2017年第34届全国中学生物理竞赛复赛.pdf

第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 R 一 40分 一个半径为r 质量为m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为R 质量为M 的薄圆筒中 圆筒和小圆柱的中心轴均水平 横截面如图所示 重力加速度大小为g 试在下述两种情形下 求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率 1 圆筒固定 小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动 2 圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动 小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 R 1 1 如图 为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中 心轴的垂线与竖直方向的夹角 小圆柱受三个力作用 重 力 圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力 设圆筒对小圆柱 的静摩擦力大小为F 方向沿两圆柱切点的切线方向 向右 为正 考虑小圆柱质心的运动 由质心运动定理得 sinFmgma 式中 a 是小圆柱质心运动的加速度 由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动 小圆柱绕其中心轴转过 的角度 1 规定小圆柱在最低点时 1 0 与之间的关系为 1 Rr 22 1 22 dd dd arRr tt 考虑小圆柱绕其自身轴的转动 由转动定理得 22 2 1 22 d1d d2d Rr rFJmr trt 2 2 d2 0 d3 g tRr sin 1 6 g f Rr 可得小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动 是简谐振动 其振动频率为 联立上述方程 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 2 用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小 1和 2分别为小圆柱与圆筒转过的角度 规定小圆柱相对于大 圆筒向右运动为正方向 开始时小圆柱处于最低点位置 1 2 0 对于小圆柱和圆筒 由转动定理分别得 2 2 1 2 d1 2d rFmr t 2 2 2 2 d d RFMR t 22 12 22 dd21 dd FrR mMtt 设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直 方向的夹角 由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动 有 12 RrR 222 12 222 ddd ddd RrrR ttt 设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的 加速度为a 由质心运动定理得 sinFmgma 2 2 d d aRr t 2 2 d2 0 d3 Mmg tMmRr sin 12 3 Mmg f MmRr 可得小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动 是简谐振动 其振动频率为 联立上述方程 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 二 40分 星体P 行星或彗星 绕 太阳运动的轨迹为圆锥曲线 1cos k r 式中 r 是P 到太阳S 的距离 是矢径SP 相对于极轴SA 的夹角 以逆时针方向为正 k L2 GMm2 L 是P 相对于太阳的角动量 G 6 67 10 11 m3 kg 1 s 2 为引力 常量 M 1 99 1030kg 为太阳的质量 m 和E 分别为P 的质量和机械能 假设有一 颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线 地球绕太阳运动的轨道可近似为圆 两轨道相交 于C D 两点 如图所示 已知地球轨道半径RE 1 49 1011m 彗星轨道近日点A 到 太阳的距离为地球轨道半径的三分之一 不考虑地球和彗星之间的相互影响 求彗星 1 先后两次穿过地球轨道所用的时间 2 经过C D 两点时速度的大小 已知积分公式 偏心率 2 223 2 1 EL G M m 式中C 是任意常数 31 22 d2 2 3 x x xaa xaC xa 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 1 由题设 彗星的运动轨道为抛物线 故1 0E 彗星绕太阳运动的轨 道方程为1cos k r 机械能守恒 2 2 2 1 0 22 rd LMm mvGE mrr 当彗星运动到近日点A 时 其 径向速度为零 设其到太阳的 距离为rmin 由上式可得 2 2 minmin 2 LMm G mrr 2 min 2 23 E RL r GMm 2 22 d 2 d rML vG trm r 2 22 d d 2 r t ML G rm r 设彗星由近日点A 运动 到与地球轨道的交点C 所需的时间为 t 对 上式两边积分得 minmin 2 22 dd 2 2 3 EE RR