（马克思主义哲学专业论文）微积分概念的发展及其哲学解析.pdf

微积分的发展及其哲学解析摘要 摘要 微积分的创建是数学史上的革命性成果，也是人类文明猎获的巨大精神财富 之一。微积分的完善和发展历程，不仅是数代数学工作者艰苦探索的历程，而且 它还鲜明地体现为从问题到新的问题不断发现和不断解决的历程，体现为概念含 义澄清和开拓的历程，从而归根结底体现为人类科学理性的成长历程，因为它的 发展直接地与思维方式的高级化和科学要求是相一致的。所以，从哲学高度说清 楚微积分概念的演变和发展，不仅对于数学史研究，对于具体的数学研究有重要 意义，而且直接地就是对科学、科学理性及其发展的哲学考察。由于受本人的学 识所限，文章的考察深度与考察宗旨的要求尚有距离，仍需继续努力。 关键词：微积分；概念问题；悖论；解析 作者：沈长华 指导教师：狄仁昆 d e v e l o p m e i l to f c 锄c u l o u sd e f i n a t j o n 锄di t sp h i l o s 叩h i cr e s o l u t i o na b s t r a c t d e v e l o p m e n to fc a l c u l o u sd e n n a t i o na n di t s p h i l o s o p h i cr e s o l u t i o n a b s t r a c t b i n ：ho fc a l c u l o u si sar e s 此o fm a m e m a t i cr e v o l u t i o na n das p i r i t u a lf 0 r h l n eo f h u m 雒c i v i l 娩撕o n t h cc o u r s e 舶mi t s p e f e c t i o nt 0d e v e l o p m e n ti sac o l l r s eo f h a r d w 幽go fm a t h a t i c si l ld i f 诧r e n tt i m e sb yt 1 1 ew a y so fc l e 疵1 9i t sd e 丘n a t i o na n d 盯a v i n go u t ，w h i c hd i s p l a y s 也eg r o w t ho fh u m a ns c i e n t m cr c a s o n i i l g i ti sb e c a u s et l l e d e v e l o p m e n t0 fc a l c l l l o u sd e 丘i l a t i o ni sd i r e c t l yi d e n t i 矗e d d 也t l l eh i 曲一l e v e l e dw l y so f t 1 1 i n l 【i n ga n d 、) 1 7 1 h a ts c i e n c er e q u i r - e st l l a ti l l u s 舡a t i l l gc a l c u 玷1 l sd e f i n a t i o n se v 0 1 u t i q na n d d e v c l o p m e n tc o m r i b u t e sa1 0 tn o to i l l yt om a t l l e m a t i c1 1 i s t o 巧a 1 1 dc o n c r e t em a t l l e m a t i c r e s e 鲫c h ，b u tt h ep 蝣1 0 s o p l l i c r e f l e c t i o n0 n s c i e n c e ， s c i e n t i 丘cr e a s o n i n ga n di t s d e v e l o p m e n t mv i e wo f 也el i i l l i t a t i o no ft 1 1 ea u 也o r sh o w l e d g e ，m e r ei sa1 0 n gw a yt o 9 0t 0t 1 1 ed e e p 也o f r e n e c t i o ni nt l l i sp a p e ra n dm o r ee 助r t ss h o u l db ef o l l o 、e d k e yw o r 凼：c a l c u l o u s ，q u e s t i o no fd e f m a t i o n ，p a r a d o x ，r e s o l u t i o n w h t t e n b ys h e nc h a l l 曲u a s u p e r v i s e d b yd i r e n k l 】i l 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名： 学位论文使用授权声明 冒期：迎! ! ! ：孥 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相_ 致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 日期：则 日期：翟；生，尸 微积分的发展及其哲学解析1 弓i 言 l 引言 微积分，这个在1 7 世纪充满人类思维激情的伟大数学创造，现己成为一切 科技工作人员认识自然和改造自然的强有力的武器。