高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4.ppt

2 4平面向量的数量积2 4 1平面向量数量积的物理背景及其含义 一 向量的数量积及其几何意义 a b cos a b cos 0 a cos b cos b cos 思考 两个向量的数量积什么时候为正数 什么时候为零 什么时候为负数 提示 设向量a b的夹角为 当0 0 即数量积为正数 当 90 a b 0 即数量积为0 当90 180 时 a b 0 即数量积为负数 二 向量数量积的性质和运算律1 向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量 它们的夹角为 1 a b 2 当a b时 a b 3 a a 或 4 cos 5 a b a b a b 0 a 2 2 向量数量积的运算律 a b b a a b a b a b a b c a c b c 判断 正确的打 错误的打 1 若a b 0 则a b至少有一个为0 2 若a 0 a b b c 则a c 3 a b c a b c 提示 1 错误 当a与b垂直时 也有a b 0 2 错误 a b b c推不出a c 理由如下 如图 a b a b cos b oa b c b c cos b oa 所以a b b c但是a c 3 错误 若 a b c 0 其方向与c相同或相反 而a b c 0时其方向与a相同或相反 而a与c方向不一定相同 故该等式不一定成立 答案 1 2 3 知识点拨 1 对数量积概念的理解 1 从定义上看 两向量的数量积是一个数量 而不是向量 其数值可正 可负 可为零 其决定因素为两向量的夹角 2 从运算上看 两向量a b的数量积称作内积 写成a b 其中 是一种运算符号 不同于实数的乘法符号 也不可省略 3 两向量的数量积有明确的物理和几何意义 学习时注意掌握 2 正确理解 投影 的概念 1 投影是一个数量 不是向量 其值可为正 可为负 也可为零 2 夹角与投影的联系向量a与b都是非零向量 它们的夹角为 向量b在a的方向上的投影 b cos 与 取值的关系如表 2 夹角与投影的联系向量a与b都是非零向量 它们的夹角为 向量b在a的方向上的投影 b cos 与 取值的关系如表 3 实数中成立 向量中不成立的结论 1 a b 0可推出a 0或b 0 但是a b 0推不出a 0或b 0 2 a b c b b 0可推出a c 但是a b c b b 0推不出a c 3 可推出但是推不出 4 a b 可推出 a c b c 但是 a b 推不出 a c b c 5 a b 2 a2 b2但是 a b 2 a2 b2 类型一数量积及其几何意义 典型例题 1 已知 a 6 b 3 a b 12 则向量a在向量b方向上的投影是 a 4b 4c 2d 22 2013 唐山高一检测 若等腰 abc的底边bc长为4 则的值为 3 在平行四边形abcd中 已知ab 2 ad 1 bad 60 e为cd的中点 设 1 试用a b表示和 2 求 解题探究 1 如何用 a b a b表示向量a在向量b方向上的投影 2 向量与向量的夹角是什么 3 1 用a b表示的依据是什么 用a b表示的依据是什么 2 利用第 1 问的结论 求可以转化为求什么 探究提示 1 向量a在向量b方向上的投影可表示为2 向量与向量的夹角是 abc 是锐角 3 1 用a b表示的依据是向量加法的三角形法则和数乘向量的几何意义 用a b表示的依据是向量减法的几何意义 2 利用第 1 问的结论 求可以转化为求a b a2 b2 解析 1 选a 设向量a与向量b的夹角为 则向量a在向量b方向上的投影为2 如图 过a作ad bc 垂足为d 因为ab ac 所以bd bc 2 于是所以答案 8 3 1 因为e为cd的中点 所以所以 2 互动探究 在题2的条件下求 解析 如图 作向量与向量的夹角是 abc的补角 于是 拓展提升 求平面向量数量积的两个方法 1 定义法 若已知向量的模及其夹角 则直接利用公式a b a b cos 运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角 条件是两向量的始点必须重合 否则 要通过平移使两向量符合以上条件 2 几何意义法 若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影 可利用数量积的几何意义求a b 变式训练 已知 a 3 b 6 1 当a b时 求a b 2 a b时 求a b 3 a与b的夹角是60 时 求a b 解析 1 当a b时 若a与b同向 则它们的夹角 0 所以a b a b cos0 3 6 1 18 若a与b反向 则它们的夹角 180 所以a b a b cos180 3 6 1 18 2 当a b时 它们的夹角 90 所以a b 0 3 当a与b的夹角是60 时 有a b a b cos60 3 6 9 类型二与向量的模有关的问题 典型例题 1 设向量a b满足 a b 1 3a 2b 3 则 3a b 2 2013 曲阜高一检测 已知向量a b的夹角为60 且 a 2 b 1 若c 2a b d a 2b 求 1 c d 2 c 2d 解题探究 1 求向量的模的依据是什么 基本步骤是什么 2 解答第2题的步骤是什么 探究提示 1 求向量的模的依据是 a 2 a2 基本步骤是先求a2 再由 a 求a的模 2 先求a b 再求c d和 c 2d 2 最后求 c 2d 解析 1 因为 3a 2b 3 所以 3a 2b 2 3a 2b 2 9a2 12a b 4b2 9 所以9 a 2 12a b 4 b 2 9 又因为 a b 1 所以9 12a b 4 9 a b 3a b 2 3a b 2 9a2 6a b b2 9 6 1 12 所以 3a b 答案 2 因为向量a与b的夹角为60 a 2 b 1 