rr E rr r tGM R ML r G rm r 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 min 31 22 d22 22 3333 3 E R EE EEE r E RRr r tGMGMRRR R r 3 2 10 3 27 E R t GM 由对称性可知 彗星 两次穿越地球轨道所 用的时间间隔为 6 26 40 10 sTt 2 彗星在运动过程 中机械能守恒 2 1 0 2 Mm mvGE r 式中v 是彗星离太 阳的距离为r 时的 运行速度的大小 2GM v r 当彗星经过C D 处时 CDE rrR 联立上述方程 可得彗 星经过C D 两点处的 速度的大小为 2 CD E GM vv R 4 4 22 10 m s CD vv 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 三 40 分 一质量为M 的载重卡车A 的水平车板上载有一质量为m 的重物B 在 水平直公路上以速度 v0做匀速直线运动 重物与车厢前壁间的距离为L L 0 因发生紧急情况 卡车突然制动 已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦 因数均为 1 重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为 2 2 1 若 重物与车厢前壁发生碰撞 则假定碰撞时间极短 碰后重物与车厢前壁不分开 重力 加速度大小为g 1 若重物和车厢前壁不发生碰撞 求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间 和走过的路程 重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程 并导出 重物B 与车厢前壁不发生碰撞的条件 2 若重物和车厢前壁发生碰撞 求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经 历的时间 卡车走过的路程 以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 1 若重物和车厢前壁不发生碰撞 卡车在水平直公路上做匀减速运动 设其加速度大小为a1 121 Mm gmgMa 112 1 Mm ag M 由匀减速运动公式 卡车从制动开始到静止时所用的时间t1和移动的距离s1分别为 00 1 1112 vvM t aMm g 22 00 1 1112 22 vvM s aMmg 重物B 在卡车A 的车厢底板上做匀减速运动 设B 相对地面的加速度大小为a2 22 mgma 2 22 mg ag m 从卡车从制动开始到重物对地面速度为零时所用的时间t2和重物移动距离s2分别为 00 2 22 vv t ag 22 00 2 22 22 vv s ag 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 因为 2 t1 即卡车先停 重物后停 若 s2 s1 L 重物B 与车厢前壁不会发生碰撞 因此不发生碰撞的条件是 222 12 000 21 212112 222 Mmvvv Lss aagMm 2 由上式可知 重物和车厢前壁发生碰撞条件是 2 12 0 21 2112 2 Mmv Lss gMm 设从开始制动到发生碰 撞时的时间间隔为t 此 时有几何条件 21 sts tL 重物在卡车停下后与车 厢前壁发生碰撞 重物在卡车停下前与车 厢前壁发生碰撞 21 ttt 1 tt 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 i 当 t2 t t1 即卡车在t1时停下 重物B 继续运动 在t 时与车厢前壁发生碰撞 卡车停下的时间和向前滑动的距离分别为t1和s1 同时重物相对于地面滑动的距离是 重物相对于车厢向前滑动的距离是 2 1212 2 0 20 12 12 112 22 1 22 M Mm v sv ta t g Mm 22 12 00 2122 112 112 22 Mm MvvM sss Mmgg Mm 2121 ssLss 如果 22 1212 00 2 2112 112 22 Mm MMmvv L ggMm Mm 即 满足时 在车已停稳后重物仍会向前运动并且撞上车厢前壁 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 从制动到重物B 与车厢前壁碰撞前 重物B 克服摩擦力做功 设在碰撞前的瞬间重物 B 相对地面的速度为v2 由动能定理有 22 2021 11 22 mvmvmg sL 2 1202 20212 112 22 Mm v vvg sLgL Mm 设碰撞后瞬间重物B 与卡车A 的速度均为v 由于碰撞时间极短 碰撞前后动量守恒 2 mvMm v 2 120 22 112 2 Mm vmm vvgL MmMmMm 碰撞过程中重物B 对 车厢前壁的冲量为 2 120 2 112 02 Mm vMm IMvgL MmMm 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 碰撞后 卡车和重物又一起运动了一段时间 2 11 vvm t gMm g g 再移动了 一段路程 2 2 2 120 12 11112 1 2 22 Mm vvm sgL ggMmMm 才最终停止下来 对于卡车而言 这是第二次停下来 重物撞上车厢前壁的时间是 02 2 2 vv t g 所以 从卡车制动到车和重物 都停下所用的总时间为 