可以毫不夸张的说，不掌握 微积分就无法学习和掌握近代任何一门自然科学、工程技术和管理科学，它为科 学技术的殿堂打下了坚实的基础。现在国内外的微积分教程主要包括变量、函数、 极限理论、一元和多元函数的微分和积分、无穷级数等内容，它的严密的逻辑基 础是实数理论，基本方法或者说贯穿它的一条主线是极限方法，然而人类认识它 的过程并不是按上述内容的顺序。因此，我们在学习微积分的内容和掌握它的精 髓的同时，追寻这一巨大精神财富的积累过程和历代数学家艰苦卓绝的奋斗精神， 从哲学高度说清楚微积分概念的演变和发展，不仅对于数学史研究，对于具体的 数学研究有重要意义，而且直接地就是对科学、科学理性及其发展的哲学考察。 微积分( c a l c l l l l l s ) 是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。 微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用“微 元 与群无限逼近 ，好像一个事物始终在变化你不好研究，但通过微元分割成一 小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。比如，子弹飞出枪膛的 瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如 果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树 枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。 从微积分成为一门学科来说，是在1 7 世纪，但是，微分和积分的思想早在 古代就已经产生了。公元前3 世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德( 公元前 2 8 7 l 前2 1 2 ) 的著作圆的测量和论球与圆柱中就已含有微积分的萌芽， 他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线 的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早 在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的庄子一书中的“天下篇” 中，著有搿一尺之棰，日取其半，万世不竭 。三国时期的刘徽在他的割圆术中提 出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣 。他 在1 6 1 5 年测量酒桶体积的新科学一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线 形。圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。 微积分的发展及其哲学解析 l 引言 意大利数学家卡瓦列利在1 6 3 5 年出版的连续不可分几何，就把曲线看成无限 多条线段( 不可分量) 拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。 1 7 世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得 到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变 化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖 关系。到了1 7 世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，牛顿一莱布尼茨创立 了微积分。 牛顿一莱布尼茨创立的微积分是数学史上的最伟大成就之一，但是在微积分 创立之初，由于缺乏逻辑基础，而遭到了很多的攻击，比如，最强的攻击来自于1 8 世纪英国的贝克莱主教( g e o 玛eb e r k e l e y ) 。事实上，人们对微积分的攻击主要是 针对微积分的逻辑、方法及其中所使用的概念的怀疑。一方面，对于微积分的逻 辑和方法，人们提出了以下这些疑问：微积分的结果是如何被证明的? 