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相关带干扰风险模型的破产概率 中文摘要 相关带干扰风险模型的破产概率 中文摘要 相关风险和模型的破产理论是现代风险理论中的一个重要研究课题， 本文引进了含相关类带干扰经典风险过程，研究类之间的相关性对破产概 率的影响，主要研究类之间的相关性对其l u n d b e r g 指数的大小关系的影 响。本文第一章提出了所研究的模型以及模型的实际背景，本文第二章研 究相关性对破产概率的影响，并给出了理赔量均为指数变量时的数值比 较。本文的第三章给出了模型的推广。 关键词：破产概率；l u n d b e r g 指数；布朗运动 作者：顾培培 指导老师：王过京 r u i np r o b a b i l i t yf o rc o r r e l a t e dr i s kp r o c e s s t h a ti sp e r t u r b e db yd i f f u s i o n a b s t r a c t r u i nt h e o r yo ft h er i s kp r o c e s sw i t l lc o r r e l a t e dr i s ks u m si sa l l i m p o r t a n tt o p i c i n t h e o r yo fr i s km o d e l s i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c e a c o r r e l a t e dr i s kp r o c e s st h a ti sp e r t u r b e db yd i f f u s i o nw i t hc o m m o ns h o c k , w e s t u d yh o wt h ed e p e n d e n c eb e t w e e nt h ec l a s s e si m p a c t so nt h er u i np r o b a b i l i t y , w ed ot h i sm a i n l yb yc o m p a r i n gt h ei n f l u e n c e so ft h ed e p e n d e n c eo nt h es i z e s o ft h el u n d b e r ge x p o n e n t so ft h er i s kp r o c e s s e s i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r , w eg i v et h em o d e la n di t sb a c k g r o u n d i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r , w e s t u d yt h ed e p e n d e n c eb e t w e e nt h et w oc l a s s e si m p a c t so nt h er u i np r o b a b i l i t y , a n dw eg i v et h en u m e r i c a li l l u s t r a t i o nf o rt h er u i np r o b a b i l i t yw h e nt h e “c l a i m s ”d i s t r i b u t i o na r et w oe x p o n e n t i a id i s t r i b u t i o n s i nt h et h i r dp a r to ft h i s p a p e r , w ep o p u l a r i z et h em o d e l k e y w o r d s ：r u i np r o b a b i l i t y ；l u n d b e r ge x p o n e n t i a i ；b r o w n m o t i o n w r i t t e nb yg u p e i p e i s u p e r v i s e db yp r o f w a n gg u o j i n g i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 l 出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：丕! ! 