ( 1 + 】，( 1 n n “) i “n 扣) ) sl i 。订丽1 ( j + 坝r 。) 2i n ( 1 + 。n 订丽) ( | ，+ 0 u ( 扫) ) 1 n ( 1 拙u ( 1 口。) 一丽1 ) 3 8 ( j + 岬+ e ) u ( i i 一南) l n ( 1 慨订赢) 陋一t ) u ( 1 i 一赢) l n ( 1 + 纠u c l 8 t l o , ) l 一丽) 这就与( 3 6 ) 式矛盾证毕 b ) 若 甄赢莴= z“_ + 十”厂( i m i 一寿) 则对诳( o ， ) ，j 十，v n n ，有 二垫生扯 t + e ，一1 1 l i i ( t + e ) u ( i i - 击) ( 3 9 ) u ( i 。n i “) 令”= 掣，其反函数为u = h 0 ) ，于是由( 3 9 ) 式有 鑫 高驯匐，h ( 鑫) - 掣， l ni l 一k ( 手瓮)， l i i e k 。 o ) ，令 日p ) = ( t + 。u ( r + 丽r m l n r m u 圹，) ； 日( 茹)u ( r + 面哌再r 铲l n r 丽) ( t + e ) x 1 篙萧m 磊r 莉2 百丽葫 ( 而丽而筹三瓢翮) = x + l n ( 1 + 丽赫h 3 - 1 ” 1 j ；：i ：j 1 ；i ；i i i i i i ；i ；l ；i ! ；：i 丽 。1 n ，( r ) l n 2 l n u ( r ) 7 1 i 1 当 。霉s 日( 霉) 时，由( 3 1 0 ) 、( 3 i l ) 式有 i n 蚓e 枷 掣时，由( 3 1 0 ) 、( 3 1 1 ) 式有 l n 少。 咄( ( 鑫) 叫( 刈 ( 器) 叫 1 5 。鼬( 而丽苗磊翮h ) 掣一讪( 1 + 丽而i n t ) 。 因此，由i ) ，i i ) 知，对充分大n ，有 i n i o 。i e “。 m ，使得 c o s ( 。巩) 霉 引理4 3 设f ( z ) 是有限p 级整函数，其零点 岛) 罂1 满足条件( 4 1 ) ， 则当j p 时有 ；( 鬻) ( 1 址= o 一耋女 引理4 4 ( p 6 1 y a ) 设，( z ) 与g ( z ) 为二非常数的整函数，使函数f ( z ) = ，og ( z ) 的级为有穷，则或者9 ( z ) 是一个多项式，或者，( z ) 的级为零 4 3 定理b 的证明 设f ( z ) 的级为p 下面分两种情形讨论t 情形1 若f ( 。) 的零点 岛) 甚1 满足条件( 4 1 ) ，则由文【2 2 】知， f ( z ) = 萨o i i ( 1 一) 伽“) ， 其中g ( z ) 是一个次数不超过p 的多项式，p 为f ( z ) 的零点所组成典型乘积 的亏格且p p ， q ( z ) = 乏+ 物2 + + ；1 【z 情形2 若f ( z ) 的零点除 巽l 满足条件( 4 1 ) 外，g = 0 也是f ( z ) 的肛级零点，则由文【2 2 】知t f ( z ) ：e g ( z ) 佃i i ( 1 一导) 啪一， f ( z ) = ) ( 1 一) 郇扛“， 其中孽( z ) 与锄( z ) 如同情形1 的规定 于是，令g ( z ) = 护；嚣( 1 一言) 口，扛) 则f ( z ) = 扩g ( 2 ) 且 为) 罂1 为g ( z ) 的零点从而可化为情形1 因而不失一般性，只讨论情形1 就可 1 r 以因为若情形1 可推出f ( z ) 为多项式，则情形2 中，g ( z ) 也为多项式， f ( z ) = z g ( z ) 仍为多项式，且f ( z ) 的级仍为p 下面在情形1 的条件下证明 不妨设0 i t t l l i i 奶i l i ，否则考虑 t t i n ) 的子列 t n n ) 芒1 设f ( z ) = 的根为 b n 。) ， 0 雩，( = 1 ，2 ，f ) ( 4 3 ) 记e 1 = 嚷h = 1 ，2 ，) 由( 4 2 ) 、( 4 3 ) 及引理4 1 知，毋至多有f 条 聚结线且全在角域g = z | 一 a r g z i ( ) 一c o s 兰i = 等i j _ ”( ) 七=i = 1 ” 。