斐波那契数列之美.doc

一、论文斐波那契数列之美在人类发展史中，斐波那契数列作为数学界的重大发现，在数学理论和应用领域有着举足轻重的作用。除此之外，斐波那契数列还因其与自然界的诸多联系被人称作“神奇数列”，为人类艺术史的繁荣作出了巨大的贡献。斐波那契数列是由意大利数学家列昂纳多斐波那契由“兔子繁殖问题”引出的数列，现代数学使用递归的方法将此数列总结为F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n2，nN*），并进一步通过特征方程计算得出此递推数列的通式为。从数列一经发现便引起了各个领域内的重大反响，人们在对此数列的研究中发现，在数列项数逐渐增大的过程中，前一项与后一项的比越来越接近黄金分割比(5-1)/2。所谓黄金分割比，是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。几何学中黄金分割比的得出方法而斐波那契数列在各个学科上的所体现的美，我们普遍也可以从两个方面进行探讨。第一方面，是从斐波那契数列的数字递推性下手，探究斐波那契数列在自然科学中的应用和艺术领域中的应用。第二方面，我们可以从斐波那契数列因递进性而产生的斐波那契曲线于多个学科的体现，以及这种曲线在审美学中的特点；第三方面，是探究斐波那契数列与黄金分割的具体联系，以及斐波那契数列其黄金分割特点在艺术领域的应用。第一方面，斐波那契数列具有很强的数字特征，即前两项数字之和等于第三项。这一点其来源可以被认为是列昂纳多斐波那契所推出的“兔子繁殖问题”，即“如果一开始有一对兔子，它们每月生育一对兔子，小兔在出生后一个月又开始生育且繁殖情况与最初的那对兔子一样，那么一年后有多少对兔子？”如图，逐月推算，我们可以得到数列：1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233，这个数列后来便以斐波那契的名字命名。兔子繁殖问题图示这种递推的数字特征在植物界的体现最为明显，如自然界中大部分花的花瓣瓣数是斐波那契数，其中最为常见的有百合花花瓣数目为3，梅花5瓣，飞燕草8瓣，万寿菊13瓣，向日葵21或34瓣，雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。花瓣数目为34的雏菊同时，这种体现还有生物学上著名的“鲁德维格定律”，即树木各个年份的枝桠数构成斐波那契数列。不同年份树枝桠数目图示虽然科学已经证实这种花瓣的瓣数和枝桠的生长方式是为了使植物最大效率的利用养分和空间，但我们无法否认这种递进式的由小到大的数字特征可能在人类长久的进化史中潜移默化的印象了人类的审美。同时，以“鲁德维格定律”为例，斐波那契数列本身的增长速度，在项数较小时，形成了一种由快到慢的变化，这种变化在数字增大的趋势中，为整个数列带来了一种层次的丰富性和趣味性。当我们在观察自然界中的树木时，往往会被树木本身的形态所打动，正是这种枝桠的树木变化，使树木产生了动态和美。而与之相比的经人工修剪的树木，往往会失去这种天然形成的生动之美，显得死板沉重，除非与环境产生呼应（如法国古典主义园林），就毫无欣赏价值。自然界中的树木 经人工修剪的树木所以，我们可以认为斐波那契数列所具备的这种数字的动态变化之感使人们从中感受到了美。第二方面，我们可以从斐波那契数列因递进性而产生的斐波那契螺旋线探究斐波那契数列之美。斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列作出的一条发散式曲线，具体做法是以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。标准作图法画出的斐波那契螺旋线在自然界中，很多生物的形态都精准的契合了这种斐波那契螺旋线，比如在植物界松果、凤梨、树叶的排列、花瓣的排列、向日葵花瓣中葵花籽的排列等；在动物界鹦鹉螺螺壳剖面的曲线、蝴蝶的起飞路线和飞蛾的飞行路线等；在宇宙中，我们可以看到星云和黑洞呈斐波那契螺旋线式向外扩散。蝴蝶的起飞路线在自然界中，这种螺线的形成是因为其曲线与中心发出的射线始终有一固定的夹角。