盈日期：丝! ：j 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 磁立l e t 期：丛q i ：“ 堡长墅：日期：垫! ：! ! ! 相关带干扰风险模型的破产概率 第一章绪论 第一章绪论 风险是金融体系和金融活动的基本属性之一。风险分析和管理活动是 各类金融机构所从事的全部业务和管理活动中最核心的内容。我们甚至可 以把金融活动比喻成一种以( 承担) 风险换取收益的游戏。因此，对风险 及其管理理论与技术的认识构成了我们对现代金融认识的最本质、最深刻 的一个方面，是我们认识和把握现代市场经济核心的最佳的切入点和突破 口。在现代金融理论中，有关风险分析的理论也占据着重要的地位。“化 解和防范金融风险”已成为当前我国经济改革和发展中最突出的任务之 一。对保险公司来说，它承担着可能破产的风险，为了控制和管理这种风 险，可以通过研究其破产概率来加以解决。近些年来，国内外不少学者建 立了各种风险模型，对其破产概率进行了深入研究，带干扰风险模型的研 究是现阶段的热点研究方向。实践也证明破产概率是衡量保险公司的偿付 能力和财务稳定性的一个很好的指标。 卜1问题提出的背景 集合风险论中，风险模型般是用一点过程来描述理赔次数过程，用 一列随机变量序列来描述理赔量的大小，通常假设保险公司的收入为一连 续的保费收入过程，保费收入率为正常数。 下面我们先引入经典风险模型 经典风险模型的定义 l 相关带干扰风险模型的破产概率 第一章绪论 ( 1 ) 理赔量 ：七1 ) 为独立同分布的非负随机变量列，共同分布f ，数 学期望= e x t 0 ， 定义风险过程 ( ，( f ) = u + c t s ( f ) ( 1 1 ) 其中s ( f ) ：窆五为到t 时刻的总理陪量。 风险过程( 1 1 ) 称为经典风险过程。 破产概率定义为 、王，( “) = p ( i n f t 0 ：u ( f ) 0 ，并且f ( o ) = o ，这些模 型称为正风险模型。如果假设保费收入率c o ，分别是两个类的常值保费收 入率； z - ，) 和 墨z ，) 均为独立同分布非负随机变量序列，共同的分布分别记 为互和e ，且e ( o ) = e ( o ) = o 。z ： 1 ) 表示第一个类的第k 次理赔量而z 2 ，表示 第二个类的第k 次理赔量；啊( r ) 和n a t ) 是两个泊松过程，分别表示第一个 类和第二个类在( o ，t 内的理赔次数。q ，吼 o 为常数，彤和形( f ) 是两个标 准布朗运动且职( o ) = 吸( o ) = o 。本文假定在( 1 2 ) 或( 1 3 ) 中理赔量过程， 理赔计数过程和布朗运动三者相互独立。 令 s ：鳘z n ，最( f ) ：警z n 则保险公司在时刻t 的盈余为： 相关带干扰风险模型的破产概率第一章绪论 z ( ，) = 五( ，) + 五0 ) = u + e t + e r w ( t ) - s ( 1 4 ) 其中“= m + 屿，a = q + c ：，s ( 0 = s o ) + 墨( r ) ，a 啊o ) = q 彬( f ) + 口j 呒( d ，x ( f ) 是含两 个带干扰经典风险过程之和的风险模型。设l ( r ) ，2 0 ) 的参数分别是 ，五， 为避免平凡情形，本文始终假设：c 一( a “+ 五鸬) o 。其中“，岛分别是f 和e 的均值，风险过程( 1 4 ) 的破产概率定义为甲( “) = p ( 噶x o o ( 0 ) = o ，o ( 佃) = l i m * ( u ) = 1 2 - 2 相关带干扰风险过程的- 眭质 ( 2 2 ) 下面不加证明的给出引理2 2 1 和引理2 2 2 引理2 2 1 ：设w 0 ) 与职o ) 为相互独立的标准布朗运动， 彤( 0 ) = 呒( o ) = o ，令 彬( 0 = h 彬+ 吼呒) ( 2 3 ) 其中q = i 可，则形是标准布朗运动，且形( o ) = 0 。 