高三数学二轮复习（核心自查++热点高考探究+方法专项突破+备选高效演练）等差、等比数列的概念与性质课件 文.ppt

等差 等比数列的概念与性质 一 主干知识1 等差数列的定义 an 为等差数列 n n d为常数 2 等比数列的定义 an 为等比数列 其中n n an 0 q为不为零的常数 an 1 an d 3 等差 等比中项 1 若x a y成等差数列 a为x y的等差中项 2a 2 若x g y成等比数列 g为x y的等比中项 g2 g 0 4 数列 an 的前n项和sn与通项an的关系式 x y xy 二 必记公式 a1 n 1 d n m d a1qn 1 qn m 1 2013 新课标全国卷 等比数列 an 的前n项和为sn 已知s3 a2 10a1 a5 9 则a1 解析 选c 由s3 a2 10a1 得a1 a2 a3 a2 10a1 即a3 9a1 即a1q2 9a1 解得q2 9 又因为a5 9 所以a1q4 9 解得a1 2 2013 安徽高考 设sn为等差数列 an 的前n项和 s8 4a3 a7 2 则a9 a 6b 4c 2d 2 解析 选a 由s8 4a3 8a1 d 4 a1 2d 由a7 2 a1 6d 2 联立解得a1 10 d 2 所以a9 a1 8d 10 16 6 3 2013 江西高考 等比数列x 3x 3 6x 6 的第四项等于 a 24b 0c 12d 24 解析 选a 因为等比数列的前三项为x 3x 3 6x 6 所以 3x 3 2 x 6x 6 即x2 4x 3 0 解得x 1或x 3 当x 1时 3x 3 0不合题意 舍去 故x 3 此时等比数列的前三项为 3 6 12 所以等比数列的首项为 3 公比为2 所以等比数列的第四项为 3 24 1 24 4 2013 重庆高考 若2 a b c 9成等差数列 则c a 解析 因为2 a b c 9成等差数列 所以公差答案 5 2013 北京高考 若等比数列 an 满足a2 a4 20 a3 a5 40 则公比q 前n项和sn 解析 所以a2 a4 2a1 8a1 20 所以a1 2 答案 22n 1 2 6 2013 广州模拟 等比数列 an 的前n项和为sn 若s3 3s2 0 则公比q 解析 由s3 3s2可得a1 a2 a3 3 a1 a2 即a1 1 q q2 3a1 1 q 化简整理得q2 4q 4 0 解得q 2 答案 2 热点考向1等差 比 数列的基本运算 典例1 1 2013 大连模拟 已知等比数列 an 为递增数列 若a1 0 且2 an an 2 5an 1 则数列 an 的公比q 2 2013 潍坊模拟 已知等差数列 an 的前5项和为105 且a10 2a5 求数列 an 的通项公式 对任意m n 将数列 an 中不大于72m的项的个数记为bm 求数列 bm 的前m项和sm 解题探究 1 如何把an an 2 an 1与公比q联系起来 提示 利用通项公式把an an 2 an 1都用首项a1和公比q表示即可 2 如何求等差数列 an 的首项a1与公差d 提示 根据条件列关于a1 d的方程组求解 根据数列 an 中不大于72m的项可得到的不等式为 可求bm 数列 bm 是什么数列 提示 利用定义法可判断数列 bm 是等比数列 an 72m 72m 1 解析 1 由于 an 为等比数列 设其公比为q 由2 an an 2 5an 1 得2 a1qn 1 a1qn 1 5a1qn 解得或q 2 由于等比数列 an 为递增数列且a1 0 所以q 2 答案 2 2 由已知得 解得a1 7 d 7 所以通项公式为an 7 n 1 7 7n 由an 7n 72m 得n 72m 1 即bm 72m 1 因为所以 bm 是公比为49的等比数列 且b1 7 所以 方法总结 等差 比 数列基本运算中的关注点 1 基本量 在等差 比 数列中 首项a1和公差d 公比q 是两个基本量 2 解题思路 求公差d 公比q 常用公式an am n m d an amqn m 列方程组 若条件与结论的联系不明显时 常把条件转化为关于a1和d q 的方程组求解 但要注意消元及整体计算 以减少计算量 变式训练 设递增等差数列 an 的前n项和为sn 已知a3 1 a4是a3和a7的等比中项 1 求数列 an 的通项公式 2 求数列 an 的前n项和sn 解析 1 在递增等差数列 an 中 设首项为a1 