i 022 2 21 vvvm ttt gMm g g 卡车移动的总路程为 22 2 1120 i 2 1112 1112 1 2 M Mmmv m L sss MmMm g Mm 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 ii 当 t t1 即卡车还未停下 重物就与车厢前壁发生碰撞 也可以表示为 2 12 0 212 112 2 Mm M v Lss g Mm 21 sts tL 22 0201 11 22 v ta tv tatL 1212 22LLM t aaMm g 在碰撞前的瞬间 卡车A 的速度v 1和重物B 的速 度v 2分别为 10101 12 2LM vvatva Mm g 20202 12 2LM vva tva Mm g 碰撞发生 的时间 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 由碰撞前后动量守恒 可得碰撞后重物B 和卡车A 的共同速度v 为 2121 0 12 2mvMvmaMaLM vv mMmMMm g 121 g mMmaMa 由冲量定理和以上两式得碰撞过程中重物B 对车厢前壁的冲量为 12 112 2 2 LMgMm IM vvaaLm MmMm 卡车运动时间为碰撞前后的两段时间之和 ii 0 11 vv tt gg 卡车总路程等于碰前和碰后两段路程之和 22 ii2 0 101 11 1 222 vvmL sv tat ggMm 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 另解 将卡车和重物视为一个系统 制动过程中它们之间的摩擦力和 碰撞时的相互作用力都是内力 水平外力只有地面作用于卡车的摩擦 力 M m 1g 在此力作用下系统质心做加速度大小为 1g 的匀 减速运动 从开始到卡车和重物都停止时所经历的时间为 ii 0 1 v t g 系统质心做匀减速运动的路程为 2 0 1 2 C v x g 设制动前卡车和重物的质心分别位于 x1和 x2 制动后到完全停下卡车运动了路程s1 ii 两个质心分别位于 x 1 x1 s1 ii 和 x 2 x2 s1 ii L 于是有 ii 2 1 01212 1 2 C Mm smLvMxmxMxmx x MmMmMmg 由此可得 2 ii 0 1 1 2 vmL s gMm 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 四 40 分 如俯视图 在水平面内有两个分别以O 点与O1点为圆心的导电半圆弧内 切于M 点 半圆O 的半径为2a 半圆O1的半径为a 两个半圆弧和圆O 的半径ON 围 成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场 未画出 磁感应强度大小为B 其余 区域没有磁场 半径OP 为一均匀细金属棒 以恒定的角速度 绕O 点顺时针旋转 旋转过程中金属棒OP 与两个半圆弧均接触良好 已知金属棒OP 电阻为R 两个半圆 弧的电阻可忽略 开始时P 点与M 点重合 在 t 0 t 时刻 半径OP 与半圆 O1交于Q 点 求 1 沿回路QPMQ 的感应电动势 2 金属棒OP 所受到的原磁场B 的作用力的大小 MN OO1 P Q 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 MN OO1 P Q 1 在 t 0 t 2 时刻 金属棒OP 扫过的面积 11 O QOOPMO QM SSSS 三角形扇形扇形 2 2 11 22sincos 22 Stat aatat 2 1 2sin2 2 Stt a 通过面积S 的磁通量为 m BS 由法拉第电磁感应定律得 沿回路QPMQ 的感应电动势为 负号表示感应电动势沿 回路逆时针方向 即沿回路QPMQ 在 t 0 t 2 时刻 22 dd1 2sin21 cos2 dd2 m tt a Bta B tt 在 t 2 t 0 的离子 由静止开始被电场加速 经狭缝 中的O 点进入磁场区域 O 点到极板右端的距离 为D 到出射孔P 的距离为bD 常数b 为大于2 的 自然数 已知磁感应强度大小在零到 Bmax 之间 可调 离子从离子源上方的O 点射入磁场区域 最终只能从出射孔P 射出 假设如果离子打到器 壁或离子源外壁则即被吸收 忽略相对论效应 求 1 可能的磁感应强度B 的最小值 2 磁感应强度B 的其它所有可能值 3 出射离子的能量最大值 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 1 设离子从O 点射入磁场时的速率为v 由能量守恒得 2 1 2 qUmv 2qU v m 设离子在磁场中做匀速圆周运动 的轨迹半径为r 有 2 v Bqvm r 12mU r Bq 222 bDDbD rorr 则离子只能打到器壁或离子源外壁被 吸收 不能从P 射出 若离子从O 射出后只运动半个圆周即从P 射出 则 2 bD r 电子能够从P 出射 可能的磁感应强度 B 的最小值为 min 22mU B bDq 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 2 若 则离子将穿过上极板进入电场区域 被减速到 零后 又重新反向加速至进入时的速率 从进 入处再回到磁场区域 设这样的过程进行了k 次 然后离子将绕过两极板右端从下极板进入 电场区域被加速 再穿过上极板进入磁场时能 量增加到2qU 运动半径增加到 2 D r O D bD s P 1 21 1rrr 这样加速n 次后 