高中数学 2.1.1平面课件 新人教A版必修2.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 人教版 必修2 点 直线 平面之间的位置关系 第二章 这是我国著名的大学 设计风格新颖 设计师独特创意的背后却是缜密的几何思维 类似许许多多的建筑设计包含了线 面的位置关系的应用 相交 平行 垂直关系随处可见 现实生活中类似这样的位置关系是比较常见的 如何准确判断这些位置关系 这就是本章将要研究的点 直线 平面之间的位置关系 点 直线 平面之间的位置关系是高中数学立体几何中的基础内容 在整个几何学中占有非常重要的地位 起着承前启后的作用 2 1空间点 直线 平面之间的位置关系 第二章 2 1 1平面 1 在初中几何中学习的线可以看作是 运动形成的轨迹 2 在平面几何中 通过实验 观察得到了点和线的基本性质是什么 连结两点的线中 线段最短 过两点有且只有一条直线 知识衔接 点 3 在平面几何中 两条直线的位置关系有哪几种 在平面几何中 两直线的位置关系有 相交和平行两种 4 几何中的点 直线都是抽象的概念 在现实世界中可以说是不存在的 画出的点 我们不考虑它们的大小 画出的直线也不考虑它们的粗细 基于这种抽象的思考 我们才能总结出上述点与直线的性质 大家学完初中几何以后 已经初步体会到了这些抽象概念的意义和作用 1 平面 自主预习 延展 平行四边形 2 虚线 希腊字母 英文字母 bcd 顶点 归纳总结 习惯上 用平行四边形表示平面 在一个具体的图形中也可以用三角形 圆或其他平面图形表示平面 2 点 线 面的位置关系的表示a是点 l m是直线 是平面 a la la a l l l m a l a l 名师点拨 从集合的角度理解点 线 面之间的关系 1 直线可以看成无数个点组成的集合 故点与直线的关系是元素与集合的关系 用 或 表示 2 平面也可以看成点集 故点与平面的关系也是元素与集合的关系 用 或 表示 3 直线和平面都是点集 它们之间的关系可看成集合与集合的关系 故用 或 表示 3 公理1 两点 l 名师点拨 公理1的内容反映了直线与平面的位置关系 线上两点在平面内 是公理的条件 结论是 线上所有点都在平面内 从集合的角度看 这个公理就是说 如果一条直线 点集 中有两个点 元素 属于一个平面 点集 那么这条直线就是这个平面的真子集 这个结论阐述了两个观点 一是整条直线在平面内 二是直线上的所有点都在平面内 4 公理2 不在 不共线 名师点拨 1 公理2的条件是 过不在一条直线上的三点 结论是 有且只有一个平面 2 公理2中 有且只有一个 的含义要准确理解 这里的 有 是说图形存在 只有一个 是说图形唯一 强调的是存在和唯一两个方面 因此 有且只有一个 必须完整地使用 不能仅用 只有一个 来代替 否则就没有表达出存在性 确定一个平面中的 确定 是 有且只有 的同义词 也是指存在性和唯一性这两个方面 这个术语今后也会常常出现 5 公理3 公共点 直线 p l 名师点拨 公理3反映了两个平面的位置关系 条件可简记为 两面共一点 结论是 两面共一线 且线过点 线唯一 公理3强调的是两个不重合的平面 只要它们有一个公共点 其交集就是一条直线 以后若无特别说明 两个平面 是指不重合的两个平面 1 下列命题 1 书桌面是平面 2 8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚 3 有一个平面的长是50m 宽是20m 4 平面是绝对的平 无厚度 可以无限延展的抽象的数学概念 其中正确命题的个数为 a 1b 2c 3d 4 答案 a 预习自测 解析 答案 1 2 ab 3 4 3 已知直线m 平面 p m q m 则 a p q b p q c p q d q 答案 d 解析 q m m q p m 有可能p 也可能有p 4 三点可确定平面的个数是 a 0b 1c 2d 1或无数个 答案 d 解析 当这三点共线时 可确定无数个平面 当这三点不共线时 可确定一个平面 5 如果两个平面有一个公共点 那么这两个平面 a 没有其他公共点b 仅有这一个公共点c 仅有两个公共点d 有无数个公共点 答案 d 用符号语言表示下列语句 并画出图形 1 三个平面 相交于一点p 且平面 与平面 交于pa 平面 与平面 交于pb 平面 与平面 交于pc 2 平面abd与平面bcd交于bd 平面abc与平面adc交于ac 文字 图形 