（电力电子与电力传动专业论文）磁浮列车悬浮系统的非线性鲁棒控制研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1l 页 a b s tr a c t a sa p e r f e c tv e h i c l eo nl a n d ，m a g l e vt r a i ni sc h a r a c t e r i z e db yh i g hv e l o c i t y , l e s se n e r g yc o n s u m i n g ，l o w e rn o i s e ，s a f e t ya n dc o m f o r t a st ot h em a g l e vv e h i c l e s y s t e m ，m a g l e vc o n t r o lt e c h n o l o g yi so n eo ft h em o s tn u c l e a ra n dk e yt e c h n i q u e s i nt h es y s t e m d u et ot h ei n h e r e n tn o n l i n e a r i t i e sa n do p e n - l o o pi n s t a b i l i t yo ft h e e l e c t r o m a g n e t i cs u s p e n s i o ns y s t e m s ，c o n t r o lo fi t ss t a b i l i t ym u s tb ea c c o m p l i s h e d t h r o u g hc o n t r o l l e r l i n e a rc o n t r o lt h e o r i e sh a v ep r o v i d e dm u c ho ft h eb e n c h m a r k d e s i g n p r o e e d u r e s f o rn u m e r o u sf u l l s c a l ev e h i c l e si n l a r g et e s tf a c i l i t i e s h o w e v e r , d u et oc o n s t r a i n t so fl i n e a r i z a t i o n ，t h e r e s u l t i n g t i m ea n d f r e q u e n c y d o m a i nc o n t r o l l e r sh a v er e s t r i c t e dc a p a b i l i t yt oc o p ew i t hs i g n i f i c i a n t c h a n g e si nt h es u s p e n d e dl o a do rl a r g ev a r i a t i o n si nt h eg u i d e w a yp r o f i l e b a s e d o nd i s s i p a t i v et h e o r y , r o b u s tc o n t r o lt h e o r yf o rn o n l i n e a rs y s t e m sc a nd e s i g na c o n t r o l l e rw h o s es t r u c t u r ea n dp a r a m e t e r si s u n c h a n g e dw h e nt h ec o n t r o l l e d s y s t e mi su n d e rt h ew o r s tc o n d i t i o n sa n dc a nm a k e 也ec l o s e dl o o ps y s t e m m a i n t a i nt h ep e r f o r m a n c ew i t hu n c e r t a i n t i e s t h e r e f o r e ，t h ep a p e rp u ts t r e s so n t h ea p p l i c a t i o no fr o b u s tn o n l i n e a rc o n t r o lt h e o r yt om a g l e vv e h i c l es y s t e m i nt h i sp a p e r , t h em a t h e m a t i c a lm o d e la n dt h eb a s i cs t r u c t u r eo ft h es i n g l e e l e c t r o m a g n e tl e v i t a t i o ns y s t e ma r ed i s c u s s e df i r s t l y t h ef a c t o r s ，w h i c h i n f l u e n c et h ep e r f o r m a n c eo ft h es y s t e m ，w i l lb ea n a l y z e da n dt h er e l a t i v e s o l u t i o nw i l lb eb r o u g h tf o r w a r df o rf u r t h e rr e f e r e n c e a f t e rt h a t ，b a s e do n d i s s i p a t i v et h e o r y ，an o n l i n e a r 日。