题目虽小有容乃大——对高考数学浙江卷文科第16题的思考.pdf

第 3 3 卷第 1 l 期2 0 1 4年 1 1 月 数学教学研究 4 5 题 目虽小 有容乃大 对 2 0 1 4 年高考数学浙江卷文科第 1 6 题的思考 樊正红 南京市溧水区第二高级中学2 1 1 2 0 0 2 0 1 4 年高考 已经落下帷幕 但 留给我们 教学一线教师的思考还在继续 2 0 1 4年浙江 高考文科的第 1 6 题 静中有动 平中见奇 该 题结构特征明显 人 13 较宽 可以从多个角度 思考求解 细细赏玩 感觉韵味十足 笔者寻 找问题解决的多种途径 揭示其数学本质 通 过一题多解丰富解题的思路 拓宽解题的视 野 下面笔者就此题的解法一一细述 以飨读 者 试题 2 0 1 4年浙江省高考数学 文 1 6 已知实数 a 6 c 满足 a 6 c o n 6 f 一1 则a的最大值是 本题设计力求情境熟 人口宽 方法多 并且贴近学生的实际 它考查了函数与方程 函数与不等式 直线与圆位置关系等知识的 运用和转化 考查了函数与方程思想 数形结 合思想 转化与化归思想等中学数学核心思 想方法 是一道具有深刻内涵的高考 大 题 具有很强的导向作用 以下多视角的解答探 求 把求最值的精彩 形与数 动与静 放与 缩 等与不等 常量与变量 一般与特殊 代数 与几何 演绎得的淋漓尽致 1 不等式的应用 解法 1 运用不等式 b c 2 b c 由a 6 c o 得 6 c 一一口 该式两边平方得 b c z 2 b c a z 又 由a 0 6 c 0 1得 6 0 c 2 1 一a 带 人 式 得 2 b c 2 a 一 l 再由熟知的不等式 b c 2 可得 1 a 2 a 1 解 得一 譬 所 以 n 的 最 大 值 是 譬 我们已经知道 应用不等式 b f 2 2 b c 可以解决问题 那么能否用其他不等式求解 呢 解法 2 利用基本不等式 字 由口 6 c 0 移项 平方得 a 6 c 代入a b c 1 得 6 c 6 c 专 即 6 c 一6 c 去 一 由上述不等式得 6 c 字 丢 解 之一 譬 c 而n 一 b l 故 n 一 消 元 后 由 等 式 6 f 一 丢 很 自 4 6 数学教学研究 第 3 3卷第 l 1 期2 0 1 4年 1 1 月 然地想到两者的不等关系 即基本不等式 而 a的最大值就是 b c的最小值 构思合理 水到渠成 解法 3 利用二维柯西不等式 利用二 维柯西不等式 6 c 6 c 1 1 得a 2 1 一口 即3 a z 2 所以a 的最大值是 解法 4 运用 向量不等式 利用向量不 等式 j j l l i l ml l l i 构造向量 设 l 一 6 c l 一 1 则i c l l m l l i m1 f l l 一 毋 即 6 f 2 6 f 下同新解 4 2 方程的视角 事实上 两式 n 6 c 一0 n 6 c 一 l 组成了一个三元二次方程组 何不从方程 组 有解的角度考虑问题 解法 5 将 6 一 口 一c 带入到 n 十b 2 c 一1中 消去 b得 2 c 0 2 a c 2 a 0 1 即2 f 0 2 a c 2 a 一1 0 这个关于 c 的一元二次方程要有实数解 故 一 2 口 4 2 2 a 一 1 i o 解得一 口 所以n的最大值是 此种方法采用消去其中一个元 剩下两 个元 然后用主元法 将其中一个视为主变 量 解法 6 由已知易得 r 6 c 一 一 口 1 1 b c a 一 告 b c 是方程 z a x 口 一去一 的两根 a 2 4 12 2 丢 0 解 得 a 2 号 故 n 的 最 大 值 是 尽管是使用 了判别式的方法求解 解法 6中用韦达定理构造 了一个新方程有实数根 的情形 解法 7 将 a f b c o两边平方后得 n 0 6 0 c 0 2 a b 2 b c 2 a c o 由口 6 c 一1得 口 il 6 c c a 一去 设 a b c t 则 口 6 c 是方程 一 口 6 c b c c a x a b c o 即lz 一去z 一 一0 的 3 个根 设 厂 z 一z 一去z t 3 x 一 告 0 得 一 如图 1 当极大值点在 轴上时 即 一 一 时 口 取得最大值 此时 f x 一 z 一 譬 故 盘的最大值是 解法 5 6 分别通过消元 韦达定理建立 一 元二次方程 再利用判别式求解 解法 自 然 解法 7 通过建立三次方程 利用导数工具 求解 解法大气 第 3 3 卷第 1 1 期2 0 1 4 年 1 1 月 数学教学研究 4 7 3 几何的视角 我们把 a视为参 数 6 f视为变量 为 了 与我们的平时符号习惯一致 将 b c 分别用 z y替换 则有 z 一一n 一1 