关于微积 分的逻辑、方法和概念的表述是否清楚? 依据的原理是什么? 它们是否可靠? 也 就是说，人们认为，微积分没有建立在可靠的逻辑基础之上。另一方面，对于微 积分中所使用的概念，如无穷小、导数、微分和积分，牛顿和莱布尼茨由于没有 弄清楚无穷小、极限与导数的关系，因此就不可能清晰地表述出这些概念，并且 他们对这些概念的解释更加引起对无穷小、导数、微分理解的混乱。此时的微积 分既缺乏可靠的基础，也没有清楚的概念，因此，对人们来说，微积分是神秘的。 虽然微积分自1 7 世纪产生以来，其基础及可靠性受到质疑，并且微积分在 创立之后很长时期里仍然缺乏严密的基础，但是它一直在向前发展。这期间，有 些学者对微积分持坚决否定态度，但更多的学者则试图为其注入严密性。在18 世 纪，微积分发展成了一门独立的学科，并在提供微积分的严密性方面做了一些尝 试。在1 9 世纪，微积分的严格化受到了充分的注意，至1 9 世纪末期，基本完 成了分析的严格化。 2 微积分概念的发展及其哲学解析 2 概念及数学概念 2 概念及数学概念 2 1 概念含义的界定 概念是知识的细胞、命题的基本单位、思维的核心，概念具有高度的概括性、 抽象性和间接性。概念是哲学、逻辑学、心理学、语言学等许多学科的研究对象。 从不同的学科出发，对概念的理解既有区别，也有联系。 2 1 1 概念的几种含义 辞海中对概念给出了这样的定义：“概念是反映对象的特有属性的思维形 式。人们通过实践，从对象的许多属性中，抽出其特有属性概括而成。概念的形 成，标志人的认识已从感性认识上升到理性认识。科学认识的成果，都是通过形 成各种概念来总结和概括的。表达概念的语言形式是词语或词组。概念都有内涵 和外延，内涵和外延是互相联系，互相制约的。概念不是永恒不变的，而是随着 社会历史和人类认识的发展而变化的。罗征表主编潜海上蠢l 埔辞书出蕨牡2 0 0 0 1 5 9 5 1 从哲学角度出发，概念是事物本质特征的反映，“是逻辑思维的最基本的元 和形式力。中田大百科全书增擘戈烹中田大百科全书出基社，1 9 8 8 8 3 o 2 从逻辑学角度出发，“概念是一种反映对象或其属性的思维形式，具有恒定 的内涵与外延刀。月鼍学习心理学拣：科学出葳社，1 9 9 2 3 0 2 3 而在心理学中，概念的含义却具有特定的意义： 概念：“对事物本质属性的反映，是在感觉和知觉基础上产生的对事物的概括 性认识。人们可以感知一个具体的事物，但感觉和知觉只能反映直接作用于感官 的事物的属性，即事物的表面现象。概念从整体上概括一类事物的本质属性，比 感觉知觉更全面、更深刻地反映客观事物”。中国大百科全书堋学北京：中国大百科全书出版社，1 9 9 l 9 l ) 概念就心理学观点而言，概念本身的定义并不十分重要，重要的是它与学习 过程的关系。对心理学来说，概念不是直接由感官所获得的知识，而是经过知觉 印象处理的结果。它包含着一种独立的属性以及对各种不同物体的适用性。一个 或一些普遍的理念用于一组事物上称为概念，一个人对具有某些共同性质的东西 做出相同反应的过程则称为概念形成。 概念：口( 1 ) 具有某个或某些共同属性和特征的复合。( 2 ) 具有这些共同属性 微积分概念的发展及其哲学解析2 概念及数学概念 的内部的、心理的表象。羹_ 昭s 蕾杭心理学辞 淳伯黍等译上毒：上毒译文出版枇1 9 9 6 。6 0 2 1 2 概念的本质 从上面各个学科对概念含义的界定，我们可以看到虽然不同学科的研究的侧 重各有不同，但也有一些共同的方面，我们可以概括一下概念的本质包括以下几 个方面： ( 1 ) 概念是对一类事物的高度抽象和概括，通过这种抽象概括保留这类事物 的共同特征，同时除去了无关特征，使得一类事物更简练概括的得以呈现。 ( 2 ) 概念是对事物的本质特征的抽象和概括，概念意味着某种类别或范畴， 概念的形成与人类的分类与概括行为密切联系。 ( 3 ) 概念具有普遍的适应性，对于所概括的一类事物都适应，是对多个对象 共同特征的概括。 ( 4 ) 概念是以感知经验为基础，经过思维活动而产生的。概念的形成与掌握 依据于活动经验。 ( 5 ) 概念具有个体性和社会性。个人理解时，必须有个人的建构( 内部表征) ， 在与社会交往中，必须有社会的一般语言表征( 外部表征) 。 2 2 数学概念 数学概念是特殊的概念，所以数学概念具有一般概念的共同属性，但由于数 学学科所研究的特殊性，数学概念又有不同于一般概念的独特之处。 “数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性。是人们通过实践， 从数学所研究的对象的许多属性中，抽象出其本质属性概括而成的。概念的形成 标志着人的认识从感性认识上升为理性认识。【1 】由此我们可以看出数学概念是建 立在数学所研究的对象基础之上的，对数学知识本质的认识从根本上左右着我们 对数学概念的认识，直接决定人们对数学概念意义的理解。 