公差为d d 0 因为 解得所以an 3 n 1 2 2n 5 2 所以sn n2 4n 热点考向2等差 比 数列的性质 典例2 1 2013 天津模拟 等差数列 an 中 如果a1 a4 a7 39 a3 a6 a9 27 数列 an 前9项的和为 a 297b 144c 99d 66 2 2013 攀枝花模拟 在等比数列 an 中 若a3a5a7a9a11 243 则的值为 a 9b 1c 2d 3 解题探究 1 根据a1 a4 a7 39能求的项是 根据a3 a6 a9 27能求的项是 2 由a3a5a7a9a11 243可求的项是 a92与a11之间的关系是 a4 a6 a7 a92 a7 a11 解析 1 选c 由a1 a4 a7 39 得3a4 39 a4 13 由a3 a6 a9 27 得3a6 27 a6 9 所以 2 选d 在等比数列 an 中 a3a5a7a9a11 243 因为a3a11 a5a9 a72 所以a75 243 所以a7 3 结合等比中项的性质可知 互动探究 本例题 1 中条件不变 试求a2 a5 a8的值 解析 由本题解析知a4 13 a6 9 所以a2 a5 a8 3a5 方法总结 等差 比 数列的性质盘点 变式备选 2013 凉山模拟 在等比数列 an 中 s1 1 公比 q 1 若ak a1a2a3a4a5 则k a 9b 10c 11d 12 解析 选c 由已知a1 s1 1且a1qk 1 a1 a1q a1q2 a1q3 a1q4 a15q10 所以qk 1 q10 所以k 1 10 即k 11 热点考向3等差 比 数列的判定与证明 典例3 已知各项均为正数的两个数列 an 和 bn 满足 1 设求证 数列是等差数列 2 若数列 an 是等比数列 试证其公比等于1 解题探究 1 要证数列是等差数列 只需用定义法证明 2 证明公比等于1的切入点 三者的大小关系是 根据 得到an 1的范围是 本题直接证明不易证 故由 想到可用 法证明等比数列 an 的公比等于1 反证 证明 1 因为所以所以所以所以数列是以1为公差的等差数列 2 因为an 0 bn 0 所以 设等比数列 an 的公比为q 由an 0知q 0 下面用反证法证明q 1 若q 1则所以当时 与 矛盾 若0 q 1 则所以当时 an 1 a1qn 1 与 矛盾 所以综上所述 q 1 方法总结 判断和证明数列是等差 比 数列的三种方法 1 定义法 对于n 1的任意自然数 验证为同一常数 2 通项公式法 若an a1 n 1 d am n m d或an kn b n n 则数列 an 为等差数列 若an a1qn 1 amqn m或an p qkn b n n 则数列 an 为等比数列 3 中项公式法 若2an an 1 an 1 n n n 2 则数列 an 为等差数列 若an2 an 1 an 1 n n n 2 则数列 an 为等比数列 变式训练 已知数列 an 中 sn是其前n项和 并且sn 1 4an 2 n 1 2 a1 1 1 设bn an 1 2an n 1 2 求证 数列 bn 是等比数列 2 设cn n 1 2 求证 数列 cn 是等差数列 3 求数列 an 的通项公式及前n项和 解析 1 由sn 1 4an 2 sn 2 4an 1 2 两式相减 得sn 2 sn 1 4 an 1 an 即an 2 4an 1 4an 所以an 2 2an 1 2 an 1 2an 又bn an 1 2an 所以bn 1 2bn 已知s2 4a1 2 a1 1 a1 a2 4a1 2 解得a2 5 b1 a2 2a1 3 0 由 和 得 数列 bn 是首项为3 公比为2的等比数列 且bn 3 2n 1 2 因为所以 故数列 cn 是首项为公差为的等差数列 且 3 因为所以当n 2时 sn 4an 1 2 2n 1 3n 4 2 当n 1时 s1 a1 1也适合上式 综上可知 数列 an 的前n项和sn 2n 1 3n 4 2 典例 已知数列a1 a2 a30 其中a1 a2 a10是首项为1 公差为1的等差数列 a10 a11 a20是公差为d的等差数列 a20 a21 a30是公差为d2的等差数列 d 0 1 若a20 40 求d 2 试写出a30关于d的关系式 并求a30的取值范围 3 续写已知数列 使得a30 a31 a40是公差为d3的等差数列 依次类推 把已知数列推广为无穷数列 