数模题上海股市若干问题分析.doc

承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学院（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 2010 年 8 月 25 日上海股市若干问题分析摘要股票作为经济的晴雨表虽然变幻莫测，但通过对大量数据的分析还是可以找出它在一定阶段内的规律的。本文通过对上海股市2005年6月至2009年8月数据的分析，分别建立模型，解决了题目提出的四个问题。对于问题一，我们做了适当的假设，并以月为单位进行投资，把求最大收益投资方案问题转化为一个有约束最优化问题，并用lingo解出每个月的最佳投资方案和最大收益，最后再把所有的月加在一起，得出小李最终能得到资金为69451780000元，经过这次投资他的资金增长了694517.8倍，当然这在他完全知道股市动态的情况下得到的结果，是一个理想中的结果。由于上证综指可以较好的反映出上海股市的变化情况，因此对于问题二我们只考察上证综指，通过对上证综指散点图的观察我们发现从05年6月至09年8月上证股指经历了两次波动，因此我们将这一时段分成了三个阶段来考虑：05年6月至07年10月，这一阶段股市处于上升阶段；07年11月至08年11月，这一阶段股市处于下降阶段；08年12月至09年7月，这一阶段股市又处于上升阶段。通过MATLAB我们对这三个阶段分别进行了拟合，得到他们的拟合曲线方程，对照散点图与拟合曲线我们分阶段对上证股指变化情况作了分析。对问题三要求我们建立模型，要能较好的符合上海股市09年5月以前的变化情况，并以此预测以后的发展趋势。通过对散点图的观察我们发现上证综指的涨跌具有一定的周期性，因此我们考虑建立一个三角函数模型，通过搜集的数据，我们用MATLAB拟合出了一个含八个简单正弦函数的曲线，发现它能很好的符合以前数据，因此我们认为用它来预测短期股指走势有一定的合理性，事实也证明此模型短期预测还是比较准确的，相对误差在0.1以下。 对问题四，我们分析了上海股票的平均股息和全国平均年储蓄利率两参数来计算股票的合理市盈率，然后用Excel分析合理市盈率和实际市盈率之间的关系，分析两者间的误差是否出现反常,我们求得实际市盈率总随着合理市盈率的变动而变动，但是有的年份出现反常，于是我们用合理市盈率和实际市盈率间的关系算出股票市场的泡沫程度如1992，1997，2000，2007年对应的为327.97%，24.48%,181.1%,53.82%并且实际市盈率都比正常的2030高多了，故07年的股票市场肯定是存在泡沫，08年后期到09年股票市场趋于正常。关键上： 上海股市 上证指数 拟合 股市泡沫问题重述股票本身没有价值，但它可以当作商品买卖，并且有一定的价格。股票的市场价格即股票在股票市场上买卖的价格。静态地看，投资者是把资金投资于股票还是存于银行，这首先取决于哪一种投资的收益率高。目前，股票已经成为我国大众投资的主要渠道之一。如何对股票市场整体及个股近期走势情况、发展趋势做出较准确的定量分析，将对股民的投资和国家相关政策的制定提供必要的数据支撑，有重要的研究意义。一个特定的股票市场是由来自许多各种行业的上市公司的股票构成，在我国沪深股市的联动性很强，且上证指数能更好的反映我国股市的走势。上海股市有近900家上市公司（A股），反映总体数据的上证指数表明了这些上市公司的股价水平，而上市公司盈利情况的指标可以用平均市盈率来表示，平均市盈率反映了投资的回报水平。2005年6月，上证综指破1000点，2006年1月从1200点启动，截止2007年10月16日，股市冲高6124点后，这一轮行情的上涨应该算是历史上最为猛烈的。但快速上涨之后又拉开了快速下跌的大幕，沪深股市频繁出现大幅下跌，2008年10月28日跌至1664点，但股民的投资热情似乎并无减少，与此同时有关这一阶段我国股市是否出现泡沫的争论也不绝于耳。本题要求我们以上海股市为例，选取2005年6月到2009年8月的数据，分析以下问题：1.若小李有现金10万元，并于06年6月1日进入股市，只在浦发银行、中国联通、万通地产、四川长虹4只股票中进行投资选择，请问：至2009年8月7日小李最多获利多少，资金增长多少倍，采用何种投资策略？2.对上海股票市场在该时间段（2005.62009.8）的走势情况做出定量的综合评价，并按照你划定的时期分析各个时期的发展状况。3.依照2009年5月以前的主要统计数据，对上海股票市场的发展趋势做出预测分析，并利用上海股票市场2009年5月以后的统计数据验证你的模型。4.考虑上海股市平均市盈率，经济增长数据，人民银行公布和调整的存贷款利率与国家公布的宏观经济走势CPI的数据等因素建模分析上海股市有无泡沫以及泡沫的程度。模型假设1、 小李进行股票交易时，总能以最低价买入，最高价卖出。