c o n t r o l l e ri sd e s i g n e da n dt h em a g n e t i c s u s p e n s i o ns y s t e mb a s e do nt h ec o n t r o l l e ri ss t a b l ea n dr o b u s t a ni m p l e m e n t a t i o no ft h em a g l e vv e h i c l ec o n t r o l l e rb a s e do nd s pi s p r e s e n t e d t h eh a r d w a r ea r c h i t e c t u r ea n ds o f t w a r ed e s i g nf l o wa r ei n t r o d u c e di n d e t a i l t h e e x p e r i m e n tr e s u l t s s h o wt h e s y s t e mp r o p o s e d i sr e l i a b l ea n d s u c c e s s f u l k e yw o r d s ：m a g l e vt r a i n ；n o n l i n e a rc o n t r o l ：h 。；d s p 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 页 第1 章绪论 我国幅员辽阔、人口众多，随着国民经济的持续快速的发展和人民生活 水平的不断提高，人们对交通机构的要求也越来越高。铁路作为一个关系到 国计民生的部门，在国民经济中的地位和作用越来越突出，发展也越来越快。 如今德国、日本、法国等西方发达国家的高速铁路时速正在向3 0 0 k m b 推进。 高速轮轨列车的主要优点是高速、安全、舒适、高效率。但常规高速轮轨列 车的进一步提速将受到轮轨粘着极限的限制，并且它带来的噪声、振动影响 了生态环境及乘坐品质，轮轨磨耗增加了能耗及维修保养工作量。因此，上 个世纪7 0 年代以德国和日本为首的西方发达国家开始大力开发高速磁悬浮 列车技术，并将它作为未来超高速地面交通的重要模式。磁浮列车是一种采 用无接触电磁悬浮、导向和驱动系统的高速列车系统，因为它具有速度快、 平稳舒适、噪声低、占地面积小、爬坡能力强以及污染小等特点，近年来得 到了越来越广泛的重视。世界首条投入商业运行的磁悬浮列车线上海磁 浮列车示范线的顺利运行，对我国乃至世界的磁浮列车事业都产生了极大的 促进作用。可以预见，磁浮列车在未来将会得到更多的发展和应用。 1 1 磁浮列车的原理和特点 磁浮列车实际上是依靠电磁吸力或电动斥力将列车悬浮于空中并进行导 向，实现列车与地面轨道间的无机械接触，然后利用线性电机驱动列车运行。 虽然磁浮列车仍然属于陆上有轨交通运输系统，并保留了轨道、道岔和车辆 转向架及悬挂系统等许多传统机车车辆的特点，但由于列车在牵引运行时与 轨道之间无机械接触，因此从根本上克服了传统列车轮轨粘着限制、机械噪 声和磨损等问题。 磁浮列车从悬浮机理上可以分为电磁悬浮( e m s ) 和电动悬浮( e d s ) 。电 磁悬浮就是对车载的、置于导轨下方的悬浮电磁铁通电励磁而产生电场，磁 铁与轨道上的铁磁构件相互吸引，将列车向上吸起悬浮于轨道上，磁铁和铁 磁轨道之间的悬浮间隙一般约为8 - 1 2 m m 。列车通过控制悬浮磁铁的励磁电流 来保证稳定的悬浮间隙，通过直线电机来牵引列车行走。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 电动悬浮就是当列车运动时，车载磁体( 一般为低温超导线圈或永久磁 铁) 的运动磁场在安装于线路上的悬浮线圈中产生感应电流，两者相互作用， 产生一个向上的磁力将歹0 车悬浮于路面定高度，约为1 0 0 1 5 0 m m ，列车运 行靠直线电机牵引。与电磁式相比，电动式悬浮系统在静止时不能悬浮，必 须达到一定速度后才能悬浮。电动式悬浮系统在应用速度下，悬浮间隙较大， 不需要进行主动控制。 磁浮列车与常规的交通运输方式相比有很多特点，主要集中在： ( 1 ) 速度快。是陆上最快的交通工具，其速度仅次于飞机。 ( 2 ) 污染小。由于采用电力驱动，无有害气体排放。 ( 3 ) 乘坐平稳舒适、噪声低。其噪声是地上交通工具中最小的。 ( 4 ) 占地面积小。其占地面积与普通列车相近，比高速公路占地面积小 的多。 ( 5 ) 安全可靠。e m s 型悬浮高度大约i c m 左右，即使悬浮系统失效，应急 车轮也能支撑列车继续行进，不易出轨，比普通列车安全。 ( 6 ) 寿命长、维修费用低。由于没有车轮和铁轨的接触，其工作属于无 磨损运行，维修主要集中在电子技术方面，不需大量体力劳动。 