2 2 1 数学概念的特点 数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式。 由于数学所研究对象的特殊性，决定了数学概念有别于其他概念，我们把数学概 念的特征总结如下： ( 1 ) 二重性。数学概念具有二重性。数学概念既不是完全是自发形成的自然 概念，也不完全是通过规则定义的人工概念，这是数学概念的独特之处。它既具 有自然概念的特征，又具有人工概念的特征。除了极少数概念( 例如无理数、复 4 微积分概念的发展及其哲学解析2 概念及数学概念 数等是通过规则定义的人工概念) ，中小学大多数数学概念是融二者于一体的。这 也使得数学概念是过程和对象的耦合体，“是过程操作与对象结构的统一 。【6 j ( 2 ) 抽象性。数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属 性。有些属性可以直接从客观事物的空间形式和数量关系中反映出来，而大多数 的数学概念是排除了对象的具体物质内容，进而抽象出内在的本质属性，甚至是 在已有的概念基础之上经过多级抽象才能产生和发展而成。这种抽象可以脱离具 体实物模型，形成一种层次化的体系。抽象过程中很多是理想化的数学模型，例 如：数学中点的概念是没有大小，没有形状的。 ( 3 ) 具体性和抽象性的统一。数学概念是具体性与抽象性的辩证统一，数学 概念是一类事物在空间形式和数量关系上的本质属性的抽象，并且往往用形式化 语言来表达，因而它是高度抽象的。但另一方面，学生一旦掌握了数学概念，它 又变成一种实实在在的东西，因而数学概念又是具体的。 ( 4 ) 普遍性。数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属 性的思维形式，它是排除一类对象的具体物质内容以后的抽象，反映的是一类对 象内在的、固有的属性，因而它在这一类对象的范围内具有普遍意义。 ( 5 ) 系统性。数学概念有很强的逻辑关系，使得数学概念具有很强的系统性。 公理化体系是这种系统性的最高反映。 ( 6 ) 简明性。数学概念往往用反映概念本质的特定数学符号来表示，例如圆 的符号0 ，三角形的符号等等。这些符号使数学概念的表现形式简明、准确、 清晰。数学概念是形式化的数学语言，借助数学符号语言，使现实世界的空间形 式和数量关系可以用一些简明、概括的形式表现出来。数学概念这种简明的特征 使人在较短的时间内掌握数学概念成为可能。 2 2 2 数学概念的产生与发展 2 2 2 1 来自直观的日常经验 数学概念的形成是人类实践活动的结果，是出于人们的实际需要而产生的。 原始人不得不冒着生命危险猎捕比他力量大的猎物，这样就需要把这个动物的力 量和几个猎物的力量联系起来加以比较。为了获得充足的食物，他们还要耕地、 播种、灌溉等等，而所有这一切都需要会计算、比较和测量。 数学概念的产生是人类在自己的意识中简化客观现实中的各种现象，这一十 分自然的愿望的结果。“把我周围事物的全部性质都记住，这太复杂了。我要牢记 5 微积分概念的发展及其哲学解析2 概念及数学概念 在心的只是这当中的某些性质，我要留心研究的正是这样一些性质，我就能简单 地把杂乱无章的事物理出个头绪来，就会感到轻松一些【1 煳1 1 。于是才“发明” 出点是没有大小的，直线是失掉了宽度和高度、两头无限延伸的线、平面是没有 厚度的无限大的面等等概念。 最初，我们的基本的数与形的概念正是从这样的形式出现的，只是很久以后 人们才赋于这些概念以更加丰富的内容。人在自然界中的任何地方都遇不到没有 大小的物体，无限长的线和无限大的面。这些想象的形式的产生是智慧抽象出来 的结果，它们是最方便、最实用的工具。 2 2 1 2 2 数学概念的产生是社会发展和科学技术发展的需要 从根本上说，数学的发展与人类的生产实践和社会需要密切相关，对自然的 探索是数学研究最丰富的源泉。恩格斯说：“社会旦有技术上的需要，就会比十 所大学更能把科学推向前进。劈( 9 】氇9 ) 以微积分概念形成为例。微积分的思想萌芽，可以追溯到古代。但在十七世 纪以前，真正意义上的微积分研究的例子可以说是很罕见的。近代微积分的酝酿， 主要是在1 7 世纪上半叶。为了理解这一酝酿的背景，我们首先回顾一下这一时期 自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件。 首先是1 6 0 8 年，荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜。不久，伽利略将他制 造的第一架天文望远镜对准星空而做出了令世人日不暇接，惊奇不己的天文发现。 1 6 1 9 年，开普勒公布了他的最后一条行星运动定律。开普勒主要是通过观测 归纳出这三条定律。从数学上推证开普勒的经验定律，成为当时自然科学的中心 课题之一。 