2、 为了获得最大收益，小李总是选择手续费最低的方式交易，只考虑印花税和佣金3、 股市仅受股市平均市盈率，经济增长数据，人民银行公布和调整的存贷款利率与国家公布的宏观经济走势CPI的数据的影响符号说明：第i个月买进第j个股的价格：第i个月卖出第j个股的价格：手续费占总交易费用的比重：第i个月买进/卖出第j支股的数量：第i个月总的可投资资产，建模与求解、 问题一的建模与求解：因为假设小李已知道股市的走势，因此为了让小李取得最大收益，应该让他在股价最低时买进，最高时卖出，而且他总会选择手续费最低的方式进行交易。我们假设他在第i个月买进第j支股的数量为，买进卖出一支j种股的差价为，另外据资料：我国于2007年5月30日将股票印花税由0.001升至0.003，又于2008年4月24日将股票印花税下调至0.001，在这里我们认为佣金费比率为0.001，因此，2007年6月以前每只股票交易的手续费为：，2007年6月到2008年4月每只股票的交易手续费为：，2008年5月到2009年8月每只股票的交易手续费为：，则此问题可转化为一个有约束的最优化问题。其目标函数分别为：s.t.: ;St: 例如对2006年6月份，有以下数据：表一:2006年6月份四只股票价格股票浦发银行万通地产四川长虹中国联通最高价4.281.932.492.42最低价3.541.092.12.21带入模型可得：应用软件编写程序（）求解可得：176356.5，且此时，0，91559，0，0，同理可得出余下的月投资方案：表二：每个月最佳投资方案及所得资产股票浦发银行万通地产四川长虹中国联通总资产1（2006.6） 91559001763565209832600216866.8360967000252508.14010285810350046.4577805100464347.260218594006370197000213338977263.281211562001413490904436060019479641005049540036384791100866638056305331201114839001005889013（2007.6）002308482019267700140283889510307353601503277613004204680016000576849653432430170641972810752579701801000776000101172500190129026100113005220020697920600017843960021112202400002429524002203953994010367825900233060655010053743520024（2008.5）0918428901068377770025000114307000118641500026028258880010160471400027149394700101195464700028283951300010334392400029572427000100464452400030742829100100616056400031977467000100817479100032112998300000110341220000330214748400075063790001939044000034157978000002147484000026172290000352147484000113243800000347752300003616288270021474840002147484000214748400046435280000371409921000214748400002147484000543316000003821474840002147484000012995690006745308000039214748400021474840002147484000214748400069451780000由表中数据可得：小李在2006年6月投入股市的10万元在经过39个月后他所拥有的总资产变为了69451780000，资金增长了694517.8倍，可见在股票市场若能预见到股票的升降时间，则其收益是相当可观的。、 问题二的建模与求解：由于上证指数可以较好的反映上海股市的发展趋势，因此在此我们对上证指数作分析。通过搜集数据我们得出其曲线图：图一：上证指数随月份的变化图（2005.6-2009.7）由散点图我们可以看出，最高价和最低价的整体趋势相似，从2005.6-2007.10股市处于上升阶段，上证指数也一路上扬。从2007.11开始，股市开始出现下跌，一直到2008.12又开始上涨，因此我们将这段时期分为三段，分别为：2005.6-2007.10 、2007.11-2008.11 、2008.12-2009.7，在此我们只取最高价研究。