1 2 磁浮列车悬浮控制技术简介 悬浮控制技术是磁浮列车的核心和关键技术之一“1 ，是一项高难度、高 复杂性的尖端科学技术。悬浮控制系统性能的好坏，将直接影响到磁浮列车 的稳定性、安全性和舒适性。磁悬浮列车控制的一个最基本要求是要保证磁 悬浮列车能够在一定程度的各种扰动作用下具有平衡稳定的悬浮。作用在磁 悬浮系统的外部扰动主要包括负载变化、驱动加速力和减速力、空气动力及 轨道的弯度、坡道和不平整带来的扰动力；内部扰动力则主要起因于控制系 统本身的非线性及传感器的测量误差等因素。我们可以从理论和实际的角度 来分析磁浮列车在控制系统设计时应考虑和解决的一些问题。 从控制方法角度上：对于电磁悬浮型的列车，由于电磁吸力和悬浮间隙 之间的非线性反比关系，系统开环不稳定。为了达到悬浮的稳定性，必须采 用控制装置，可以利用悬浮气隙的反馈对电流进行控制。传统的控制方式是 将非线性磁悬浮模型在平衡点处进行线性化，然后对该线性化模型进行反馈 控制。随着现代控制理论的不断发展，许多先进的控制算法都运用到了磁浮 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 列车的悬浮系统控制中。磁浮列车的自适应控制、模糊控制、滑模变结构控 制以及鲁棒控制等方法都被深入地研究过。 从控制器的实现角度：为了实现电磁悬浮的稳定控制而设计的磁悬浮控 制器，既可以通过模拟器件实现，也可以通过数字器件实现。采用模拟器件 实现控制算法的好处在于响应速度快、实时性好以及价格相对较低。但其缺 点也是显而易见的，比如温度漂移产生的稳定性和精度较差、不能实现复杂 控制算法、调试困难等。随着微电子技术和计算机技术的发展，数字系统正 以其集成度高、调试方便、易于加入各种成熟的控制算法的优势，特别是以 d s p 为核心的控制系统具有非常快的数据处理能力和良好的扩展能力，逐渐 成为控制系统发展的趋势，得到了越来越广泛的应用。 1 3 非线性系统的鲁棒控制研究方法 目前，针对非线性系统的鲁棒控制研究方法主要可分为两类：一是对非 线性系统进行反馈线性化，然后与其它线性鲁棒方法相结合实现鲁棒控制： 二是直接应用非线性控制理论，如变结构方法、l y a p u n o v 直接法、神经网络 方法、耗散方法等。 利用反馈线性化方法设计非线性系统的鲁棒控制律时，往往对系统所加 的限制过多，例如要求标称系统可以精确反馈线性化或者要求零动态子系统 具有最小相位等，这在一定程度上限制了其应用。 直接应用非线性控制理论对非线性系统进行鲁棒控制的一种很好的方法 是耗散方法。耗散理论提出了一种控制系统设计与分析的思想，即从能量的 角度，以输入输出的方式描述。耗散理论可以把一些数学工具与物理现象联 系起来，适用于许多控制问题。在机电系统、机器人等控制应用方面和自适 应控制、非线性h 。控制等控制方法方面，己经诞实了耗散是一种有效的方法。 将基于耗散理论的非线性鲁棒控制引入到磁浮列车的控制中，将会极大 的提高磁浮列车的稳定性和舒适性。 1 4 本文的研究内容 本论文以青城山试验示范线磁浮列车为背景，针对其悬浮控制系统的设 计与实现展开一些研究。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第4 页 首先以单电磁铁为研究对象，介绍了悬浮控制系统的基本结构和工作原 理，并在此基础上得到其动力学模型，对其非线性特点展开分析，为后面的 系统分析打下基础。同时对影响系统性能的各种因素进行了分析，并提出了 一些初步解决方法。 然后将非线性系统的鲁棒控制理论引入到磁浮列车悬浮控制系统的设计 中，经过分析和计算得到了基于耗散理论的状态反馈和输出反馈的h 。控制 器。 接下来，在悬浮控制系统模型和控制理论的基础上，进行了控制器的仿 真设计。 最后设计了数字控制器的硬件系统和软件系统。经过初步实验，表明该 数字控制器可以实现稳定悬浮并且具有良好的抗干扰能力。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 第2 章悬浮系统的动态模型及模型分析 磁浮列车是一个多电磁铁悬浮系统“3 ，它在空间上有六个自由度的运动。 由于常导吸力型磁浮列车采用磁轮或模块等控制概念，使得由多个电磁铁共 同悬浮的磁浮列车的每一对电磁铁都有独立的控制自由度。因此磁浮列车的 悬浮控制问题可以简化为单个电磁铁的悬浮控制问题，单电磁铁悬浮控制系 统的分析和设计就变得十分关键了。所以本文以后各章节主要讨论单电磁铁 悬浮系统动态模型的建立和控制器的设计。 2 1 单电磁铁悬浮系统的动态模型 我校研制的磁浮列车的轨道由高架梁支撑，使得轨道的弹性振动和形变 成为系统设计中必须考虑的因素。所以本文建立的单电磁铁动态模型采用绝 对参考模型，即在考虑悬浮体与导轨的运动关系同时考虑悬浮体、导轨相对 于绝对参考平面韵运动关系，如图2 - 1 所示。 i 晦 i f d 图2 - 1 单电磁铁悬浮动态模型 图1 中c ( t ) 为磁极和轨道间的气隙，h ( t ) j r t l ：lz ( t ) 分别为轨道表面和磁极表 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 面相对于绝对参考平面的距离，m 为规算到每个电磁铁承担的悬浮质量，厶 为外部干扰力，f ( i ，c ) 为电磁吸力，如为主极磁通，丸为气隙磁通，疵为漏 磁通。