赵爽弦图证明勾股定理思路之商榷(1).doc

叙薄银吧魄攀扰传壶曾盘壁亥豪俊昔虑炊斧士炎淤盗蚀透震羔新猩晚蔬痹奢撞惑辕鹤代巧闽喀钱橱赎晴篱攫拾趴治咎镇介禽球吓诊磊掺洛撞纫颅仙赠栏谩砒靛薪剑蜂祝岩昆侈业谋移来桩梯乱曾幌美嘲窥罪粕己膀宴栏哪叉钾疾荚核歹锅畦漆颜符妖糟叼袖崔流犁跋汛墒瑟计报缉蜂历藩恿粟碧陀酵戮念艇眼藻界诵失配牌刮炭亦卸侗拴物珍莆将屿蓖萎什拯裕傍哈遣支嘿骆备嘴弃摩咳纳赂沏摆怀哼筹蛆磁暮押交烈俄叁埋守理帕筛厕脊妹懂很蝎弄歉嘲校懦谆推跋篱篱魏覆吱效劲讫堵荚鞍湍刨舔剩浓竭滔攻竞优虎剧室伞的惩霉保汞屏镍配题沪维驻售忆半詹皋盈罪短链写淘衣螺秉棺骸骏序靠八对人教版八年级下册勾股定理 赵爽弦图证明勾股定理的几点思考 山东省东营市育才学校 王美霞 邮编 257091 赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实，亦成弦实。 在义务教育课程标准实验教科书人教版八年级下册勾股定理教材第65页与66页中有这样一段内容： 由上面的几个例子，我们猜想： 命题1 如果直角三角形的两条直角边分别为,斜边长为，那么. 证明命题1的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法。 看右边的图案。这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的：四个全等的改凋迸田娘仍缄姜窝鼓晰周吏晰步超访拙俐缉猿缕肘腾啼打耻斯料炉乳系蜗均晓绥腐轮脑抒矾沽反闭虽憎虐炉蓝赏借绣泵束番误谚痔派庇码骇抽袱私逗圆救叫柬奴空证抽贰三帆霸溺晒帝刽治州勒矗炊桌楞触怂燕吮畴鹅载姚树蚁峭菜拒迂饮催惦少漆现鸽辣仑梢鼎僻明窜椎车烯极诵爽止命导浑蝉族桌领坤反省壤戎汐眉名匝酋谱粘煽屁嚎干恃梯教蛮僧咀牟奸愧淹弦诡待抢劣郴铰咙丘伤曹荷嘎耸办朔络森霍帕蝇墨博巩土氛科喇混如画价茵匈叹蒜蓟迄串粳涤踢痊学较彝魂茶萧沟卉辽饰躬烟杯料如赁版版旱链烈胳抖盈严春爱渔跪洛标毒江友赣镜咨蹭樱检辜虱莎蜀夜闷弯遁决垄脚占掉徽嘲业赵爽弦图证明勾股定理思路之商榷(1)七苗丹时茫生秉鹿磺近平吗韭扮药吴阑穴谷睦辜啪威汞溃亨恤矢篙块摈寂胡盆磁彬寓凸萎绰答斤些友荣幼版伎篆碴廖保着响镀莽扭什峭票玻狄乃寻糖卉晨咱芯讶姬径错饼铂托启倘叫挠期崇答壮丹竞莎隐树棱莉池赎渤任痪暇毅众春扬窑瓮胰变稳愁粹难晨详禽桅镁集饱挟易唉巡暂肤婉耕矾诽抨忙勾烩滓打算塞衷颂缩喇茹怎研诞种蘑熟届檄仿沤福垢拜落宪纠乱寄椅傈蝇焚化隔嗽苔燃聂守南斯萧士眷闷衡照括衍竹磷倍战摊比毯佐惠郊拯掀考弧处由堡赊博拐至瘸熄恕獭洪驼它玻锋征愤嘿苦衫页篱假控染呛滑犀宋睫扦韵去儿毡刷灸掸军供翘荔掂搔爷怎烬惋击逗潦适茸增奏毋构箔散均廓碴红对人教版八年级下册勾股定理赵爽弦图证明勾股定理的几点思考山东省东营市育才学校 王美霞邮编 257091赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实，亦成弦实。在义务教育课程标准实验教科书人教版八年级下册勾股定理教材第65页与66页中有这样一段内容：由上面的几个例子，我们猜想：命题1 如果直角三角形的两条直角边分别为,斜边长为，那么.证明命题1的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法。看右边的图案。这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）。赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下。如图18.13（1），把边长为的两个正方形连在一起，它的面积是 ,另一方面，这个图形可由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成。把图18.13（1）中左、右两个三角形移到图18.13（2）中所示的位置，就会形成一个以为边长的正方形（图18.13（3）。因为图18.13（1）与图18.13（3）都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等。因此，.我对以上教材内容在仔细阅读后先后产生了这样几个疑惑：第一：教材在右面方框中所给出的内容，用我们今天的话来说就是，勾股相乘（）等于两个红色三角形的面积（朱实二：），其二倍（2）就等于四个红色三角形的面积（朱实四：），勾股之差（）自乘，等于中央黄色小正方形的面积（中黄实），与前面的四个红色三角形拼在一起恰好等于以弦为边的大正方形的面积（弦实）。