高中数学 2111 平面的基本性质课件 新人教A版必修2.ppt

2 1空间点 直线 平面之间的位置关系 2 1 1平面 一 阅读教材p40 43 回答下列问题 1 因为几何里的平面是无限延展的 所以需要时可以将平面任意 通常画表示平面 2 当一个平面的一部分被另一个平面遮住时 应把被遮住部分的线段画成 3 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上的点都在这个平面内 即这条直线在这个平面内 延展 平行四边形 虚线 所有 符号表示 a l b l 且a b 如图 l 4 公理2 经过的三个点 有且只有一个平面 即三点确定一个平面 5 公理3 如果不重合的两个平面有一个公共点 那么它们有且只有一条经过的公共直线 若平面 和 有且仅有一条公共直线l 就说平面 和 l叫做 记作 符号表示 与 不重合 p p 与 有一条交线l 且p l 不在同一条直线上 不共线 这个公共点 相交 交线 l 二 解答下列问题1 点a在直线l上 又称直线l经过点a 记作 点a不在直线l上 又称 记作 2 点a在平面 内 又称 记作 点a不在平面 内 又称 记作 3 直线l在平面 内 又称平面 经过直线l 记作 直线l在平面 外 又称平面 不经过直线l 记作 a l 直线l不经过点a a l 平面 经过点a a 平面 不经过点a a l l 4 直线a与b相交于点a 记作 直线l与平面 相交于点a 记作 平面 与 相交于直线l 也称作直线l是平面 与 的交线 记作 5 点a是平面 与 的公共点 能记作 a吗 不能 因为两个平面如果有一个公共点 就必有一条经过这个公共点的公共直线 因此 应表示这条公共直线 而不是一个点 a b a l a l 本节学习重点 三个公理 本节学习难点 公理的理解与应用 点 直线 平面位置关系的符号表示与画图 1 反映平面基本性质的三个公理是研究空间中点 直线 平面位置关系的最基本的依据 是构成立体几何知识体系的基础 1 公理1反映了直线与平面的位置关系 是判定点 直线是否在平面内的依据 可运用公理一证明点 直线在平面内 判定点在平面内的步骤是 先判定直线在平面内 点在直线上 由此得出点在平面内 公理一的另一个作用是用来检验平面 2 公理2是确定平面的依据 确定 的含义是 有且仅有 即 存在一个平面 且 只有一个平面 3 公理3是判定两平面相交的依据 也是证明点共线或线共点的依据 应用公理3判定点共线 或点在直线上 的步骤 点是某两个平面的公共点 直线是这两个平面的交线 则点在直线上 2 要逐步熟悉用集合语言来表达空间几何元素间位置关系 掌握文字语言 符号语言和图形语言的相互转化 例1 若点q在直线b上 b在平面 内 则q b 之间的关系可记作 a q b b b q b b c q b b d q b b 解析 解法1 直接法 点q在直线b上 q b 直线b在平面 内 b 应选b 解法2 排除法 点q与直线b之间的关系是元素与集合之间的关系 只能用符号 或 表示 c d应予排除 直线b与平面 之间是集合与集合之间的关系 只能用符号 或 表示 a应予以排除 应选b 点评 直线 平面都看作点的集合 但是用符号表达直线与平面之间关系时 应该用 或 不能用 等 将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述 并画图形表示 l a l ab ac 解析 文字语言叙述为 点a在平面 与平面 的交线l上 ab ac分别在 内 图形语言表示如右图 点评 文字语言比较自然 生动 它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来 我们教科书上的概念 定理等多以文字语言叙述 图形语言 易引起清晰的视觉形象 它能直观地表达概念 定理的本质以及相互关系 在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用 故应下功夫掌握三种语言的相互转化 例2 已知 abc的边ab bc在平面 内 判断ac是否在平面 内 解析 ab在平面 内 a点一定在平面 内 bc在平面 内 c点一定在平面 内 点a 点c都在平面 内 直线ac在平面 内 公理1 点评 将上述证明过程用符号表示为 ab a bc c ac 可见符号语言比文字语言简捷得多 因此应加强符号语言的应用 熟练地将三种语言相互转化 三条直线a b c两两相交 有三个交点 已知a与b都在平面 内 求证c也在平面 内 分析 如图 设a b d a c f b c e 由a 可知 f 由b 知 e 由e c f c知 c 解析 已知a b 设a b d a c f b c e 如图 求证 c 证明 a c f f c f a a f a f 同理可知e ef 即c 点评 解答立体几何证明题 一般可先画出符合题设要求的图形 由已知条件和待证结论分析解题的思路 找准切入点依次写出证明过程 例3 定义 若a b c d四点不共面 顺次连接四点得四边形abcd称作空间四边形 若空间四边形abcd的四边ab bc cd da上各有一点p q r s 且直线ps与qr交于点k 求证b d k共线 分析 欲证b d k三点共线 只要证明k在直线bd上 而bd是平面abd与平面bdc的交线 故运用公理3可获证 证明 ps qr k k ps ps 平面abd k 平面abd同理 k 平面bcd又bd 平面abd 平面bcd据公理3 k bd即b d k共线 总结评述 证明三点共线 一般先证两点确定的直线是某两个平面的交线 再证第三个点是两平面的一个公共点 也可以证明三点都是两个平面的公共点 两个平面不重合 例4 为什么自行车可只安装一个脚撑 解析 根据公理2知道 不共线的三点可以确定一个平面 我们把自行车的前后轮看作是两个点 因此只需要在自行车旁安装一个撑脚作为第三点 由这不共线的三点可以确定一个平面 因此自行车只安装一只撑脚就可以 一扇门 可以想象为平面的一部分 通常用两个合页把它固定在门框的一边上 当门不锁上时 可以自由转动 如果门锁上 则门就固定在墙面上 你可以用平面的哪一性质来解释这一现象 答案 可以用公理一来解释这一现象 解析 当门不上锁时 两个合页相当于两个点确定一条直线 经过一条直线有无数个平面 上锁后 三个不共线点确定惟一平面 例6 空间有五个点a b c d e 若a b c d共面且b c d e共面 那么这五点共面是否正确 为什么 错解 共面 因为a e都在b c d所确定的平面内 辨析 错解没有正确理解公理2 只有不共线三点才可确定一个平面 当b c d不共线时 由公理3知 a e都在b c d确定的平面内 即五点共面 当b c d共线时 空间五点可以不共面 如下图所示 正解 当b c d不共线时 由公理3知 a e都在b c d确定的平面内 即五点共面 当b c d共线时 若a在b c d e确定的平面内 则a b c d e共面 若a不在b c d e确定的平面内 则a b c d e不共面 如图 l b c d都在l上 a e a e都不在l上 满足上述条件 但a b c d e不共面 1 线段ab在平面 内 直线ab是否在平面 内 为什么 解析 线段ab在平面 内 ab的两端点a b在 内 由公理1知直线ab在平面 内 2 判断下列命题是否正确 1 如果两个不重合的平面有两个公共点a b 那么它们就有无数多个公共点 并且这些公共点都在直线ab上 2 过一条直线的平面有无数多个 解析 1 正确 2 正确 如书脊和书页 3 用符号语言表示下列语句 并画出图形