度高中数学 3.3.2 均匀随机数的产生同步辅导与检测课件 新人教A版必修3.ppt

3 3几何概型3 3 2均匀随机数的产生 概率 1 了解均匀随机数的概念 2 掌握利用计算器 计算机excel软件 产生均匀随机数的方法 3 会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题 基础梳理 1 随机数就是在一定范围内随机产生的数 并且得到这个范围内的每一个数的机会一样 它可以帮我们模拟随机试验 特别是一些成本高 时间长的试验 用随机模拟方法可起到降低成本 缩短时间的作用 2 随机数的产生方法 1 实例法 掷骰子 掷硬币 抽签 从一叠纸牌中抽牌 正多边形旋转器 或钟表式图形转盘等等 2 计算器或计算机模拟法 现在的大部分科学计算器都能产生0 1之间的均匀随机数 实数 例如 利用计算器的rand函数可以产生 0 1 上的均匀随机数 试验结果是区间 0 1 内的任意一个实数 而且出现任何一个实数是等可能的 有的函数型计算器用键产生 0 1 上的均匀随机数 计算机软件法 几乎所有的高级编程语言都有随机函数 借助随机函数可以产生一定范围的随机数 用excel软件中产生 0 1 上的均匀随机数的函数rand 来模拟 若要产生 a b 上的均匀随机数 可使用变换rand b a a 试验的结果是产生a b之间的任何一个实数 并且出现a b之间任何一个实数都是等可能的 若要产生 a b 上的整数随机数可使用取整函数 int rand b a a 得到a b之间的随机整数 并且a b之间的任何一个整数都是等可能出现的 思考应用 1 怎样利用计算器产生 0 1 之间的均匀随机数 解析 如图利用计算器可产生 0 1 内的均匀随机数 试验结果是出现 0 1 内的任何一个实数 且出现任何一个实数都是等可能的 故可以用上面的方法产生的0 1之间的均匀随机数进行随机模拟 解析 首先利用计算器产生 0 1 上均匀随机数x1 rand 然后利用伸缩或平移变换x x1 b a a就可以得到 a b 内的均匀随机数 试验的结果是区间 a b 内的任何一个实数 而且出现任何一个实数是等可能的 2 如果试验结果是区间 a b 上的任何一点 而且是等可能的 如何产生 a b 内的均匀随机数 3 如何理解用随机模拟的方法求概率 解析 利用随机模拟的方法求概率 实质上是先求频率 用频率近似代替概率 我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数 从而来模拟随机试验 其具体方法是 建立一个概率模型 它与某些我们感兴趣的量 如概率值 常数 有关 然后设计适当的试验 并通过这个试验的结果来确定这些量 自测自评 1 如图 分别以正方形abcd的四条边为直径画半圆 重叠部分如图中阴影区域 若向该正方形内随机投一点 则该点落在阴影区域的概率为 b 2 在面积为s的 abc的边ab上任取一点p 则 pbc的面积大于的概率是 3 在边长为2的正三角形abc中 以a为圆心 为半径画一弧 分别交ab ac于d e 若在 abc这一平面区域内任丢一粒豆子 则豆子落在扇形ade内的概率是 c 利用均匀随机数估计 的近似值 利用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积 并估计 的近似值 解析 用随机模拟的方法可以估算点落在圆内的概率为 这样就可以计算圆的面积 应用圆面积公式可得s圆 r2 所以上面求得的s圆的近似值即为 的近似值 1 利用计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 rand b1 rand 2 经过平移和伸缩变换 a a1 0 5 2 b b1 0 5 2 得到两组 1 1 上的均匀随机数 跟踪训练 c 利用随机模拟方法求概率 取一根长度为3m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大 解析 在任意位置剪断绳子 则剪断位置到一端点的距离取遍 0 3 内的任意数 并且每一个实数被取到都是等可能的 因此在任意位置剪断绳子的所有结果 基本事件 对应 0 3 上的均匀随机数 其中取得的 1 2 内的随机数就表示剪得两段长都不小于1m 这样取得的 1 2 内的随机数个数与 0 3 内个数之比就是事件a发生的频率 法一 1 利用计算器或计算机产生一组 共n个 0到1区间的均匀随机数 a1 rand 2 经过伸缩交换 a a1 3 3 统计出 1 2 内随机数的个数n1 4 计算频率fn a 即为概率p a 的近似值 