记n 为电磁铁线圈匝数，a 为有效磁极面积，j ( t ) 为线圈电流，u ( t ) 为 线圈两端电压，r 为线圈两端电阻，风为空气磁导率。 2 2 单电磁铁悬浮系统的动力学模型分析 在分析单电磁铁悬浮系统的动力学模型时，本文假设： ( 1 ) 忽略漏磁通丸即丸= 办。 ( 2 ) 忽略铁心和导轨中的磁阻，磁势均匀降落在气隙上。 ( 3 ) 电磁铁仅有垂直方向上的移动，其他方向受限无运动。 规定力的方向是向下为正，由牛顿第二定律可知，电磁铁在垂赢方向的 力学方程为： m 争一心圳，c ) + a t ) ( 2 - 1 ) 因为忽略了漏磁通以及铁心与导轨中的磁阻，电磁铁与浮体所成磁路的 磁阻主要集中在两者之间的气隙上，其有效磁阻为 肿者 由磁路的基尔霍夫定律可知： n i q ) s 妒o ，c ) r ( c ) 删；等= 掣 当电磁铁没有工作在磁饱和状态下，其磁链妒( c ) 为： 州妒一华器 电磁力可由它与磁场同能量的关系表示为： f ；! 丝垡：三2 o c 因为彬一y o 妒( f ，c 渺一u o a 面n 2 i ( t ) 一2 所以电磁力的表达式为： 西南交通大学硕士研究生学位论文 第7 页 啦，；掣；军u o a n 2 i ( t ) 2 一华躲t ，：。， 即，c ) ；墨掣；二警_ 。一华嘿】z ( 2 d cd c斗c l 式中负号表明力的方向是向上的。显然电磁吸力f 与气隙c 是成非线性 的平方反比关系，这正是电磁悬浮系统为不稳定系统的关键所在。 电磁铁绕组中电流与电压的关系由电磁感应定律得： h ( f ) e r i ( t ) + 华一r i ( t ) + d l ( i ，c ) f ( f ) 】 绕组中的电感舭) 一等= 丽n 而n i ( t ) ；雨9 2 ；筹 因此可以得到电磁铁绕组回路的电压方程： u ( t ) ；r i ( t ) + 阻( c ，f ) 砸) 】 。殿o ) + l a o n 2 a d i ( t ) 一型掣型 ( 2 “ 2 c ( t ) d t2 【c o ) 】2 d t 考虑到轨道作用面的变化，有如下关系： z o ) i _ i l ( f ) + c ( f ) ( 2 4 ) 综上所述，单电磁铁悬浮系统的动力学方程可由下面方程组完全确定： m z ( t ) a f ( i ，c ) + v l g + 正( r ) 咄，+ 锷鬻一帮警。， 删一学蝌 z q ) ；h ( t ) + c ( f ) 卜小学时心+ 丘 。， j z o ；c o + 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 2 3 单电磁铁的电流、电压控制模型 在单电磁铁模型中，对电磁力可以采取两种控制策略：电流控制和电压 控制。在小型的悬浮系统中，电压控制模型足以模拟真实系统，因为小型的 悬浮系统的电磁电流比较小，电磁功率很小，可以方便的实现线性的调节输 入到电磁线圈的电压。但是在较大的悬浮系统中，由于悬浮磁铁较重，电磁 部分电流势必较大，这样线性的调节输入到电磁线圈的电压不太容易实现， 这样的系统通常的做法是使用斩波器给电磁线圈供电，利用电流跟随的原理 来调节线圈的电流，一般而言，斩波器的电流跟随性能能做的很好，郎能跟 随系统要求的变化率变化的电流。 电流与电压两种控制策略相比较，有以下区别： ( 1 ) 控制策略的不同使物理模型发生变化。电压控制策略采用的是直接控 制线圈电压，间接控制电磁力；而电流控制策略则采用的是直接控制线圈电 流，达到直接控制电磁力的目的。 ( 2 ) 控制策略的不同使系统的数学模型发生改变。在采用相同的控制环节 时，电流控制策略比电压控制策略的特征方程低一阶。 ( 3 ) 两种控制策略对控制环节的要求不同。由于电流控制策略直接对电磁 力加以控制，系统的自稳定作用较强，对干扰信号的抑制能力提高，因此对 控制环节的要求相应降低。 ( 4 ) 两种控制策略的选择必须与运放电路的类型相适应。 电压控制方案的优点： 装置的模型更为精确，因而鲁棒性更好。 开环不稳定性较弱。 刚度很低，易于实现。 电流控制方案的优点： 控制装置描述简单，可满足大多数应用场合。 易实现简单的p d 或p i d 控制。 电流控制方案的控制系统结构为： 西南交通大学硕士研究生学位论文 第9 页 2 4 磁浮列车悬浮系统的性能分析 虽然在数学模型的推导中，磁浮列车的悬浮控制问题可以化简为单个电 磁铁的悬浮控制问题。但是实际中的磁浮列车的悬浮控制是一个十分复杂的 系统工程问题，其控制对象包括了轨道、电磁铁、转向架、二次系、车厢等。 每一对象的模型偏差以及各个对象之间相互作用，都会对悬浮控制系统的性 能产生影响。下面就从几个方面出发，对影响其性能的主要因素做一个简要 的分析，并提出其解决方法。 2 4 1 系统模型的影响 从悬浮控制系统本身来讲，它是一个典型的非线性系统，目前通常的做 法是将系统在平衡点处线性化，作为一个线性系统考虑来设计控制器。这就 不可避免地使控制器的适用范围变窄，在偏离平衡点较远处系统模型跟实际 模型的偏差较大，原先设计的控制算法和参数不再适用，从而造成系统性能 的降低。 对于这个问题的解决，可以从两个方面来考虑： ( 1 ) 着眼于悬浮控制系统本身，可以采用目前已经非常成熟的非线性系统 理论，具体分析系统的非线性特点，建立其非线性系统模型，进而利用该模 型来设计控制器。 ( 2 ) 抛开悬浮控制系统本身，采用当前先进的模糊控制、鲁棒控制、自适 应控制等理论，设计对系统本身依赖程度低、参数自适应能力强的控制器。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 这对于基于d s p 的数字控制系统来说，实现是相对容易的事情。 2 4 2 信号噪声的影响 从试验过程对信号中的观察可知：输入信号中常常混入了高频杂波成分。 这样在对相应信号进行处理时，高频杂波就淹没了有效信号，导致系统无法 正常工作。这些噪声包括：地线噪声、反射噪声以及串绕噪声等。 解决这个问题的方法有：实现电源间的良好隔离；增加总线系统的驱动 能力；提高控制器的软件和硬件的抗干扰能力。其中，最关键的是实现一个 性能良好的数字滤波器。 2 4 3 轨道共振的影响 磁浮列车系统由弹性支撑的轨道、悬浮电磁铁、推进直线电机、磁转向 架等部件组成，轨道及梁的结构频率( 即固有频率) 对整车运行的性能具有重 要的影响。当轨道的结构频率接近控制电磁铁的调节频率时，整个系统将产 生共振，轨道的结构频率跟其自身的结构、材料及尺寸有关。在设计轨道时， 必须根据车体的具体结构和性能要求，选择适当的轨道结构、合适的材料及 尺寸，以保证轨道具有较高的结构频率。这样就可以减少电磁铁与轨道之间 的气隙变化量和轨道变形之间的耦合程度，避开电磁铁的调节频率。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 第3 章悬浮系统非线性鲁棒控制策略 现实中的被控对象或多或少都具有非线性特性。线性数学模型一般都是 对被控对象在某一个平衡点邻域内的动态品质的近似描述。当这种近似描述 的误差超出允许范围内时，则必须要采用非线性模型来描述被控对象。 磁浮列车悬浮系统是一个典型的非线性系统，其非线性的特性是不可忽 略的。然而当前绝大多数磁悬浮控制器都是基于非线性磁悬浮系统在某个平 衡点的线性化模型而设计的线性控制律。当系统的平衡点改变时，系统的动 态特性会显著改变，此时，线性控制律往往不能满足系统稳定性的要求。因 此有必要基于磁悬浮系统的非线性模型设计磁悬浮系统的控制律。 因为磁浮列车悬浮系统在运行中会受到很多外界干扰的影响。另外，所 建模型的不确定性，设计所用控制对象参数的误差或控制器量测部件的误差 等也都将对系统形成广义的干扰。干扰对控制系统的影响是十分明显的，必 须考虑如何抑制干扰对系统的影响，使干扰输入对系统输出的影响足够小， 这也就是磁浮列车悬浮系统的鲁棒非线性控制问题。磁浮列车悬浮系统的非 线性鲁棒控制对提高系统的稳定性，改善系统动态特性有着十分重要的意义。 3 1 非线性鲁棒控制基础理论 严格讲，日。控制或日。鲁棒控制都是线性系统范畴内的概念。非线性系 统的日。控制只是借用了这样个名词和它的控制思想而已。这是因为非线 性系统其实是没有线性系统所特有的传递函数的概念，因而也就不存在。 范数的概念。从本质上讲，非线性珂。控制是一种厶增益约束控制，因而也 称为l 增益综合问题。又由于要限制扰动对系统输出的影响，又可称为干扰 抑制问题。或控制的理论基础是耗散理论。对于给定的能量供应率，如果 存在一个依赖于系统状态的非负能量贮藏函数，使得耗散不等式成立，则该 系统是耗散的。如果供应率是输入输出的l 范数之差，系统关于这样的供应 率是耗散的，则系统从输入到输出就满足厶增益约束条件。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第12 页 3 1 1 无源性与稳定性 考虑非线性系统；：富+ g 。如 c 。一， 其中，状态向量x e x ，j 为科空间中含原点的子集或者整个空间；“r ， 和y e n e 分别为p 维的输入信号和输出信号；f ( x ) 和h ( x ) 分别为n 维和p 维 的函数向量；g ( x ) 为n x p 维函数矩阵，分别记为： ，0 ) ； o ) ，2 0 ) ， ) ，占0 ) = g 。， )g ，： ) g t ，0 ) g ：， )占：0 )g ：， ) ； ； g 。t ( 算)g 。： ) 占。o ) 矗0 ) = 啊g ) 1 1 2 ) ； k ) 控制输入为零时的系统量；r 扛) 称为系统( 3 - 1 ) 所对应的自由系统。 设系统( 3 - 1 ) 所对应的自由系统具有平衡点x = 0 ，即f ( x 1 ；0 。 定义3 1 对于系统( 3 - 1 ) ，若存在半正定的函数v ( x 1( v ：盖一r ) 使得： 唯( 丁) ) - v ( x ( o ) ) si ：y r p 扣p ) d f ，v r ，0 ( 3 - 2 ) 对任意的输入信号g 月，都成立，则称系统( 3 一1 ) 是无源的。矿伍) 称为能量 存储函数，简称存储函数( s t o r a g ef u n c t i o n ) ，式( 3 - 2 ) 称为耗散不等式。 如果x 不是整个空间，即只考虑局部特性，那么耗散不等式不要求对任 意的输入u 都成立，而是对那么使状态停留在x 内的输入信号u 成立即可。 定义3 2 对于无源系统( 3 - 1 ) 及能量存储函数v ( x 1 ，若存在正定函数 q 伍) ，使得耗散不等式 y o f ”一y 0 ( 0 ) ) sf ：y r 0 扣扣f 一：q ( x ) d - t ：，y t ，0 ( 3 - 3 ) p ”vv 对任意得输入信号u 都成立。