引理2 2 2 ：设彬( r ) ，既( f ) ，形：( f ) 是三个从原点出发的独立的标准布朗运 动，令 ( r ) = 古h 暇。( f ) + 阡么( f ) + 2 q ：g l , ：( f ) 】 ( 2 4 ) 其中田= 扣了再了两，r q c t ) 是从原点出发的标准布朗运动。 当m ( r ) 与m ( ，) 由( 1 6 ) 式定义时，记s p ) = 咒。 引理2 2 。3 ：若j 】v ： 与以( ，) 由( 1 6 ) 式定义，则s a t ) 是参数为 五= 丑。+ 九+ ：，分布为 e = 古 ，只+ 乞e + ：e + e ( 2 5 ) 的复合泊松过程，其中只e 表示e 与e 的卷积。 证明：通过计算s a t ) 的矩母函数易得，参见a m b a g a s p i t i y a ( 1 9 9 8 ) 。 在( 1 4 ) 中，当m o ) 与2 ( r ) 相互独立时，i 己i s ( t ) 为s ( r ) 。 由引理2 2 1 ，在情形1 条件下，风险过程( 1 4 ) 与下述过程等价： 相关带干扰风险模型的破产概率第二章相关带干扰风险模型的破产概率 墨( f ) = “+ c r + q 形( f ) 一墨( f ) ( 2 6 ) 其中s ( f ) 为复合泊松过程，参数为 = a + 五，共同分布为 e = 士阮f + 凡e 】 ( 2 7 ) 由引理2 2 2 ，在情形2 条件下，风险过程( 1 4 ) 与下述过程等价： 爿0 ( 0 = ”+ 甜+ a j 孵o ) 一( r ) ( 2 8 ) 由引理2 2 2 和引理2 2 3 ，在情形3 条件下，风险过程( 1 4 ) 与下述 过程等价： 五o ) = “+ 甜+ 吼呢( f ) 一只( f ) ( 2 9 ) 风险过程( 2 6 ) 、( 2 8 ) 和( 2 9 ) 均为带干扰经典风险过程。 注：风险过程( 2 6 ) 是含两个独立的带干扰经典风险过程和的风险模 型，而( 2 8 ) 和( 2 9 ) 是含两个相关的干扰经典风险过程和风险模型，但 ( 2 8 ) 和( 2 9 ) 中的两个类之间的相关结构不同，在( 2 8 ) 中两个类中只有 干扰项是相关的，而在( 2 9 ) 中两个类中不仅干扰项相关，而且理赔损失 过程也相关。 为明确起见，当研( f ) 和2 ( f ) 由( 1 6 ) 定义时，i o ) 和2 ( f ) 的参数记为丸 和乙，而此时 有 相关带干扰风险模型的破产概率 第二章相关带干扰风险模型的破产概率 丑。= 。+ 丑： 砧= 乞+ a ： ( 2 1 0 ) 当q 彬( ，) 和吒( ，) 由( 1 5 ) 定义时，q 和呒分别记为q 。和，即此时有 2 - 3 相关带干扰风险模型破产概率的比较 为明确起见，风险过程五( f ) ，以o ) 和局( r ) 的破产概率分别记为 甲， ) ，甲。 ) 和 ) ，本节将比较它们的大小关系，主要比较它们的 l u n d b e r g 指数的大小关系。 令m ( r ) = 可e 眉”】，托( r ) = 研e 础】，对m j ( r ) ( j = 1 ，2 ) ，假设存在 o ，使 m ( r ) 1 o o ( r 1 r o ，允许= 。，定义= r n i n 呓，e ) 。 对o r 名，分布e 和e 的矩母函数分别记为： g ，( ，) = 士阴m ( ，) + 丑必( ，) 】 ( 2 1 2 ) g ( r ) = 古限m ( ，) + 厶幔( ，) + a ：m ( ，) m ( r ) 】 ( 2 1 3 ) 对o ， o 的条件下，下述方程 岛( ，) = ”( 2 1 7 ) 臻 相关带干扰风险模型的破产概率第二章相关带干扰风险模型的破产概率 g j p ) = y c 岛( r ) = ，c ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 均有唯一正根，它们的正根依次记为蜀，如和也，j ；t 0 o ，q ： o ，则 相关带干扰风险模型的破产概率 第二章相关带干扰风险模型的破产概率 蜀 如 蜀 ( 2 2 4 ) 证明：在假设i ，假设i i 下， 田2 = q 。