法二 做一个带有指针的圆盘 把圆周三等分 标上刻度 0 3 这里3和0重合 转动圆盘记下指针指在 1 2 表示剪断绳子位置在 1 2 范围内 的次数n1及试验总次数n 则fn a 即为概率p a 的近似值 跟踪训练 2 假设小王家订了一份报纸 送报人可能在早上6点 8点之间把报纸送到 小王每天离家去工作的时间在早上7点 9点之间 1 小王离家前不能看到报纸 称事件a 的概率是多少 2 请设计一种随机模拟的方法近似计算事件a的概率 包括手工的方法或用计算器 计算机的方法 解析 如图 设送报人到达的时间为x 小王离家去工作的时间为y x y 可以看成平面中的点 试验的全部结果所构成的区域为 x y 6 x 8 7 y 9 一个正方形区域 面积为s 4 事件a表示小王离家前不能看到报纸 所构成的区域为a x y 6 x 8 7 y 9 x y 即图中的阴影部分 面积为sa 0 5 这是一个几何概型 所以p a sa s 0 5 4 0 125 答 小王离家前不能看到报纸的概率是0 125 2 用计算机产生随机数摸拟试验 x是0 1之间的均匀随机数 y也是0 1之间的均匀随机数 各产生100个 依序计算 如果满足2x 6 2y 7 那小王离家前不能看到报纸 统计共有多少为m 则m 100即为估计的概率 利用随机模拟方法求面积 利用随机模拟方法计算图中阴影部分 曲线y 2x与x轴 x 1围成的部分 的面积 分析 如右图所示 在坐标系中画出正方形 用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形面积之比 从而求得阴影部分面积的近似值 解析 1 利用计算机产生两组 0 1 上的均匀随机数 a1 rand b1 rand 2 进行平移和伸缩变换 a a1 0 5 2 b b1 3 统计试验总次数n和落在阴影内的点数n1 满足条件b 2a的点 a b 数 4 计算频率 即为点落在阴影部分的概率的近似值 5 用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为即为阴影部分面积的近似值 跟踪训练 3 曲线y x2 1与x轴正半轴 y轴正半轴围成一个区域a 直线x 0 直线x 1 直线y 1 x轴围成一个正方形 向正方形中随机地撒一把芝麻 利用计算机来模拟这个试验 并统计出落在区域a内的芝麻数与落在正方形中的芝麻数 解析 如下表 由计算机产生两例0 1之间的随机数 它们分别表示随机点 x y 的坐标 如果一个点 x y 满足y x2 1 就表示这个点落在区域a内 在下表中最后一列相应地就填上1 否则填0 分别统计0和1的个数 古典概型与几何概型的综合问题 一条直线型街道的两端a b的距离为180米 为方便群众 增加就业机会 想在中间安排两个报亭c d 顺序为a c d b 1 若由甲乙两人各负责一个 在随机选择的情况下 求甲 乙两人至少一个选择报亭c的概率 2 求a与c b与d之间的距离都不小于60米的概率 解析 1 两个报亭由甲 乙随机选择一个 属于古典概型 共有4个基本事件 记m表示事件甲 乙两人至少一个选择报亭c 则m中包含3个基本事件 根据古典概型概率公式 2 构设变量 设a与c b与d之间的距离分别为x米 y米 集合表示 用 x y 表示每次试验的结果 则所有可能结果为 x y 00 y 0 记a与c b与d之间的距离都不小于60米为事件m 则事件m的可能结果为m x y x 60 y 60 0 x y 180 作出区域 如图所示 试验全部结果构成区域 为直线x y 180与两坐标轴所围成的 abc 而事件m所构成区域是三条直线x 60 y 60 x y 180所夹中间的阴影部分 计算求解 根据几何概型公式 得到所以 a与c b与d之间的距离都不小于60米的概率为 跟踪训练 4 已知等腰rt abc中 c 90 1 在线段bc上任取一点m 求使 cam 30 的概率 2 在 cab内任作射线am 求使 cam 30 的概率 1 本课时是在前几节学习过整数随机数和几何概型基础上 进一步学习均匀随机数的产生方法及如何应用均匀随机数进行随机模拟试验来求几何概型的概率近似值和不规则圆形的面积近似值等实际应用问题 2 随机模拟试验是研究事件概率的重要方法 用计算器或计算机模拟试验 首先需要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型 也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量 我们主要从以下几个方面来考虑 1 由影响随机事件结果的量的个数