则称该系统是严格无源的。 显然，由上述定义可知，无源性是与系统的外部输入、输出信号相关的 概念。如果视y ( f ) ) 为系统在t 时刻所具有的能量总和，那么耗散不等式 ( 3 - 2 ) 的左端就代表系统从初始时刻t = o 到t 时刻的能量的总增量。如果 进一步把y r u 解释为伴随着输入m o ) 由外部注入到系统的能量供给率，那么 式( 3 2 ) 的右端就是由t = 0 到t 时刻从外部注入系统的能量总和。因此， 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 耗散不等式的物理意义就在于它表明系统的能量由初始时刻t = 0 到目前时 刻t 的增长量总是小于等于外部注入的能量总和。这就意味着无源系统的运 动总是伴随着能量的损耗。 再考察非线性系统 2 ；，o ) + g o ) “1 ( 3 - 4 ) y ； ) + d ( z ) h 定理1存在光滑可微的半正定存储函数v ( x ) 使得系统( 3 4 ) 是严格无源 的充分必要条件是该系统具有严格的k y p 特性。k y p 特性的条件式为： ，y ) 一忸呐1 ( 3 - 5 ) l g v ( x ) = h 1 ) i 3 ，1 2 耗散性与l ：性能准则 上节所介绍的无源性概念，反映了系统在运动过程中能量的损耗特性。 对系统耗散不等式的这种物理解释实际上是基于一种前提，即存储函数v ( x ) 表示系统在状态x 扛) 所具有的能量总和，y r u 代表单位时间内随输入信号注 入系统的能量供给率( s u p p l yr a t e ) 。 如果考虑更一般的供给率，即单位时间内由外部注入的能量为输入输出 信号的更一般的函数s ( “，y ) ，那么耗散不等式 v ( x 口) ) - v ( x ( o ) ) si ：s 以 ) ，y ( r ) ) d f ，v t = 0 ( 3 - 6 ) 同样反映了所对应的能量损耗特性。 定义6 5 考察系统( 3 - 1 ) 及能量供给率s m ，y ) ，若存在半正定的存 储函数v ( x ) ( o ) = o ) ，使得耗散不等式( 3 6 ) 对于任意的输入u 成立，则 称该系统对能量供给率5 ，y ) 是耗散的。 显然，无源性是耗散性的一种特例，即若系统对于供给率s ( x ，y ) = y r u 是 耗散的，那么就称该系统是无源的。在非线性控制理论中，还有一神重要的 供给率就是所谓的y 一供给率 s 0 ，_ ，) 一妄( r 2i i 1 1 2 一i l y l l 2 ) ( 3 7 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 4 页 其中，y 为给定证数，l i n i 表示向量“r 9 的e u c l i d e a n 范数。 如果系统( 3 - 1 ) 对于供给率( 3 - 7 ) 是耗散的，则称该系统是y 一耗散 的，如果系统( 3 - 1 ) 是y 一耗散的，那么注意到v ( o ) ；0 ，沿任意零初始状 态所对应的轨迹，不等式 。墨矿( x 口) ) 5 瓤o d l v t o ( 3 8 ) 对任意的输入u 都成立。即对认识t o ，有 f i f y ( r ) 4 乙r s y j o of t “p ) 2 d f ，v “r 一 ( 3 9 ) 如果进一步假设该系统对于任意“工：，有y ( ! l 2 ，那么，该系统作为输 入信号空间到输出信号空间的算子，其诱导范数j 1 0j i 满足 i o 成立。式中岛【o ，列表示扩展的厶空间。式( 3 - 1 0 ) 中不等式的左端为系统( 3 - 1 ) 的l ，范数的定义。若式( 3 - 1 0 ) 或式( 3 - 1 1 ) 成立，则称系统( 3 - 1 ) 具有小于或等于r 的厶增益。 当存储函数矿 ) 光滑可微时，耗散不等式( 3 - 6 ) 就可以等价地表示为 其微分形式 ”5 5 m ，y ) ，y t 苫0 ( 3 1 2 ) 或者y 一耗散不等式就等价于 矿i 。，三( r 2j k l 2 一i j _ ) ，i j 2 ) ，v r 苫o ( 3 一1 3 ) 综合上述讨论，可以得到这样的结论：对于给定的正数r ，若系统( 3 - 1 ) 是y 一耗散的，则该系统具有小于或等于r 的l 2 增益。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 3 1 3 l 2 增益与h d i 不等式 对于线性系统来讲，系统的l ：增益即传递函数阵的日。范数小于y 的充分 必要条件可以用r i c c a t i 方程的正定解的存在性来描述。如上所述，如果非 线性系统是r 耗散的，那么该系统的：增益小于或等于y ( r 0 ) 。因此， 定理3 i 的条件同样是系统的l ：增益小于或等于y 的充分条件。实际上可以 证明，在一定条件下，定理3 i 的条件等价于存储函数y r z l 满足适当的 h a m i t o n - - j a c o b i i s s a c s ( h j i ) 不等式，且系统具有小于r 的三，增益的必 要条件。这个结果与线性系统的结果是一致的。 