学生分配问题.doc

一 问题重述城市各城区小学学校的布局结构和学生的分配是否科学合理，直接关系到教育资源的利用效率和学校的教育教学质量。下面就某城区的学校和学生信息根据要求对学生进行适当合理的分配。由于城区旧城改造、新居建设以及人口流动等因素，现需将城区的六个街区小学生重新分配至该城区的三所学校A、B、C中去。经统计已知六个街区的小学生总人数以及低、中、高年级的比例（见表1）。同时考虑到可能出现跨街区上学的可能，为了保证学生的安全，每个学校将提供一定的上下课接送服务，由此产生的交通成本费用由上学的远近决定。具体数据见表2，其中0表示不用提供接送服务，短线表示无法提供接送服务。另一方面，学校为了保证教学质量，规定每个学校的低、中、高年级学生的比例都应在30%-36%之间。1. 如果从校方利益的角度考虑，为了节省接送的交通成本，所有学生应如何分配到各个学校去，同时又必须保证各年级的比例在规定的范围内。2. 另一方面，教育部门从学生管理和安全的角度考虑，希望每个街区的学生应尽可能的就近入学，而且同一个街区的学生能在同一所学校上学，那么在保证学校利益的基础上又应如何分配学生。3. 随着社会公共交通事业的发展，学校考虑是否应降低接送交通成本，分析制定了如下备选策略：（1）取消成本为200元/年的接送范围，其他保持不变；（2）取消成本为300元/年以下的接送范围，其他保持不变；（3）保持原方案。根据问题1的模型，再次考虑在各个策略下学生如何分配，比较各分配方案的差别。同时，结合问题2，在考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，为学校提供一个合理的策略。4. 我国现行的学生入学分配政策基本以学区内入学为主，但很多家长为了让小孩进入教学效应较好的学校，不惜跨学区入学，而且学校也为此提供一定的入学名额，试就目前的入学情况谈谈你的想法，并提出你的建议。表1 学校和学生信息地区学生数量低年级中年级高年级145032383026003728353550303238435028403255003934276450342838表2 学校接送交通成本费用和容量学校A学校B学校C每个学生的公交成本（元/年）3000700-400500600300200200500-0-4005003000学校容量9001100100二 问题分析街区学生分配到城区学校就读，把六个地区的学生按要求分配到三个学校去，在一定的限制条件下使得校方的接送交通成本费用最低。这是一个求解最优问题，因此学校分配学生问题可以用线性规划模型来建立数学模型，并用lingo软件来求解这个问题。问题一是从校方利益角度考虑，为了节省校方接送的交通成本，可以将题目中给定的0表示不用提供接送服务，短线表示无法提供接送服务等同看待为校方不需要支付接送的交通成本。因此在满足接送成本最低的同时，又必须保证各年级的比例在学校规定的范围内。问题二是教育部门从学生管理和安全的角度考虑，希望每个街区的学生应尽可能的就近入学，而且同一个街区的学生能在同一所学校上学，因此我们必须首先考虑学生管理和安全问题，其次是考虑就近入学问题，最后考虑学校利益问题。关于学生安全方面，对于表2中短线表示的无法提供接送服务的学校我们视为安全系数极低，不作择校考虑范围；对于择校方面，我们只考虑就近的学校，而最远的学校不在考虑范围之内。为实现以上目标，我们在赋权值时仅考虑每个地区到A、B、C三所学校距离远近的排名，而不考虑运输费用的具体数值，也就是说，各个地区到离各自最近的学校、次近的学校或最远的学校具有相同的权值，分别用0、1和无穷大表示。问题三，随着社会公共交通事业的发展，学校考虑是否应降低接送交通成本，分析制定了三套方案，取消成本为200元/年的接送范围，其他保持不变，取消成本为300元/年以下的接送范围，其他保持不变，因此在问题一、二的基础上再次分析。三 模型假设1.模型一0表示不用提供接送服务，短线表示无法提供接送服务等同看待为校方不需要支付接送的交通成本，对于表2中无法提供接送服务的学校，我们不考虑是否存在安全因素。2.模型一A、B、C三所学校的教学质量相等。3.模型二中，对于短线表示无法提供服务，我们将其看做安全系数极低，学生无法在上学期间保证安全。4.模型三中，对于取消接送的学校范围，我们假设那些原本需要接送的学生为自费乘坐公共交通工具上学。5.我们假定乘坐公共交通工具安全系数低于乘坐校车的安全系数。