所以a b a b cos60 1 因为c 2a b d a 2b 1 c d 2a b a 2b 2a2 3a b 2b2 2 a 2 3 1 2 b 2 2 22 3 2 12 9 2 因为c 2d 2a b 2 a 2b 4a 3b c 2d 2 4a 3b 2 16a2 24a b 9b2 16 a 2 24 1 9 b 2 16 22 24 1 9 1 97 所以 c 2d 2 97 所以 c 2d 拓展提升 巧用公式求向量的模 1 基本方法利用数量积求解模的问题 解决的方法是对向量进行平方 即利用公式 a2 a 2 从而达到将向量转化为实数的目的 2 常用公式由于平面向量的数量积满足数乘结合律 交换律 分配律以及具有性质a2 a 2 因而向量的线性运算与数量积的混合运算类似于实数的多项式运算 常见的有以下公式 a b a b a2 b2 a 2 b 2 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 变式训练 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 求 a b 解题指南 先由已知条件求出a b 然后利用 a b 2 a b 2求 a b 2 最后求 a b 解析 因为 2a 3b 2a b 61 所以4a2 2a b 6a b 3b2 61 所以4 a 2 4a b 3 b 2 61 又因为 a 4 b 3 所以4 42 4a b 3 32 61 a b 6 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 42 2 6 32 13 所以 a b 类型三向量的夹角和垂直问题 典型例题 1 2013 沧州高一检测 平面内三个向量a b c满足 a b 1 c 且a b c 0 则向量a b的夹角大小是 2 已知 a 1 b 2 a b与a垂直 求当k为何值时 ka b a 2b 解题探究 1 依据向量数量积的定义 如何求向量a b的夹角 2 如果两个向量垂直 这两个向量数量积是多少 探究提示 1 首先求两个向量a b夹角的余弦值 然后根据向量夹角的取值范围求角 2 如果两个向量垂直 这两个向量数量积是零 解析 1 由a b c 0 可得a b c 则 a b 2 c 2 得a2 b2 2a b c2 因为 a b 1 c 设向量a与b的夹角为 则有1 1 2 1 1 cos 解得cos 又 0 所以 答案 2 因为a b与a垂直 所以 a b a 0 所以a2 a b 0 所以a b a 2 1 要使得 ka b a 2b 只要 ka b a 2b 0 即k a 2 2k 1 a b 2 b 2 0 所以k 2k 1 2 22 0 所以k 3 拓展提升 1 求向量夹角的基本步骤2 注意事项在个别含有 a b 与a b的等量关系式中 常利用消元思想计算cos 的值 变式训练 已知 a 1 a b a b a b 1 求a与b的夹角 2 求a b与a b的夹角的余弦值 解析 1 因为 a b a b 所以 a 2 b 2 又因为 a 1 所以 b 设a与b的夹角为 则又因为 0 所以 2 因为 a b 2 a2 2a b b2 所以 a b 又 a b 2 a2 2a b b2 所以 a b 设a b与a b的夹角为 则 典型例题 1 在 abc中 满足 若m是bc的中点 o是线段am上任意一点 则的最小值为 2 已知a b是非零向量 1 若a b 判断函数f x xa b xb a 的奇偶性 2 若f x 为奇函数 证明 a b 数量积的综合应用 解析 1 因为m是bc的中点 所以设则而所以当且仅当x 时 取最小值答案 2 1 f x x2a b b2 a2 x a b 因为a b 所以a b 0 所以f x b2 a2 x 当 a b 时 f x 为奇函数 当 a b 时 f x 既是奇函数又是偶函数 2 因为f x 为奇函数 所以f x f x 对于x r恒成立 所以f 0 0 即 a b 0 又a b是非零向量 故a b 拓展提升 平面向量的综合应用平面向量的代数与几何双重身份必然成为知识的交汇点 平面向量作为一种运算工具 经常与函数 不等式 三角函数等知识结合 当平面向量给出的形式中含有未知数时 由向量平行或垂直的条件可以得到关于该未知数的关系式 在此基础上 可以求解有关函数 不等式 三角函数的综合问题 易错误区 不清楚两个向量夹角的概念和数量积运算律致误 典例 2013 牡丹江高一检测 在 abc中 已知 a 120 b c 30 ab ac 1 则 解析 过a作ad bc 垂足为d 因为ab ac 所以bc 2bd 2 ab cosb 方法一 所以 方法二 答案 误区警示 防范措施 1 正确理解向量夹角的概念在以平面图形为背景的数量积问题中 关键是求向量夹角 此时要注意让两个向量共起点才能找准向量的夹角 如本例中与的夹角是角b的补角而不是角b 2 巧用数量积的运算律简化运算数量积运算过程中 逆用和巧用的运算律可以凑出满足向量加法 减法 三角形法则的形式 从而实现简化运算 如本例中 经过的变形后 可用向量加法的三角形法则简化为进而只要计算即可 类题试解 2013 天津高考 在平行四边形abcd中 ad 1 bad 60 e为cd的中点 若则ab的长为 解题指南 根据向量的加法及平面向量的基本定理由表示再由求ab的长 解析 因为所以所以解得答案 1 已知向量a b和实数 下列选项中错误的是 a a b a b a b c a b a bd a b a b 解析 选b a b a b cos 只有a与b共线时 才有 a b a b 所以b是错误的 2 已知 a b 2a b 3 则a与b的夹角是 a 150 b 120 c 60 d 30 解析 选b 设向量a与向量b的夹角为 又所以 120 3 已知平面向量a b满足 a 3 b 2 a与b的夹角为60 若 a mb a 则实数