数学解题中的构造法思想.doc

声明: 本论文只作为封开县江口中学()内部交流使用,版权归作者所用,一切未经许可的盗用和转载将负法律责任。 数学解题中的构造法思想数学科 庞春英我们首先从下面例题的解法开始讨论：例：解方程组解法一：直接按照三元一次方程组的消元法解题 （略）。解法二：把原方程组改写为 利用方程根的定义，我们把a,b,c看成关于t的三次方程的三个根。根据韦达定理得：，因此原方程组的解为： 。比较例题的两种解法：解法一作为一般的方法，求解极为麻烦，运算量大；解法二则是构造一个满足问题条件的关于t的三次方程，构造的元件是a,b,c ，构造的“支架”是原方程变形的关系式“”。在解法二中，以问题已知元素或条件为“元件”，数学中的某些关系式为“支架”，在思维中构造了一种新的“建筑物”这种方法有一定的普遍意义。在解题过程中思维的创造活动的特点是“构造”，我们称之为构造性思维，运用构造性思维解题的方法称为构造法，即为了解决某个数学问题，我们通过联想和化归的思想，人为地构造辅助图形、模型、方程、函数以帮助解决原来的问题，这样的解题方法，可以看作是构造解题。早在公元前三百年左右，欧几里德为了证明素数有无穷多个，假设只有有限个素数，而构造一个新素数，从而证明了原命题。另外，古希腊人为了证明毕达哥拉斯学派的信条“万物皆为（有理数）”是不对的，构造一个边长为1的正方形，则它的对角线竟不是一个“有理数”。上述这些大概是数学史上最早采用构造法解题的例子吧。所谓构造法，其实质就是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。构造法体现了数学发现的思想，因为解决问题同获得知识一样，首先需要感知它，要通过仔细地观察、分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件；构造法还体现了类比的思想，为了找出解题的途径，很自然地联系已有知识中与之类似的或与之相关的问题，从而为构造模型提供了参照对象；构造法还体现了化归的思想，把一个个零散的发现由表及里，由浅入深地集中和联系起来，通过恰当的方法加以处理化为已有的认识，就自然形成了构造模型的方法。除此之外，构造法还渗透着猜想、试验、归纳等数学思想。那么，如何构造呢？关于构造法解题可以概括如下：1、 分析命题的条件与结论。2、 从命题的结构特征联想熟悉的数学问题或者考虑题目本身的意义，如几何意义，公式变形等。3、 构造新的数学模式（方程、函数、图形）。4、 研究新的数学模型的性质并求解。5、 然后将求解结论转化到原来的命题。6、 作出结论。构造法的内涵十分丰富，使用时不存在一个完全固定的模式可以套用，尽管如此，关于构造法的解题过程的模式还是可以用下列框图表示：对题设条件特征分析 方程 函数构 图形造 数列 复数等等所求的结 论通过创造 通过推演思维实现 实现转化（转化） 构造法在数学领域内有着很普遍的应用，有些数学题目看似困难、繁琐，当搭起构造的“桥”后不仅迎刃而解，而且有时会因构思的奇巧而拍手叫绝，常有一种“柳暗花明又一村”的感觉，因此构造法在许多数学问题的解题过程中显示出令人瞩目的特殊作用。一、构造法在数学解题中的应用（一） 优化解题途径有些数学问题虽不用构造法也可以解，但求解过程繁琐，若用构造法，往往可简化复杂的运算和讨论，使问题简捷获解。例：使抛物线上总有关于直线L：对称的两点，求a的范围析与解：用辅助点法、参数法等方法求解都很繁琐，若利用L：是第二、四象限角平分线这一特征，构造抛物线关于直线L的对称曲线，则可简捷求解，假设对称点存在，那么当且仅当上述两抛物线有相异交点，由得，注意到且， 代入 得。此方程应有两个不相等的实根，其充要条件为，解之得： 。（二）显露隐含条件运用构造思想分析题目的结构特征或数量关系，有助于挖掘含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。例：已知 ，求。析与解：将待求式看作一个整体，其数字特征提示我们研究之间的关系，从而发现隐含条件构造整体，亦有将上述两式对应项相加得（三） 沟通条件和结论的关系许多问题仅利用已知条件难于直接求解，需要按一定目标构造某种数学模型（如式、线、形、体等等）作为桥梁，沟通条件与结论之间的逻辑关系，才能求得结论。