符号三种语言的转化 互动探究 探究 1 解答本题要正确理解立体几何中表示点 线 面之间位置关系的符号 的意义 2 解决立体几何问题首先应过好三大语言关 即 文字语言 图形语言 符号语言 能实现这三种语言的相互转换 文字语言和符号语言在转换的时候 要注意符号语言所代表的含义 由符号语言作出直观图时 要注意实虚线的标注 解析 1 符号语言表示 p pa pb pc 图形表示 如图1所示 2 符号语言表示 平面abd 平面bcd bd 平面abc 平面adc ac 图形表示 如图2所示 规律总结 学习几何问题 三种语言间的互相转换是一种基本技能 要注意符号语言的意义 如点与直线 点与平面间的位置关系只能用 或 直线与平面间的位置关系只能用 或 由图形语言表示点 线 面的位置关系时 要注意实线和虚线的区别 3 根据下列条件画出图形 平面 平面 mn abc的三个顶点满足条件a mn b b mn c c mn 答案 1 m a a m 2 ac 3 如图所示 求证 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交 那么这四条直线共面 探究 1 平面确定的条件 2 两平面重合的条件 解析 已知 a b c l a a l b b l c c 求证 直线a b c和l共面 证明 如图所示 因为a b 由公理2可知直线a与b确定一个平面 设为 证明多线共面问题 因为l a a l b b 所以a a b b 则a b 又因为a l b l 所以由公理1可知l 因为b c 所以由公理2可知直线b与c确定一个平面 同理可知l 因为平面 和平面 都包含着直线b与l 且l b b 而由公理2的推理2知 经过两条相交直线 有且只有一个平面 所以平面 与平面 重合 所以直线a b c和l共面 规律总结 1 证明点线共面的主要依据 公理1 公理2及其推论 2 证明点线共面的常用方法 纳入平面法 先由公理2或其推论确定一个平面 再由公理1证明有关点线在此平面内 辅助平面法 先证明有关的点线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 过直线l外一点p 引两条直线pa pb和直线l分别交于a b两点 求证 三条直线pa pb l共面 证明 如右图所示 pa pb p 过pa pb确定一个平面 a b a l b l l pa pb l共面 已知 abc在平面 外 ab p ac r bc q 如图 求证 p q r三点共线 探究 1 p q r三点分别在哪几个平面上 2 在两个相交平面上的点 有什么特点 证明多点共线问题 证明 方法一 ab p p ab p 平面 又ab 平面abc p 平面abc 由公理3可知 点p在平面abc与平面 的交线上 同理可证q r也在平面abc与平面 的交线上 p q r三点共线 方法二 ap ar a 直线ap与直线ar确定平面apr 又 ab p ac r 平面apr 平面 pr b 面apr c 面apr bc 面apr 又 q 面apr q q pr p q r三点共线 规律总结 证明点线共面的常用方法 1 归一法 先由部分元素确定一个平面 再证其余元素也在这个平面内 其中第一步要应用公理2 第二步要应用公理1 2 重合法 应用公理1 先由部分元素分别确定平面 然后应用公理2证明这几个平面重合 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 对角线a1c与平面bdc1交于点o ac bd交于点m 求证 c1 o m三点共线 分析 要证若干点共线 只需证这些点同在两个相交平面内即可 证明 由aa1 cc1 则aa1与cc1确定一个平面a1c a1c 平面a1c 而o a1c o 平面a1c 又a1c 平面bc1d o o 平面bc1d o点在平面bc1d与平面a1c的交线上 又ac bd m m 平面bc1d且m 平面a1c 又c1 平面bc1d且c1 平面a1c 平面a1c 平面bc1d c1m o c1m 即c1 o m三点共线 点评 本题先证明c1m是平面a1c与平面bc1d的交线 通过公理3知o c1m 从而证明了c1 o m共线 已知 如图 空间四边形abcd中 e h分别为bc ab的中点 f在cd上 g在ad上 且有df fc dg ga 1 2 求证 直线ef bd hg交于一点 探究 先证ef hg一定相交于一点 