第一阶段（2005.6-2007.10）：用matlab编写程序（2）拟合可的结果为：图二：05.6-07.10拟合结果（-o实际数据，-拟合曲线）由拟合曲线可以看出拟合结果较好，在前15个月股指上涨较缓慢，从第15个月以后上涨较快，且得出拟合曲线的方程为：；同理可得第二、三阶段的拟合结果分别为：图三：07.11-08.11拟合结果（-o实际数据，-拟合曲线）由拟合曲线可以看出拟合结果较好，在这一阶段估值下降较快，且得出拟合曲线的方程为：；图四：08.12-09.7拟合结果（-o实际数据，-拟合曲线）由拟合曲线可以看出后段拟合结果较好，在这一阶段股指逐渐上涨，且得出拟合曲线的方程为：；、 问题三的建模与求解 :依据题意我们取2005年6月到2009年5月的数据来研究，由问题二我们可以看出上证指数在2005年以后呈现出一定的周期性，因此我们试图用三角函数来拟合这段数据，并以此来预测上证指数的发展，下面是我们的拟合结果：图五：上证指数拟合与预测图由拟合图形可以看出拟合比较准确，因此用此曲线预测上证指数的走势有一定的合理性，下面给出我们拟合得到的三角函数曲线表达式： 各个参数的值(with 95% confidence bounds):表三：拟合正弦曲线的参数值参数参数平均值参数取值范围4407(-5.803e+009,5.803e+009)0.05807(-5.185e+004,5.185e+004)-0.141(-9.251e+005,9.251e+005)1289(-2.737e+008,2.737e+008)0.2279(-7522, 7522)1.572(-3.826e+005,3.826e+005)381.4(-5.673e+009,5.673e+009)0.1207(-5.547e+005,5.547e+005)1.692(-1.266e+007,1.266e+007)346(-3.384e+007,3.384e+007)0.358(-1.254e+004,1.254e+004)3.618 （-2.667e+005,2.667e+005)114.6(-2.939e+005, 2.942e+005)0.6798(-104, 105.4)0.6447(-4406, 4407)63.98 (-1.799e+007, 1.799e+007)0.4718(-1.129e+004, 1.13e+004)1.292(-2.327e+005, 2.327e+005)49.32(-1.851e+004, 1.86e+004)0.982(-16.63, 18.59)-0.8924 (-433.5, 431.7)139.1(-1.767e+005, 1.77e+005)0.8096(-99.51, 101.1)3.316(-2450, 2456)由于股市变化莫测，对于较长时间的预测几乎是不可能的，在此我们只对下面四个月做预测，但我们按周作预测，把一个月分为四周，比如2009年5月第一周记为48，第二周记为48.25，余下类推，代入数据，可得预测结果为：表四：预测结果月份预测值实际值相对误差48（09.6第1周）2653.32778.680.0451248.252645.02828.740.0649548.502635.12886.500.0871048.752624.42946.900.10944492613.63088.860.1538649.252603.03140.040.1710349.502593.13221.070.1949649.752583.93398.050.23959502575.63454.020.2543250.252567.83478.010.2617050.502560.13307.890.2260650.752552.03020.26073004.900.1538251.252531.42875.980.1198151.502517.02999.330.1608151.752498.73068.030.18557对比图为：图六：上证指数预测与实际对比图可见预测值偏小，其平均相对误差为0.16145，其前面部分预测较准确，后面部分偏差较大，可见此拟合曲线只适合预测短时间内的股票走势，这也说明了股市的变幻莫测。、 问题四的建模与求解 股票买卖是一种虚拟资本及其获利能力的买卖，不只是买现在，更重要的是买对于未来的预期.投资价值的大小，取决于它给投资者所带来预期收益的高低，证券给投资者带来的预期收益越高，其投资价值也就越大，反之则价值越小.经济学家认为股票是有其内在价值的，股票价值由以下三因素构成：持有股票获得的回报（股利）；在期限终了时股票的终值；用于把未来回报转换为现值的贴现率.正是在这种“收益资本化”的理念指导下，得出了许多经典的股票估价模型.而由此使一些经济学家认为，买卖股票和买卖商品一样，在理性预期条件下不会发生“泡沫”.股票市场泡沫测度的关键在于股票市场内在价值计算。