高考数学一轮复习 第三章 第3讲 用导数研究函数的最值课件 理 苏教版 .ppt

第3讲用导数研究函数的最值 考点梳理 1 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 1 函数的最值 2 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 1 求f x 在 a b 内的极值 2 求得的f x 的各极值与 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 f a f b 求函数在某个区间的最值根据最值定理 求在闭区间 a b 上连续 开区间 a b 内可导的函数的最值时 可将过程简化 即不用判断导数为零的点是极大值还是极小值点 直接将极值点与端点的函数值进行比较 就可判定最大 小 的函数值 就是最大 小 值 对于开区间 a b 内可导的函数 定义域为开区间或半开半闭区间 求最值时 除求出函数的极大值 极小值外 还应考虑函数在区间端点处的极限值或画出函数的大致图象 再判定函数的最大 小 值 否则会犯错误 助学 微博 考点自测 3 若函数y 2x3 3x2 12x a在区间 0 2 上的最大值为5 则a的值为 答案5 5 2012 苏州等五市三区期中考试 已知函数f x ex elnx 则f x 的最小值为 答案e 1 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求a b的值 2 当a2 4b时 求函数f x g x 的单调区间 并求其在区间 1 上的最大值 考向一利用导数求出函数的最值 例1 2012 北京卷 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 解 1 f x 2ax g x 3x2 b 曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 f 1 g 1 且f 1 g 1 即a 1 1 b 且2a 3 b 解得a 3 b 3 方法总结 在解决类似的问题时 首先要注意区分函数最值与极值的区别 求解函数的最值时 要先求函数y f x 在 a b 内所有使f x 0的点 再计算函数y f x 在区间内所有使f x 0的点和区间端点处的函数值 最后比较即得 也可利用函数的单调性求得 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解 1 f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 f x 与f x 的变化情况如下 训练1 已知函数f x x k ex 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上所述f x 在 0 1 上的最小值为 1 若k e 试确定函数f x 的单调区间 2 若k 0 且对于任意x r f x 0恒成立 试确定实数k的取值范围 解 1 由k e 得f x ex ex 所以f x ex e 由f x 0 得x 1 即f x 的单调增区间为 1 由f x 0对任意x 0恒成立 即f x min 0 x 0 由f x ex k 0 得x lnk 考向二函数最值的应用 例2 2012 江苏徐州二模 已知函数f x ex kx x r 当k 0 1 时 f x ex k 1 k 0 x 0 此时f x 在 0 上单调递增 故f x f 0 1 0 符合题意 当k 1 时 lnk 0 当0lnk时 f x 0 f x 在 lnk 上单调递增 故当x lnk时 f x 取极小值 即为最小值f lnk 由题意 得f lnk k klnk 0又k 1 所以1 k e 综上 得k的取值范围是 0 e 方法总结 函数最值可以用来解决不等式恒成立问题 又可以讨论函数在给定区间上的单调性 求参数的取值范围等类问题 1 求f x 在区间 0 上的最小值 2 证明 对任意m n 0 都有f m g n 成立 1 求f x 的单调区间 2 若a 1 k为整数 且当x 0时 x k f x x 1 0 求k的最大值 解 1 f x 的定义域为 f x ex a 若a 0 则f x 0 所以f x 在 上单调递增 若a 0 则当x lna 时 f x 0 当x lna 时 f x 0 所以 f x 在 lna 上单调递减 在 lna 上单调递增 考向三函数最值的综合应用 例3 2012 新课标全国 设函数f x ex ax 2 由 1 知 函数h x ex x 2在 0 上单调递增 而h 1 0 h 2 0 所以h x 在 0 上存在唯一的零点 故g x 在 0 上存在唯一的零点 设此零点为 则 1 2 当x 0 时 g x 0 当x 时 g x 0 所以g x 在 0 上的最小值为g 又由g 0 可得e 2 所以g 1 2 3 由于 式等价于k g 故整数k的最大值为2 方法总结 应通过一些典型例题的分析提高分析问题和解决问题的能力 解题时要善于把复杂的 生疏的 非规范化的问题转化为简单的 熟悉的 规范化的问题来解决 训练3 已知函数f x xlnx 1 求函数f x 在 1 3 上的最小值 若仅考查函数极值与最值问题 往往较简单 但是一般高考中出现的问题都是综合性问题 将综合性问题进行分解或转化 是解这类问题的基本思路 所以掌握转化方法是关键 规范解答5函数极值 最值 综合性问题的求解方法 1 函数f x 的最大值为 2a b a 2 f x 2a b a 0 审题路线图 1 用导数法求f x 在 0 1 上的最大值 2 转化为f x 2a b a 2a 2x3 2x 1 0 用导数法求证g x 2x2 2x 1的最小