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文档简介

分部积分法 前面我们在复合函数微分法的基础上 得到了换元积分法 换元积分法是积分的一种基本方法 本节我们将介绍另一种基本积分方法 分部积分法 它是两个函数乘积的微分法则的逆转 问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则 分部积分公式 一 基本内容 注 分部积分公式的特点 等式两边u v互换位置 例1求积分 解 一 令 显然 选择不当 积分更难进行 解 二 令 分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u v一般来说 u v选取的原则是 1 积分容易者选为v 2 求导简单者选为u 分部积分法的实质是 将所求积分化为两个积分之差 积分容易者先积分 实际上是两次积分 例2求积分 解 再次使用分部积分法 总结 若被积函数是幂函数和正 余 弦函数或幂函数和指数函数的乘积 就考虑设幂函数为 使其降幂一次 假定幂指数是正整数 例3求积分 解 令 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积 就考虑设对数函数或反三角函数为 这样使用一次分部积分公式就可使被积函数降次 简化 代数化 有理化 目的 宗旨只有一个 容易积分 例4求积分 解 总结 例5求积分 解 注 本题也可令 分部积分过程中出现循环 实质上是得到待求积分的代数方程 移项即可求得所求积分 注意最后一定要加上积分常数C 例6求积分 解 注意循环形式 例7 解 例8 解 若设 则上述计算公式可表为 递推公式 例9 解一 令 解二 直接分部积分 对 分子分母同乘以 令 或 分子分母同乘以 令 解三 彻底换元 令 则 例10 分析 解 分子分母同乘以 令 例11求积分 解 令 例12 解 类似地有 解 两边同时对求导 得 合理选择 正确使用分部积分公式 二 小结 思考题 在接连几次应用分部积分公式时 应注意什么 思
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