例：设，并且方程至少有一个实数解，试求的最小值。解：设是方程的一个实根，则代入方程可得，构造直线和圆（作变量），依题意直线和圆必有公共点，因此，圆心到直线的距离小于（或等于）半径，从而有 即 ，并代入方程得 和 ，解之即可知，当 时， 。（四） 促进数学相关知识的转化解综合题时，经常用到的构造图形解代数题，构造方程解几何题，构造函数求线段长或几何图形的最大值、最小值等方法，都能促进数学相关知识的相互转化。例：设 求证。证明：利用条件构造如图的两个使它们的斜边重合。记 ，则 ， ，。（五） 加强数学思想的运用诸如构造函数、构造方程、构造图形、构造整体、逆向构造等等，分别是函数思想、方程思想、数形结合、整体思想、逆向思维等数学思想的体现，可见，运用构造思想能强化基本数学思想方法的运用。例：求函数的值域。解：构造函数通过平方变形为方程，此方程表示：中心在原点的椭圆的上半部分，并与x轴交于两点，设它表示斜率为1的动直线，显然，当它过第一象限与曲线相切时，b取得最大值，当它过A点时，b取得最小值，由 得，由，得 ，将点坐标代入得，函数的值域为。综上所述，构造法不仅可以拓宽思路，创设出新的情境，提高分析问题和解决问题的能力，而且还能丰富我们的想象力，优化整体意识和创造思维。不仅如此，构造法内涵丰富、形式多样，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法。因此，我们还是可以从所构造的对象进行分类，使特点更为突出，规律更为明显。二、从所构造的对象不同进行分类（一） 构造命题1、 构造等价（或接近）命题如果遇到的数学问题直接证明（或求解）较困难时，可以构造其等价（或接近）命题，并通过证明其等价（或接近）命题成立，从而使原命题成立。 例：求证：面积等于1的三角形不能被面积小于2的平行四边形所覆盖。 分析：我们将命题译成数学语言：“若，则不在四边形ABCD内部。 此题若直接证明，不易找出它的证题思路，若转化为它的等价命题，问题就简化了。其等价命题是：若在四边形ABCD内部，则。证明：如图，只要过P作MNAB， ， ，同理，所以等价命题得证，从而原命题得证。2、 构造辅助命题在解答数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么，我们可以证明了辅助命题是真命题，原命题就迎刃而解了。例：正数为何值时，函数的最大值为？分析：在中学数学中，没有定理可以直接对例题作出回答，我们注意到在已知函数式中，有，且（定值），于是构造一个辅助问题：设都是正数，变量且（定值），求函数的最大值。解：将式两边平方可得 ，显然，当时， 取最大值为，注意到这时，取最大值为，由此可得辅助命题：设都是正数，变量（定值），则函数的最大值为，根据辅助命题，只需令代入，解得，这就是例题的解。（二） 构造数学关系有些问题可由题设给的数量关系，构造一种新的函数、方程和辅助式等具体数学关系，使问题在新的关系下实现转化，这样的方法称为构造数学关系法。1、 构造方程一般说来，利用辅助方程法的关键就是构造辅助方程，通常有这几种构造方法：（1）将条件等式或变形后的条件等式中的一个或几个数（或字母）看成未知数，使等式变成方程（组）。 例：设为正数，其中至少有一个不等于1，且，求证：或。 析与解：由条件转化为对数式得 把上式看成关于的齐次线性方程组，则方程组必有非零解。故，即，或。（2） 设置参数构造方程，这是对于代数中有些求值、化简或证明类型的问题常用的构造方法。 例：化简。 析与解：这是化简问题，设，显然问题变成求，把变形得，得辅助方程：，现在问题关键已从化简变为求的方程了，因式分解得，由于方程没有实数根，所以，即。（3）如果条件式符合或通过变形符合一元次方程韦达定理的形式，则通过韦达定理的逆定理来构造辅助方程，可使数学问题获得巧妙解决。 如对称形方程组一般都是把看成一元二次方程的两根，再通过解一元二次方程而获得原方程的解。（4）当题设或结论出现形如的关系式时，则可构造一元二次方程，从判别式来研究。例：求证证明： 构造方程，即 ，若存在实数使，则，如果不存在实数使，则没有实数解，故，即。（5）对于某些几何问题，常常利用图形的性质，结合几何定理、面积或体积公式，三角形中的正余弦定理来构造辅助方程。