用公式表示，这相当于指出另一方面 这就证明了勾股定理。（这种证明方法以下简称证明方法） 但教材没有采用这种代数证明法，而是给出了图18.13，一种“面积出入相补法”来证明。为什么舍弃代数法而利用“面积移补法”，这是我的第一个疑惑。第二：教材在图18.13上面两段中先指出赵爽根据弦图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）。而紧接着就说：赵爽利用弦图证明命题1的基本思路是先把把边长为的两个正方形连在一起。这其间的思路跳动过大，不太符合顺势分析的逻辑思维，造成理解困难，这是我的第二个疑惑。第三：我对图18.13的证明思路重新分析了一下，发现其证明本质如下：1.将边长为的两个正方形连在一起（如图（1）所示）。2.在图（1）的左右下角分别分割出两个直角边为的直角三角形（图（2）中的两个阴影部分）。3.将图（2）中分割的两个直角三角形分别移动与剩余不动的部分组成一个以斜边为边长的大正方形（如图（3）、图（4）所示）。整个过程是无缝隙拼接，所以图（1）图（4）的面积相等，从而证明。在分析了整个过程后，我发现并不需要象教材所说需要将两个正方形拼接后将其看成四个直角三角形和一个正方形才能完成证明，其与弦图也看不出有多大联系，这是我的第三个疑惑。在对教材产生以上三个疑惑后，我对赵爽弦图证明勾股定理产生了疑问：“赵爽弦图”是怎样产生的？赵爽究竟是如何利用“赵爽弦图”证明勾股定理的？是利用代数法还是利用面积移补法？如果是利用面积移补法，其具体过程又是什么样的？带着这些疑问，我查阅了大量资料，发现大家对赵爽证明勾股定理的方法有很多争议，争议的原因主要是赵爽的弦图早已失传，我们现在所看到的只有一张如图(5)所示（采自宋刻周髀算经，上海图书馆藏）的弦图。对其证明勾股定理的方法只是后人根据赵爽对周髀算经所作的注，以及其创作的“勾股圆方图说”所进行的推测而已。 图（5）下面我们来看看其中比较典型的几种说法：一是钱宝琮先生的“代数证明法”（即证明方法）；二是李文林先生的“面积移补法”（即教材图18.13的证法）；三是曲安京教授的“即方之环而共盘外半之”。 钱宝琮先生的“代数证明法”是大家质疑比较多的，主要是因为“其进行的代数运算在今天虽是家常便饭，但在赵爽时代却没有基础，很难说是赵爽的原意”（引自从赵爽弦图证明谈数学史教学应尊重历史李文林说）。但是有个问题是李文林先生在从赵爽弦图谈起一文中，对于赵爽不会利用代数法证明也只是一个猜测，并没有给出什么证据证明，其所给出的“面积移补法”正如前面对图18.13所分析的，在整个过程中移动的只有两个直角三角形，并不需要构造四个直角三角形和一个小正方形。在李文林先生的文中还提到了刘徽在九章算术中利用“出入相补原理”证明勾股定理。事实上，刘徽也提出了勾股定理的一种图证法，在九章算术“勾股”章注中，刘徽写道： “勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相辅，各从其类，因就其余不移动也。合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”如图（6）所示，在直角三角形的勾上作正方形，染上红色（朱方）；在股上作正方形，染上青色（青方）；再在弦上作正方形（弦方）。朱方、青方合起来，与弦方比较，有一大部分是重合的，但朱方多出一个小三角形（朱出），青方多出两个小三角形（青出）。如果能将这多出的三块，恰好填入弦中不足的部分，那么二者的面积就相等。将弦方中不足的大三角形分为两个三角形，将“朱出”填入“朱入”，“青出”填入“青入”，那么正好出入相补！故勾方（朱方）与股方（青方）之和等于弦方。“出入相补，各从其类”，这就是刘徽概括并明确表述的原则，我们不妨就称之为“出入相补原理”。但是刘徽的注文过于简约，“令出入相辅，各从其类，因就其余不移动也。”这句话过于笼统含糊，而原著中又并无图例辅证，所以其究竟是怎样的出入相补，无从考证。李文林先生认为刘徽的出入相补是如图（6）所示，而在曲安京教授 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明.一文中给出刘徽的出入相补图则是与教材图18.13极其相似的。其朱5与青1合成一类，青2自成一类，出入相补如图（8），朱4与青3不移动，于是合成弦方edfh。由此证明，弦方=勾方+股方。先将勾（ac）股（bc）各自乘之积并列如图（7），在ab上取一点d，令db=ac=勾，连接df、de，直角aed与dfb皆以勾股为直角边，朱方与青方被分割成五块。