1 6 3 8 年，伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础， 他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为4 5 时达到等等。 这一切都是文艺复兴以来，在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的，自然科学 开始迈入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，使微积分的 基本问题空前地成为人们关注的焦点：确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬 时变化率问题的研究成为当务之急：望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一 点的法线，这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避：确定炮弹的最大射程及 寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决。 与此同时，行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积，以及物体重心与引力 6 微积分概念的发展及其哲学解析2 概念及数学概念 的计算又使积分学的基本问题面积、体积、曲线长、重心和引力计算的兴趣 被重新激发起来。 在1 7 世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的工具， 特别是描述运动与变化的无穷小算法，并且在相当短的时期内取得迅速发展f 2 m 7 9 。砌。 由此可见，由于社会的进步、科学技术的发展为数学概念的产生提供大量富有成 果的问题并刺激数学概念的产生和发展。 2 2 2 3 数学概念的产生是数学自身发展的要求，是理性本身自由创造和想象 的产物 从根本上讲，几乎所有数学中那些最初的和最古老的问题都是由外部世界产 生的，但是数学的发展对于现实世界有表现相对的独立性。一门数学分支或一种 数学理论一经建立，人们便可以不受外界情况的影响，仅靠逻辑思维而将它向前 推进，并由此导致新理论与新思想的产生。也就是说，在数学中研究的不仅是直 接从现实世界抽象出来的量的关系和空间形式，而且还研究那些在数学内部中以 已经形成的数学概念和理论为基础定义出来的关系和形式。即由于数学自身发展 和内在逻辑的需要，数学也需要解决自身发展的一些理论问题。在己经抽象的数 学对象、关系、逻辑、原理的基础上通过数学家的创造性的理性思维，进行合乎 逻辑的推导和判断，得出逻辑上可能的新对象、新结果。例如：虚数的概念不是 从现实世界中提取、抽象出来的，这是一个历史事实。它们最初出现于数学内部， 是在解代数方程的过程中产生的，是数学家在理性认识阶段获得的。它的产生是 数学运算、相互关系攉理的、必然的、合乎逻辑的结果。正因为它的产生没有了现实 基础，人们才将它冠以“虚数胗( 即虚构的或假象的数，英文i n l a g i i l a 巧n 瑚曲e r ) 瞄】。 又例如，在几何学中，传统的曲线定义是：连续函数表示的点的集合。可是魏 尔斯特拉斯等人却在数学研究中发现存在处处不可微的函数，没有导数就意味着 曲线没有切线，这是传统曲线概念所无法解释的，于是便产生了究竟什么是曲线 的问题等等。 不论是基于观察、直接感知的数学概念，还是由于社会科学技术发展需要而 产生的概念，甚至是由于数学理论自身发展规律的要求而产生的概念，都必定有 它自己产生、发展、演变原因。总是从它最初的原始状态，随着社会的不断发展， 解决更为复杂问题和理论的进一步完善的不断要求，而一次又一次地对原始概念 进行推广和扩充，最后成为像今天这样广泛而精确的概念。函数概念是这样，微 7 微积分概念的发展及其哲学解析2 概念及数学概念 积分概念也是这样。本文将通过微积分这概念的发展过程，来揭示蕴涵在概念 形成、发展过程中的动因和方法。 2 2 3 数学概念的地位及作用 列宁说过：“概念是人脑的高级产物”。这也就是说，概念是认识的高级产物。 概念是在感觉、知觉和观念诸过程的综合的基础上产生的。人们就是在这个基础 上，运用比较、分析、综合、抽象和概括等一系列的逻辑方法来获取概念的，因 此概念所反映的事物和现象的属性，己不再是不分精粗、不辨真伪、顾此失彼、 顾表不顾里的笼统的属性了，它已经抓住了客观对象的根本的、最重要的本质属 性，所以说概念是反映客观对象的一般的、本质的属性的思维形式。概念比较抽 象，但是叉很普遍，哪里有思维活动，哪里就会有概念的出现和运用；哪里要用 到知识，那里就要用大大小小的概念来表达。可以说概念是思维的细胞，是表达 知识的基本方式【1 】渺。 数学概念是现实世界中有关空间形式和量的关系在入脑中的反映。