例：如图，圆内三条两两相交的弦，若，求证：为等边三角形。证明：设，由相交弦定理得 ， 化简得 ，三式相加得，由于，得，从而，所以，故为等边三角形。（6）利用三角公式变形把条件中的三角函数式化为关于某个三角函数的方程，然后利用方程根的性质求解。例：求的值。解：是的2倍，3倍，因此利用倍角、三倍角公式都可以化为的三角函数式，设，有，化成关于的形式，得。易得1，是方程的四个根，由韦达定理得，。（7） 有关行列式问题，可以联想齐次方程组的系数行列式，把行列式问题转化为齐次方程组来研究。例：求证：证明：要证行列式为0，联想相应的齐次方程组有非零解，因此构造方程组由于这个方程组有非零解，因此系数行列式为0，即2、 构造图形构造图形法是指对问题条件的数学关系有明显的几何意义或以某种方式将问题转化到几何图形中，藉助几何图形的性质，从而获得问题的解决的方法。构造图形法实际上就是用“形”研究“数”的方法，现代数学研究中，数形结合已作为一种重要的数学思想方法，借助图形，可以使许多数量关系，抽象的概念直观化、形象化，免去因计算而带来的冗长与枯燥乏味，下面介绍怎样构造图形解决数学问题。（1）利用概念的几何意义构造图形例：解方程。解：一般都用零点区间法讨论，但这种解法比较繁，但注意到绝对值的几何意义是数轴上点x到点c的距离,则本题可以化为最简单的几何问题解决。在数轴上标出3和5 ，从几何角度看本题的原意，是要在数轴上找到点x,使它到点3,5距离之和为3, 从图中不难得到所求的根,。 0 1 2 3 4 5 6 （2）利用方程的曲线构造图形方程的曲线是方程性质的直观形象的表现，寻找出代数对应的曲线就可以利用曲线的几何性质简洁求出方程的根，避免繁杂的代数运算过程。例：解方程。解：原方程化为，令，依几何意义知上式等价于求椭圆与直线的交点横坐标问题，解联立方程 ， 不难求得交点横坐标，即为原方程的根。（3） 借助函数图象构造图形中学许多数学问题可转化为函数问题处理，而函数又有相应的图象，借助函数图象分析，可使代数问题得到几何的直观理解，便于寻找解题途径，有化难为易之功效。例：求函数的最值。解：函数可看成，它在平面直角坐标系中表示连接和点的直线的斜率（如图），根据解析式的含义，实际上是求割线PM的斜率的最值，并且当PM转到PB、PA两切线位置，斜率过到最大值、最小值。由于在中， 即知PA、PB和斜率分别为0和，故。（4） 根据代数式特点设计图形有些代数式的数量关系，可以集中在特定的几何图形上，因此，设法构造出这一特定的图形并借助图形的性质，就可迅速使代数问题获得解决。例：设为锐角三角形，求证：。证明：本题用三角法证很繁，今构造图形如图，由A作，垂足为D，因为为锐角三角形，D必落在B，C之间，则，同理，。3、 构造函数构造函数法是指由题设条件及数量关系构想、组合成一种新的函数关系，使问题在新的关系下实现转化，通过对函数的研究使问题获得解决的方法。（1）直接法这种方法就是在审题的基础上，直接运用题目的条件或结论构造一个辅助函数，使问题发生转化，这是一种常用的方法。 例：求证：。 证明：如把左边的式子通分化简，不但计算量大，且易出错，但依据欲证的等式直接构造二次函数，显然，由定义域可知，这说明二次函数至少有三个不同的零点，所以，原式成立。（2）联想定理法观察题设条件特征，联想有关定理、公式、性质，往往有助于构造函数。例：试证：。证明：由等式左边特点，联想二项式定理，构造函数展开得两边求导得令得，。（3） 量代换法，即对题中的条件施行适当的变换，依据变换的式子构造一个辅助函数，由此达到求解的目的。（4） 结构模拟法，即观察题设条件或结论的结构模拟引入辅助函数。（5）变更条件法，即将题设条件适当变形，再依据变形后的式子构造函数。（6） 变换结论法，即将结论适当变形，使等式或不等式两边结构相似，然后，依此构造函数，得到原来题目结论。（7） 别式法，即根据二次函数，如果，则；反之，如果，则的性质，对某些问题可以构造二次函数，利用判别式证得。 4、 构造数列所谓的构造数列法就是根据问题的需要作出一个与原数列或题设条件有某种联系的数列，这个数列称为构造辅助数列。例：试证：。证明：设（其中n=1,2），为公差是零的等差数列于是，等式得证。我们不难发现，用构造法解题的巧妙之处不是在于直接去解决所给的问题A，而是构造一个与问题