a 其中 x 一一口表示 一条直线 用 表示该 直线 x 一1 一a 表示 以原 点 为圆心 一 1 一n 为半径的圆 记该圆为圆 o 由于 点 z 同时满足直线 z 与圆o 的方程 说 明直线 z 与圆o有公共点 这就揭示了代数 问题的本质 可以利用直线与圆的位置关系 来求解问题 解法 8 直线 z 3 一一口与z 十 1 一口 有公共点 故 圆心 0到直线 z的距离 d 不大于圆的半径r 即d r 应用点到直线距 离公式得到 厢 整理得 n 2 当直线 z 与圆o相切时 n分别取得最 大值和最小值 由此可知 n的最大值是 解法 9 设 a 口 a b b b c c f 则 a b c 3 点都在函数 的图像上 当 口 b c互 不 相 等 时 a b c 的重 心 为 g a b c 柳g 0 吉 设b c的中点为d 由 2 茄 易得 d 一 丢 口 1 一 1 a 2 由 题 意 知 点 d 在 表示的区域内 吉一吉口 n 解得一 由求解的过程可知 当 b c两点重合 时 n 一 故口的最大值是 根据式子结构特征 为数配形 解法 8 清晰的几何背景 不难联想得数形结合 这样 就找到了解决问题 的捷径 联 系到直线与圆 的位置关系求解 解法 9联想到重心坐标 公 式 构造抛物线上的点进行求解 解法巧妙 4函数的视角 解法 1 0 将 6 一一口 一c 带人到a 6 c 一1 中 消去 b 得 2 c 十2 a c 2 a 一 1 即n c a c 一 一o 解得 一一c 2 3 c 2 一c 一 2 3 c 2 口一 一戥 一 现要求 a的最大值 则 c 应取负值 并且 n 一 号 将口视为 自 变量c 的函数 求导得 n 一 2 2 3 2 令 a t 0 得c 一 一 等 带 人 计 算 得 口 的 最 大 值 通过消元转化为两个元的函数关系 解 出所求的量 再运用求导等方法求出相应最 值 尽管此题的导数解法与上述几种解法相 比不显得简便 但作为 通法 思 路清晰 学 生容易接受 5 三角的视角 解法 1 l 利用三角代换 由b c 1 一n 联想三角代换 设 b c o s 0 j f c s i n 0 v q 带人 口 6 c o 得 口 c o s 0 1 一n s i n 0 1 a o 即 n s i n 孚 0 整理得 s in 升詈 一 卜 a 口 e 一 1 1 下转第 5 1页 第 3 3 卷第 1 1 期2 0 1 4年 1 1 月 数学教学研究 5 1 c o s gm n一 bc o 又t a n b c o 所以 c s g m n 一 号 所 以 m n 一 詈 一 z 为 圆 半 径 下同 点评命题人在知识的交汇处命题 即 由若干个知识点浓缩成一个题 作为解题人 的考生就需要 由这个题发散 出知识点 并选 择好解题方法 本题关键是圆的半径怎么研 究 从三角形的知识出发就是 mn 从直线与 圆的知识出发就是研究 m 点到直线 b c的 距离 体现了通性通法 考察了学生的能力 4 层次分明 难易适中 让学生不再畏惧数学 在 普通高中数学课程标准 中提出 学 校的数学教育应该使学生掌握数学的基础知 识 基本技能 基本思想 是学生表达清晰 思 考有条理 使学生具有实事求是的态度 锲而 不舍的精神 使学生学会用数学 的思考方式 解决问题 认识世界 数学高考是让很 多考生头疼 的事 更有 传言 得数学者 得天下 让考生对数学是既 爱又怕 老师也是为了考生能拿高分 把题 目 一 而再再而三加深研 究 让教学脱离课程标 准的要求 让学生越来越来畏惧数学 失去了 我们教学的 目的 总之 一份高考卷要承载太多的功能 让 每个人都满意是件非常不容易的事 太简单 了 大家都会做没有区分度 太难了 大家都 不会做 又失去了考试选拔的意义 所以找准 一 个平衡点显得非常重要 笔者认为 这份试 卷 让优秀生和后进生都有发挥的空间 优秀 生也能拿到 高分 由此看来 2 0 1 4年江苏高 考卷是一份成功的 值得肯定的试卷 收稿 日期 2 0 1 4 0 8 1 0 上接第 4 7页 解得 3 a 2 2 由此可知 口的最大值是 解法 1 2 由 n 6 c 0 a 6 c 一1 消去 a得到关于 b c的二元二次方程 b b c c 一 去 这样原问题可转化为 已知实数b c 满足b b c c 一告 求 b c 的最大值 由于实数 b c既可 以同号 又可 以异号 而 目标是求 一6 一c的最大值 故 b c 应 同时 为负 此时 联想余弦定理有 b c 2 b c c o s 1 2 0 一告 构造三角形 应用正弦定理得 b c 一 s i n 6 0 a 一 从而 一 一 s i n 6 o o b 一 s i n o o 当 a 3 0 时 b c取得最大值 是 即