提出同 2 类似的问题 2 应当作为特例 并进行研究 你能得到什么样的结论 等差 比 数列的综合问题 解题探究 1 a10的双重身份是什么 提示 a10是公差为1的等差数列的第十项 也是公差为d的等差数列的第一项 2 a30关于d的函数类型是什么 提示 二次函数 3 试用d表示a40 由此你能想到用什么方法得到一般结论 提示 a40 a30 10d3 10 1 d d2 d3 可用归纳推理得到一般结论 解析 1 由题意可得a10 10 a20 10 10d 40 所以d 3 2 a30 a20 10d2 10 1 d d2 当d 0 0 时 a30 7 5 3 所给数列可推广为无穷数列 其中a1 a2 a10是首项为1 公差为1的等差数列 当n 1时 数列a10n a10n 1 a10 n 1 是公差为dn的等差数列 研究的问题可以是 试写出a10 n 1 关于d的关系式 并求出a10 n 1 的取值范围 研究的结论可以是 由a40 a30 10d3 10 1 d d2 d3 依次类推可得 a10 n 1 10 1 d dn 当d 0时 a10 n 1 的取值范围为 10 方法总结 等差 比 数列的综合问题的常见类型及解法 1 等差数列与等比数列交汇的问题 常用 基本量法 求解 但有时灵活地运用性质 可使运算简便 2 等差 比 数列与函数 方程 不等式等的交汇问题 求解时用等差 比 数列的相关知识 将问题转化为相应的函数 方程 不等式等问题求解即可 变式备选 已知在直角坐标系中 an an 0 bn 0 bn n n 其中数列 an bn 都是递增数列 1 若an 2n 1 bn 3n 1 判断直线a1b1与a2b2是否平行 2 若数列 an bn 都是正项等差数列 设四边形anbnbn 1an 1的面积为sn n n 求证 数列 sn 是等差数列 解析 1 由题意a1 3 0 b1 0 4 a2 5 0 b2 0 7 所以因为所以直线a1b1与a2b2不平行 2 因为数列 an bn 为正项等差数列 设它们的公差分别为d1 d2 d1 0 d2 0 则an a1 n 1 d1 bn b1 n 1 d2 an 1 a1 nd1 bn 1 b1 nd2 由题意 所以 所以所以sn 1 sn d1d2是与n无关的常数 所以数列 sn 是等差数列 函数与方程思想 解决数列中的求值问题 思想诠释 1 主要类型 1 求等差 比 数列中的某些量时 常根据条件构建关于a1 d q 的方程组求解 如求等差 比 数列的通项公式 前n项和公式等 2 求等差 比 数列中的某些量的取值范围或最值时 常将待求量转化为某一变量的函数 将问题转化为求函数的值域或最值问题 如求等差数列前n项和的最值问题 3 研究等差 比 数列单调性时 利用研究函数单调性的方法求解 2 解题思路 结合条件与所求的问题 通过列方程组或将待求问题转化为函数问题求解 3 注意事项 1 列方程组时 应注意有几个变量就列几个方程 2 把所求问题转化为函数问题时 应注意要确定自变量的取值范围 典例 12分 2013 烟台模拟 已知公差大于零的等差数列 an 的前n项和sn 且满足 a2a4 65 a1 a5 18 1 若1 i 21 a1 ai a21是某等比数列的连续三项 求i的值 2 设是否存在一个最小的常数m使得b1 b2 bn m对于任意的正整数n均成立 若存在 求出常数m 若不存在 请说明理由 审题 分析信息 形成思路 1 切入点 根据等差数列性质求出a2和a4 先求等差数列 an 的通项公式 关注点 判断a2 a4时注意公差大于零的条件的应用 2 切入点 先求sn 从而确定bn 关注点 把b1 b2 bn看作关于n的函数 求函数的值域 解题 规范步骤 水到渠成 1 数列 an 为等差数列 因为a1 a5 a2 a4 18 又a2a4 65 所以a2 a4是方程x2 18x 65 0的两个根 又公差d 0 所以a2 a4 所以a2 5 a4 13 3分所以 所以a1 1 d 4 所以an 4n 3 5分由1 i 21 a1 ai a21是某等比数列的连续三项 所以a1a21 ai2 即1 81 4i 3 2 解得i 3 7分 2 由 1 知 所以 9分所以b1 b2 bn 因为 11分所以存在使b1 b2 bn m对于任意的正整数n均成立 12分 点题 规避误区 失分警示 变题 变式训练 能力迁移 2013 北京模拟 已知等比数列 a