高中数学 321 空间向量与平行关系课件 新人教A版选修21.ppt

第三章空间向量与立体几何 3 2立体几何中的向量方法 第1课时空间向量与平行关系 1 理解直线的方向向量和平面的法向量 2 能用向量语言表述线线 线面 面面的平行关系 新知视界1 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点a以及一个定方向确定 如图1a是直线l上一点 向量a表示直线l的方向向量 2 直线l 取直线l的方向向量a 则向量a 向量a叫做平面 的法向量 2 在具体问题中 如何确定直线的方向向量和平面的法向量 提示 实际应用中 直线的方向向量即把线段看作有向线段时表示的向量 平面的法向量一般可建系后用待定系数法求出 3 空间平行关系的向量表示 1 线线平行 设直线l m的方向向量分别为a a1 b1 c1 b a2 b2 c2 则l m a b a1 b1 c1 a2 b2 c2 2 线面平行 设直线l的方向向量为a a1 b1 c1 平面 的法向量为u a2 b2 c2 则l u a a1a2 b1b2 c1c2 0 3 面面平行 设平面 的法向量分别为u a1 b1 c1 v a2 b2 c2 则 u v u kv a1 b1 c1 k a2 b2 c2 尝试应用1 若a 1 0 1 b 1 4 7 在直线l上 则直线l的一个方向向量为 a 1 2 3 b 1 3 2 c 2 1 3 d 3 2 1 答案 a 2 若u 2 3 1 是平面 的一个法向量 则下列向量中能作为平面 的法向量的是 a 0 3 1 b 2 0 1 c 2 3 1 d 2 3 1 解析 同一个平面的法向量平行 故选d 答案 d 3 设平面 的法向量为 1 2 2 平面 的法向量为 2 4 k 若 则k等于 a 2b 4c 4d 2答案 c 4 已知直线l1的一个方向向量为 7 3 4 直线l2的一个方向向量为 x y 8 且l1 l2 则x y 答案 146 5 在正方体ac1中 o1为b1d1的中点 求证bo1 平面acd1 证明 方法一 以d为原点 da dc dd1所在直线分别为x y z轴建立如图2所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为2 则a 2 0 0 d1 0 0 2 c 0 2 0 b 2 2 0 o1 1 1 2 方法二 在证法1建立的空间直角坐标系下 取ac的中点o 连接d1o 则o 1 1 0 典例精析类型一利用方向向量和法向量判定线面关系 例1 1 设a b分别是不重合的直线l1 l2的方向向量 根据下列条件判断l1与l2的位置关系 a 2 3 1 b 6 9 3 a 5 0 2 b 0 4 0 a 2 1 4 b 6 3 3 3 设u是平面 的法向量 a是直线l的方向向量 根据下列条件判断l和 的位置关系 u 2 2 1 a 3 4 2 u 0 2 3 a 0 8 12 u 4 1 5 a 2 1 0 分析 解答本题可先判断方向向量与法向量的关系 再判断线线 线面 面面的位置关系 点评 解答本题的关键是 1 搞清直线的方向向量 平面的法向量和直线 平面的位置关系之间的内在联系 2 要熟练掌握判断向量共线 垂直的方法 再把向量问题转化为几何问题时 注意其等价性 迁移体验1根据下列条件 判断相应的直线与直线 平面与平面 直线与平面的位置关系 直线l1 l2的方向向量分别是a 1 3 1 b 8 2 2 平面 的法向量分别是u 1 3 0 n 3 9 0 直线l的方向向量 平面 的法向量分别是a 1 4 3 u 2 0 3 直线l的方向向量 平面 的法向量分别是a 3 2 1 u 1 2 1 解 a b 1 8 3 2 1 2 0 a b l1 l2 n 3u n u a u 0且a u l与平面 斜交 a u 3 1 2 2 1 1 0 a u l 或l 类型二求平面的法向量 例2 已知平面 经过三点a 1 2 3 b 2 0 1 c 3 2 0 试求平面 的一个法向量 类型三证明线线 线面平行 例3 如图4所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 求证 mn 平面a1bd 证明 法一 如图5所示 以d为原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 则可求得 点评 用向量法证明线面平行常用三种方法 一是证明直线上某个向量与平面内某一向量共线 二是证明直线上的某个向量与平面内的两个不共线向量共面 且不在平面内 三是证明直线上某个向量与平面的法向量垂直 迁移体验3如图6 在长方体oaeb o1a1e1b1中 oa 3 ob 4 oo1 2 点p在棱aa1上 且ap 2pa1 点s在棱bb1上 且sb1 2bs 点q r分别是o1b1 ae的中点 求证 pq rs 证明 如图7所示 建立空间直角坐标系 则a 3 0 0 b 0 4 0 o1 0 0 2 a1 3 0 2 b1 0 4 2 e 3 4 0 ap 2pa1 类型四证明面面平行 例4 正方体abcd a1b1c1d1的边长为4 m n e f分别是棱a1d1 a1b1 d1c1 b1c1的中点 求证 平面amn 平面efbd 分析 利用向量证面面平行一般通过证线面平行或线线平行 也可以证两平面的法向量共线 证明 法一 建立如图9所示的空间直角坐标系 则a 4 0 0 m 2 0 4 n 4 2 4 d 0 0 0 b 4 4 0 e 0 2 4 f 2 4 4 取mn的中点g及ef的中点k bd的中点q 则g 3 1 4 k 1 3 4 q 2 2 0 法二 建立如图10所示的空间直角坐标系 则a 4 0 0 m 2 0 4 n 4 2 4 b 4 4 0 e 0 2 4 f 2 4 4 迁移体验4如图11 o是正方体abcd a1b1c1d1的底面中心 p是dd1的中点 q点在cc1上 问 当点q在cc1的什么位置时 平面bd1q 平面apo 解 以d为原点 分别以da dc dd1所在直线为x y z轴 建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为2 则o 1 1 0 p 0 0 1 a 2 0 0 b 2 2 0 d1 0 0