2 + 2 + 2 g 2 2 , z = q 2 + + 4 q ：2 ，故对o r 名有 ( r ) 一舀( r ) = 圭( 乃2 一田2 ) r 2 - - = o 1 2 2 r 2 o ( 2 2 5 ) 从而函数_ y = 鼬( ，) 在y = 蜀p ) 之前与直线y = 仃相遇，故如s 兄 在假设i 下，对o o 时，对o ， o ( 2 2 7 ) 从而函数y = 岛( r ) 严格在_ y = 岛( ，) 之前与直线y = c r 相遇，故心 蜀 对o 0 意味着特征方程： c l o t 3 + b o r 2 + c o t + d 0 2 0 只有负解。 令 r = x 一鲁，p _ ，c o - 3 ( 一b e ，- 1 2 , g = 等一五b o c f o + 百2u b i e ) 3 ( 2 4 1 ) 式可转化为： + + g = 0 令 = 孚+ 等，对本模型设 0 ， 由( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 与( 2 1 9 ) 式，得r ，兄分别是下述三个方程在区间( o ，l ) 上的唯一正根 丑軎+ 五南一丑+ 圭吼2 卜r c = 。 ( 2 - 4 6 ) 击+ 五告一乃+ 圭咖2 一陀= o ( 2 4 7 ) 一岳+ 五寿峨鲁寿一乃+ 抄2 一m = o ( 2 4 8 ) 取口= 1 ，p = 2 ， ，= 2 ，丸= 3 ， ：= 2 ，旺。= 1 ，= 2 ，q ：= 1 贝u = 4 ，丑= 5 ，4 = 9 ，乃= 7 ，q 2 = 7 ，田2 = 9 且取c = 1 1 ( a 4 + 五鸬) = 7 1 5 将这些参量代入( 2 4 6 ) ，( 2 4 7 ) 和( 2 4 8 ) 解得： 冠= o 0 7 1 3 9 8 5 ， 1 5 相关带干扰风险模型的破产概率第二章相关带干扰风险模型的破产概率 如= 0 0 6 4 5 6 2 5 ， 蜀= 0 0 5 8 4 0 2 5 显然有毛 0 ， = 专皓口q 2 + c 一厄面丽】 五= 专皓峨2 + c + 厄面丽】 q = 孑西a 生：2 ) - - 2 c 2 , h ( c i 虿 c 2 一丽篙 、p 口( “) = q e ”+ c 2 e 一如” ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) 相关带干扰风险模型的破产概率 第二章相关带干扰风险模型的破产概率 ，如 0 ， = 古陆2 + c - - 幅面习丽】 如= 上o 2 旺t 2 n d 2 + c + 厄面矿函霄】 c 1 = 刁瓦o ：, 一w 矸卜- - , 2 生“i 石 c 2 一而器 ( 2 5 2 ) 由定理2 3 4 得 、壬，d ) = “e ”+ c 2 e r z 。+ c 3 e 6 。】 ( 2 5 3 ) 其中 ，是特征方程： 的根 a o r 3 + 6 0 ，2 + c o r + d o = 0 ( 2 5 4 ) 口o = c _ 2 ，b o = 口c k 2 + c ，c i = 2 a c - g a + 圭口2 0 d 2d o = c r 2 c - 2 a d & + 乃p l 口 c 1 ，c 2 ，c 3 是下列方程组的解 c t + c 2 + c 3 。一1 c 2 ( c l ，i 2 + c 2 r z 2 + q r 3 2 ) + c ( c l ，i + c 2 r 2 + 岛弓) = 0 i 1c _ 2 ( c l 3 + c 2 r 2 3 + c 3 r 3 3 ) + c ( c l r 2 t + c 2 r 2 2 + c 3 r 3 2 ) - - g d ( q r , + c 2 r 2 + c 3 吩) = o ( 2 5 5 ) 取口= 2 ， l = 1 1 ，五2 2 = 1 1 9 2 8 9 ， 2 = 0 7 0 7 1 1 ，q l = 吒2 = 吼2 = 贝0 五= 3 7 0 7 1 1 ，乃= 3 ，q 2 = 1 ，2 = 吾，且取c = 2 。 