是利用科 学抽象的方法，对大量生动的直观背景材料进行去粗取精，去伪存真，由表及里， 由此及彼的加工和制作数学概念在数学中占有重要地位，可以说整个数学知识 体系就是建立在数学概念的基础之上的。 实践证明，数学概念的相互转化在数学问题的论证和求解中往往是非常重要 的。如果能给数学命题以直观图像的描述，揭示命题的几何特征，就能变抽象为 形象，就能形成概念的相互转化，就能使抽象思维和形象思维在解题过程中交互 运用，从而使初看很难或繁琐的问题变得容易和简单瞄】。 数学概念中蕴涵的数学方法也为解决纯数学问题和实际应用问题提供了强有 力的帮助，甚至成为不可代替的工具。例如微积分概念。微积分的原理，经历了 长达二千多年的探索道路，最后由牛顿、莱布尼茨集其大成，做出了系统的总结， 建立了切线问题( 微分学的中心问题) 和求积问题( 积分学的中心问题) 两个貌 似不相关问题的联系。即微积分基本定理或“牛顿一莱布尼茨公式 。 到这时，人们已经认识到这惊人的互逆关系，运算规则也得到公式化，或 许有人认为这样就算发明了微积分，但这并不意味着微积分的发明者拥有上述导数 与积分的复杂概念它们在新分析的逻辑发展中十分重要。数学家们还需经过 1 0 0 多年的研究，才能在1 9 世纪获得它们的最终定义。 本文的目的就是追溯这两个概念的发展历史，从它们发端于感觉经验到最终确 微积分概念的发展及其哲学解析 2 概念及数学概念 立为数学抽象依靠无穷数列极限的思想，根据形式逻辑加以定义。我们将发 现，微积分的历史称得上是一个非凡的惊人实例，展现了数学概念从我们最初直觉 产生的想法的所有论据释放出来后经历的缓慢形成过程。1 2 】0 1 0 ) 9 微积分概念的发展及其哲学解析3 微积分概念的发展 3 微积分概念的发展 3 1 牛顿一莱布尼茨创立微积分 3 1 1 牛顿的“流数术” 牛顿( i 卜e 、t o n ，1 6 4 2 1 7 2 7 ) 1 6 4 2 年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭， 自幼丧父，家境贫寒。在舅父的支持下，1 6 6 1 年牛顿考入剑桥大学三一学院，受 教于巴罗。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的几何学和沃利斯的无 穷算术，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路【3 】( 蔫二册，p 5 7 ) 。 1 6 6 5 年，牛顿刚结束他的大学课程，学校因流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡。 在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，微积分的创立、万有 引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的。 牛顿于1 6 “年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进 展。1 6 6 6 年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文流数简论， 这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了 微积分的基本问题，发明了“正流数术( 微分) ；从确定面积的变化率入手通过 反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系 作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分 基本定理。“微积分基本定理 也称为牛顿一莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各 自独立地发现了这一定理。该定理用我们现代的语言叙述就是： 设函数f 【x ) 在区间【a ，b 】上连续，对伍b ) 内任何一点x ，令f ( x ) = 上p 渺， 则称f ( x ) 是躺的一个原函数。如果f ( x ) 是f 【x ) 的一个原函数，则 i ：厂( x 逑= f ( b ) 一f ( a ) 。 微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系， 指出微分和积分互为逆运算。 这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题 的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。正是在这种意义下，我们说牛顿创立了 微积分。 流数简论标志着微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方。1 6 6 7 年，牛 顿回到剑桥，并未发表他的流数简论。