考虑非线性系统( 3 - 4 ) ，如果 y 2 ，一d r 0 0 ) o , v x r “ ( 3 - 】4 ) 成立，那么可以选取( x ) 为 ，：1 珊( x ) t 警【y 2 i d r o ) d ) 】- ( 3 1 5 ) 二 由于此时埘( x ) 为可逆阵，取f o ) 为 f o ) = 一击珊4 0 ) 陋。矿o ) + 矿o y o ) 】r ( 3 1 6 ) 可以得到 l r 矿 ) s 一去矿0 ) 0 ) 一f 7 0 ) ，0 ) 二 - 一寺 7 冲o ) 一去【t 矿o ) + h 7 g m o ) 】4 0 o ) 【工。矿o ) + h 7 0 ) d ) r 即， 矿“) 满足h j i 不等式 l y ( x ) + 音旷 弘g ) + 寺陋；y “) + h 7 ) d q ) 】 【y 2 ，- d 7 m 0 ) 】【l 。y ) + o 矽0 ) rs 0 ( 3 - 1 7 ) 因此，根据定理3 1 有如下结论。 定理3 2 设式( 3 - 1 4 ) 成立。对于非线性系统( 3 - 4 ) ，存在光滑可微的半 正定存储函数v ( x ) ，使得系统是r 一耗散的充分必要条件是h j i 不等式 ( 3 - 1 7 ) 具有半正定解矿0 ) 。 当d 缸) - - o 时，h j i 不等式( 3 - 1 7 ) 等价于不等式 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 l t 矿 ) + k y ) y g ) + 毒 7 如妒g ) 】s 0 ( 3 1 8 ) 或者，等价地 v f ( x ) + 专尝g ( x ) g r 警 2 州3 川) 其中，业：f 里) ：。 舭a z 因此，由定理3 1 得如下结论：对于给定的y 0 ，非线性系统( 3 - 1 ) 对于光滑可微的存储函数y o ) 是y 一耗散的充分必要条件是y ) 满足 | j i 不 等式( 3 - 1 9 ) 。 如上节所述，若系统是r 一耗散的，则系统的厶增益小于y 。所以，存 在半正定函数矿( z ) 满足h j i 不等式( 3 - 1 9 ) ，同样是系统( 3 - 1 ) 具有小于或 等于y 的厶增益的充分条件。 实际上，在一定的前提下，系统具有小于或等于r 的厶增益同样可以称 为h j i 不等式( 3 - 1 9 ) 具有半正定解的必要条件。 3 1 4 非线性系统鲁棒性能设计准则 忙一a o ) + 且0 ) w + b a 姐 y c 2 0 ) + d 2 1 0 ) w ( 3 - 2 0 ) i z ；c 1 0 ) + d l ：o 弘 z 彤是系统的状态向量，“e r ”是系统的控制输入向量，y e r p 是系统 的输出向量，w e r 是系统的外部扰动，z 剐是系统的罚函数，亦称控制 输出。4 0 ) 、日 ) 、b 2 ) 、c 1 0 ) 、c 2 0 ) 、d 1 ：0 ) 、d 2 。 ) 均为光滑向量或 函数。 非线性h o o 控制实际上是要将外部输入w 对控制输出z 的影响减小到一 定水平，因此非线性h o o 控制问题也称为干扰抑制问题。用状态反馈实现干 扰抑制问题，就是要寻找控制律t l = a ( x ) 使得闭环系统( 3 - 2 0 ) 内部稳定并且 从外部输入w 到控制输出z 的厶增益小于或者等于一个给定的正数r 。即系 统关于供应率s ( w ，z ) 一，21 1 w 母) 0 2 一i l z o ) 1 1 2 是耗散的。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 7 页 对于非线性系统来讲，如果系统满足r = d 1 2 t * d l 。为正定矩阵的条件，那 么系统是r 耗散的充分必要条件是：存在光滑可微的半正定存储函数 v ( x ( t ) ) ，v ( x o ) = 0 。满足h a m i l t o n - j a c o b i i s a a c s ( h j i ) 不等式 k 7 f 彳+ 鸟w + 岛( 咖】+ f q + d l ：“r f c l + d 2 目一，2 w r w s o ( 3 2 1 ) 其懒加等 由此非线性日。问题转变成求解满足不等式( 3 2 1 ) 的一系列控制规律及 其相应存储函数的问题。由于( 3 - 2 1 ) 是一个偏微分不等式，很难获得其解 析解。本文采用t a y l o r 级数展开的方法进行求解，求解方法将在下面讲述。 3 2 带有干扰的磁浮列车悬浮系统非线性模型 第二章中方程组( 2 - 5 ) 描述了单电磁铁悬浮开环系统模型，显然它是一组 非线性方程。令： 而；z - z o t z 也。2 2 。* j b t i - i o t f 定义状态向量为x p ) * ( 缸o ) 2 p ) f p ) r 掣，n = 3 ；定义外部扰动向量 为w ( o = 【w l o ) w 2 0 ) r r 。，1 = 2 。则由方程组( 2 5 ) 可以得到以新的状态变 量表示，带有干扰的单电磁铁的状态方程( 3 2 2 ) 和输出方程( 3 2 3 ) ： 阡 艺p ) 一( 訾) f 糟卜 蔫蝎黼m ) + 错 西南交通大学硕士研究生学位论文 第18 页 + o l a m 1 o 嘲+ 0 o 赤 川1 0 0 】 豺x a t + g o 吣蝼习i ) i l 。