2017学年浙江省杭州市西湖区学军中学高三（上）第三次月考数学试卷（含解析）

2016-2017学年浙江省杭州市西湖区学军中学高三（上）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合，集合，则A，B，CD，2（5分）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是ABCD3（5分）设，表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是A如，则B如，则C如，则D如，则4（5分）函数的图象是ABCD5（5分）函数的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点，中心对称A向左平移B向右平移C向左平移D向右平移6（5分）已知数列的各项均为正整数，其前项和为，若，且，则A4740B4725C12095D120027（5分）若，三点不共线，则的取值范围是ABC，D，8（5分）如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，底面，则四棱锥的体积的取值范围是A，B，C，D，二、填空题：（本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分）9（6分）一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为 ，体积为 10（6分）向量，若，则 ；若与的夹角为，则 11（6分）记公差不为0的等差数列的前项和为，成等比数列，则公差 ；数列的前项和为 12（6分）如图在三棱锥中，且，、分别是和的中点则异面直线与所成的角的余弦值为，直线与面所成角大小为13（4分）设函数，若（a），则 14（4分）设，满足约束条件，若目标函数的最大值为5，则的最小值为15（4分）若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是三、解答题（共5小题，满分74分）16（14分）已知中角，对边分别为，且满足（）求的值；（）若，求的面积17（15分）已知数列是首项为2的等差数列，其前项和满足数列是以为首项的等比数列，且（）求数列，的通项公式；（）设数列的前项和为，若对任意不等式恒成立，求的取值范围18（15分）在中，以的中线为折痕，将沿折起，如图所示，构成二面角，在面内作，且（）求证：平面；（）如果二面角的大小为，求二面角的余弦值19（15分）已知函数（）当，且是上的增函数，求实数的取值范围；（）当，且对任意，关于的程（a）有三个不相等的实数根，求实数的取值范围20（15分）各项为正的数列满足，（1）取，求证：数列是等比数列，并求其公比；（2）取时令，记数列的前项和为，数列的前项之积为，求证：对任意正整数，为定值2016-2017学年浙江省杭州市西湖区学军中学高三（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合，集合，则A，B，CD，【考点】：交、并、补集的混合运算【专题】11：计算题【分析】求出的值域确定出，找出中不属于的部分求出的补集，求出的定义域确定出，找出补集与的公共部分即可求出所求的集合【解答】解：由集合中的函数，得到，由集合中的函数，得到，则，故选：【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2（5分）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是ABCD【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】51：函数的性质及应用【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件，从集合的角度充分不必要条件应为的真子集，由选择项不难得出答案【解答】解：命题“，”为真命题，可化为，恒成立即只需，即“，”为真命题的充要条件为，而要找的一个充分不必要条件即为集合的真子集，由选择项可知符合题意故选：【点评】本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题3（5分）设，表示三条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是A如，则B如，则C如，则D如，则【考点】：命题的真假判断与应用；：空间中直线与平面之间的位置关系【专题】11：计算题；：空间位置关系与距离【分析】由线面平行的判定定理的条件可判断是否正确；由线面垂直的判定定理的条件可判断是否正确；根据位于两个平面中的直线若互相垂直，两个平面有可能平行，判断是否正确；利用线面平行的性质与平行公理，先判定线面平行，再判定线线平行【解答】解：，若，与不平行，故错误；若，与的位置关系不确定，故错误；，则与有可能平行，故错误；，过作平面，由，得，由，得，故正确故选：【点评】本题考查线面平行的判定与性质，面面垂直的判定与性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化4（5分）函数的图象是ABCD【考点】：函数的图象与图象的变换【专题】51：函数的性质及应用【分析】先通过函数的零点排除，再根据的变化趋势和的关系排除，问题得以解决【解答】解：令，解得，函数有唯一的零点，故排除，当时，所以，故排除，故选：【点评】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题5（5分）函数的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点，中心对称A向左平移B向右平移C向左平移D向右平移【考点】：函数的图象变换【专题】57：三角函数的图象与性质【分析】先假设将函数的图象平移个单位得到关系式，然后将代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到的所有值，再对选项进行验证即可【解答】解：假设将函数的图象平移个单位得到：关于点，中心对称将代入得到：，当时，故选：【点评】本题主要考查正弦函数的平移变换和基本性质对称性，属于基础题6（5分）已知数列的各项均为正整数，其前项和为，若，且，则A4740B4725C12095D12002【考点】：数列的求和；：数列递推式【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】通过计算出前几项的值可知数列从第四项起构成周期为3的周期数列，进而计算可得结论【解答】解：依题意，且，数列从第四项起构成周期为3的周期数列，故选：【点评】本题考查数列的通项及前项和，考查运算求解能力，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题7（5分）若，三点不共线，则的取值范围是ABC，D，【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】38：对应思想；49：综合法；：平面向量及应用【分析】根据三角形的性质得出的范围，根据数量积公式得出关于的函数，从而得出结论【解答】解：设，则，三点不共线，解得：故选：【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题8（5分）如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，底面，则四棱锥的体积的取值范围是A，B，C，D，【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】31：数形结合；49：综合法；：立体几何【分析】先根据条件得到四边形的面积，由余弦定理可求得，即可得到，进而表示出四棱锥的体积，整理后再借助于三角函数的取值范围即可解题【解答】解：，在中，由余弦定理得，四棱锥的体积，故选：【点评】本题考查了余弦定理，三角函数的最值，棱锥的体积计算，属于中档题二、填空题：（本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分）9（6分）一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为，体积为 