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第4讲 函数的单调性与最值 1 会求一些简单函数的值域 2 理解函数的单调性 最大值 最小值及其几何意义 1 函数的单调性设函数y f x 的定义域为a 区间i a 如果对于区间i内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说y f x 在区间i上是单调递增函数 i称为y f x 的单调递增区间 如果对于区间i内的任意两个值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说y f x 在区间i上是单调递减函数 i 称为y f x 的单调递减区间 f x1 f x2 2 用导数的语言来描述函数的单调性设函数y f x 如果在某区间i上f x 0 那么f x 为区间i上的增函数 如果在某区间i上 那么f x 为区 间i上的减函数 f x 0 3 函数的最大 小 值 f x0 m d 1 函数y x2 6x的单调递减区间是 a 2 b 2 c 3 d 3 2 若函数y 2k 1 x b在实数集上是增函数 则 a k 12 b k 12 a c b 0 d b 0 3 已知函数f x 的值域是 2 3 则函数f x 2 的值域为 d a 4 1 c 4 1 0 5 b 0 5 d 2 3 4 2015年广东汕头一模 下列函数中 是偶函数 且在区 间 0 内单调递增的函数是 d a y x b y cosx c y lnx d y 2 x 考点1 利用定义判断函数的单调性 互动探究 考点2 利用导数判断函数的单调性 例2 1 若f x x3 6ax的单调递减区间是 2 2 则a 的取值范围是 a 0 b 2 2 c 2 d 2 答案 c 2 若f x x3 6ax在区间 2 2 上单调递减 则a的取值 范围是 a 0 b 2 2 c 2 d 2 答案 d 规律方法 1 在研究函数的单调性时 应先确定函数的定义域 函数的单调性是对某一个区间而言的 若f x 在区间a与b上都是单调递增 或递减 函数 则在a b上不一定单调 2 注意f x 在区间a上单调递减与f x 的单调递减区间为a的区别 本题中f x 的单调递减区间是 2 2 是指方程f x 3x2 6a 0的两根为 2 第 2 小题f x 在 2 2 上单调递减是指f x 3x2 6a 0在 2 2 上恒成立 互动探究 d 考点3 函数的最值与值域 例3 求下列函数的值域 代入法 适用于定义域为有限集的函数 规律方法 常用的求值域的方法有 配方法 适用于二次函数类的函数 换元法 主要处理一些根式类的函数 不等式法 借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最值 最值法 通过求导数进而求出最值 互动探究 3 求下列函数的值域 思想与方法 利用分类讨论及数形结合思想求最值 例题 2014年广东广州水平测试 已知函数f x 是定义在r 上的奇函数 当x 0时 f x x x2 1 求函数f x 的解析式 2 求函数f x 在区间 a a 1 上的最大值 解 1 函数f x 是定义在r上的奇函数 在f
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