高一直线与圆的方程知识总结.doc

期末复习一：直线和圆的方程一、直线的方程1、倾斜角：范围， 若轴或与轴重合时，=00。若轴时，=900。2、斜率： k=tan 已知L上两点P1（x1,y1） P2（x2,y2） k= 当=时，=900，k不存在。为锐角时，k0; 为钝角时，k0;3、直线方程的几种形式已知方程说明几种特殊位置的直线斜截式k、by=kx+b不含y轴和行平于y轴的直线x轴：y=0点斜式P1(x1,y1) ky-y1=k(x-x1)不含y轴和平行于y轴的直线y轴：x=0两点式P1(x1,y1)P2(x2,y2)不含坐标辆和平行于坐标轴的直线平行于x轴：y=b截距式a、b不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线平行于y轴：x=a过原点：y=kx或x=0一般式Ax+by+c=0A、B不同时为0两个重要结论：平面内任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。任何一个关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。4、直线系：（待定系数法的应用）（1）共点直线系方程：p0（x0,y0）为定值，k为参数y-y0=k（x-x0） 特别：y=kx+b，表示过（0、b）的直线系（不含y轴） 注意：运用斜率法时注意斜率不存在的情形。（2）平行直线系：y=kx+b，k为定值，b为参数。Ax+By+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系Bx-Ay+入=0表示与Ax+By+C垂直的直线系（3）截距式方程系 注意：“截距相等”例题一例1已知点和,则过点且与A,B的距离相等的直线方程为_例2（1）过点且与直线平行的直线的方程是 （2）过点且与直线垂直的直线的方程是 例3 过点P（-2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_思考：过点（，）的直线被两平行直线：与：所截线段的中点恰在直线上，求直线的方程。5、三点共线的判定：，KAB=KBC，写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。二、两直线的位置关系1、L1：y=k1x+b1L2：y=k2x+b2L1：A1X+B1Y+C1=0L2：A2X+B2Y+C2=0L1与L2组成的方程组平行k1=k2且b1b2无解重合k1=k2且b1=b2有无数多解相交k1k2有唯一解垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）例题二例1 如果直线(2a+5)x+(a2)y+4=0与直线(2a)x+(a+3)y1=0互相垂直，则a的值等于 ；例2 直线x+m2y+6=0与(m-2)x+3my+2m=0没有公共点，则实数m的值为 2、点到直线距离：（已知点（p0(x0,y0)，L：Ax+By+C=0）注：若直线为，即则点到直线的距离为（这是斜率法经常用到的）两行平线间距离：L1=Ax+By+C1=0 L2：Ax+By+C2=0两点间的距离公式求点的坐标 方法1：设点的坐标 (x0，y0) 列出与之相关的两个方程。 方法2：可将点A看成AB与AC两直线的交点。例题三例1已知点P(2,-1),求过点P与原点距离为2的直线l的方程。例2 课本110页B组的第9题3、对称：（1）点关于点对称：p(x1,y1)关于M（x0,y0）的对称（2）点关于线L的对称：设p(a、b)，线L是两点所成线段的垂直平分线。对称轴对称点对称轴对称点X轴Y=-xY轴X=m(m0)y=xy=n(n0)三、圆的方程（在求圆的方程时，偏重待定系数法；在分析直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系时，偏重几何法）1、圆的方程：标准方程 ，C（a、b）为圆心，r为半径。一般方程：，一般方程表示圆的条件是。 当时，表示一个点。当时，不表示任何图形。如：以A（X1，Y1），B（X2，Y2）为直径的两端点的圆的方程三不共线点确定圆，可设为一般方程较为简单；若条件中涉及圆心，一般可设为标准方程。例题四例1若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是_如果过点总可以作两条直线和圆相切，则实数的取值范围是_(答案: )例2 在中，点 求（1）的面积（2）的外接圆的方程答案:（1）解： ，到直线的距离，（2）设ABC的外接圆的方程圆心，则 ABC的外接圆的方程 例3求与直线相切，圆心在直线上且被 y 轴截得的弦长为的圆的方程 解：因为所求圆的圆心在直线 上，设所求圆的圆心坐标为，半径为，又圆求与直线 相切且被 y 轴截得的弦长为则 即圆的方程为：2、圆的几何特性：（a）弦AB的垂直平分线必过圆心； （b）直径所对的圆周角是直角； （c）直角三角形：半弦长2+弦心距d2=半径2（涉及弦长问题）3、点M(x0，y0)与圆（圆心为O）的位置关系：点在圆上点在圆外点在圆内3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判定：联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：0相交，0相切，0相离常用方法：利用圆心C (a、b)到直线Ax+By+C=0的距离d来确定：dr相交，dr相切 ，dr相离4、圆的切线：（圆心为O）（1）过圆上一点P的切线方程（此时仅有一条切线）（切线具备的条件：OP垂直于切线（提供斜率）；过P点）（2）过圆外一点切线方程的求法：已知p0(x0，y0)是圆 外一点（此时必有两条切线）设切线是即再由，求出k，再写出方程。当k值唯一时，应结合图形考察是否有斜率不存在的切线（即x=x0）已知斜率的切线方程：设（b待定），利用圆心到L距离为r，确定b。涉及求切线长问题例题五例1 过圆上一点求切线经过点作圆的切线，则切线的方程为 例2 过圆外一点求切线过点P(-1,6)且与圆相切的直线方程是_.例3已知直线经过点P(-4,-3)，且被圆截得的弦长为8，则直线的方程是_例4已知直线相切，则三条边长分别为的三角形的形状是_直角三角形例5已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则的值为_5、圆与圆的位置关系几何法：由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切）代数法：若两圆相交，则两式相减得两圆的公共弦方程 引申问题：公共弦的垂直平分线（即为两圆的连心线） 公共弦长（切记不要去求两交点，计算量过大） 相当于求两圆中任取一圆的弦长问题，即半弦长2+弦心距d2=半径2例题五例1已知圆和（1）公共弦所在直线方程为 ；公共弦长为 ；（2）公共弦的垂直平分线 6、圆系同心圆系：，（a、b为常数，r为参数）或：（D、E为常数，F为参数）圆心在x轴：圆心在y轴：过原点的圆系方程 过两圆和的交点的圆系方程为（不含C2），其中入为参数。例题六例1求圆心在直线上，且过两圆， 交点的圆的方程 7、求点的轨迹方程求点的轨迹方程的步骤：（1）设所求点M的坐标为（x，y）；（2）寻找与M的几何关系；（直接或间接代入）；（3）得到用x和y表示的轨迹方程。例题七例1已知线段,，在圆，则中点的轨迹方程是_例2 如图，已知直角坐标平面上点和圆，动点到圆C的切线长与的比等于求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 解：如图，设直线 切圆于，则动点组成的集合是：因为圆的半径，所以设点 的坐标为 ，则 整理得它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为例3 已知与曲线C：相切的直线交的正半轴与两点，O为原点，=a，求线段中点的轨迹方程； 四、坐标法