利用现代科学中的物理学，我们可以将其解释为一种支持力与弹力的动态平衡。由此我发现，这种螺旋线对外的张力和其本身构图有对称特征的稳重感形成了巧妙的搭配，使运用了这种螺旋线的画面具有了一种平衡感，同时在心理上给人造成了微妙的心理体验。某公司图标设计过程从这个图标我们可以看出，设计师巧妙的运用了斐波那契数列进行了画面的安排，整个画面看起来平衡但不呆板，具有很强的动感但又不至于使其失去重心与平衡。同时，在绘画、摄影、设计等方面，人们并不直接利用斐波那契螺旋线的形状，而是运用其螺线发散的走向与其收缩中心的位置关系进行构图暗示。比如很多经典电影场面的设置都利用了斐波那契螺线，将视觉中心放置在了画面最吸引人的地方，是人获得了非常自然且良好的观看体验，从而心理感受良好，进而体会到美。电影神探夏洛克中经典场面在摄影中，人们也大量的运用斐波那契螺旋线进行画面的布局，将摄影师所期望的视觉中心放置在斐波那契螺旋线的重心，其中最为人所知晓的就是水在空中的走向系列摄影作品。我将这种特性判定为斐波那契螺旋线的重心吸引力，人们在不受外界影响的情况下，会在一些视线首先关注的地方去主动的寻找所希望看到的东西，如果人们的这种愿望得到了满足，人们便会认为他所看到的事物是美的。 利用斐波那契数列的摄影作品 将耶稣基督与施礼约翰置于画面两个重心的油画但并非所有与斐波那契螺线有关的事物都可以被判定为美。一些过多、过牵强的运用都会使人不但无法感受到美，还会产生迷茫甚至心生不适。比如一种被称作宝塔菜的花椰菜，虽然这种花椰菜可以算是自然界中最完美的分形形态，但由于其外表的斐波那契螺旋线过多，反而打破了本身斐波那契螺旋线所具有的平衡感，使人无法第一时间找到重点。具有强烈斐波那契螺旋线特征的宝塔菜所以，虽然斐波那契螺旋线在视觉上给人们提供了良好的体验，但在运用之时我们仍需要注意从使人感受美的本质原因出发，合理运用画面构图的平衡感，从而设计出美的视觉感受。第三方面，我们从斐波那契数列所具有的黄金分割特性来探究斐波那契具有美的原因。我们已经知道，随着数列项数的增加，斐波那契数列前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值比例(5-1)/2，近似成有理数也就是人们常说的黄金分割比0.618。在五边形中，所有的线段之比均是黄金分割比，达芬奇变运用这一特点绘制了维特鲁威人体比例，并认为这是最完美的比例；同样在达芬奇的画作蒙娜丽莎像中，也有大量的黄金分割比例被运用其中。以其为代表，我们可以看出黄金分割在西方绘画史上作出了巨大的贡献，为画家提供了绘画的可以参考的比例。维特鲁威人 蒙娜丽莎像而在建筑领域，人们也大量利用黄金分割比来塑造美感。早在古希腊，人们在建造建筑时便已经在运用黄金分割比作为一种尺寸比例来塑造里面。比如帕特农神庙的立面便精准的遵循了黄金分割比，使人们所看到的画面唤起熟识感。帕特农神庙里面中大量运用黄金分割比而现代主义建筑设计师柯布西耶，在设计马赛公寓时，也运用了黄金分割比进行单元的设置，最大程度的在集中式建筑单一模版下补充了人的知觉美学。柯布西耶的马赛公寓进入工业社会以来，很多产品设计时也运用了黄金分割比例，将人的视觉知觉最大化的与美觉建立联系。比喻苹果公司在设计iCloud应用图标上，将基本要素圆的直径之比设置为最接近黄金分割的1.6:1，创造了人们的知觉熟识度，这种暗示会令人感到愉悦并产生亲切感和安全感。苹果公司iCloud产品图标在艺术的其他领域，人们也发现黄金分割比承担了创造美的重要功能。文学作品中，作家习惯性的将高潮部分设置在文章的三分之二处，这是非常贴合黄金分割的一个常用比例；音乐作品中，作曲家也最喜欢使用三段式结构，将一个停顿设置在最后一段之前。这两个艺术领域，人们利用黄金分割的原因大致相同，即使在已经有足够背景信息输入后，设置一信息量爆发点，使人在原有足够的熟悉感上建立一新的兴趣点，并留给人足够的思考时间分析所汲取的所有信息，并将作品在人们思路达到完整之时停止。这时的黄金分割点，是整个作品的平衡点，也是最精彩的一点。正是因为黄金风格点的存在象征着一种动态的平衡，人们才会这么愿意去探究它、运用它，并且称其为美。