在以后2 0 余年的时间里，牛顿始终不 1 0 微积分概念的发展及其哲学解析3 微积分概念的发展 渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：运用无穷多 项方程的分析学( 简称分析学，1 6 6 9 ) ； 流数法与无穷级数( 简称流数法， 1 6 7 1 ) ；曲线求积术( r 6 9 1 ) ，它们反映了牛顿微积分学说的发展过程。在分 析学中，牛顿回避了流数简论中的运动学背景，将变量的无穷小增量叫做 该变量的“瞬，记作d ，看成是静止的无限小量，有时直接令其为零，带有浓厚 的不可分量色彩。在论文流数法中，牛顿又恢复了运动学观点，他把变量叫 做“流一，变量的变化率叫做“流数 ，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的。在 流数法中，牛顿更清楚地表述了微积分的基本问题：“已知两个流之间的关系， 求他们的流数之间的关系；以及反过来“已知表示量的流数间的关系的方程，求 流之间的关系 。在流数法和 分析学中，牛顿所使用的方法并无本质的区 别，都是以无限小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是流数法以动力 学连续变化的观点代替了分析学的静力学不可分量法【3 】( 第二册崩5 罐n 。 牛顿最成熟的微积分著述曲线求积术，对于微积分的基础在观念上发生了 新的变革，它提出了“首末比方法 。牛顿批评自己过去随意扔掉无限小“瞬d 的 做法，他说“在数学中，最微小的误差也不能忽略。在这里，我认为数学的 量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”。在此基础上牛顿 定义了流数概念，继而认为：“流数之比非常接近于尽可能小的等时间间隔内产生 的流量的增量比，确切地说，它们构成增量的最初比”，并借助于几何解释把流数 理解为增量消逝时获得的最终比。可以看出，牛顿的所谓“首末比方法”相当于 求函数自变量与因变量变化之比的极限，它成为极限方法的先导。 牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。1 6 8 7 年，牛顿出版了他的 力学巨著 自然哲学的数学原理，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微 积分学说最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。而他的微积 分论文直到1 8 世纪初才在朋友的再三催促下相继发表f 3 】( 第二册，p 6 5 制) 。 3 1 2 莱布尼茨的微积分工作 莱布尼茨( g w l e i m z ，1 6 4 6 - 1 7 1 6 ) 出生于德国莱比锡一个教授家庭，自幼 聪明好学。1 9 6 1 年考入莱比锡大学学习法律。他兴趣广泛，学习了数学、哲学、 生物学等学科。大学毕业后进入政界从事外交工作，1 6 7 2 年至1 6 7 6 年，莱布尼茨 作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时 间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这_ 时期完成或奠定了基础【2 引。 在巴黎期间，莱布尼茨结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯( c 1 1 微积分概念的发展及其哲学解析3 微积分概念的发展 h u y g e n s ，1 6 2 9 1 6 9 5 ) ，在惠更斯的私人影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡 儿和帕斯卡( b p 嬲c a l ，1 6 2 3 1 6 6 2 ) 等人的著作。与牛顿的切入点不同，莱布尼茨 创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。特征三角形 在帕斯卡和巴罗等人的著作中都曾出现过。1 6 8 4 年，莱布尼茨整理、概括自己1 6 7 3 年以来微积分研究的成果，在教师学报上发表了第一篇微分学论文一种求 极大值与极小值以及求切线的新方法( 简称新方法) 。它包含了微分记号d x 以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、 拐点以及光学等方面的广泛应用。1 6 8 6 年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学 论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含 积分符号，并给出了摆线方程：) ，：三再+ f - 叁【3 2 】。 