离子做圆周运动的半径 rn为 1 n rnr 当满足条件 1 2 n bD krrnk r 21 bD r nk 或者时 离子可从P 处射出 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 另一方面 显然有k 1 且 221krDkr 212 DD r kk 21 bD r nk 11 2122 DbDD nknk kk 2 2 2 1111bknbkb 212 DD r kk 12mU r Bq max max 2222 DBDqa k rmU 式中 rmax是当 B Bmax时定出的 因此 k 为不大于 a 2 的最大自然数 a 2 1 2 n bD krrnk r 21 122 nk mUmU B rqbDq 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 21 122 nk mUmU B rqbDq 2222 2 222 222 2 222 222 2 222 222 111111212 212112121212 313113131312 1111112 22222 kn bbbb bbbbb bbbbb aaaaa bbbbb 3 离子被电场加速了n 1次后 其出射能量为 1EnqU k 值满足 2 a k 2 max 12nbkb 可得出射离子的能 量最大值为 2 maxmax 111 2 a EnqUbbqU 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 六 40 分 1914 年 弗兰克 赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能 级 从而证明了原子能级的存在 加速电子碰撞自由的氢原子 使某氢原子从基态激 发到激发态 该氢原子仅能发出一条可见光波长范围 400nm 760nm 内的光谱线 仅考虑一维正碰 1 求该氢原子能发出的可见光的波长 2 求加速后电子动能 Ek的范围 3 如果将电子改为质子 求加速质子的加速电压的范围 已知hc 1240 nm eV 其中h 为普朗克常数 c 为真空中的光速 质子质量近似为电 子质量的1836 倍 氢原子在碰撞前的速度可忽略 0 eV 0 85 eV 1 51 eV 3 40 eV 13 6 eV 1 由氢原子的能级公 式 可得氢原子的能 级图如图所示 2 13 6 eV 1 2 3 n En n 可见光光子能量的上限E 1和下限E 2分别为 1 min 1240nm eV 3 10eV 400nm hc E 2 max 1240nm eV 1 63eV 760nm hc E 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 要能观察到可见光范围内的光谱线 发生跃迁的两能级的 能量之差应在可见光的能量范围 1 63 eV 3 10 eV 之间 要仅能观察到一条可见光范围内的光谱线 由能级图可知 只能将氢原子激发到第二激发态 即能级 n 3 0 eV 0 85 eV 1 51 eV 3 40 eV 13 60 eV 氢原子第二激发态 n 3 到第一激发态 n 2 的能量差为 3 232 1 51eV3 40eV1 89eVEEE 氢原子从第二激发态跃迁到第一激 发态所发出的可见光的波长为 3 2 656nm hc E 2 要使氢原子能激发到能级 n 3 需要提供的能量至少为 3 131 1 51eV13 60eV12 09eVEEE 设电子质量为me 电子碰撞前后的速度分别为v1和v2 氢原子碰撞前后的速度分别 为u1 0 由题意 和u2 电子因激发氢原子而损失的能量为 E 被氢原子吸收为激发 能 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 动量守恒和能量守恒关系 122ee m vm vMu 222 122 111 222 ee m vm vMuE 222 21 21 220 eeeee mMmvm v vmmM vM E 此式是关于 v2的一元二次方程 注意到 v2为实的常量 故方程的系数应满足条件 2 22 11 2420 eeeee m vmMmmmM vM E 2 1 1 1 2 e ke m Em vE M 要使原子从基态仅激发到第二激发态 E 应满足 E3 1 E E4 1 4 1 12 75eVE 3 1 12 09eVE 综上可得 3 14 1 11 ee k mm EEE MM 12 10eV12 76eV k E 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 3 将电子换为质子 可得 3 14 1 11 pp k mm EEE MM 式中 mp为质子的质量 由上式和题给条件得24 17eV25 49eV k E 设加速质子的加速电压为V 由 k eVE e 为质子电荷 24 17V25 49VV 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 七 40 分 如气体压强 体积图所示 摩尔数为 的双原子理想气体构成的系统经历一 正循环过程 正循环指沿图中箭头所示的循环 其中自A 到B 为直线过程 自B 到A 为等温过程 双原子理想气体的定容摩尔热容为 5 2 R R 为气体常量 1 求直线AB 过程中的最高温度 2 求直线AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式 说明气体在直线 AB过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程 