将这些参量代入( 2 5 0 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) 解得： 、王，( “) = o 0 3 3 3 7 3 9 e 。9 0 0 7 h + o 9 6 6 6 2 6 e _ 0 9 2 7 2 5 ” _ 宙( “) = o 0 1 8 6 5 3 5 e 。5 3 9 。+ 0 9 8 1 3 4 6 e 旬舯蚓4 h 1 7 相关带干扰风险模型的破产概率第二章相关带干扰风险模型的破产概率 、壬，d ( “) = 0 0 2 8 5 9 5 3 e - 3 4 1 4 2 h 一0 0 0 7 0 9 7 1 3 e - 2 j 1 7 “。+ o 9 7 8 5 0 2 e 卸o 1 4 7 “ 相应的破产概率数值见表： 村 、壬，( “)、壬，m ( “) 、王，d ( ”) l 0 8 7 5 2 6 7 0 9 1 1 1 5 80 9 3 3 7 9 3 2 0 7 9 2 5 5 9 0 8 4 5 3 1 30 8 6 8 2 2 6 30 7 1 7 6 5 90 7 8 4 5 30 8 0 7 8 4 2 4 0 6 4 9 8 3 70 7 2 8 1 2 4 0 7 5 2 3 3 3 5 0 5 8 8 4 2 5 0 6 7 5 7 7 40 7 0 1 1 4 2 60 5 3 2 8 1 60 6 2 7 1 8 70 6 5 3 7 9 4 1 00 3 5 8 1 9 80 4 6 5 3 5 10 4 9 5 9 3 5 1 50 2 1 8 0 50 3 2 0 4 4 90 3 5 2 2 3 3 2 00 1 3 2 7 3 60 2 2 0 6 80 2 5 0 4 3 4 2 50 0 8 0 8 0 1 80 1 5 1 9 5 6o 1 7 8 1 0 3 3 00 0 4 9 1 8 7 40 1 0 4 6 4o 1 2 6 6 7 2 从表可以看出对于含有两个类的带干扰正风险模型，类之间的相关性 会使风险过程的破产概率增大。 相关带千扰风险模堑的破产概率第三章带干扰风险模型的推广 第三章带干扰风险模型的推广 不失一般性，考虑含三个保险产品类的保险公司，对一般含一伽3 ) 个 类的情形，类之间的相关结构可以从厅：3 的情形推广得到。为简单起见， 第一，二个类的盈余过程仍分别由( 1 2 ) 和( 1 3 ) 定义，第三个类的盈余过 程为 五：u 3 + c 3 t + 码彬o ) 一掣露a - u ，+ c , t + o 3 w 3 ( t ) 一墨( f ) ( 3 1 ) 其中墨( ，) 是参数为五，共同分布为只且只( o ) = o 的复合泊松分布，暇( ，) 是标 准布朗运动且形( o ) = 0 ，u 3 ，q ，吒o 均为常数。 c o s s e t t e 和m a r c e a u ( 2 0 0 0 ) 在三个类中的理赔计数过程之间定义了含 有共同理赔次数过程的相关结构，沿用c o s s e t t e 和m a r c e a u ( 2 0 0 0 ) 定义方 式，理赔计数过程 j ：( ，) ，2 ( ，) 和 ( ，) 之间的相关结构如下： m ( f ) = m 。( 0 + m ：( f ) + i v , ，p ) + l 。( r ) 2 ( r ) = 二+ l ：p ) + ，。( f ) + l 。( r ) ( 3 2 ) m ( f ) = 心( f ) + i ，+ 乙( 0 + m 。 其中m ，心，：。均为相互独立的泊松过程，对应的参数分别是a 。，厶，如。 受此启发，我们把这种相关结构推广到干扰项上去，定义q 形( o ，, r y d ( t ) 和以形( f ) 之间的相关性如下： q 彤( r ) = q 。彬。( f ) + q ：彤：o ) + q ，彬，+ q 。研。( f ) 吒吸( f ) = 既p ) + q ：嘶：( r ) + 既( f ) + q 。彤。( f ) ( 3 3 ) 正磁( ，) = 睨，( d + 吼，暇，9 ) + 既o ) + q 。彬。( f ) 相关带干扰风险模型的破产概率第三章带干扰风险模型的推广 其中彤。