七= 1 9 由( 4 4 ) 、( 4 5 ) 、( 4 6 ) 式有 错溉1 瞥l 掣溉志 又_ 。，丽9 ( c | l 。) = 且9 ( 2 ) 为整函数，则气。- 0 0 于是，由( 4 7 ) 式，有9 卸+ 神( o ) = 0 ，( q = 1 ，2 ，) 故g ( z ) 为多项式从而f ( z ) 也为多 项式证毕 4 4 定理4 1 的证明 若定理的结论不真则存在超越亚纯函数，( t ) 与超越整函数g ( 。) ，使 f ( z ) = ，0 9 ( z ) 而f ( z ) 的级有限，由引理4 4 ，则或者g ( z ) 为一多项式，或 者，) 的级为零 若g ( z ) 为一多项式，与g ( z ) 为超越整函数矛盾从而，) 的级为零 又，( ”) 至多只有个极点否则。设o - ，o 2 为，( ”) 的两个不同的极点由 p i c a r d 定理。9 ( z ) 至多有一个侈l 外值则g ( z ) = b 1 或g ( z ) = 2 不失一般 性，设g ( z ) = 8 1 那么，) 有无穷多个极点与f ( z ) = ，o g ( z ) 是整函数 矛盾故，( ) 具有形式： ，( 叫) = ( ”一w o ) 一“，1 ( t t ，) 其中n n ， ( t l ，) 为一整函数且 ( o ) 0 同时g ( z ) = w o + e a ( “，其中口( z ) 为一整函数于是 f ( ；) = f o g ( z ) = e - ”o ) f l c w o + e 。( 。) ) 令 ) 表示f 1 ( w ) 的零点的集合，则 j 为一无界集合又因f ( z ) 的 根均为实数故对任一个， = 1 ，2 ，方程g ( z ) = 的根也为实数从 而，由定理a 细。g ( z ) 的是一个次数不超过2 的多项式与9 ( z ) 为超越整 函数矛盾故f ( z ) 为拟素的 注；利用定理4 1 易知，f ( z ) = c o s z 为拟素的 4 5 定理4 2 的证明 假设f ( z ) 不是e 一拟素的则存在超越整函数f ( w ) 与g ( 力，使f ( 。) = ，o g ( z ) 由定理b 知，忡) = a 只有有限个根否则，设 ) 黑。为f ( w ) = 8 的无穷多个根由条件知，里。 z 1 9 ( z ) = t j n 仅有有限条聚结线再由定理b 知，9 ( z ) 为一多项式，矛盾从而，由w e i e r s t r a s s 定理有 ，( 伽) 一o = 日( 叫) e 扣) 其中日( 叫) 为一多项式，l ( ”) 为一非常数的整函数因而 f ( z ) 一n = ，o 口( 。) 一口= 【h ( w ) e z ( ”) 】0 9 ( z ) 由引理4 4 知，f ( z ) 的级必为无穷与f ( z ) 的级为有限矛盾证毕 2 1 后记 对于d i r i c h l e t 级数的研究，目前主要在满足条件甄掣兰等铲= 1 的 情形下，获得有关d i r i c h l e t 级数的系数与增长性和正规增长性之间的关系的 一些充要条件，而本文作者是在满足条件瓯1 l n m i 声$ p = 1 下获得的一些结 果，但主要是对d i r i c h l e t 级数的系数与增长性的一个估计，而没有获得精确 值，所以仍然有几个问题需要解决t 1 ) 是否可以在条件瓯_ 1 l a m f 声$ 乎= 1 下，获得满足定理2 2 和定理3 2 的 有关d i r i c h l e t 级数增长性的充要条件； 2 ) 是否可以在条件：瓯鼍g 弘= 1 下，获得满足定理2 2 和定理3 2 的 有关d i r i c h l e t 级数正规增长性的充要条件； 3 ) 是否可以将第二章和第三章的有关结论，通过简洁的方法分别推广到 文【7 】和 8 】的结论； 4 ) 是否可以在条件瓯 l u m 