四 符号说明h: 表示高年级学生；m: 表示中年级学生；l: 表示低年级学生；A：表示A学校；B：表示B学校；C：表示C学校；s1（i，j）:表示从地区i到学校j的低年级学生；s2（i，j）:表示从地区i到学校j的中年级学生；s3（i，j）:表示从地区i到学校j的高年级学生；b（1，i）:表示i地区的低年级学生；b（2，i）:表示i地区的中年级学生；b（3，i）:表示i地区的高年级学生；q(i,j):表示j学校去i地区的公交成本；pj:表示学校j的学生数量；x:表示权值矩阵；z:权值最小时的成本。五 模型建立（1）对于问题一，因为仅从校方利益的角度考虑，要求接送的交通成本最低，在保证各年级的比例在30%36%的规定范围内，学校所需总的接送交通成本为每个学校去各个地区成本乘以地区人数所需交通成本之和，由此我们可以得到目标函数为： 因此对于以上的线性规划模型，利用LINGO软件可以求得其结果，以上这种方案学校接送的交通成本费用为145000.0元。根据LINGO结果可知学生分配情况如下表：表1.学校各年级学生分布情况ABC低年级中年级高年级低年级中年级高年级低年级中年级高年级地区1000144171135000地区2222168210000000地区300080114156856253地区400000098140112地区564110751316060000地区6000000153126171各年级人数286278285355345351336328336总人数84910511000表2.各年级学生在各学校所占比例学校比例年级ABC低年级33.69%33.78%33.6%中年级32.74%32.83%32.8%高年级33.57%32.39%33.6%（2）对于问题二，我们由模型假设和学生接送交通成本费用表，即可设一个权值表，取离学校最近的权值为0，次近的权值为1，最远的权值为无穷（在这里我们用99999表示无穷），且远近可以由表2的交通成本费用表示，由此我们的目标函数表示权值的最小值，因此我们可以画出权值表格，并列出目标函数为：表3.学校接送交通成本权值学校权值地区ABC110999999299999901399999910401999999509999991699999910因此对于以上的线性规划模型，利用LINGO软件可以求得其结果，以上这种方案学校接送的交通成本费用为426800.0元。根据LINGO结果可知学生重新分配后情况如下表：表4.学校各年级学生分布情况ABC低年级中年级高年级低年级中年级高年级低年级中年级高年级地区10011144171124000地区2000222168210000地区30000031165176178地区498140112000000地区5195169135000010地区6000000153126171各年级人数293309258366339365318303349总人数8601070970表5.各年级学生在各学校所占比例学校比例年级ABC低年级34.07%34.21%32.80%中年级35.93%31.68%31.24%高年级30.00%34.11%35.96%（3.1）对于问题三，取消200元/年、300元/年的接送范围的目标函数及其约束条件与第一问建模相同为：因此对于以上的线性规划模型，利用LINGO软件可以求得其结果，以上这种方案学校取消200元/年接送的交通成本费用，其总成本为15000.00元，学校取消300元/年接送的交通成本费用，其总成本为0.000000元根据LINGO结果可知学生重新分配后情况如下表：表6.取消200元/年接送学生分配情况ABC低年级中年级高年级低年级中年级高年级低年级中年级高年级地区1000144171135000地区2222168210000000地区3000800157176209地区47910911200019310地区5000195170135000地区600001230153114141表7.取消300元/年接送学生分配情况ABC低年级中年级高年级低年级中年级高年级低年级中年级高年级地区15456090115135000地区2222168210000000地区3000301231731355336地区42517180007312394地区52547419311661000地区60005770153119171(3.2)根据问题一的模型，再次考虑在各个策略下学生的分配情况，及比较各分配方案的差别:表8.各地区在3所学校就读的总人数（原方案）学校人数地区AB C1045002600003035020040035052492510600450学校学生总数84910511000所有学校公交成本为200的学生总人数为：200 成本为200*200=40000元所有学校公交成本为300的学生总人数为：350 成本为350*300=105000元其余为0表9.