在这里我们采用市盈率，央行年利率来计算合理市盈率的计算股票的内在价值 第t时的每股收益，R是央行年利率来计算，K是公司派息率所以有市盈率=根据这个公式我们可以导出实用型更强的理论市盈率的近似值公式：只要知道整体上市公司各期的增长系数及当年利率计算各年整体市盈率1， 计算合理市盈率表五：上海A股市场增长系P值计算表日期199219931994199519961997199819992000E0.2690.2520.230.20.220.2420.2390.2040.218P0.9370.9130.871.11.10.9880.8541.069日期200120022003200420052006200720082009E0.1760.1790.1850.230.280.290.270.250.27P0.8071.0411.821.11.121.211.240.6870.561表六：我国各年平均利率年份199219931994199519961997199819992000R7.569.4410.98119.197.125.032.922.25年份200120022003200420052006200720082009R2.252.252.252.252.252.253.053.032.25=求出合理市盈率并与实际市盈率的相关性分析表七：合理市盈率和实际市盈率的比较时间19931994199519961997P0.9370.9130.871.11.1R%9.4410.9810.989.197.12实际市盈率I42.4823.4516.3332.6543.43合理市盈率I9.92584758.31511847.923497311.96953215.449438232.55415315.1348828.406502720.68046827.9805618泡沫程度h%327.97353182.01643106.09586172.77591181.1105451998199920002001200220030.9880.8541.0690.8071.0411.0825.032.922.252.252.252.2534.3638.1359.1437.5934.4336.5419.64214729.24657547.51111135.86666746.26666748.088888914.7178538.883424711.6288891.7233333-11.83667-11.54888974.9299630.37423924.4761464.8048327-25.58357-24.0157122004200520062007200820090.8980.5980.6911.1580.9870.5612.252.252.253.053.032.2524.2316.3333.358.425.423.339.91111125.830.71111137.96721332.57425724.9333333-15.68111-9.472.588888920.432787-7.174257-1.6333333-39.29009-36.705438.429811953.816926-22.02432-6.5508021图七：实际市盈率与合理市盈率比较图如图可知，合理市盈率与实际市盈率间有一样的变动趋势，虽然有时低有时高，但实际市盈率总随着合理市盈率的变动而变动只是有时幅度过大，如1992，1997，2000，2007年幅度很大，也正是我们上海股的牛市，但这种牛市是建立在股市泡沫基础上的，我们分析表中有泡沫程度h%对应的为327.97%，24.48%,181.1%,53.82%.并且实际市盈率都比正常水平的2030高多了，故07年的股票市场肯定是存在泡沫的，08年后期到09年股票市场趋于正常，趋于理性。模型检验 为了验证模型二对于短期预测的效果，我们在此通过拟合得到的解析式，把一个月再细分为30份，即考察每天的预测结果，以评判此模型的预测效果，下面给出09年6月的每天（除去休息日）预测结果：表八：09年6月预测结果天数预测值实际值相对误差1（09.6.1）2653.32726.720.02692622652.32750.880.03583632651.32778.680.04584242650.22778.240.04608752649.12795.150.05225162648.02788.370.05034172646.82820.570.06160882645.62828.740.06474392644.42812.680.059829102643.12790.980.052985112641.82797.480.05565122640.52813.610.061526132639.22855.420.075723142637.92886.500.086125152636.52923.240.09809162635.12941.050.104027172633.72923.470.099119182632.32941.050.106756192630.92923.470.104408202629.52946.900.116705212626.62937.610.123669222625.22976.920.123778图八：2009年6月份预测值与实际值比较图平均相对误差为0.072774，可见此模型对于短期预测有一定的可行性模型推广 在解决问题一时，我们简化了手续费，并没有考虑最低手续费的问题，比如说我们在用lingo求解时得到了只买一股的情况，事实上这是不合理的，因此更符合实际的模型应该去掉这一情况。在解决问题三时，我们从散点图周期性得到启示，简化了股市走势影响因素的