亓；x i 监= 1 下，获得随机d i r i c h l e t 级数或缺项 d i r i c h l e t 级数有关增长性的性质 【1 】 【2 】 3 1 4 】 f 5 】 参考文献 v a l l r o ng f o u c t i o n se n t i e r e sd o r d e rf i n ie t 如u c t i o n sm e r o m o r p l e s g e n e v e ， l e n s e i g n e m e n tm a t h e m a t l q u e ，1 9 6 0 h i o n gk i n i a i s u r l e af o u c t i o n se n t i e r e se tl e tf o u c t i o n sm e r o m o r p h e s d o r d r ek 丑n i 【j 】jm a t hp u r e se ta p p l ，1 9 3 5 ，1 4 ：2 3 3 n 3 0 8 余家荣狄利克莱级数与随机狄剩克莱级数m 北京；科技出版社， 1 9 9 7 余家荣随机狄利克来级数的一些性质 j 】数学学报，1 9 7 8 ，2 1 ( 2 ) ：9 7 1 1 8 y uj i a y n n g o nt h eg r o w t ha n dt h ed i s t r i b u t i o no f v a l u e so fe x l d o n e - t i ms e r i e s c o n v e r g e n t o n l y i nt h e r i g h th a l f - m a j 】c h i n a n no f m a t h ，1 9 8 2 ，( 3 ) ：5 4 5 5 5 5 孙道椿，陈特为无限级d i r i c h l e t 级数唧数学学报，2 0 0 1 ，4 4 ( 2 ) ：2 5 9 2 6 8 孙道椿半平面上无限级d i r i c h l e t 级数的增长性 j 】l 江西师大学报( 自 然科学版) ，1 9 9 5 ，1 9 ( 2 ) ：1 2 8 1 3 4 孙道椿d i r i c h l e t 级数的级【j 】华南师范大学学报( 自然科学 版) ，2 0 0 1 ，3 ：1 4 1 9 高宗升，孙道椿关于t a y l o r 级数的增长性【j 】系统科学与数学，1 9 9 7 ，1 7 ( 1 ) ti i i 一1 2 0 高宗升，孙道椿关于t a y l o r 级数的正规增长性【j 】数学物理学报， 1 9 9 7 ，1 7 ( 1 ) l1 1 1 1 2 0 黄志波，孙道椿无限级d i r i c h l e t 级数嘲应用数学， 2 0 0 3 ，v 0 1 1 6 ( 增) ：6 5 6 9 黄志波，孙道椿无限级d i f i c h l e t 级数的增长性【j j 华南师范大学学报 ( 自然科学版) ，2 0 0 3 ( 4 ) ：2 7 3 1 庄圻泰亚纯函数的奇异方向阻_ 叼北京t 科技出版社，1 9 8 2 刘名生。半平面上有限级d i r i c h l e t 级数的正规增长性嘲系统科学与数 学，2 0 0 2 ，2 2 ( 2 ) ：2 2 9 2 3 8 孙道椿n e v a l l n n a 方向的存在性定理【j 】数学年刊，1 9 8 6 ，7 a ( 2 ) ：2 1 2 2 2 1 c h e nt e w e i ，s u nd a o c h n n o nt h eg r o w t ho fi n f i n i t eo r d e rd i r i c h l e ts e - t i e s j ( 待发) g a oz o n g s h e n g t h eg r o w t ho fd i f i c h l e ts e r i e so f2 o r d e r w u h a nu n i vj n a ts c i ，1 9 9 6 ，1 ( i )