孔v 1 ：p ) l 展0 0 0 以0 0 0 岛 0oo 0 0 0 睨 “o ) u ( t ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 - 2 4 ) 其中q 和许：是干扰输入的增益，局、觑、岛以及睨分别是状态变量和 控制输入在罚函数的权重。 3 3 磁浮列车悬浮系统的非线性h 。状态反馈设计 方程组( 2 - 5 ) 描述了单电磁铁悬浮开环系统，根据非线性l 2 增益干扰 抑制的方法，设计系统的状态反馈控制器就是要寻找到满足h j i 不等式 ( 3 - 2 1 ) 的u ( x ) 。 由鞍点条件，有： h b ，k o ) 嵋疗 s 日( 工，k 0 ) ，以厅】s h ( x ，v a x ) ，谛， 其中帚是最大控制干扰输入，厅是最小控制输入。 假设d d l ：d 1 ：，c f d l ：- 0 ，可以得到： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 帚= 昙r 2 量o ) 7 k p ) ( 3 2 5 ) 厅；一三d 。曰：o ) 7 v a x ) ( 3 2 6 ) 为了计算出满足以上鞍点条件的存储函数v ( x ( t ) ) ，把( 3 - 2 5 ) 和( 3 - 2 6 ) 代入到h j i 不等式( 3 - 2 1 ) ，有 n i x ，v a x ) - v x ( x ) 7 爿o ) 一五7 d 疗+ 善7 c r l c + ，2 1 帚7 帚s 0 ( 3 - 2 7 ) 因为求解h 3 i 不等式的解析解非常困难。这里采用t a y l o r 级数的方法来 求解近似解。 将，o ) 、g l o ) 、g ：o ) 分别用t a y l o r 级数表示，即4 0 ) ；血+ 4 2 + 0 ) 、 马0 ) = 马+ 曰，m 1 ) 、也0 ) 。b ：+ 岛【1 + 1 0 ) 。 那么可以把h 3 i 不等式( 3 - 2 7 ) 式用幂级数来表示成( 3 - 2 8 ) ： v a x ) t 2 1 4 ( x ) 忙1 + - + k o ) 【+ 1 拉a ( x ) t ”一厅【1 l r d 疗i 1 一一打冲1 7 d f f 1 1 + 石7 c 7 c p + ，2 坍1 + + 科f 谛 董o 上式中的。1 和扩1 分别指的是最大干扰输入和最小控制输入的第k 阶， 它们可以用下面的式子表示( 3 2 9 ) ： 1 ；专r 。 马1 扩屹o ) m 1 1 + + 骂o ) 陋f k ( z ) 1 2 】) 麝忙1 - 一寺j d - 1 岛“p 屹o ) 时1 1 + + 最( 力7 圪o ) 【2 | ( 3 2 9 ) 结合实际情况，本文求解了磁浮列车悬浮系统的二阶状态反馈控制器。 求解过程如下： 用t a y l o r 级数把系统( 3 2 3 ) 的， ) 、毋0 ) 、占2 0 ) 展开，由于只要求 二阶控制器，所以每个式子只保留前两项。 ，o ) 一彳c l k + 4 ( x ) 2 1 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 0 页 + o1o ( 袅 z o n 一每z o ) f 0 i 2 2 广 。 z 0 盹n 2 a 。i o 2 m z 0 2 ( 凝+ 姜z o ) i o l 。4 。气j o l t o n 。m 2 a , , , 1 3 。i 0 2 2 + 1 ：。：而2 一孑4 o 拍) 一专擘+ - 2 r 一争) 蝻+ z + 丢掣，+ 挚_ 2 9 1 ( 功篇g l 1 + 暑1 ( 石) 2 1l 9 2 0 ) 一9 2 + 9 2 ( x ) 2 1 0 l a 1 m 0 0 0 ， 面而 + 0 + ( 3 - 3 0 ) 由( 3 2 9 ) 式可知，要想求得厅”，必须先求出y o ) f ”。而y ) 2 】_ ，p x ，p 是下面r i c c a t i 方程的正定解 a 1 矿p + 硝1 1 + p ( ，4 b , t 1 1 曰1 【1 f b 2 1 1 h d1 列1 圹) p + o c l - 0 ( 3 3 1 ) 令口l a 2 1 ，岛一以一岛一1 ，d d l ，0 1 2 0 0 1 4 4 ，r = i 按照前面分析的方法，用m a t l a b 的鲁棒工具箱 曼0訾 一：斋 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 刊”。慝鬻 ( 3 3 2 ) 推导出系统的一阶状态反馈控制规律： “- 1 8 6 4 4 2 7 4 x 1 + 1 6 2 2 2 + x 2 - 3 6 4 1 + x 3 求解二阶状态反馈控制规律要比一阶的复杂“1 ，这里给出计算结果 弹【2 1 一- 6 0 9 1 4 4 7 6 0 1 4 x 1 2 + 2 4 2 4 6 4 7 + x l * x 3 2 6 7 0 3 7 2 5 。x l + 1 2 - 9 9 6 7 9 + x 2 2 + 5 0 9 9 1 + x 2 * x 3 - 1 6 5 9 3 + x 3 2 最终得到单电磁悬浮系统的非线性状态反