确定吸热和放热过程发生转变时 的温度c T 3 求整个直线AB 过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 1 直线AB 过程中任一平衡态的气体压强p 和体积V 满足方程 00 00 00 22 PPVV PV PV 0 0 0 3 2 P PPV V 根据理想气体状态方程有PVRT 式中T 是相应的绝对温度 2 2 0000 00 00 1339 2416 PPPV TVPVVV RVRVR 根据上式可知 当 0 3 4 VV 时 气体达到直线AB 过程中的最高温度 00 max 9 16 PV T R 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 2 直线AB 过程的摩尔热容量 Cm的定义有dd m QCT 由热力学第一定律有dddUQP V 由理想气体内能公式和题给数据有 5 ddd 2 V R UCTT 0 0 0 3 2 P PPV V 0 0 0 d531 d d22d mV PP VV CCRPV TVT 2 0 0 0 13 2 P TVPV RV 两边微分可得 0 00 2d d34 RVV TPVV 代入上式 0 0 2124 342 m VV R C VV 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 2 直线AB 过程的摩尔热容量 Cm的定义有dd m QCT 0 00 2d d34 RVV TPVV 0 0 2124 342 m VV R C VV 直线AB 过程中 体积V 变化如下 00 3 24 VV V dd 0 0 0 dd m TQ C VV 故 吸热 00 321 424 VV V dd 0 0 0 dd m TQ C VV 故 吸热 0 0 21 24 V VV dd 0 0 0 dd m TQ C VV 故 放热 系统从吸热到放热 转折点发生在 0 21 24 c V VV 2 0 0 0 13 2 P TVPV RV 00 35 64 c PV T R 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 3 直线AB 过程dd m QCT 0 00 2d d34 RVV TPVV 00 0 00 342124d ddd d3422 m PVVVVVR QCTV VVVRV 0 0 2124 342 m VV R C VV 0 0 216 dd 4 V QP V V 将此式两边对直线过程积分得 整个 直线AB 过程中所吸收的净热量为 0 0 0 0 2 0000 2 00 2 2162133 d 448 V V V V VV QP VPPV VV 直线 一个正循环过程中气体 对外所作的净功等于直 线AB 过程中气体对外 所作的功加上等温过程 中气体对外所作的功 0 0 0 0 2 00 00 2 000 00000 1 d 222 3d3 ln2 8282 V V V V PV WWWPVP V VPVV PVPPV V 直线等温 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 八 40 分 菲涅尔透镜又称同心圆阶梯透镜 它是由很多个同轴环带套在一起构成的 其迎光面是平面 折射面除中心是一个球冠外 其它环带分别是属于不同球面的球 台侧面 其纵剖面如右图所示 这样的结构可以避免普通大口径球面透镜既厚又重的 缺点 菲涅尔透镜的设计主要是确定每个环带的齿形 即它所属球面的球半径和球心 各环带都是一个独立的 部分 球面透镜 它们的焦距不同 但必须保证具有共同的焦点 即图中F 点 已知透镜材料的折射率为n 从透镜中心O 球冠的顶点 到焦点F的距离 焦距 为f 平行于光轴的平行光都能经环带折射后会聚到F 点 相邻环带的间距为d d 很小 可忽略同一带内的球面像差 d 又不是非常小 可忽略衍射效应 求 1 每个环带所属球面的球半径和球心到焦点的距离 2 该透镜的有效半径的最大值和有效环带的条数 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 1 Cross section of a spherical Fresnel lens 2 Cross section of a conventional spherical plano convex lens of equivalent power How a spherical Fresnel lens collimates light 菲涅尔透镜 Fresnel lens 又名螺纹透镜 多是由聚烯烃材料注压而成的薄片 也有玻璃 制作的 镜片表面一面为光面 另一面刻录了由小到大的同心圆 它的纹理是根据光的干 涉及扰射以及相对灵敏度和接收角度要求来设计的 第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试 特性 使用普通的凸透镜 会出现边角变暗 模糊的现象 这是因为光的折射只发生在介质的交 界面 凸透镜片较厚 光在玻璃中直线传播的部分会使得光线衰减 如果可以去掉直线传 播的部分 只保留发生折射的曲面 便能省下大量材料同时达到相同的聚光效果 菲涅耳 透镜就是采用这种原理的 菲涅尔透镜看上去像一片有无数多个同心圆纹路 即菲涅耳带 的玻璃 却能达到凸透镜的效果 如果投射光源是平行光 汇聚投射后能够保持图像各 处亮度的一致 其工作原理十分简单 假设一个透镜的折射能量仅仅发生在光 学表面 如 透镜表面 拿掉尽可能多的光学材料 而保留 表面的弯曲度 另外一种理解就是 透镜连