。2 x x 2 莱布尼茨对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，有时他的d 是有 穷量，有时又是小于任何指定的量然而不是零。 3 2 贝克莱批评微积分 由于微积分基础问题越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是s ，t 当t 趋 向于零时的值。t 是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是 零。这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。其中影响最大的是英国 哲学家贝克莱。这位爱尔兰主教在分析学家一书中，直接针对牛顿的流数学 说( 即微积分学说) 开火，成为数学史上影响极大的事件【2 5 1 。 贝克莱的分析学家一书出版于1 7 3 4 年。事情的起因是这样的：贝克莱的 朋友阿迪生告诉他，他俩共同的朋友加思博士在病床上拒绝接受宗教祈祷的慰藉， 因为其好友哈雷博士己让他确信，基督教是哄人的，其教义是难以捉摸的。于是， 这位大主教决定拿起武器，向可怕的对手开战。该书长达1 0 4 页，完整的题目为 分析学家：一篇致不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原 则及论断是不是比宗教的神秘、教义的主旨有更清晰的陈述，或更明显的原理【2 5 1 。 虽然，没有点名攻击对象，但普遍认为是指天文学家艾德蒙哈雷。 这其实是一封公开信。它一开头便是：“对你，我是一个陌生者，然而，对你 在专门从事的研究领域所获得的名声，我并非陌生者；对你在你的职业之外自以 为是的权威姿态，我并非陌生者；对你及更多的同类滥用这种不相符的权威，我 微积分概念的发展及其哲学解析 3 微积分概念的发展 并非陌生者；对你对天真的人们在重大事情上的误导，我并非陌生者。就此而言， 你的数学知识并不能使你成为一个称职的审判者一。“普遍认为，你比别人理解 事物更加明晰，考虑问题更为周密，推理更加公正，做结论恰如其分。因而，你 重理性而轻宗教。作为一个自由思想家，我有权质疑当今数学家们的目的、原则 和论证方法。你们对宗教的原则和神秘的态度如何，你们想将人们领向何处，让 他们追随你们去做什么 。 贝克莱认为，数学家对宗教的神秘横加指责，却在科学上容忍了更大的神秘， 甚至谬误，流数学说便是一个典型的例子。这个以前被认为坚不可摧的理论，此 时便成为贝克莱攻击的靶子。他指出，流数术是一把万能的钥匙，借着它，数学 家打开了几何以至大自然的秘密。有了这把钥匙，他们才能在发现定理和解决问 题方面比古人做得更好。对此进行应用与实践成为他们超越前辈几何学家的主要 法宝( 如果不是惟一法宝的话) 。然而，这样的法术究竟如何呢? 是清晰，还是含 糊? 是相容，还是矛盾? 是经得起论证昵? 还是靠不住昵? 一 接着，贝克莱完整地引述了牛顿关少流量、流数、增量、首比、末比及瞬的 概念之后论述道：关于瞬，我们不能理解成有限分子，有限分子不是瞬，而是由 瞬产生出来的量本身。这就是有限量的初生原理。在数学中，最微小的误差也不 能忽略( 牛顿语) 。流数是速度，与有限增量不成比例，无论该增量如何小；对瞬 或初生增量而言，可以考虑它们的比，但对总量值却不行。流数中又包含着流数， 流数的流数称为二阶流数；这些二阶流数的流数叫三阶流数；如此下去又有四阶、 五阶、六阶以至无穷。你瞧，我们的感官己被这些极微极微的物体搞得精疲力竭 又迷惑不解。尽感官所能，也无法去构想最小时间间隔，以及由此生成的最小增 量为何物。理解瞬或流量的增量，在它们形成有限量之前，最初的存在状态，就 更难了。进一步去构想这样的初生的不完全实体的抽象速度，更是难乎其难，而 速度的速度，二阶、三阶、四阶、五阶速度，则完全超越了人类的理解力。 人们越进一步探寻这些漂忽的想法，就越是迷茫和不解。如果二阶流数就己不可 思议，我们又如何考虑三阶、四阶、五阶呢? 谁要能够领会二阶流数或三阶流数、 二阶微分或三阶微分，他就没有必要斤斤计较上帝的任何细节了。 贝克莱进一步批驳道，没有什么比设计一阶、二阶、三阶以及其他各阶流数 和无穷小量的符号、记法更容易的了，x 。，x ，x ，圹或d x ，d d x ，d d d ) 【，d d d d x ， 这些表示方式清楚明白，一眼就能看出它们的后续是什么。然而，如果剥掉这些 微积分概念的发展及其哲学解析 3 微积分概念的发展 伪装，不考虑记法，我们就会看到空洞、含糊和混乱，而且自相矛盾。 对于牛顿借助直观和演算得到的结论，贝克莱并不怀疑其正确性。“我对你的 结论不持异议，只是不能苟同你的逻辑和方法；你是如何证明的? 你精通的对象 是什么? 你是否真正明了? 你遵循的原理是什么? 它们有多么可信? 你怎样应用 它们? 黟 贝克莱也曾评论过莱布尼兹的微积分是错误的原理导致正确的