高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解课件 新人教A版必修1.ppt

第三章函数的应用 3 1 2用二分法求方程的近似解 1 会用二分法求方程的近似解 重点 2 明确精确度 与近似值的区别 易混点 3 应用二分法解题时 会判断函数零点所在的区间 难点 1 二分法的定义对于在区间 a b 上 且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 连续不断 f a f b 0 一分为二 零点 2 二分法的步骤给定精确度 用二分法求f x 零点近似值的步骤如下 1 确定区间 a b 验证 给定精确度 2 求区间 a b 的中点c 3 计算f c 若f c 0 则 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 4 判断a b是否达到精确度 即若 则得到零点近似值a 或b 否则重复 2 4 f a f b 0 c就是函数的零点 a c c b a b 1 判一判 正确的打 错误的打 1 所有函数的零点都可以用二分法来求 2 函数f x x 可以用二分法求其零点 3 二分法只可用来求方程的近似解 2 想一想用二分法求方程的近似解时 如何决定步骤的结束 提示 看清题目要求的精确度 当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度 时 则二分法步骤结束 1 二分法的实质二分法就是通过不断地将所选区间一分为二 逐步逼近零点的方法 找到零点附近足够小的区间 根据所要求的精确度 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点 2 理解二分法的概念时要注意的两点 1 二分法是求函数零点近似值的一种方法 根据题目要求的精确度 只需进行有限次运算即可 2 它的依据是函数零点的判定定理 即根的存在性定理 3 用二分法求函数零点的近似值的两个关键点 1 初始区间的选取 既符合条件 包含零点 又要使其长度尽量小 关键词 选初始区间 2 进行精确度的判断 以决定是停止计算还是继续计算 关键词 判断精确度 4 二分法在求方程近似解中的应用 1 根据函数的零点与相应方程解的关系 求函数的零点与求相应方程的解是等价的 所以求方程f x 0的近似解 可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解 2 对于求形如f x g x 的方程的近似解 可以通过移项转化为求函数f x f x g x 的零点的近似值 然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解 二分法的概念 下列函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中函数零点的是 答案 b 二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是 其图象在零点附近是连续不断的 且该零点为变号零点 因此 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用 对函数的不变号零点不适用 1 已知函数f x 的图象如图 其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为 a 4 4b 3 4c 5 4d 4 3 解析 由图象知函数f x 与x轴有4个交点 因此零点个数为4 从左往右数第4个交点两侧不满足f a f b 0 因此不能用二分法求零点 而其余3个均可使用二分法求零点 答案 d 求函数f x x2 5的负零点 精确度0 1 思路点拨 先确定f 2 与f 3 的符号 再按照二分法求函数零点近似值的步骤求解 用二分法求函数的近似零点 互动探究 只将本例中的 负 改为 正 呢 解 由于f 2 10 故取区间 2 3 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算 列表如下 根据上表计算知 区间 2 1875 2 25 的长度是0 0625 0 1 所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值 所以其近似值可以为2 1875 1 利用二分法求函数近似零点应关注三点 1 要选好计算的初始区间 这个区间既要包含函数的零点 又要使其长度尽量小 2 用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间 3 根据给定的精确度 及时检验所得区间长度是否达到要求 以决定是停止计算还是继续计算 2 利用二分法求函数近似零点的流程图 2 证明函数f x 2x 3x 6在区间 1 2 内有唯一零点 并求出这个零点 精确度0 1 解 由于f 1 10 又函数f x 在 1 2 内是增函数 所以函数在区间 1 2 内有唯一零点 不妨设为x0 则x0 1 2 下面用二分法求解 求方程2x3 3x 3 0的一个正实数解 精确到0 1 思路点拨 要求方程2x3 3x 3 0的正实根 可转化为用二分法求函数f x 2x3 3x 3的正的零点 故首先要选定初始区间 a b 满足f a f b 0 然后逐步逼近 用二分法求方程的近似解 解 令f x 2x3 3x 3易知函数f x 2x3 3x 3在r上为单调递增函数 经计算 f 0 3 0 f 1 2 0 所以该函数在 0 1 内存在零点 且为该函数的唯一正数零点 取 0 1 的中点0 5 经计算 f 0 5 0 f 1 0 所以该函数在 0 5 1 内存在零点 如此继续下去 得到函数零点所在的区间 如下表 用二分法求方程的近似解应明确两点 1 根据函数的零点与相应方程的解的关系 求函数的零点与求相应方程的解是等价的 求方程f x 0的近似解 即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解 2 对于求形如f x g x 的方程的近似解 可以通过移项转化成求形如f x f x g x 0的方程的近似解 解后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解 3 求方程lgx 3 x的近似解 精确度0 1 解 分别画函数y lgx和y 3 x的图象 如图所示 在两个函数图象的交点处 函数值相等 因此 这个点的横坐标就是方程lgx 3 x的解 由函数y lgx与y 3 x的图象可以发现 方程lgx 3 x有唯一解 记为x1 并且这个解在区间 2 3 内 设f x lgx x 3 利用计算器计算得 f 2 0 x1 2 3 f 2 5 0 x1 2 5 3 f 2 5 0 x1 2 5 2 75 f 2 5 0 x1 2 5 2 625 f 2 5625 0 x1 2 5625 2 625 因为 2 625 2 5625 0 0625 0 1 所以此方程的近似解可取为2 625 思想方法系列 五 求n次方根的近似值 函数与方程的思想 跟踪训练 求方程x2 2x 1的一个近似解 精确度0 1 解 设f x x2 2x 1 f 2 10 在区间 2 3 内 方程x2 2x 1 0有根 记为x0 取2与3的平均数2 5 f 2 5 0 25 0 2 x0 2 5 再取2与2 5的平均数2 25