【考点】：简单空间图形的三视图【专题】11：计算题；31：数形结合；45：等体积法；：空间位置关系与距离【分析】根据正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图，然后根据正视图的定义得到正四棱锥的正视图，然后求面积体积即可【解答】解：由正四棱锥的俯视图，可得到正四棱锥的直观图如图：则该正四棱锥的正视图为三角形，分别为的中点）正四棱锥的所有棱长均为2，该正四棱锥的正视图的面积为；正四棱锥的体积为故答案为：，【点评】本题主要考查三视图的应用，利用俯视图得到正四棱锥的直观图是解决本题的关键，比较基础10（6分）向量，若，则；若与的夹角为，则 【考点】：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；34：方程思想；：数学模型法；：平面向量及应用【分析】利用向量共线的坐标表示可得，结合的范围求得，则可求；由向量数量积求夹角公式可得，再结合的范围求得【解答】解：，由，得，即，则，由与的夹角为，得，则，故答案为：；【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的坐标表示，训练了利用向量数量积求夹角公式，是中档题11（6分）记公差不为0的等差数列的前项和为，成等比数列，则公差1；数列的前项和为 【考点】：等差数列与等比数列的综合【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列【分析】由，成等比数列，即有，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列的求和公式，即可得到所求【解答】解：，成等比数列，即有，即为，化简可得，即有，又，可得，即，解方程可得，故答案为：1，【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的性质，考查运算能力，属于基础题12（6分）如图在三棱锥中，且，、分别是和的中点则异面直线与所成的角的余弦值为，直线与面所成角大小为【考点】：异面直线及其所成的角；：直线与平面所成的角【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；：空间角【分析】连接，取中点为，连接，则和平行，（或其补角）即为和所成的角，利用余弦定理可得结论；由题意，为直线与面所成角，即可求解【解答】解：连接，取中点为，连接，则和平行，（或其补角）即为和所成的角设，则因为，是正三角形，、是中点所以：，异面直线与所成角的余弦值为，由题意，为直线与面所成角，故答案为，【点评】本题考查线线角、线面角，考查余弦定理，考查学生的计算能力，正确作出线线角、线面角是关键13（4分）设函数，若（a），则【考点】：函数的值；53：函数的零点与方程根的关系；：分段函数的应用【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】利用分段函数，通过的范围，列出方程求解即可【解答】解：函数，若（a），当时，可得：，可得，解得当时，可得：，时，可得，解得时，可得，即，可得故答案为：2或【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点与方程根的关系，考查计算能力14（4分）设，满足约束条件，若目标函数的最大值为5，则的最小值为【考点】：简单线性规划【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；：不等式【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得，然后利用基本不等式求得的最小值【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，解得由，得，由图可知，可得当且仅当，并且即，时上式等号成立的最小值为故答案为：【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题15（4分）若关于的不等式至少有一个正数解，则实数的取值范围是【考点】53：函数的零点与方程根的关系【专题】51：函数的性质及应用【分析】原不等式为：，我们在同一坐标系画出和两个图象，利用数形结合思想，易得实数的取值范围【解答】解：不等式为：，且在同一坐标系画出和两个函数图象，将绝对值函数向左移动，当右支经过点，；将绝对值函数向右移动让左支与抛物线相切时，由，可得，再由 解得数形结合可得，实数的取值范围是故答案为：【点评】本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出和两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键三、解答题（共5小题，满分74分）16（14分）已知中角，对边分别为，且满足（）求的值；（）若，求的面积【考点】：正弦定理；：余弦定理【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形【分析】（）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，从而解得根据为三角形内角，即可求得的值（）由已知及（）可求，设外接圆半径为，由正弦定理可得：，即可解得，可求，利用三角形面积公式即可得解【解答】解：（）中，角、的对应边分别为、，且满足，由，可得：，（）设外接圆半径为，由正弦定理可得：，可得：，【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17（15分）已知数列是首项为2的等差数列，其前项和满足数列是以为首项的等比数列，且（）求数列，的通项公式；（）设数列的前项和为，若对任意不等式恒成立，求的取值范围【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；：数列的求和【专题】54：等差数列与等比数列【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；利用“裂项求和”可得，利用等比数列的前项和公式可得，利用数列的单调性即可得出【解答】解：（）设等差数列的公差为，由题意得，解得，由，从而公比，（）由（）知，又，对任意，等价于，对递增，即的取值范围为，【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式及其前项和公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（15分）在中，以的中线为折痕，将沿折起，如图所示，构成二面角，在面内作，且（）求证：平面；（）如果二面角的大小为，求二面角的余弦值【考点】：直线与平面平行；：二面角的平面角及求法【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；：空间角【分析】（）推导出，从而，由此能证明平面（）推导出面，设中点为，则，由，得，为二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值【解答】证明：（）由，得，为等腰直角三角形，为的中点，以的中线为折痕翻折后仍有，（3分）又平面，平面，平面 （2分）解：（）二面角的大小为，面面，又面面，面，（2分），又，面，（2分）由题意，中，设中点为，且，设中点为，则，由，得，为二面角的平面角，（3分）连结，在中，在中，在中，在中，在中，二面角的余弦值为（3分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（15分）已知函数（）当，且是上的增函数，求实数的取值范围；（）当，且对任意，关于的程（a）有三个不相等的实数根，求实数的取值范围【考点】：函数单调性的性质与判断；53：函数的零点与方程根的关系【专题】