取消200元/年后学校就读情况学校人数地区ABC10450026000030854243000505050006042408学校学生总数90010001000所有学校公交成本为300的学生总人数为：50 成本为50*300=15000元其余为0表10. 取消300元/年后学校就读情况学校人数地区ABC11103400260000303262244600290513037006064386学校学生总数9001100900所有学校需要支付公交成本的学生总人数为0.则将取消200元/年、300元/年的公交成本与问题一的方案比较：表11.三种策略比较比较因素方案成本（元）流动人数原方案1450000取消200元/年方案1500051取消300元/年方案0.0002900由上表比较知，三个方案分配的差别在于：原方案成本达到145000元，没有流动人数，当取消200元/年接送公交方案，学校成本降低，学生的流动人数增加，而在取消300元/年接送公交方案后，学校不需要公交成本，但流动学生人数达到最大值。(3.3)结合问题2，在考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，假如取消成本为200的接送范围，则在此学校就读的学生只能乘坐其他交通工具回家，我们假定坐公交车的安全系数是坐校车的4倍。修改权重矩阵。为了区别取消200和300的接送范围，我们将取消的安全系数设为与取消的接送范围成正比。将次近距离除以100作为对应接送的安全系数，设如果取消200的接送范围的对应安全系数为6（这也是为什么我们取3倍的原因，因为我们的建议是学生坐校车最好，校车安全系数恒大于公交车安全系数），取消300的接送范围的对应安全系数为9.不考虑一个地区的学生去往三个地方，所以相对最远的安全系数认为无穷大（999999）。此对于以上的线性规划模型，利用LINGO软件可以求得其结果，减300！ABC低年级中年级高年级低年级中年级高年级低年级中年级高年级地区1000144171135000地区20002091612101370地区30000200165176189地区48510311213370000地区5195170135000000地区6000000153126171学校人数地区ABC104500205802030205304300500550000600450学校学生总数80011001000成本分析：580*400+20*500+50*500= 267000元-200滴！ABC低年级中年级高年级低年级中年级高年级低年级中年级高年级地区1000144171135000地区200043030179168180地区3000165176209000地区48512611213140000地区5195170135000000地区6000000153126171学校人数地区ABC10450020735273055004323270550000600450学校学生总数7111212977成本分析：73*400+527*500+300*550+27*500=471200原计划取消200的接送范围取消300以下的接送范围学校消耗费用426800.0471200.0267000.0就近学校读书的人数285728002810非就近读书人数4310090有图形可以知道，从学校利益方面分析：学校费用最少的方案是取消300以下的接送范围，但是很明显此方案使得安全系数最高，而且也不符合实际。从学生管理和学生安全方面分析：应该选择原计划的方案，这样安全系数很低。我们既要要求学校消耗越小越好，就近读书的人数越多越好则我们用每中计划的基金读书的人数除以学校的消耗，求最大值：求得原计划，取消200的接送范围的计划，取消300以下的接送范围的计划的值分别为：0.0067,0.0059,0.0105.从而可知综合各项因素，选择第三种方案是明智的。（4）我国现行的学生入学分配政策基本以学区内入学为主，但由于我国现行教育制度的终极目标高考。让孩子考入一所理想的大学是每位家长梦寐以求的，这样，中考、高考升学率高的学校自然就门庭若市，这种择校必然也造成从小学就开始择校。小学起点高了，孩子们就能顺利的进入好的中学就读，好的中学考出了好成绩又可以跨入到好的高中继续学习，高考的胜券就大大提高了。因此很多家长为了让小孩进入教学效应较好的学校，不惜跨