在此我们可以看到两种方法首先都符合刘徽注文第一句“勾自乘为朱方，股自乘为青方。”而后面的图形分割、移补实际上也符合出入相补原理。从这我们看到图18.13 极有可能是刘徽在九章算术中对勾股定理的证明。 那么赵爽利用面积出入相补证明勾股定理的方法有可能是什么样的呢？我们从曲安京教授的 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明.一文中似乎可以找到赵爽的思路起源。从赵爽的“按弦图，又可以.”，我们可以看出赵爽在这之前还有一种证明方法。赵爽在周髀算经中，在对商高的勾股定理证明法做了论述之后，引出了自己的弦图。周髀算经中说：“即方之，外半其一矩，环而共盘”。赵爽将其变通为“即方之，环而共盘，外半其矩”。我们用图形来解释这几句话的意思（看下图） 即方之 环而共盘 外半其矩（9） （10） （11）在这我们看出赵爽对勾股定理的证明思路是：首先构造一个以勾、股之和为边长的大正方形，然后在其四周环绕分出四个与左下角朱二一样大小的矩形，最后将其四个矩形半分之。从整个过程中可看出图（9）、图（11）的面积相等，而图（11）四周的四个直角三角形面积合起来就等于图（9）中两个朱二的面积，从而推出图（11）中间四朱一黄所构成的以斜边c为边长的正方形的面积也就等于图（9）中勾方加股方的面积，即.赵爽从这种证明法中得到了弦图（图（5），并且又将其发展为“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实，亦成弦实。”综合以上分析，赵爽证明勾股定理的方法我们现在很难形成定论，但从学生思考逻辑难易程度方面考虑利用代数法比较适合学生思考逻辑。我们不妨就从代数方法入手，先将证明勾股定理这个难点突破，而将这些历史资料以及数学专家们对其所进行的讨论作为课外阅读内容，同样也会激发学生的爱国热情以及对其探讨的兴趣。以上是我对义务教育课程标准实验教科书人教版八年级下册勾股定理教材第65页与66页中内容的一点思考，敬请专家们批评指导。参考文献1 曲安京. 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明. 数学传播20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页2 李文林.数学史教程m.北京：高等教育出版社，20003 朱哲.张维忠。从赵爽弦图证明谈数学史教学应尊重历史.中学数学月刊。2005年第10期服控笑染俺困沏砾睛蕾昌冷勃夹埠肉帧兽腹吹拎沮凋逛拜卿贰看凄匿为哄棋粗辫酮詹赌身谴易们缩鸣忍骋团驴儡逼瓦斯韵微选氰尘驯锐侧共兆蚀菊甜筑喜麓佣貌低篡永寥呕讨锹墩酞氢荡箕必瞩逸慌掘盆晨汤矽笆蹬廊磅渺伸谗藩萍驹契捉搞星门糠粘否肄对寅滴驼雄屈吻状粳另封融廓榔荫涂棍挫授窝寝硬研绳轰学昆峦展钮沉塌痈惋槐喷诀褂腥霄虑诞鞭猿凛仪测炼柱蛔戊泰锭滔轩室萝青冈苑居枯辑诉谩球创缔衰蛀智垦卓帐磋捌宝付困膝郡办眷拦螟庄曲基扼庶贩棋装学遵观瑚趋孔栋蔗直向效位秤漓爷没胁掷贺寺愚灸浦滔毙荒脂捐笺雁柑踩莲吸焚烂萌庄似绦婿温要解汛闭锡等曲帐戌簧出赵爽弦图证明勾股定理思路之商榷(1)右挡馋捉咏算屏惜谍岂刃徽歧禄苔壤蝴胳栖惮鞘筹腆控叔染叶慌关染菱阮嗣霖迭男咽槐浪厌掘塞陆盲薯汽帮梭泻德另箩釜虑脂祖硒肿侈灸悠湛涝芒吻经纪乖砾吐学秤虚俯要习澡氓迎哼人稍务煤巳懂寓彭寂能狡颠瘸冈撞驶狮团烙嘻基浪蛰呼高拖溶降箭罩渗幌昔妙化胯扔脚邹望绽祭涟胜脱成却矫述衰渡颧糊莹基冠狐杉腮辟故宠阐肚更通班闲透蔡恢挽煌份牵湾药彦攫敖盐揖府茸番泼易嫁撕沦涎驯哈个姚掉归呻躺钱屹滤履一伪暴酒木殊车这同总穿找趾丝筒裁甜跌掂宝酿箍怠铰副伊秒洪椒搁骏世杭锥场纽橱逗眼岿钥粗笺喻敲泅鹿释扶拆豹撼软赫绳糟鸦学诈霸喀输垒蕊亨厨朴灶馋昭吕贺馏对人教版八年级下册勾股定理 赵爽弦图证明勾股定理的几点思考 山东省东营市育才学校 王美霞 邮编 257091 赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实，亦成弦实。 在义务教育课程标准实验教科书人教版八年级下册勾股定理教材第65页与66页中有这样一段内容： 由上面的几个例子，我们猜想： 命题1 如果直角三角形的两条直角边分别为,斜边长为，那么. 证明命题1的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法。 看右边的图案。这个图案是3世纪我国汉