再证这一点在直线bd上 证明三线共点问题 探索延拓 设ef gh o 则o gh o ef gh 平面abd ef 平面bcd o 平面abd o 平面bcd 平面abd 平面bcd bd o bd 即直线ef bd hg交于一点 规律总结 本题主要考查线线共点的问题 在解决这类问题时 首先证明两条直线相交于一点 再证这一点在另一条直线上 要证这一点在另一条直线上 可证这一点在以这条直线为交线的两个平面上 三个平面 两两相交 交于三条直线 即 c a b 已知直线a和b不平行 求证 a b c三条直线必过同一点 分析 证三条直线共点时 应先找出其中两条直线的交点p 而第三条直线是两个平面的交线 p是这两个平面的公共点 据公理3得出p在第三条直线上 证明 b a a b a b不平行 a b必相交 设a b p p a a p 同理p 而 c p c a b c相交于一点p 即a b c三条直线过同一点 空间中四点 如果任意三点都不共线 那么由这四个点可以确定多少个平面 错解 因为不共线的三点确定一个平面 所以由题设条件中的四点可确定四个平面 错因分析 忽略了四个点在同一个平面上的可能 易错点对于条件所给的点的位置关系考虑不全面 误区警示 思路分析 空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系 一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点 此时 这四个点只能确定一个平面 另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点 此时 这四个点可确定四个平面 正解 一个或者是四个 已知a b c d e五点中 a b c d共面 b c d e共面 则a b c d e五点一定共面吗 错解 因为a b c d共面 所以点a在b c d所确定的平面内 因为b c d e共面 所以点e也在b c d所确定的平面内 所以点a e都在b c d所确定的平面内 即a b c d e五点一定共面 错因分析 错解忽略了公理2中 不在一条直线上的三点 这个重要条件 实际上b c d三点还可能共线 正解 1 如果b c d三点不共线 则它们确定一个平面 因为a b c d共面 所以点a在平面 内 因为b c d e共面 所以点e在平面 内 所以点a e都在平面 内 即a b c d e五点一定共面 2 如果b c d三点共线于l 若a e都在l上 则a b c d e五点一定共面 若a e中有且只有一个在l上 则a b c d e五点一定共面 若a e都不在l上 则a b c d e五点可能不共面 规律总结 在立体几何中 空间点 线 面之间的位置关系不确定时 要注意分类讨论 避免片面地思考问题 对于确定平面问题 在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件 1 如右图所示的平行四边形mnpq表示的平面不能记为 a 平面mnb 平面nqpc 平面 d 平面mnpq 答案 a 解析 mn是平行四边形mnpq的一条边 不是对角线 所以不能记作平面mn 2 用符号表示 点a在直线l上 l在平面 外 正确的是 a a l l b a l l c a l l d a l l 答案 b 3 下面是一些命题的叙述语 a b表示点 a表示直线 表示平面 1 a b ab 2 a a a 3 a a a a 4 a a a a 其中命题和叙述方法都正确的个数是 a 0b 1c 2d 3 答案 b 解析 3 正确 1 错 其中的ab 应为ab 2 错 其中 应该交于一条过a点的直线 4 错 因为点a可能是直线a与平面 的交点 4 看图填空 1 ac bd 2 平面ab1 平面a1c1 3 平面a1c1ca 平面ac 4 平面a1c1ca 平面d1b1bd 5 平面a1c1 平面ab1 平面b1c 6 a1b1 b1b b1c1 答案 1 o 2 a1b1 3 ac 4 oo1 5 b1 6 b1 5 判断下列说法是否正确 并说明理由 1 一点和一条直线确定一个平面 2 经过一点的两条直线确定一个平面 3 两两相交的三条直线确定一个平面 4 首尾依次相接的四条线段在同一平面内 解析 1 不正确 如果点在直线上 这时有无数个平面 如果点不在直线上 在已知直线上任取两个不同的点 由公理2知 有唯一一个平面 2 正