人员公平分配的一个数学模型.docx

3人员公平分配的一个数学模型贾礼平 , 宋际平(乐山师范学院 数学系 , 四川 乐山 614004)摘 要 :通过对人员分配问题的研究 ,给出了一个基本于一种分配标准下的管理人员分配的非线性整数规划模型和算法 ,通过实例并利用 l ingo 软件验证了算法的有效性.关键词 :人员公平分配 ; 算法 ; 数学模型中图分类号 :o221 . 4m r( 2000) :54c10文献标识码 : a文章编号 :1009 1734 (2005) 02 0006 03引 言0人员分配问题来源于 1788 年美国宪法 ,如何公平分配名额一直是人们研究的一个热点问题. 经过200 年的研究 ,人们已经形成了一套“公平”分配的方法 ,如 q 值法、dho ndt 法、局部不公平度法 、贪婪算 法. 参见文献 1 、 2 、 3 .本文给出一种在满足某种准则下名额公平分配的数学模型 ,借助初等数学知识和数学软件给出一种快速分配方法.人员公平分配的一个算法1n设有 n 方参加资源分配 , 第 i 方的人数为 n i ( i = 1 , 2 , l , n) , 记 m = ni . 现有 n 个席位可供分配 , 第i = 1ni 方实际分配的席位为 n i ( i = 1 , 2 , l , n) , 显然 n = n i , 这里 n , n i 为整数 , 第 i 方每个席位代表人数i = 1 ni m为 ai =n , 在整个分配中平均每个席位代表人数为 a =.m我们有 :结论 1结论 2结论 3nn n ni iai = .ma为了公平 , 每方至少有一个席位 , 至多有 ni 个席位 , 即 m n n.对于这个问题 , ai ( i = 1 , 2 , l , n) 最后只能为整数. 对第 i 方 , 当 ai ( i = 1 , 2 , l , n) 取整后 , 每aa i = a ( ai + ai )ni= a ( 1 +) , 这里 = ai . 显然 ( i = 1 , 2 , l , n) 越大 ,席位代表的人数为=iii ai ai ai ai 第 i 方越吃亏 , 应优先照顾.其实在分配过程中 , 我们并不知道 n i ( i = 1 , 2 , l , n) , 为了解决结论 3 中的问题 , 即照顾i ( i = 1 , 2 , l , n) 大的系 , 我们给出一个分配标准.标准 :为了要求各 ai ( i = 1 , 2 , l , n) 尽量接近 , 要求 z = ma xa i 最小 , 当然要求 z = mi na i 最小也可以.ii收稿日期 :2005 02 063基金项目 :乐山师范学院科研资助项目 (2004a16) .作者简介 :贾礼平 (1976 - ) ,男 ,陕西山阳人 ,乐山师范学院数学系讲师 ,研究方向 :最优化理论及应用学.第 2 期贾礼平 ,等 :人员公平分配的一个数学模型7在上述分配标准下 , 我们先给出一种快速算法 , 然后在这种思想指导下建立一个数学规划模型.算法 :s t ep0 输入各 ni ( i = 1 , 2 , l , n) , n 以及 m ;计算各 ai ( is t ep1= 1 , 2 , l , n) ;s t ep2 判断 :若 ai ( i = 1 , 2 , l , n) 全为整数 , 则令 n i = ai ( i = 1 , 2 , l , n) , 输出 , 否则转 s t ep3 ;nn ai ai , 对i ( i计算i ( i= 1 , 2 , l , n) 和剩下的席位 r , 这里 r = n -s t ep3= 1 , 2 , l ,=i = 1i = 1n) 较大者的 r 个方分配席位 n i = ai + 1 .s t ep4 去掉已经分配的 r 个方 , 对剩下的 n - r 方分配剩下的 n - n i 个席位转 s t ep1 .r人员公平分配的数学模型2基于上面的标准以及算法 , 建立数学模型 :mi n zni ;s. t.z = ma xn inn i = n ;i = 11 n i ni , 且 n i ( i = 1 , 2 , l , n) 为整数.这是一个整数非线性规划 , z , n i ( i得上面规划的最优解 , 对其简化为 :mi n z= 1 , 2 , l , n) 为待求变量 , 我们可借助非线性规划的理论和方法求ni ;s. t. z n inn i= n ;i = 1 n i ni , 且 n i ( i= 1 , 2 , l , n) 为整数.1解法可参见文献 4 、 5 .应 用3某工厂共有 1 000 名职工 , 235 人在 a 车间 , 333 人在 b 车间 , 432 人在 c 车间. 工厂领导把 10 个技术人员分到这 3 个车间中去 , 试用某种标准合理分配宿舍的委员数.我们用算法 , 先计算出每个车间人数占工厂总人数的百分数以及按比例分配的人数 , 如表 1 .表 1每个车间人数比例及按比例分配的人数车间人数 / 人每个车间人数比例 / %按比例分配的人数 / 人ab c总数2353334321 00023 . 533 . 343 . 2100 . 02 . 353 . 334 . 3210= a 1 0 . 35 a2 0 . 33 a3 0. 35由于 r = 10 - (2 + 3 + 4) = 1 ,1= 0. 175 ,2= 0. 11 ,3 = a1 2 a2 3 a3 4= 0. 875.1 较大 ,把剩下的 1 个名额分给 a 车间. 这样分得 a 车间为 3 名 ,b 车间为 3 名 ,c 车间为 4 名.按照上面的简化后有数学模型mi n ma x zi = 1 , 2 , 3湖 州 师 范 学 院 学 报2005 年8 235 ;s. t.zn 1 333 ;zn 2 432 ;zn 33n i = 10i = 11 n 11 n 21 n 3 235 ; 333 ; 432 ;= 1 , 2 , 3) 为整数.n i ( i利用 l i ngo 软件计算得出 n 1 = 3 , n 2 = 3 , n 3 = 4 , z = 111 . 同上面算法得出的结果一样.结 论4我们知道 , 人员公平分配是相对的 2 , 故对不同的分配标准 , 我们就有不同的所谓“公平”分配 , 只要我们认可一种分配的准则 , 则我们的分配就是公平的.参考文献 : 1 肖华勇 ,田铮 ,师义民. 资源公平分配的一种贪婪算法j . 运筹与管理 ,2000 ,9 (2) :3742 . 2 刘来福 ,曾文艺. 数学建模与数学模型 m . 北京 :北京师范大学出版社 ,2002 . 177184 . 3 姜启源 ,谢金星 ,叶俊. 数学模型 m . 北京 :高等教育出版社 ,2003 . 262268 . 4 姚恩瑜 ,何勇 ,陈仕平. 数学规划与组合优化 m . 杭州 :浙江大学出版社 ,2003 . 6979 . 5 朱德通. 最优化模型与实验 m . 上海 :同济大学出版社 ,2003 . 408440 .a mathemat ical model ing f or fa ir allocat ion of personnelj ia l ipi ng , so n g j ipi ng(depa rt ment of mat hematic s , l e shan teacher s college , l e shan 614004 , chi na)abstract :in t hi s p ap e r , t he a ut ho r s st udy t he p ro ble m of allocatio n of p e r so n nel , t he n p re se nt s a mat he2matical mo deli ng a nd al go rit h m fo r f ai r allocatio n of p er so nnel by so me ki nd of crit erio n , a nd fi nall y p ro ve s t he validit y of t he mo deli ng a