2017年高考数学四海八荒易错集专题07三角变换及解三角形文.docx

专题07 三角变换及解三角形1若tan，则cos22sin2等于()A. B. C1 D.答案A解析tan，则cos22sin2.2在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC等于()A1B2C3D4答案A解析由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosC，即13AC292AC3cos120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)故选A.3方程3sinx1cos2x在区间0,2上的解为_答案，解析3sinx22sin2x，即2sin2x3sinx20，(2sinx1)(sinx2)0，sinx，x，.4在锐角三角形ABC中，若sinA2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是_答案8解析在ABC中，ABC，sinAsin(BC)sin(BC)，由已知，sinA2sinBsinC，sin(BC)2sinBsinC.sinBcosCcosBsinC2sinBsinC，A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得：tanBtanC2tanBtanC.又tanAtan(BC).tanA(tanBtanC1)tanBtanC.则tanAtanBtanCtanAtanBtanC，tanAtanBtanCtanAtanBtanCtanA2tanBtanC2，2，tanAtanBtanC8.5在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA，sinBcosC，并且a，则ABC的面积为_答案6若(0，)，则的最大值为_答案解析(0，)，且tan0，(当且仅当tan2时等号成立)，故的最大值为.7如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.答案100解析在ABC中，AB600，BAC30，ACB753045，由正弦定理得，即，所以BC300.在RtBCD中，CBD30，CDBCtanCBD300tan30100.8已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为_答案解析，a2，又(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cosA，A60.ABC中，4a2b2c22bccos60b2c2bc2bcbcbc(“”当且仅当bc时取得)，SABCbcsinA4.9已知函数f(x)sinxcosxcos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域 (2)由(1)知f(x)sin(3x)，易得f(A)sin(3A).因为sinB，sinA，sinC成等比数列，所以sin2AsinBsinC，所以a2bc，所以cosA(当且仅当bc时取等号)，因为0A，所以0A，所以3A，所以sin(3A)1，所以10，所以为锐角，sin()，则sin(2)2sin()cos()2.又cos(2)sin(2)，所以cos(2).【变式探究】(1)已知sin，cos2，则sin等于()A. B C D.(2)等于()A4B2C2D4答案(1)D(2)D解析(1)由sin，得sincoscossin，即sincos，又cos2，所以cos2sin2，即(cossin)(cossin)，因此cossin.由得sin，故选D.(2)4，故选D.【名师点睛】(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解【锦囊妙计，战胜自我】1三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan45等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦易错起源2、正弦定理、余弦定理例2、(1)(2016课标全国丙)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA等于()A.B.CD(2)(2015北京)在ABC中，a3，b，A，则B_.答案(1)C(2) (2)由正弦定理得sinB，因为A为钝角，所以B.【变式探究】如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.【名师点睛】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口【锦囊妙计，战胜自我】1正弦定理：在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2RsinA，sinA，abcsinAsinBsinC等2余弦定理：在ABC中，a2b2c22bccosA；变形：b2c2a22bccosA，cosA.易错起源3、解三角形与三角函数的综合问题例3(2015山东)设f(x)sinxcosxcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值解(1)由题意知f(x)sin2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)【变式探究】已知函数f(x)cos2x2sinxcosxsin2x.(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f()2且a2bc，试判断ABC的形状解(1)f(x)cos2x2sinxcosxsin2xsin2xcos2x2sin(2x)，所以T，f(x)2,2(2)因为f()2sin(A)2，所以sin(A)1.因为0A0，cosA.又0A180，A60，由b2c得a2c20，ac.因此，ABC为等边三角形，故选C.4已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2bcosA，B，c1，则ABC的面积等于()A.B.C.D.答案C5若sin2，sin()，且，则的值是()A.B.C.或D.或答案A解析sin2，cos2且，又sin()，cos()，sin()sin()2sin()cos2cos()sin2，cos()cos()2cos()cos2sin()sin2，又，故选A.6已知tan4，则的值为_答案解析.7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cosA，则a的值为_答案8解析cosA，0A，sinA，SABCbcsinAbc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccosA5222464，a8.8如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100m，则山高MN_m.答案1509在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，bc，且sin2Csin2BsinBcosBsinCcosC.(1)求角A的大小；(2)若a，sinC，求ABC的面积解(1)由题意得sin2Bsin2C，整理得sin2Bcos2Bsin2Ccos2C，即sin(2B)sin，由bc，得BC，又BC(0，)，得2B2C，即BC，所以A.(2)因为a，sinC，由正弦定理，得c.由ca，得CA，从而cosC，故sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC.所以ABC的面积为SacsinB()10已知函数f(x)sincoscos2.(1)若f(x)1，求cos(x)的值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分