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常考问题3导数的简单应用 真题感悟 考题分析 1 导数的几何意义 1 函数y f x 在x x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率 即k f x0 2 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为y f x0 f x0 x x0 2 基本初等函数的导数公式和运算法则 1 基本初等函数的导数公式 3 函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增 减 则这个函数的导数在这个区间上大 小 于零恒成立 在区间上离散点处导数等于零 不影响函数的单调性 如函数y x sinx 4 函数的导数与极值对可导函数而言 某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件 例如f x x3 虽有f 0 0 但x 0不是极值点 因为f x 0恒成立 f x x3在 上是单调递增函数 无极值 5 闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者 最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值 6 函数单调性的应用 1 若可导函数f x 在 a b 上单调递增 则f x 0在区间 a b 上恒成立 2 若可导函数f x 在 a b 上单调递减 则f x 0在区间 a b 上恒成立 3 可导函数f x 在区间 a b 上为增函数是f x 0的必要不充分条件 热点与突破 热点一导数的几何意义 例1 已知函数y f x 及其导函数y f x 的图象如图所示 则曲线y f x 在点p 2 0 处的切线方程是 解析根据导数的几何意义及图象可知 曲线y f x 在点p处的切线的斜率k f 2 1 又切线过点p 2 0 所以切线方程为x y 2 0 答案x y 2 0 规律方法 函数切线的相关问题的解决 抓住两个关键点 其一 切点是交点 其二 在切点处的导数是切线的斜率 因此 解决此类问题 一般要设出切点 建立关系 方程 组 其三 求曲线的切线要注意 过点p的切线 与 在点p处的切线 的差异 规律方法 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况 大多数情况下 这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论 在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论 在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的 千万不要忽视了定义域的限制 训练2 2013 德州二模 设函数f x xlnx 1 求函数f x 在点m e f e 处的切线方程 2 设f x ax2 a 2 x f x a 0 讨论函数f x 的单调性 规律方法 1 函数在闭区间上一定存在最值 在开区间上不一定存在最值 若存在 一定是极值 2 构造新函数 转化成研究其单调性 是解决这类题目的常用方法 训练3 2013 福建卷 已知
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