( f ) ，w n ( t ) ，彬。( f ) 均为独立的从原点出发的标准布朗运动。 于是保险公司在时刻t 的盈余为： r ( f ) = 墨o ) + 砭( d + 五( t ) = u + c t + o - w q ) 一s ( r ) = “+ c f + c r 矽o ) 一n i t ) 互 ( 3 4 ) 仿照含两个保险产品类情形时的定义方式，与( 2 6 ) ，( 2 8 ) 和( 2 9 ) 对 应的含三个保险产品类的带干扰风险过程置( r ) ( r ) 和r 分别定义为： 蜀o ) = “+ 甜+ q 彬( f ) 一s 9 ) ( 3 5 ) 如( r ) = ”+ c f + c 巧( r ) 一墨( f ) ( 3 6 ) 岛= “+ c r + 吼( ) 一s a t ) ( 3 7 ) 其中形( f ) ，形( f ) 均是从原点出发的标准布朗运动，且 q = 石再丽 ( 3 8 ) 吼= 石再五孓瓦i 丽再瓦百i 而 ( 3 9 ) 仿董和王( 2 0 0 4 ) 中的讨论易知 s 是参数为五= 五+ 五+ 五，分布为c = 击( 五鼻+ 五e + 五e 】的复合泊松过 程。 蜀( f ) 是参数为乃= 丑，+ 丸+ 厶+ a ：+ a ，+ 如+ 屯，分布为 e = 古【 f + 如e + 厶e + ：f e + ，f 只+ 屯e 只+ 丑。只+ 只e 】 ( 3 1 0 ) 的复合泊松过程。 当q ，吼0 ) 和码彬o ) 由( 3 3 ) 定义时，q ，呸和q 分别记为，吼。和 相关带干扰风险模型的破产概率第三章带干扰风险模型的推广 ，即此时有 = 石再i 五瓦嚼 = 、压五五瓦丽 玛d = q c r , , 2 + 0 1 3 2 + 0 2 3 2 + d ：t 2 3 2 ( 3 1 1 ) 与模型( 3 5 ) ，( 3 6 ) 和( 3 7 ) 对应的l u n d b e r g 指数分别记为马，如和 o 比较相关性对蜀，如和蜀的影响，与两个保险产品类的情形相似，合理 的比较基础是假设( 3 5 ) ，( 3 6 ) 和( 3 7 ) 中的风险过程有相同的期望损失， 即应假定： 假设i i i ： 丑= 丑+ a ：+ ，+ 口，丑= 乞+ ：+ 丸+ 趋，旯= 丑，+ ，+ 如+ 五 ( 3 1 2 ) 同样由于干扰项的期望值为零，故为使比较结果更加合理还应进一步 假定三个类中的干扰项方差分别相等，即假定： 假设i v ： q z = q 。：，吒z = 吼。z ，码z = q 。z ( 3 1 3 ) 定理3 1 ：令”o ，在假设i i i 和假设i v 下，有 蜀如弓 ( 3 1 4 ) 若进一步假设 ：+ a ，+ 如+ 如 o ，q ：2 + q ，2 + 2 + q 。2 o ，则 玛 如 蜀 ( 3 i s ) 证明：与定理2 3 2 的证明类似。 相关带干扰风险模型的破产概率 第四章结论 本篇论文的主要结论： 研究了含有两个类的带干扰风险模型，分别给出了相关类与独立类过程的 l u n d b e r g 指数所满足的方程，并比较了这三个数据，通过证明与数值分析 得出了类之间的相关性会使相应风险过程的破产概率增大，且由数值分 析，可看出随着初始盈余的增大，相关性对破产概率的影响也越来越显著。 塑茎萱王丝墨堕堡型箜堕主竖兰 至耋兰塾 参考文献 【1 】a m b a g a s p i t i y a ，r s o nt h e d is t r i b u t i o no ft w oc l a s s e so f c o r r e l a t e d a g g r e g a t e c l a i m s i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i t sa n d e c o n o m i c s 2 3 ( 1 9 9 8 ) ，15 1 9 【2 】2c o ss e t t e ，h ，m a r c e a u ，e t h ed is c r e t e t i m er is km o d e lw i t h c o r r e l a t e dc l a s s e so f